Since ((x-2)3) takes all real values, ((x-2)3+3) also takes all real values.
Step 3
Exam Tip
A horizontal or vertical shift of a cubic still remains onto from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\). चरण 1: (x-3-6x-2+12x-5=(x-2)3+3) लिखा जा सकता है। चरण 2: ((x-2)3) सभी वास्तविक मान लेता है, इसलिए ((x-2)3+3) भी सभी वास्तविक मान लेता है। चरण 3: घन फलन में क्षैतिज या ऊर्ध्व स्थानांतरण होने पर भी \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) पर आच्छादिता बनी रहती है।
For any \(n\in\mathbb{Z}\), choosing (x=n) gives \(\lceil x\rceil=n\).
Step 3
Exam Tip
For the ceiling function, codomain \(\mathbb{Z}\) is fully covered. चरण 1: \(\lceil x\rceil\) हमेशा पूर्णांक देता है। चरण 2: किसी भी \(n\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=n) लेने पर \(\lceil x\rceil=n\) मिलता है। चरण 3: छत फलन के लिए सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) हो तो हर पूर्णांक ढक जाता है।
For every \(y\ge0\), choosing (x=3+y) gives (|x-3|=y).
Step 3
Exam Tip
For modulus functions, distance interpretation makes the range easy. चरण 1: (|x-3|) का न्यूनतम मान (0) है। चरण 2: हर \(y\ge0\) के लिए (x=3+y) लेने पर (|x-3|=y) मिलता है। चरण 3: परिमाण फलन में दूरी की व्याख्या से परिसर सरल बनता है।
A. (f) एकैकी और आच्छादी है/(f) is one-one and onto
Step 1
Concept
\(\frac{1}{x}\) is never (0), and (0) is excluded from the domain.
Step 2
Why this answer is correct
For any \(y\ne0\), choosing \(x=\frac{1}{y}\) gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
For reciprocal functions, solve for (x) in terms of (y). चरण 1: \(\frac{1}{x}\) कभी (0) नहीं होता और प्रांत में (0) नहीं है। चरण 2: किसी भी \(y\ne0\) के लिए \(x=\frac{1}{y}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: व्युत्क्रम रूप वाले फलन में (y) से (x) निकालकर जाँचें।
But (f) need not cover all of (B), because (g) may cover (C) using only part of (B).
Step 3
Exam Tip
In composition questions, keep the roles of inner and outer functions separate. चरण 1: \(g\circ f\) आच्छादी होने से (g) का आच्छादी होना निश्चित है। चरण 2: पर (f) पूरे (B) को ढके यह जरूरी नहीं, क्योंकि (g) को (C) ढकने के लिए (B) के सभी तत्वों की जरूरत नहीं हो सकती। चरण 3: संयोजन के निष्कर्ष में भीतरी और बाहरी फलन की भूमिका अलग रखें।
Since (g) is onto, (g(y)=z) for some \(y\in B\), and since (f) is onto, (f(x)=y) for some \(x\in A\).
Step 3
Exam Tip
Thus (\(g\circ f\)(x)=z), so the composition is onto. चरण 1: (C) के किसी भी (z) को लें। चरण 2: (g) आच्छादी है इसलिए कोई \(y\in B\) है जिसके लिए (g(y)=z), और (f) आच्छादी है इसलिए कोई \(x\in A\) है जिसके लिए (f(x)=y)। चरण 3: तब (\(g\circ f\)(x)=z), इसलिए संयोजन भी आच्छादी है।
A. (f) एकैकी और आच्छादी है/(f) is one-one and onto
Step 1
Concept
\(\tan^{-1}x\) is strictly increasing, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
Its range is (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
Choosing the exact range as codomain often makes a function onto. चरण 1: \(\tan^{-1}x\) सख्ती से बढ़ता है इसलिए एकैकी है। चरण 2: इसका परिसर (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) है जो सहप्रांत के बराबर है। चरण 3: सही सहप्रांत चुनने पर कई फलन आच्छादी बन जाते हैं।
A. यह एकैकी और आच्छादी दोनों है/It is both one-one and onto
Step 1
Concept
On \([0,\pi]\), \(\cos x\) is strictly decreasing.
Step 2
Why this answer is correct
\(\cos 0=1\) and \(\cos \pi=-1\), so all values in ([-1,1]) occur.
