A. (f) एकैकी और आच्छादी है/(f) is one-one and onto
Step 1
Concept
\(x^3\) takes all real values.
Step 2
Why this answer is correct
\(x^3+1\) also takes all real values, because for any (y), \(x=\sqrt[3]{y-1}\) works.
Step 3
Exam Tip
A vertical shift of a cubic does not destroy onto behavior over \(\mathbb{R}\). चरण 1: \(x^3\) सभी वास्तविक मान लेता है। चरण 2: \(x^3+1\) भी सभी वास्तविक मान लेता है, क्योंकि किसी भी (y) के लिए \(x=\sqrt[3]{y-1}\) मिल जाता है। चरण 3: घन फलन में स्थानांतरण आच्छादिता नहीं बदलता।
As \(x\to\infty\), its value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), its value goes to \(-\infty\), so all real values occur.
Step 3
Exam Tip
For odd degree continuous polynomials, check end behavior. चरण 1: \(x^3-3x\) एक विषम घात वाला बहुपद है। चरण 2: \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) जाता है, इसलिए सभी वास्तविक मान मिलते हैं। चरण 3: विषम घात वाले सतत बहुपदों में आच्छादिता जाँचते समय सिरों का व्यवहार देखें।
Simple odd-power polynomial functions often cover the whole real codomain. चरण 1: किसी भी वास्तविक (y) के लिए \(x=\sqrt[3]{y}\) वास्तविक होता है। चरण 2: तब (f(x)=\left\(\sqrt[3]{y}\right\)3=y) मिल जाता है। चरण 3: विषम घात वाले सरल बहुपद अक्सर पूरे वास्तविक सहप्रांत को ढकते हैं।
For onto, every \(y\in\mathbb{R}\) must have some preimage \(x\in\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
From \(y=x^3-1\), we get \(x=\sqrt[3]{y+1}\), which is real for every real (y).
Step 3
Exam Tip
In exams, cubic functions often cover all real values. चरण 1: आच्छादक होने के लिए हर \(y\in\mathbb{R}\) के लिए कोई \(x\in\mathbb{R}\) मिलना चाहिए। चरण 2: \(y=x^3-1\) से \(x=\sqrt[3]{y+1}\) मिलता है जो हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है। चरण 3: परीक्षा में घन फलनों का परास ध्यान से देखें क्योंकि वे अक्सर पूरे \(\mathbb{R}\) को ढकते हैं।
A. हाँ, क्योंकि घन बहुपद का परास \(\mathbb{R}\) है/Yes, because this cubic polynomial has range \(\mathbb{R}\)
Step 1
Concept
\(x^3-x\) is a continuous cubic polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
As \(x\to\infty\), its value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\). Therefore every real (y) is obtained.
Step 3
Exam Tip
Polynomials with odd leading degree are often onto from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\). चरण 1: \(x^3-x\) सतत घन बहुपद है। चरण 2: \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) की ओर और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। इसलिए हर वास्तविक (y) के लिए कोई न कोई (x) मिलता है। चरण 3: विषम घात के प्रमुख पद वाले बहुपद अक्सर \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) पर आच्छादी होते हैं।
This gives \(x=\sqrt[3]{y+2}\), valid for every real (y).
Step 3
Exam Tip
A vertical shift of a cubic function remains onto \(\mathbb{R}\). चरण 1: किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x^3-2=y\) रखें। चरण 2: इससे \(x=\sqrt[3]{y+2}\) मिलता है, जो हर वास्तविक (y) के लिए मान्य है। चरण 3: घन फलन में ऊपर या नीचे खिसकाव होने पर भी आच्छादीपन बना रहता है।
A. हर (y) के लिए \(x=\sqrt[3]{y-1}\) मिल जाता है/For every (y), \(x=\sqrt[3]{y-1}\) exists
Step 1
Concept
Put (f(x)=y), giving \(x^3+1=y\).
Step 2
Why this answer is correct
This gives \(x=\sqrt[3]{y-1}\), which is real for every real (y).
Step 3
Exam Tip
A cubic form can obtain all real values. चरण 1: (f(x)=y) रखने पर \(x^3+1=y\) मिलता है। चरण 2: इससे \(x=\sqrt[3]{y-1}\), जो हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है। चरण 3: घन रूप में सभी वास्तविक मान प्राप्त हो सकते हैं।
To show that a function is not one-one, it is enough to find two different inputs with the same image.
Step 2
Why this answer is correct
(f(-4)=-64+48+5=-11) and (f(2)=8-24+5=-11), while \(-4\ne2\).
Step 3
Exam Tip
Even a cubic function can repeat values if it has turning points. चरण 1: एकैकी न होने के लिए दो अलग इनपुटों का समान प्रतिबिंब दिखाना पर्याप्त है। चरण 2: (f(-4)=-64+48+5=-11) और (f(2)=8-24+5=-11), जबकि \(-4\ne2\)। चरण 3: घन फलन में भी मोड़ होने पर समान मान मिल सकते हैं।
It is zero or positive everywhere, and (f(x)=(x-2)3+9), which is one-one.
