यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) जहाँ (f(x)=x-3 +1), तो (f) के लिए कौन सा कथन सही है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), where (f(x)=x-3 +1), which statement is correct for (f)?
#cubic function
#bijection
#onto real
A (f) एकैकी और आच्छादी है / (f) is one-one and onto
B (f) आच्छादी नहीं है / (f) is not onto
C (f) केवल धनात्मक मान देता है / (f) gives only positive values
D (f) केवल \([1,\infty\)) देता है / (f) gives only \([1,\infty\))
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Correct Answer
A. (f) एकैकी और आच्छादी है / (f) is one-one and onto
Step 1
Concept
\(x^3\) सभी वास्तविक मान लेता है। / \(x^3\) takes all real values.
Step 2
Why this answer is correct
\(x^3+1\) भी सभी वास्तविक मान लेता है, क्योंकि किसी भी (y) के लिए \(x=\sqrt[3]{y-1}\) मिल जाता है। / \(x^3+1\) also takes all real values, because for any (y), \(x=\sqrt[3]{y-1}\) works.
Step 3
Exam Tip
घन फलन में स्थानांतरण आच्छादिता नहीं बदलता। / A vertical shift of a cubic does not destroy onto behavior over \(\mathbb{R}\).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) जहाँ (f(x)=x-3 -3x), तो (f) के आच्छादी होने के बारे में सही कथन चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x-3 -3x), choose the correct statement about (f) being onto.
#onto function
#cubic function
#real functions
#expert mcq
A (f) आच्छादी है / (f) is onto
B (f) आच्छादी नहीं है / (f) is not onto
C (f) केवल धनात्मक मानों पर आच्छादी है / (f) is onto only for positive values
D (f) केवल ऋणात्मक मानों पर आच्छादी है / (f) is onto only for negative values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) आच्छादी है / (f) is onto
Step 1
Concept
\(x^3-3x\) एक विषम घात वाला बहुपद है। / \(x^3-3x\) is an odd degree polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) जाता है, इसलिए सभी वास्तविक मान मिलते हैं। / As \(x\to\infty\), its value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), its value goes to \(-\infty\), so all real values occur.
Step 3
Exam Tip
विषम घात वाले सतत बहुपदों में आच्छादिता जाँचते समय सिरों का व्यवहार देखें। / For odd degree continuous polynomials, check end behavior.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-3 ), तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-3 ), which statement about (f) is correct?
#onto function
#cubic function
#real numbers
#class 12
A (f) सर्वाच्छादक है / (f) is onto
B (f) सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / (f) is not onto because negative values are not obtained
C (f) सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि (0) नहीं मिलता / (f) is not onto because (0) is not obtained
D (f) केवल धनात्मक सहप्रांत पर परिभाषित है / (f) is defined only on positive codomain
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Correct Answer
A. (f) सर्वाच्छादक है / (f) is onto
Step 1
Concept
किसी भी वास्तविक (y) के लिए \(x=\sqrt[3]{y}\) वास्तविक होता है। / For any real (y), \(x=\sqrt[3]{y}\) is real.
Step 2
Why this answer is correct
तब (f(x)=\left\(\sqrt[3]{y}\right\)3 =y) मिल जाता है। / Then (f(x)=\left\(\sqrt[3]{y}\right\)3 =y).
Step 3
Exam Tip
विषम घात वाले सरल बहुपद अक्सर पूरे वास्तविक सहप्रांत को ढकते हैं। / Simple odd-power polynomial functions often cover the whole real codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) को (f(x)=x-3 -1) से परिभाषित किया गया है तो फलन कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x-3 -1), then what type of function is it?
#relations and functions
#onto function
#cubic function
A आच्छादक / Onto
B आच्छादक नहीं / Not onto
C केवल स्थिर / Constant only
D परिभाषित नहीं / Not defined
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Correct Answer
A. आच्छादक / Onto
Step 1
Concept
आच्छादक होने के लिए हर \(y\in\mathbb{R}\) के लिए कोई \(x\in\mathbb{R}\) मिलना चाहिए। / For onto, every \(y\in\mathbb{R}\) must have some preimage \(x\in\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(y=x^3-1\) से \(x=\sqrt[3]{y+1}\) मिलता है जो हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है। / From \(y=x^3-1\), we get \(x=\sqrt[3]{y+1}\), which is real for every real (y).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में घन फलनों का परास ध्यान से देखें क्योंकि वे अक्सर पूरे \(\mathbb{R}\) को ढकते हैं। / In exams, cubic functions often cover all real values.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 -x) है, तो (f) आच्छादी है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 -x), is (f) onto?