Step 3
Exam Tip
A strictly monotonic function is one-one and becomes onto when its range equals the codomain. चरण 1: \([0,\pi]\) पर \(\cos x\) लगातार घटता है। चरण 2: \(\cos 0=1\) और \(\cos \pi=-1\), इसलिए सभी मान ([-1,1]) में मिलते हैं। चरण 3: घटता या बढ़ता फलन एकैकी होता है और पूरा सहप्रांत ढकने पर आच्छादी भी।
On the given domain, \(\sin x\) is strictly increasing.
Step 2
Why this answer is correct
Its range is ([-1,1]), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
On restricted trigonometric intervals, check both monotonicity and range. चरण 1: दिए गए प्रांत पर \(\sin x\) लगातार बढ़ता है। चरण 2: इसका परिसर ([-1,1]) है जो सहप्रांत के बराबर है। चरण 3: सीमित अंतराल पर त्रिकोणमितीय फलन की एकरसता और परिसर दोनों जाँचें।
For every (y>0), taking \(x=\ln y\) gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
For exponential functions, codomain (\(0,\infty\)) makes onto verification direct. चरण 1: \(e^x\) का मान हमेशा (0) से बड़ा होता है। चरण 2: हर (y>0) के लिए \(x=\ln y\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: घातीय फलन में सहप्रांत यदि (\(0,\infty\)) हो तो आच्छादिता तुरंत जाँची जा सकती है।
At (x=1), the value is (0), and as (x) increases all non-negative values occur.
Step 3
Exam Tip
For restricted domains, find the range using that exact domain. चरण 1: (f(x)=(x-1)2) और \(x\ge1\) है। चरण 2: (x=1) पर (0) मिलता है और (x) बढ़ने पर सभी गैरऋणात्मक मान मिलते हैं। चरण 3: सीमित प्रांत में उसी प्रांत के अनुसार परिसर निकालें।
Its range is (\(-\infty,4]\), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
For a parabola, use the vertex to find the range quickly. चरण 1: (4-(x-2)2) का अधिकतम मान (4) है। चरण 2: इसका परिसर (\(-\infty,4]\) है जो सहप्रांत के बराबर है। चरण 3: ऊपर या नीचे खुलने वाले परवलय में शीर्ष से परिसर जल्दी निकाला जा सकता है।
As \(x\to\infty\), its value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), its value goes to \(-\infty\), so all real values occur.
Step 3
Exam Tip
For odd degree continuous polynomials, check end behavior. चरण 1: \(x^3-3x\) एक विषम घात वाला बहुपद है। चरण 2: \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) जाता है, इसलिए सभी वास्तविक मान मिलते हैं। चरण 3: विषम घात वाले सतत बहुपदों में आच्छादिता जाँचते समय सिरों का व्यवहार देखें।
A. जब सहप्रांत \([0,\infty\)) ही रहे/When codomain remains \([0,\infty\))
Step 1
Concept
(f(x)=(x+1)2), so its range is \([0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain is also \([0,\infty\)), so every codomain element is attained.
Step 3
Exam Tip
In exams, first find the range and then compare it with the codomain. चरण 1: (f(x)=(x+1)2) है इसलिए इसका परिसर \([0,\infty\)) है। चरण 2: सहप्रांत भी \([0,\infty\)) है इसलिए हर सहप्रांतीय मान का पूर्वप्रतिबिंब मिलता है। चरण 3: परीक्षा में पहले परिसर निकालें फिर उसे सहप्रांत से मिलाएँ।
Take any target value \(y\in[-1,1\)) and write \(y=\frac{x^2-1}{x^2+1}\).
Step 2
Why this answer is correct
Solving gives \(x^2=\frac{1+y}{1-y}\), which is non-negative because \(y\ge -1\) and (y<1), so a real (x) exists.
Step 3
Exam Tip
To prove onto, finding a valid preimage for every target value is the strongest method. चरण 1: किसी \(y\in[-1,1\)) को लक्ष्य मान मानकर \(y=\frac{x^2-1}{x^2+1}\) लिखें। चरण 2: हल करने पर \(x^2=\frac{1+y}{1-y}\) मिलता है, जो \(y\ge -1\) और (y<1) के कारण ऋणात्मक नहीं है, इसलिए वास्तविक (x) मिल जाता है। चरण 3: आच्छादकता सिद्ध करने के लिए लक्ष्य मान से प्रांत का वैध प्रतिचित्र निकालना सबसे मजबूत तरीका है।
Taking \(x=\frac{1}{y}\) gives \(x\ne0\) and (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
For reciprocal functions, write (x) in terms of (y) to test onto. चरण 1: सहप्रांत का कोई भी मान \(y\ne0\) मानिए। चरण 2: \(x=\frac{1}{y}\) लेने पर \(x\ne0\) और (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: व्युत्क्रम फलनों में (x) को (y) के रूप में लिखकर आच्छादकता जाँचें।
A. यह इस सहप्रांत में सु-परिभाषित नहीं है/It is not well-defined for this codomain
Step 1
Concept
At (x=0), (f(0)=1).
