फलन \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) जहाँ (f(n)=2n+1), आच्छादी है या नहीं?
Is the function \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), where (f(n)=2n+1), onto or not?
#integer function
#not onto
#parity
#relations functions
A नहीं क्योंकि केवल विषम पूर्णांक मिलते हैं / No because only odd integers are obtained
B हाँ क्योंकि हर पूर्णांक मिलता है / Yes because every integer is obtained
C हाँ क्योंकि (2n+1) सदैव पूर्णांक है / Yes because (2n+1) is always an integer
D नहीं क्योंकि कोई विषम पूर्णांक नहीं मिलता / No because no odd integer is obtained
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Correct Answer
A. नहीं क्योंकि केवल विषम पूर्णांक मिलते हैं / No because only odd integers are obtained
Step 1
Concept
(2n+1) हमेशा विषम पूर्णांक होता है। / (2n+1) is always an odd integer.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) में सम पूर्णांक भी हैं, जो प्रतिबिंब नहीं बनते। / The codomain \(\mathbb{Z}\) also contains even integers, which are not images.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों पर आच्छादिता में सम-विषम जाँच बहुत उपयोगी है। / For integer functions, parity checks are very useful for onto questions.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n+5) है, तो (f) के बारे में सही विकल्प चुनिए।
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n+5), choose the correct option about (f).
#relations-functions
#integer-function
#onto-function
A आच्छादी और एकैकी / Onto and one-one
B केवल आच्छादी / Onto only
C केवल एकैकी / One-one only
D न आच्छादी न एकैकी / Neither onto nor one-one
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Correct Answer
A. आच्छादी और एकैकी / Onto and one-one
Step 1
Concept
किसी भी पूर्णांक (y) के लिए (y=n+5) रखें। / For any integer (y), put (y=n+5).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (n=y-5), जो फिर से पूर्णांक है। इसलिए हर (y) का पूर्वप्रतिबिंब है और फलन आच्छादी है। साथ ही अलग (n) अलग (n+5) देते हैं। / Then (n=y-5), which is also an integer. So every (y) has a preimage and the function is onto. Different (n) values also give different images.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों में जोड़ या घटाव वाले फलन अक्सर आच्छादी होते हैं। / Addition or subtraction functions on integers are often onto.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n-3 ) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n-3 ), why is (f) not onto?
#integer function
#not onto
#cube
#range
A क्योंकि (2) जैसा पूर्णांक नहीं मिलता / Because an integer like (2) is not obtained
B क्योंकि (1) नहीं मिलता / Because (1) is not obtained
C क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
D क्योंकि ऋणात्मक पूर्णांक नहीं मिलते / Because negative integers are not obtained
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Correct Answer
A. क्योंकि (2) जैसा पूर्णांक नहीं मिलता / Because an integer like (2) is not obtained
Step 1
Concept
\(n^3\) हमेशा पूर्ण घन होता है। / \(n^3\) is always a perfect cube.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) में (2) है, लेकिन कोई पूर्णांक (n) ऐसा नहीं कि \(n^3=2\)। / The codomain \(\mathbb{Z}\) contains (2), but no integer (n) satisfies \(n^3=2\).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक प्रांत में घात फलन सभी पूर्णांक नहीं देता। / On an integer domain, a power function does not necessarily give all integers.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=4n+1) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=4n+1), why is (f) not onto?
#integer function
#not onto
#remainder
#range
A क्योंकि (2) जैसा पूर्णांक नहीं मिलता / Because an integer like (2) is not obtained
B क्योंकि (1) नहीं मिलता / Because (1) is not obtained
C क्योंकि (5) नहीं मिलता / Because (5) is not obtained
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
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Correct Answer
A. क्योंकि (2) जैसा पूर्णांक नहीं मिलता / Because an integer like (2) is not obtained
Step 1
Concept
(4n+1) हमेशा ऐसा पूर्णांक देता है जो (4) से भाग देने पर शेष (1) देता है। / (4n+1) always gives an integer leaving remainder (1) when divided by (4).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) में (2) है, जो इस रूप में नहीं आता। / The codomain \(\mathbb{Z}\) contains (2), which is not of this form.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक फलनों में शेषफल का विचार बहुत उपयोगी है। / Remainder patterns are useful in integer-function onto questions.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n-8) है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n-8), which statement is correct about (f)?