Step 3
Exam Tip
Rewriting a cubic can sometimes give a clearer solution than derivative alone. चरण 1: अवकलज (f'(x)=3x-2-12x+12=3(x-2)2) है। चरण 2: यह हर (x) पर (0) या धनात्मक है और फलन घटता नहीं है; वास्तव में (f(x)=(x-2)3+9) है, जो एकैकी है। चरण 3: घन रूप में बदलना कई बार अवकलज से भी साफ समाधान देता है।
Both \(x^3\) and (3x) contribute increasing behavior.
Step 2
Why this answer is correct
As (x) increases, \(x^3+3x+2\) keeps increasing, so the same value does not occur at two different inputs.
Step 3
Exam Tip
A strictly increasing function is always one-one. चरण 1: \(x^3\) और (3x) दोनों बढ़ने वाले प्रभाव देते हैं। चरण 2: (x) बढ़ने पर \(x^3+3x+2\) लगातार बढ़ता है, इसलिए समान मान दो अलग आगतों पर नहीं आता। चरण 3: लगातार बढ़ने वाला फलन हमेशा एक-एक होता है।
\(2x^3-5\) is a transformation of the cube function.
Step 2
Why this answer is correct
From \(2x_1^3-5=2x_2^3-5\), we get \(x_1^3=x_2^3\), so \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
Stretching and shifting the cube function does not destroy injectivity. चरण 1: \(2x^3-5\) घन फलन का रूपांतरण है। चरण 2: \(2x_1^3-5=2x_2^3-5\) से \(x_1^3=x_2^3\), इसलिए \(x_1=x_2\)। चरण 3: घन फलन पर खिंचाव और स्थानांतरण करने से एक-एकता नहीं बदलती।
This simple odd-power rule remains one-one on integers. चरण 1: घन फलन पूर्णांकों पर क्रम बनाए रखता है। चरण 2: यदि \(n_1^3=n_2^3\), तो \(n_1=n_2\) ही होगा। चरण 3: विषम घात का यह सरल नियम पूर्णांकों पर एक-एक रहता है।
Both \(x^3\) and (x) contribute increasing behavior on real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
If \(x_1<x_2\), then \(x_1^3<x_2^3\), so \(x_1^3+x_1<x_2^3+x_2\).
Step 3
Exam Tip
A strictly increasing function is one-one. चरण 1: \(x^3\) और (x) दोनों वास्तविक संख्याओं पर बढ़ने वाले प्रभाव देते हैं। चरण 2: यदि \(x_1<x_2\), तो \(x_1^3<x_2^3\) और इसलिए \(x_1^3+x_1<x_2^3+x_2\)। चरण 3: जो फलन लगातार बढ़ता है वह एक-एक होता है।
The cube function preserves order on real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
From \(2x_1^3+1=2x_2^3+1\), we get \(x_1^3=x_2^3\), so \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
Simple increasing odd-power functions are often one-one. चरण 1: घन फलन वास्तविक संख्याओं पर क्रम बनाए रखता है। चरण 2: \(2x_1^3+1=2x_2^3+1\) से \(x_1^3=x_2^3\), इसलिए \(x_1=x_2\) मिलता है। चरण 3: विषम घात वाले सरल बढ़ते फलन अक्सर एक-एक होते हैं।
(f(-1)=0), (f(0)=0), and (f(1)=0), while the inputs are different.
Step 3
Exam Tip
If many inputs give the same output, the function is not one-one. चरण 1: (f(x)=x-3-x=x(x-1)(x+1))। चरण 2: (f(-1)=0), (f(0)=0), और (f(1)=0), जबकि ये आगत अलग हैं। चरण 3: एक ही निर्गत के लिए कई आगत मिलें तो फलन एकैकी नहीं होता।
This is the safest method to prove one-one in written exams. चरण 1: (f(a)=f(b)) लिखें। चरण 2: \(2a^3+1=2b^3+1\) से \(a^3=b^3\), इसलिए (a=b)। चरण 3: यह तरीका लिखित परीक्षा में एकैकी सिद्ध करने का सबसे सुरक्षित तरीका है।
A strictly increasing function like \(x^3\) remains one-one on real numbers. चरण 1: मान लें (f(a)=f(b))। चरण 2: \(a^3-4=b^3-4\) से \(a^3=b^3\), इसलिए (a=b)। चरण 3: \(x^3\) जैसा बढ़ता फलन वास्तविक संख्याओं पर एकैकी रहता है।
Not every cubic expression is automatically one-one, so checking examples is important. चरण 1: दो अलग आगतों पर मान जांचें। चरण 2: (f(-1)=0), (f(0)=0) और \(-1\neq 0\)। चरण 3: घन वाला हर फलन अपने आप एकैकी नहीं होता, उदाहरण जांचना जरूरी है।
From \(2a^3-5=2b^3-5\), we get \(a^3=b^3\), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
Multiplying a cubic function and adding a constant preserves one-one nature. चरण 1: मान लें (f(a)=f(b))। चरण 2: \(2a^3-5=2b^3-5\) से \(a^3=b^3\), इसलिए (a=b)। चरण 3: घन फलन में गुणा और स्थिर संख्या जोड़ने से एकैकीपन बना रहता है।
From \(a^3+2=b^3+2\), we get \(a^3=b^3\), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
Adding a constant to a one-one function does not change one-one nature. चरण 1: मान लें (f(a)=f(b))। चरण 2: \(a^3+2=b^3+2\) से \(a^3=b^3\), इसलिए (a=b)। चरण 3: किसी एकैकी फलन में समान संख्या जोड़ने से एकैकीपन नहीं बदलता।
Then \(a^3=b^3\), which gives (a=b) for real numbers.