Step 2
Why this answer is correct
But (1) is not in the codomain (\(1,\infty\)), so the function is not well-defined for this codomain.
Step 3
Exam Tip
First match every output with the given codomain. चरण 1: (x=0) पर (f(0)=1)। चरण 2: लेकिन (1) सहप्रांत (\(1,\infty\)) में नहीं है, इसलिए फलन इस सहप्रांत में सु-परिभाषित नहीं है। चरण 3: दिए गए सहप्रांत से हर प्राप्त मान का मिलान पहले करें।
For every \(y\ge1\), take \(x=\sqrt{y-1}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
The range of \(x^2+a\) is directly \([a,\infty\)). चरण 1: \(x^2\ge0\), इसलिए \(x^2+1\ge1\)। चरण 2: हर \(y\ge1\) के लिए \(x=\sqrt{y-1}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: \(x^2+a\) का परास सीधे \([a,\infty\)) होता है।
A. यह इस सहप्रांत में सु-परिभाषित नहीं है/It is not well-defined for this codomain
Step 1
Concept
For \(x\in(0,1)\), \(\ln x<0\).
Step 2
Why this answer is correct
But the codomain (\(0,\infty\)) contains only positive values, so not all outputs lie in the codomain.
Step 3
Exam Tip
With a wrong codomain, well-definedness fails before onto checking. चरण 1: \(x\in(0,1)\) होने पर \(\ln x<0\)। चरण 2: लेकिन सहप्रांत (\(0,\infty\)) में केवल धनात्मक मान हैं, इसलिए सभी प्रतिचित्र सहप्रांत में नहीं आते। चरण 3: गलत सहप्रांत होने पर आच्छादकता से पहले सु-परिभाषितता टूट जाती है।
For every \(y\in\mathbb{R}\), take \(x=e^y>0\), then \(\ln x=y\).
Step 3
Exam Tip
Logarithmic and exponential functions are useful as inverse pairs. चरण 1: \(\ln x\) केवल (x>0) पर परिभाषित है। चरण 2: हर \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=e^y>0\) लेने पर \(\ln x=y\)। चरण 3: लघुगणक और घातीय फलन एक-दूसरे के प्रतिलोम की तरह उपयोगी होते हैं।
The (x) part goes to \(\pm\infty\), while \(\cos x\) stays in ([-1,1]), so the total expression crosses every real level.
Step 3
Exam Tip
With a bounded trigonometric part and a linear part, check limits. चरण 1: \(x-\cos x\) सतत फलन है। चरण 2: (x) का भाग \(\pm\infty\) की ओर जाता है और \(\cos x\) केवल ([-1,1]) में रहता है, इसलिए कुल मान हर वास्तविक स्तर को पार करता है। चरण 3: bounded trigonometric part के साथ linear part हो तो limits जाँचें।
A. यह सतत है और \(x\to\pm\infty\) पर (f(x)\to\pm\infty)/It is continuous and as \(x\to\pm\infty\), (f(x)\to\pm\infty)
Step 1
Concept
\(x+\sin x\) is continuous on all real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin x\) is bounded, while (x) grows without bound in both directions, so (f(x)) also goes to both infinities.
Step 3
Exam Tip
A bounded addition often does not destroy onto behavior of a linear term. चरण 1: \(x+\sin x\) सभी वास्तविक (x) पर सतत है। चरण 2: \(\sin x\) सीमित है, पर (x) असीम रूप से बढ़ता और घटता है, इसलिए (f(x)) भी दोनों ओर असीम जाता है। चरण 3: सीमित जोड़ किसी रैखिक फलन की आच्छादकता को अक्सर नहीं रोकता।
For every \(n\in\mathbb{Z}\), taking (x=n) gives \(\lfloor x\rfloor=n\).