#relations-functions
#cubic-function
#onto-function
A हाँ, क्योंकि घन बहुपद का परास \(\mathbb{R}\) है / Yes, because this cubic polynomial has range \(\mathbb{R}\)
B नहीं, क्योंकि इसका परास \([0,\infty\)) है / No, because its range is \([0,\infty\))
C नहीं, क्योंकि यह केवल ऋणात्मक मान देता है / No, because it gives only negative values
D नहीं, क्योंकि (0) प्रतिबिंब नहीं बनता / No, because (0) is not an image
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Correct Answer
A. हाँ, क्योंकि घन बहुपद का परास \(\mathbb{R}\) है / Yes, because this cubic polynomial has range \(\mathbb{R}\)
Step 1
Concept
\(x^3-x\) सतत घन बहुपद है। / \(x^3-x\) is a continuous cubic polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) की ओर और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। इसलिए हर वास्तविक (y) के लिए कोई न कोई (x) मिलता है। / As \(x\to\infty\), its value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\). Therefore every real (y) is obtained.
Step 3
Exam Tip
विषम घात के प्रमुख पद वाले बहुपद अक्सर \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) पर आच्छादी होते हैं। / Polynomials with odd leading degree are often onto from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 -2) है, तो (f) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 -2), what is the correct conclusion about (f)?
#cubic function
#onto
#vertical shift
#preimage
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल धनात्मक मान देता है / It gives only positive values
D यह केवल (-2) मान देता है / It gives only (-2)
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x^3-2=y\) रखें। / For any \(y\in\mathbb{R}\), put \(x^3-2=y\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(x=\sqrt[3]{y+2}\) मिलता है, जो हर वास्तविक (y) के लिए मान्य है। / This gives \(x=\sqrt[3]{y+2}\), valid for every real (y).
Step 3
Exam Tip
घन फलन में ऊपर या नीचे खिसकाव होने पर भी आच्छादीपन बना रहता है। / A vertical shift of a cubic function remains onto \(\mathbb{R}\).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 +1) है, तो (f) के आच्छादी होने का सही कारण क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 +1), what is the correct reason that (f) is onto?
#cubic function
#onto
#preimage
#real numbers
A हर (y) के लिए \(x=\sqrt[3]{y-1}\) मिल जाता है / For every (y), \(x=\sqrt[3]{y-1}\) exists
B हर (y) के लिए \(x=y^2\) लेना पड़ता है / For every (y), one must take \(x=y^2\)
C इसका परास केवल धनात्मक है / Its range is only positive
D यह स्थिर फलन है / It is a constant function
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Correct Answer
A. हर (y) के लिए \(x=\sqrt[3]{y-1}\) मिल जाता है / For every (y), \(x=\sqrt[3]{y-1}\) exists
Step 1
Concept
(f(x)=y) रखने पर \(x^3+1=y\) मिलता है। / Put (f(x)=y), giving \(x^3+1=y\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(x=\sqrt[3]{y-1}\), जो हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है। / This gives \(x=\sqrt[3]{y-1}\), which is real for every real (y).
Step 3
Exam Tip
घन रूप में सभी वास्तविक मान प्राप्त हो सकते हैं। / A cubic form can obtain all real values.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 -12x+5) पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी क्यों नहीं है?
Why is \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 -12x+5), not one-one on all of \(\mathbb{R}\)?
#cubic function
#not one-one
#counterexample
#turning points
A क्योंकि (f(-4)=f(2)) / Because (f(-4)=f(2))
B क्योंकि (f(0)=f(1)) / Because (f(0)=f(1))
C क्योंकि (f(1)=f(3)) / Because (f(1)=f(3))
D क्योंकि (f(-1)=f(1)) / Because (f(-1)=f(1))
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Correct Answer
A. क्योंकि (f(-4)=f(2)) / Because (f(-4)=f(2))
Step 1
Concept
एकैकी न होने के लिए दो अलग इनपुटों का समान प्रतिबिंब दिखाना पर्याप्त है। / To show that a function is not one-one, it is enough to find two different inputs with the same image.