#integer function
#onto
#shift function
#preimage
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल ऋणात्मक मान देता है / It gives only negative values
D यह केवल सम मान देता है / It gives only even values
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
सहप्रांत का कोई भी \(y\in\mathbb{Z}\) लें। / Take any \(y\in\mathbb{Z}\) from the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
(n=y+8) भी पूर्णांक है और (f(n)=y) हो जाता है। / (n=y+8) is also an integer and (f(n)=y).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों पर निश्चित संख्या घटाने वाला फलन सभी पूर्णांक ढकता है। / A fixed shift on integers covers all integers.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=3n) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=3n), why is (f) not onto?
#integer function
#not onto
#multiples
#codomain
A क्योंकि (1) जैसा पूर्णांक नहीं मिलता / Because an integer like (1) is not obtained
B क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
C क्योंकि (3) नहीं मिलता / Because (3) is not obtained
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
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Correct Answer
A. क्योंकि (1) जैसा पूर्णांक नहीं मिलता / Because an integer like (1) is not obtained
Step 1
Concept
(3n) हमेशा (3) का गुणज होता है। / (3n) is always a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) में (1) है, जो (3n) के रूप में नहीं लिखा जा सकता। / The codomain \(\mathbb{Z}\) contains (1), which cannot be written as (3n).
Step 3
Exam Tip
गुणजों वाले फलन में छूटे हुए पूर्णांकों को देखें। / For multiple-based functions, look for integers that are missed.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n+4) है, तो सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n+4), which statement is correct?
#integer function
#onto
#shift function
#preimage
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल सम मान देता है / It gives only even values
D यह केवल धनात्मक मान देता है / It gives only positive values
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
सहप्रांत का कोई भी \(y\in\mathbb{Z}\) लें। / Take any \(y\in\mathbb{Z}\) from the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
(n=y-4) भी पूर्णांक है और (f(n)=y) हो जाता है। / (n=y-4) is also an integer and (f(n)=y).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों पर जोड़ वाला फलन सभी पूर्णांक मान प्राप्त कर सकता है। / A shift function on integers can obtain every integer value.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=2n) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=2n), why is (f) not onto?
#integer function
#not onto
#even numbers
#range
A क्योंकि विषम पूर्णांक नहीं मिलते / Because odd integers are not obtained
B क्योंकि सम पूर्णांक नहीं मिलते / Because even integers are not obtained
C क्योंकि शून्य नहीं मिलता / Because zero is not obtained
D क्योंकि यह परिभाषित नहीं है / Because it is not defined
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Correct Answer
A. क्योंकि विषम पूर्णांक नहीं मिलते / Because odd integers are not obtained
Step 1
Concept
(2n) हमेशा सम पूर्णांक होता है। / (2n) is always an even integer.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) में (1) जैसे विषम पूर्णांक भी हैं, जो परास में नहीं आते। / The codomain \(\mathbb{Z}\) contains odd integers such as (1), which are not in the range.
Step 3
Exam Tip
आच्छादी जांचते समय छूटे हुए प्रकार के मान खोजें। / While testing onto nature, look for types of values that are missing.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n-3 -n) है, तो (f) एकैकी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n-3 -n), why is (f) not one-one?
#integer function
#not one-one
#counterexample
#cubic polynomial
A क्योंकि (f(0)=f(1)) / Because (f(0)=f(1))
B क्योंकि (f(1)=f(2)) / Because (f(1)=f(2))
C क्योंकि (f(-1)=f(2)) / Because (f(-1)=f(2))
D क्योंकि (f(2)=f(3)) / Because (f(2)=f(3))
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Correct Answer
A. क्योंकि (f(0)=f(1)) / Because (f(0)=f(1))
Step 1
Concept
एकैकी न होने के लिए दो अलग पूर्णांक खोजें जिनका मान समान हो। / To prove not one-one, find two different integers with the same image.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0) और (f(1)=1-1=0), जबकि \(0\ne1\)। / (f(0)=0) and (f(1)=1-1=0), while \(0\ne1\).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक प्रांत पर छोटे मानों की जांच तेज तरीका है। / On an integer domain, checking small values is a quick method.
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फलन \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n-2 ) के लिए सही कथन क्या है?
What is the correct statement for \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n-2 )?