Step 3
Exam Tip
With codomain \(\mathbb{Z}\), the greatest integer function becomes onto. चरण 1: \(\lfloor x\rfloor\) का मान हमेशा कोई पूर्णांक होता है। चरण 2: हर \(n\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=n) लेने पर \(\lfloor x\rfloor=n\)। चरण 3: जब सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) हो, तब महत्तम पूर्णांक फलन आच्छादक हो जाता है।
A. नहीं, क्योंकि केवल पूर्णांक मान प्राप्त होते हैं/No, because only integer values are obtained
Step 1
Concept
\(\lfloor x\rfloor\) is always an integer.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains non-integer values like \(\frac{1}{2}\), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
For the greatest integer function, identify the range first. चरण 1: \(\lfloor x\rfloor\) हमेशा पूर्णांक होता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में \(\frac{1}{2}\) जैसे अपूर्णांक मान हैं, जो प्राप्त नहीं होते। चरण 3: महत्तम पूर्णांक फलन का परास पहले पहचानें।
A. क्योंकि (1) से बड़े मान प्राप्त नहीं होते/Because values greater than (1) are not obtained
Step 1
Concept
For \(x\in[0,1]\), \(0\le x^2\le1\).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain ([0,2]) contains values like (1.5), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
When the domain is restricted, maximum and minimum values quickly give the range. चरण 1: \(x\in[0,1]\) होने पर \(0\le x^2\le1\)। चरण 2: सहप्रांत ([0,2]) में (1.5) जैसे मान हैं, जो नहीं मिलते। चरण 3: प्रांत सीमित हो तो अधिकतम और न्यूनतम मान से परास तुरंत मिल जाता है।
For every \(y\in[0,1]\), \(x=\sqrt{y}\) also lies in ([0,1]) and \(x^2=y\).
Step 3
Exam Tip
In closed interval problems, the preimage must belong to the same domain. चरण 1: \(x\in[0,1]\) पर \(x^2\in[0,1]\)। चरण 2: हर \(y\in[0,1]\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) भी ([0,1]) में है और \(x^2=y\)। चरण 3: बंद अंतराल में प्रतिचित्र उसी प्रांत में होना चाहिए।
Its minimum value \(-\frac{1}{4}\) occurs at \(t=\frac{1}{2}\), and all larger values are obtained.
Step 3
Exam Tip
With the correct codomain, even a complex-looking function can be onto. चरण 1: \(t=x^2\ge0\) रखने पर (f(x)=t-2-t)। चरण 2: इसका न्यूनतम मान \(-\frac{1}{4}\) \(t=\frac{1}{2}\) पर मिलता है और ऊपर के सभी मान मिलते हैं। चरण 3: सही सहप्रांत चुनने पर जटिल दिखने वाला फलन भी आच्छादक हो सकता है।
The minimum value of \(t^2-t\) is \(-\frac{1}{4}\), so (-1) cannot be obtained.
Step 3
Exam Tip
For fourth-degree expressions in \(x^2\), substituting \(t=x^2\) helps find the range. चरण 1: (x-4-x-2=\(x^2\)2-x-2) रखकर \(t=x^2\ge0\) लें। चरण 2: \(t^2-t\) का न्यूनतम मान \(-\frac{1}{4}\) है, इसलिए (-1) नहीं मिल सकता। चरण 3: चौथी घात वाले फलनों में \(t=x^2\) रखकर परास समझना आसान होता है।
This is an odd-degree polynomial with leading term \(x^3\).
Step 2
Why this answer is correct
As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
A continuous odd-degree polynomial from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is generally onto. चरण 1: यह विषम घात वाला बहुपद है जिसका अग्र पद \(x^3\) है। चरण 2: \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) की ओर जाता है। चरण 3: सतत विषम घात बहुपद \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) में सामान्यतः आच्छादक होता है।
A. यह सतत है और \(x\to\pm\infty\) पर मान भी \(\pm\infty\) की ओर जाते हैं/It is continuous and as \(x\to\pm\infty\), values go to \(\pm\infty\)
Step 1
Concept
\(x^3+x\) is continuous on all real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
For very large positive (x), values become very large positive, and for very large negative (x), values become very large negative.
Step 3
Exam Tip
Continuity with unbounded behavior on both sides ensures every real value is obtained. चरण 1: \(x^3+x\) सभी वास्तविक संख्याओं पर सतत है। चरण 2: बहुत बड़े धनात्मक (x) पर मान बहुत बड़ा धनात्मक और बहुत बड़े ऋणात्मक (x) पर बहुत बड़ा ऋणात्मक होता है। चरण 3: सततता और दोनों ओर असीम विस्तार से हर वास्तविक मान मिल जाता है।