Step 2
Why this answer is correct
(f(-4)=-64+48+5=-11) और (f(2)=8-24+5=-11), जबकि \(-4\ne2\)। / (f(-4)=-64+48+5=-11) and (f(2)=8-24+5=-11), while \(-4\ne2\).
Step 3
Exam Tip
घन फलन में भी मोड़ होने पर समान मान मिल सकते हैं। / Even a cubic function can repeat values if it has turning points.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 -6x-2 +12x+1) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
What is the correct conclusion about \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 -6x-2 +12x+1)?
#cubic function
#one-one
#derivative
#transformation
A यह एकैकी है / It is one-one
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह केवल (x=2) पर परिभाषित है / It is defined only at (x=2)
D यह स्थिर फलन है / It is constant
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Correct Answer
A. यह एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
अवकलज (f'(x)=3x-2 -12x+12=3(x-2)2 ) है। / The derivative is (f'(x)=3x-2 -12x+12=3(x-2)2 ).
Step 2
Why this answer is correct
यह हर (x) पर (0) या धनात्मक है और फलन घटता नहीं है; वास्तव में (f(x)=(x-2)3 +9) है, जो एकैकी है। / It is zero or positive everywhere, and (f(x)=(x-2)3 +9), which is one-one.
Step 3
Exam Tip
घन रूप में बदलना कई बार अवकलज से भी साफ समाधान देता है। / Rewriting a cubic can sometimes give a clearer solution than derivative alone.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-3 +3x+2) है, तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-3 +3x+2), choose the correct statement about (f).
#increasing polynomial
#cubic function
#one-one function
#class 12
A (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
B (f) एक-एक है / (f) is one-one
C (f) स्थिर है / (f) is constant
D (f) केवल पूर्णांकों पर परिभाषित है / (f) is defined only on integers
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Correct Answer
B. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
\(x^3\) और (3x) दोनों बढ़ने वाले प्रभाव देते हैं। / Both \(x^3\) and (3x) contribute increasing behavior.
Step 2
Why this answer is correct
(x) बढ़ने पर \(x^3+3x+2\) लगातार बढ़ता है, इसलिए समान मान दो अलग आगतों पर नहीं आता। / As (x) increases, \(x^3+3x+2\) keeps increasing, so the same value does not occur at two different inputs.
Step 3
Exam Tip
लगातार बढ़ने वाला फलन हमेशा एक-एक होता है। / A strictly increasing function is always one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=2x-3 -5) है, तो (f) के लिए सही कथन चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=2x-3 -5), choose the correct statement about (f).
#cubic function
#transformation
#one-one function
#class 12
A (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
B (f) एक-एक है / (f) is one-one
C (f) स्थिर है / (f) is constant
D (f) (x=0) पर परिभाषित नहीं है / (f) is not defined at (x=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
\(2x^3-5\) घन फलन का रूपांतरण है। / \(2x^3-5\) is a transformation of the cube function.
Step 2
Why this answer is correct
\(2x_1^3-5=2x_2^3-5\) से \(x_1^3=x_2^3\), इसलिए \(x_1=x_2\)। / From \(2x_1^3-5=2x_2^3-5\), we get \(x_1^3=x_2^3\), so \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
घन फलन पर खिंचाव और स्थानांतरण करने से एक-एकता नहीं बदलती। / Stretching and shifting the cube function does not destroy injectivity.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) तथा (f(n)=n-3 ) है, तो (f) के लिए सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) and (f(n)=n-3 ), what is the correct statement about (f)?
#integer function
#cubic function
#injective function
#class 12
A (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
B (f(1)=f(-1))
C (f) स्थिर है / (f) is constant
D (f) एक-एक है / (f) is one-one
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Correct Answer
D. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
घन फलन पूर्णांकों पर क्रम बनाए रखता है। / The cube function preserves order on integers.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(n_1^3=n_2^3\), तो \(n_1=n_2\) ही होगा। / If \(n_1^3=n_2^3\), then \(n_1=n_2\).
Step 3
Exam Tip
विषम घात का यह सरल नियम पूर्णांकों पर एक-एक रहता है। / This simple odd-power rule remains one-one on integers.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-3 +x) है, तो (f) का स्वभाव क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-3 +x), what is the nature of (f)?