#integer function
#square function
#not one-one
#counterexample
A यह एकैकी है / It is one-one
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह फलन नहीं है / It is not a function
D इसका परास खाली है / Its range is empty
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Correct Answer
B. यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
पूर्णांकों में (1) और (-1) दोनों मौजूद हैं। / Both (1) and (-1) are present in integers.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=1) और (f(-1)=1), लेकिन \(1\ne -1\)। / (f(1)=1) and (f(-1)=1), but \(1\ne -1\).
Step 3
Exam Tip
वर्ग फलन सममित होता है, इसलिए बड़े प्रांत पर सामान्यतः एकैकी नहीं होता। / The square function is symmetric, so it is generally not one-one on a large symmetric domain.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) तथा (f(n)=|n|) है, तो (f) एक-एक क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) and (f(n)=|n|), why is (f) not one-one?
#absolute value
#integer function
#counterexample
#one-one function
A क्योंकि (f(0)) परिभाषित नहीं है / Because (f(0)) is not defined
B क्योंकि हर मान ऋणात्मक है / Because every value is negative
C क्योंकि (f(2)=f(-2)) / Because (f(2)=f(-2))
D क्योंकि (f(1)\neq f(-1)) / Because (f(1)\neq f(-1))
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Correct Answer
C. क्योंकि (f(2)=f(-2)) / Because (f(2)=f(-2))
Step 1
Concept
निरपेक्ष मान विपरीत पूर्णांकों को समान मान देता है। / Absolute value gives the same value for opposite integers.
Step 2
Why this answer is correct
\(2\neq-2\), लेकिन (|2|=2) और (|-2|=2)। / \(2\neq-2\), but (|2|=2) and (|-2|=2).
Step 3
Exam Tip
एक समान प्रतिबिंब मिलते ही एक-एकता टूट जाती है। / One repeated image is enough to break injectivity.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) तथा (f(n)=n-3 ) है, तो (f) के लिए सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) and (f(n)=n-3 ), what is the correct statement about (f)?
#integer function
#cubic function
#injective function
#class 12
A (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
B (f(1)=f(-1))
C (f) स्थिर है / (f) is constant
D (f) एक-एक है / (f) is one-one
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Correct Answer
D. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
घन फलन पूर्णांकों पर क्रम बनाए रखता है। / The cube function preserves order on integers.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(n_1^3=n_2^3\), तो \(n_1=n_2\) ही होगा। / If \(n_1^3=n_2^3\), then \(n_1=n_2\).
Step 3
Exam Tip
विषम घात का यह सरल नियम पूर्णांकों पर एक-एक रहता है। / This simple odd-power rule remains one-one on integers.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) तथा (f(n)=2n+1) है, तो (f) के लिए सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) and (f(n)=2n+1), what is the correct statement about (f)?
#integer function
#linear rule
#one-one function
#class 12
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) हर (n) पर समान मान देता है / (f) gives the same value for every (n)
D (f) केवल सम मान देता है / (f) gives only even values
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Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
(2n+1) एक रैखिक नियम है। / (2n+1) is a linear rule.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(2n_1+1=2n_2+1\), तो \(n_1=n_2\) मिलता है। / If \(2n_1+1=2n_2+1\), then \(n_1=n_2\).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों पर भी शून्येतर गुणांक वाला रैखिक फलन एक-एक होता है। / A linear function with non-zero coefficient is one-one on integers too.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) तथा (f(n)=n-2 ) है, तो (f) एक-एक क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) and (f(n)=n-2 ), why is (f) not one-one?
#integer function
#square function
#counterexample
#class 12
A क्योंकि (f(2)=f(-2)) / Because (f(2)=f(-2))
B क्योंकि (f(2)\neq f(-2)) / Because (f(2)\neq f(-2))
C क्योंकि (f(0)) परिभाषित नहीं है / Because (f(0)) is not defined
D क्योंकि यह स्थिर है / Because it is constant
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (f(2)=f(-2)) / Because (f(2)=f(-2))
Step 1
Concept
पूर्णांकों में (2) और (-2) दोनों आते हैं। / Integers include both (2) and (-2).
Step 2
Why this answer is correct
\(2^2=4\) और ((-2)2 =4), जबकि \(2\neq-2\)। / \(2^2=4\) and ((-2)2 =4), while \(2\neq-2\).
Step 3
Exam Tip
सम घात वाले नियम पूर्णांकों पर भी एक-एक नहीं होते। / Even-power rules are not one-one on integers either.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n-3 +n), तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n-3 +n), choose the correct statement about (f).