Step 3
Exam Tip
The cube function is increasing on \(\mathbb{R}\), so it is one-one. चरण 1: मान लें (f(a)=f(b))। चरण 2: तब \(a^3=b^3\), जिससे वास्तविक संख्याओं में (a=b) मिलता है। चरण 3: घन फलन पूरे \(\mathbb{R}\) पर बढ़ता है, इसलिए वह एकैकी होता है।
On the whole real set, \(x^3\) is a good example of a one-one function. चरण 1: \(x^3\) बढ़ता हुआ फलन है। चरण 2: यदि \(a^3=b^3\) तो (a=b) ही होगा। चरण 3: पूरे वास्तविक समुच्चय पर \(x^3\) एकैकी का अच्छा उदाहरण है।
The value of \(x^3+x+2\) increases continuously as (x) increases.
Step 2
Why this answer is correct
If (a>b), then (a-3-b-3+(a-b)>0), so (f(a)>f(b)).
Step 3
Exam Tip
A strictly increasing function is one-one. चरण 1: \(x^3+x+2\) में (x) बढ़ने पर मान लगातार बढ़ता है। चरण 2: यदि (a>b) हो तो (a-3-b-3+(a-b)>0), इसलिए (f(a)>f(b))। चरण 3: लगातार बढ़ता हुआ फलन एकैकी होता है।
The basic odd-power cubic function is one-one on integers. चरण 1: अलग पूर्णांकों के घन अलग होते हैं। चरण 2: यदि \(a^3=b^3\) हो तो (a=b) होगा। चरण 3: विषम घात का मूल घन फलन पूर्णांकों पर एकैकी है।
If (a>b), then (a-3-b-3+2(a-b)>0), so (f(a)>f(b)).
Step 3
Exam Tip
A strictly increasing function is one-one. चरण 1: \(x^3+2x\) बढ़ने वाला फलन है। चरण 2: यदि (a>b) हो तो (a-3-b-3+2(a-b)>0), इसलिए (f(a)>f(b))। चरण 3: लगातार बढ़ता फलन एकैकी होता है।
\(5-x^3\) is decreasing and gives different outputs for different inputs.
Step 3
Exam Tip
A strictly decreasing function is also one-one. चरण 1: \(x^3\) बढ़ता है इसलिए \(-x^3\) घटता है। चरण 2: \(5-x^3\) भी घटता हुआ फलन है और अलग आगतों पर अलग मान देता है। चरण 3: लगातार घटता फलन भी एकैकी होता है।
This function increases continuously as (x) increases.
Step 2
Why this answer is correct
If (a>b), then \(a^3+4a\) is greater than \(b^3+4b\).
Step 3
Exam Tip
A strictly increasing function is one-one. चरण 1: यह फलन (x) बढ़ने पर लगातार बढ़ता है। चरण 2: यदि (a>b) हो तो \(a^3+4a\) भी \(b^3+4b\) से बड़ा होता है। चरण 3: लगातार बढ़ता फलन एकैकी होता है।
A basic cubic function and its translation keep the one-one property. चरण 1: अलग पूर्णांकों के घन अलग होते हैं। चरण 2: उनमें (5) जोड़ने से अलगपन बना रहता है। चरण 3: सरल घन फलन और उसका स्थानांतरण एकैकीपन बनाए रखते हैं।
Adding (2) shifts all outputs equally, but it does not make two different inputs equal.
Step 3
Exam Tip
Adding a constant to a cube function keeps it one-one. चरण 1: \(x^3\) पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी है। चरण 2: (2) जोड़ने से सभी निर्गत समान मात्रा से बदलते हैं, पर दो अलग निवेश समान नहीं बनते। चरण 3: घन फलन में स्थिर जोड़ने से एकैकीता बनी रहती है।
\(x^3\) gives different values for different real inputs.
Step 2
Why this answer is correct
Multiplying by (2) and subtracting (1) does not change the equality pattern.
Step 3
Exam Tip
Linear transformations of a basic cubic function remain one-one. चरण 1: \(x^3\) अलग वास्तविक आगतों पर अलग मान देता है। चरण 2: (2) से गुणा और (1) घटाने पर समानता की प्रकृति नहीं बदलती। चरण 3: सरल घन फलन के रैखिक रूपांतरण भी एकैकी रहते हैं।