#increasing function
#cubic function
#one-one function
#class 12
A एक-एक नहीं / Not one-one
B एक-एक / One-one
C स्थिर / Constant
D केवल धनात्मक संख्याओं पर परिभाषित / Defined only on positive numbers
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Correct Answer
B. एक-एक / One-one
Step 1
Concept
\(x^3\) और (x) दोनों वास्तविक संख्याओं पर बढ़ने वाले प्रभाव देते हैं। / Both \(x^3\) and (x) contribute increasing behavior on real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(x_1<x_2\), तो \(x_1^3<x_2^3\) और इसलिए \(x_1^3+x_1<x_2^3+x_2\)। / If \(x_1<x_2\), then \(x_1^3<x_2^3\), so \(x_1^3+x_1<x_2^3+x_2\).
Step 3
Exam Tip
जो फलन लगातार बढ़ता है वह एक-एक होता है। / A strictly increasing function is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=2x-3 +1) है, तो (f) का स्वभाव क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=2x-3 +1), what is the nature of (f)?
#cubic function
#one-one function
#real functions
#hard
A एक-एक / One-one
B एक-एक नहीं / Not one-one
C केवल सम संख्याओं पर परिभाषित / Defined only on even numbers
D स्थिर / Constant
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Correct Answer
A. एक-एक / One-one
Step 1
Concept
घन फलन वास्तविक संख्याओं पर क्रम बनाए रखता है। / The cube function preserves order on real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(2x_1^3+1=2x_2^3+1\) से \(x_1^3=x_2^3\), इसलिए \(x_1=x_2\) मिलता है। / From \(2x_1^3+1=2x_2^3+1\), we get \(x_1^3=x_2^3\), so \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
विषम घात वाले सरल बढ़ते फलन अक्सर एक-एक होते हैं। / Simple increasing odd-power functions are often one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 -x), तो (f) एकैकी नहीं है। कौन-सा कारण सही है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 -x), then (f) is not one-one. Which reason is correct?
#one-one function
#cubic function
#counterexample
A (f(-1)=f(0)=f(1))
B (f(2)=f(3))
C (f(x)) परिभाषित नहीं है / (f(x)) is not defined
D (f) स्थिर है / (f) is constant
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f(-1)=f(0)=f(1))
Step 1
Concept
(f(x)=x-3 -x=x(x-1)(x+1))। / (f(x)=x-3 -x=x(x-1)(x+1)).
Step 2
Why this answer is correct
(f(-1)=0), (f(0)=0), और (f(1)=0), जबकि ये आगत अलग हैं। / (f(-1)=0), (f(0)=0), and (f(1)=0), while the inputs are different.
Step 3
Exam Tip
एक ही निर्गत के लिए कई आगत मिलें तो फलन एकैकी नहीं होता। / If many inputs give the same output, the function is not one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=2x-3 +1), तो एकैकी जाँच में (f(a)=f(b)) से क्या निष्कर्ष निकलेगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=2x-3 +1), what conclusion follows from (f(a)=f(b)) in a one-one test?
#one-one function
#proof method
#cubic function
A (a=b)
B (a=-b)
C (a+b=1)
D \(a^2=b\)
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Step 1
Concept
(f(a)=f(b)) लिखें। / Write (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
\(2a^3+1=2b^3+1\) से \(a^3=b^3\), इसलिए (a=b)। / \(2a^3+1=2b^3+1\) gives \(a^3=b^3\), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
यह तरीका लिखित परीक्षा में एकैकी सिद्ध करने का सबसे सुरक्षित तरीका है। / This is the safest method to prove one-one in written exams.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) इस प्रकार है कि (f(x)=x-3 -4), तो (f) कैसा फलन है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x-3 -4), what type of function is (f)?
#one-one function
#cubic function
#increasing function
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C केवल सम संख्याओं पर परिभाषित / Defined only on even numbers
D स्थिर फलन / Constant function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
मान लें (f(a)=f(b))। / Assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
\(a^3-4=b^3-4\) से \(a^3=b^3\), इसलिए (a=b)। / \(a^3-4=b^3-4\) gives \(a^3=b^3\), hence (a=b).