#one-one function
#integer function
#increasing
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C स्थिर है / Constant
D केवल (n=0) पर परिभाषित है / Defined only at (n=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
यदि (m>n), तो \(m^3>n^3\) और (m>n)। / If (m>n), then \(m^3>n^3\) and (m>n).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(m^3+m>n^3+n\), यानी फलन बढ़ता है। / Therefore, \(m^3+m>n^3+n\), so the function is increasing.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों पर बढ़ता फलन एकैकी होता है। / An increasing function on integers is one-one.
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फलन \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n-2 ) एकैकी है या नहीं?
Is the function \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n-2 ), one-one?
#one-one function
#integer function
#quadratic function
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल धनात्मक पूर्णांकों पर नहीं परिभाषित / Not defined on positive integers
D फलन नहीं है / Not a function
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
पूर्णांकों में धन और ऋण दोनों मान आते हैं। / Integers include both positive and negative values.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=4) और (f(-2)=4), जबकि \(2\ne -2\)। / (f(2)=4) and (f(-2)=4), while \(2\ne -2\).
Step 3
Exam Tip
\(n^2\) जैसे फलन को पूर्णांकों पर एकैकी मानने से पहले विपरीत चिह्न वाले मान जाँचें। / Before calling \(n^2\) one-one on integers, test values with opposite signs.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) और (f(n)=2n+1) है, तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) and (f(n)=2n+1), choose the correct statement about (f).
#integer-function
#linear-function
#one-one
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C हर पूर्णांक को (0) पर भेजता है / Sends every integer to (0)
D केवल प्राकृतिक संख्याओं पर परिभाषित है / Defined only on natural numbers
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
मान लें (f(m)=f(n))। / Assume (f(m)=f(n)).
Step 2
Why this answer is correct
(2m+1=2n+1) से (m=n) मिलता है। / From (2m+1=2n+1), we get (m=n).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों पर भी रैखिक फलन का गुणांक शून्य नहीं हो तो एकैकीपन बनता है। / On integers also, a linear function with non-zero coefficient is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) तथा (f(n)=n-2 -1) हो तो (f) एकैकी है या नहीं?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) and (f(n)=n-2 -1), is (f) one-one?
#one-one-function
#integer-function
#square-function
A नहीं / No
B हाँ / Yes
C केवल (n=0) पर / Only at (n=0)
D फलन नहीं है / It is not a function
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Correct Answer
A. नहीं / No
Step 1
Concept
(1) और (-1) अलग पूर्णांक हैं। / (1) and (-1) are different integers.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=0) और (f(-1)=0) मिलता है। / (f(1)=0) and (f(-1)=0).
Step 3
Exam Tip
वर्ग आधारित फलन पूर्ण पूर्णांक प्रांत पर एकैकी नहीं होता। / A square-based function is not one-one on the full integer domain.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) तथा (f(n)=n-3 ) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) and (f(n)=n-3 ), what type of function is (f)?
#one-one-function
#integer-function
#cubic-function
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
अलग पूर्णांकों के घन अलग होते हैं। / Cubes of different integers are different.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a^3=b^3\) हो तो (a=b) होगा। / If \(a^3=b^3\), then (a=b).
Step 3
Exam Tip
विषम घात का मूल घन फलन पूर्णांकों पर एकैकी है। / The basic odd-power cubic function is one-one on integers.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) को (f(n)=n-3 ) से परिभाषित किया गया है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) is defined by (f(n)=n-3 ), which statement about (f) is correct?
#integer function
#one-one
#not onto
A एकैकी पर आच्छादी नहीं / One-one but not onto
B आच्छादी पर एकैकी नहीं / Onto but not one-one
C द्विआधारी / Bijective
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी पर आच्छादी नहीं / One-one but not onto
Step 1
Concept
पूर्णांकों पर \(n^3\) बढ़ता है, इसलिए अलग (n) अलग मान देते हैं। / On integers, \(n^3\) is increasing, so different (n) give different values.
Step 2
Why this answer is correct
(2) किसी पूर्णांक का घन नहीं है, इसलिए सहप्रांत का हर मान नहीं मिलता। / (2) is not the cube of any integer, so not every codomain value is reached.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक प्रांत में घात फलन का परास अलग से जांचें। / For power functions on integers, check the range carefully.
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