Step 3
Exam Tip
\(x^3\) जैसा बढ़ता फलन वास्तविक संख्याओं पर एकैकी रहता है। / A strictly increasing function like \(x^3\) remains one-one on real numbers.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-3 -x) है, तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-3 -x), choose the correct statement about (f).
#cubic-function
#not-one-one
#counterexample
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C सदैव धनात्मक है / Always positive
D नियत फलन है / Constant function
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
दो अलग आगतों पर मान जांचें। / Test values at two different inputs.
Step 2
Why this answer is correct
(f(-1)=0), (f(0)=0) और \(-1\neq 0\)। / (f(-1)=0), (f(0)=0), and \(-1\neq 0\).
Step 3
Exam Tip
घन वाला हर फलन अपने आप एकैकी नहीं होता, उदाहरण जांचना जरूरी है। / Not every cubic expression is automatically one-one, so checking examples is important.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=2x-3 -5) है, तो (f) का एकैकीपन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=2x-3 -5), what is the one-one nature of (f)?
#cubic-function
#injective
#one-one-test
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C सिर्फ सम फलन है / Only even function
D नियत फलन है / Constant function
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
मान लें (f(a)=f(b))। / Assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
\(2a^3-5=2b^3-5\) से \(a^3=b^3\), इसलिए (a=b)। / From \(2a^3-5=2b^3-5\), we get \(a^3=b^3\), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
घन फलन में गुणा और स्थिर संख्या जोड़ने से एकैकीपन बना रहता है। / Multiplying a cubic function and adding a constant preserves one-one nature.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-3 +2) है, तो (f) के लिए सही विकल्प चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-3 +2), choose the correct option for (f).
#cubic-function
#translation
#one-one-function
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल सम फलन है / Only even function
D नियत फलन है / Constant function
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
मान लें (f(a)=f(b))। / Assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
\(a^3+2=b^3+2\) से \(a^3=b^3\), इसलिए (a=b)। / From \(a^3+2=b^3+2\), we get \(a^3=b^3\), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
किसी एकैकी फलन में समान संख्या जोड़ने से एकैकीपन नहीं बदलता। / Adding a constant to a one-one function does not change one-one nature.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-3 ) है, तो (f) के लिए सही विकल्प चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-3 ), choose the correct option for (f).
#cubic-function
#one-one-function
#increasing-function
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल धनात्मक मानों पर परिभाषित है / Defined only for positive values
D नियत फलन है / Constant function
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
मान लें (f(a)=f(b))। / Assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
तब \(a^3=b^3\), जिससे वास्तविक संख्याओं में (a=b) मिलता है। / Then \(a^3=b^3\), which gives (a=b) for real numbers.
Step 3
Exam Tip
घन फलन पूरे \(\mathbb{R}\) पर बढ़ता है, इसलिए वह एकैकी होता है। / The cube function is increasing on \(\mathbb{R}\), so it is one-one.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 ) की एकैकीता के बारे में सही विकल्प चुनिए।
Choose the correct option about the one-one nature of \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 ).
#relations-functions
#one-one-function
#cubic-function
#injective
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है क्योंकि \(x^3\) में घात विषम है / It is not one-one because the power is odd
C केवल शून्य पर परिभाषित है / Defined only at zero
D स्थिर फलन है / It is constant
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
\(x^3\) बढ़ता हुआ फलन है। / \(x^3\) is an increasing function.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a^3=b^3\) तो (a=b) ही होगा। / If \(a^3=b^3\), then (a=b).
Step 3
Exam Tip
पूरे वास्तविक समुच्चय पर \(x^3\) एकैकी का अच्छा उदाहरण है। / On the whole real set, \(x^3\) is a good example of a one-one function.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-3 +x+2) हो तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-3 +x+2), which statement about (f) is correct?
#one-one-function
#cubic-function
#increasing-function
A यह एकैकी है / It is one-one
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह स्थिर है / It is constant
D यह केवल पूर्णांकों पर परिभाषित है / It is defined only on integers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
\(x^3+x+2\) में (x) बढ़ने पर मान लगातार बढ़ता है। / The value of \(x^3+x+2\) increases continuously as (x) increases.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a>b) हो तो (a-3 -b-3 +(a-b)>0), इसलिए (f(a)>f(b))। / If (a>b), then (a-3 -b-3 +(a-b)>0), so (f(a)>f(b)).
Step 3
Exam Tip
लगातार बढ़ता हुआ फलन एकैकी होता है। / A strictly increasing function is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) तथा (f(n)=n-3 ) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) and (f(n)=n-3 ), what type of function is (f)?
#one-one-function
#integer-function
#cubic-function
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
अलग पूर्णांकों के घन अलग होते हैं। / Cubes of different integers are different.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a^3=b^3\) हो तो (a=b) होगा। / If \(a^3=b^3\), then (a=b).
Step 3
Exam Tip
विषम घात का मूल घन फलन पूर्णांकों पर एकैकी है। / The basic odd-power cubic function is one-one on integers.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-3 +2x) हो तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-3 +2x), which statement about (f) is correct?
#one-one-function
#cubic-function
#increasing-function
A यह एकैकी है / It is one-one
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह स्थिर है / It is constant
D यह केवल धनात्मक प्रांत पर परिभाषित है / It is defined only on positive domain
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
\(x^3+2x\) बढ़ने वाला फलन है। / \(x^3+2x\) is an increasing function.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a>b) हो तो (a-3 -b-3 +2(a-b)>0), इसलिए (f(a)>f(b))। / If (a>b), then (a-3 -b-3 +2(a-b)>0), so (f(a)>f(b)).
Step 3
Exam Tip
लगातार बढ़ता फलन एकैकी होता है। / A strictly increasing function is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=5-x-3 ) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=5-x-3 ), what type of function is (f)?
#one-one-function
#decreasing-function
#cubic-function
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D मापांक फलन / Modulus function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
\(x^3\) बढ़ता है इसलिए \(-x^3\) घटता है। / \(x^3\) increases, so \(-x^3\) decreases.
Step 2
Why this answer is correct
\(5-x^3\) भी घटता हुआ फलन है और अलग आगतों पर अलग मान देता है। / \(5-x^3\) is decreasing and gives different outputs for different inputs.
Step 3
Exam Tip
लगातार घटता फलन भी एकैकी होता है। / A strictly decreasing function is also one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-3 +4x) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-3 +4x), what type of function is (f)?
#one-one-function
#increasing-function
#cubic-function
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D सम फलन / Even function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
यह फलन (x) बढ़ने पर लगातार बढ़ता है। / This function increases continuously as (x) increases.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a>b) हो तो \(a^3+4a\) भी \(b^3+4b\) से बड़ा होता है। / If (a>b), then \(a^3+4a\) is greater than \(b^3+4b\).
Step 3
Exam Tip
लगातार बढ़ता फलन एकैकी होता है। / A strictly increasing function is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) और (f(n)=n-3 +5) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) and (f(n)=n-3 +5), what type of function is (f)?
#one-one-function
#integers
#cubic-function
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
अलग पूर्णांकों के घन अलग होते हैं। / Cubes of different integers are different.
Step 2
Why this answer is correct
उनमें (5) जोड़ने से अलगपन बना रहता है। / Adding (5) preserves that difference.
Step 3
Exam Tip
सरल घन फलन और उसका स्थानांतरण एकैकीपन बनाए रखते हैं। / A basic cubic function and its translation keep the one-one property.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 +2), तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 +2), what type is (f)?
#one-one function
#cubic function
#shift
#class 12
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
\(x^3\) पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी है। / \(x^3\) is one-one on all \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
(2) जोड़ने से सभी निर्गत समान मात्रा से बदलते हैं, पर दो अलग निवेश समान नहीं बनते। / Adding (2) shifts all outputs equally, but it does not make two different inputs equal.
Step 3
Exam Tip
घन फलन में स्थिर जोड़ने से एकैकीता बनी रहती है। / Adding a constant to a cube function keeps it one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=2x-3 -1) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=2x-3 -1), what type of function is (f)?
#one-one-function
#cubic-function
#transformation
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
\(x^3\) अलग वास्तविक आगतों पर अलग मान देता है। / \(x^3\) gives different values for different real inputs.
Step 2
Why this answer is correct
(2) से गुणा और (1) घटाने पर समानता की प्रकृति नहीं बदलती। / Multiplying by (2) and subtracting (1) does not change the equality pattern.
Step 3
Exam Tip
सरल घन फलन के रैखिक रूपांतरण भी एकैकी रहते हैं। / Linear transformations of a basic cubic function remain one-one.
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