Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. कम से कम एक \(a\in A\) होगा जिसके लिए (f(a)=b)/There exists at least one \(a\in A\) such that (f(a)=b)
Step 1
Concept
आच्छादी फलन का अर्थ है कि सहप्रांत का कोई भी तत्व खाली न छूटे। / Onto means no element of the codomain is left out.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए प्रत्येक \(b\in B\) के लिए कम से कम एक पूर्वप्रतिबिंब \(a\in A\) होना चाहिए। / Therefore, for each \(b\in B\), at least one preimage \(a\in A\) must exist.
Step 3
Exam Tip
आच्छादी में एक से अधिक पूर्वप्रतिबिंब हो सकते हैं, एकैकी की शर्त अलग है। / An onto function may have multiple preimages; one-one is a separate condition.
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Because negative values are not attained
Step 1
Concept
परिमाण का मान कभी ऋणात्मक नहीं होता। / An absolute value is never negative.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-1) जैसे मान हैं, जो (f(x)) नहीं बन सकते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains values like (-1), which cannot be (f(x)).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत बड़ा होने पर आच्छादिता टूट सकती है। / A too-large codomain can make a function non-onto.
A. यह इस सहप्रांत में सु-परिभाषित नहीं है/It is not well-defined for this codomain
Step 1
Concept
(x=0) पर (f(0)=1)। / At (x=0), (f(0)=1).
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन (1) सहप्रांत (\(1,\infty\)) में नहीं है, इसलिए फलन इस सहप्रांत में सु-परिभाषित नहीं है। / But (1) is not in the codomain (\(1,\infty\)), so the function is not well-defined for this codomain.
Step 3
Exam Tip
दिए गए सहप्रांत से हर प्राप्त मान का मिलान पहले करें। / First match every output with the given codomain.
A. यह इस सहप्रांत में सु-परिभाषित नहीं है/It is not well-defined for this codomain
Step 1
Concept
\(x\in(0,1)\) होने पर \(\ln x<0\)। / For \(x\in(0,1)\), \(\ln x<0\).
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन सहप्रांत (\(0,\infty\)) में केवल धनात्मक मान हैं, इसलिए सभी प्रतिचित्र सहप्रांत में नहीं आते। / But the codomain (\(0,\infty\)) contains only positive values, so not all outputs lie in the codomain.
Step 3
Exam Tip
गलत सहप्रांत होने पर आच्छादकता से पहले सु-परिभाषितता टूट जाती है। / With a wrong codomain, well-definedness fails before onto checking.
\(t=x^2\ge0\) रखने पर (f(x)=t-2-t)। / Put \(t=x^2\ge0\), then (f(x)=t-2-t).
Step 2
Why this answer is correct
इसका न्यूनतम मान \(-\frac{1}{4}\) \(t=\frac{1}{2}\) पर मिलता है और ऊपर के सभी मान मिलते हैं। / Its minimum value \(-\frac{1}{4}\) occurs at \(t=\frac{1}{2}\), and all larger values are obtained.
Step 3
Exam Tip
सही सहप्रांत चुनने पर जटिल दिखने वाला फलन भी आच्छादक हो सकता है। / With the correct codomain, even a complex-looking function can be onto.
कुल फलन \(2^4=16\) हैं। / Total functions are \(2^4=16\).
Step 2
Why this answer is correct
आच्छादक नहीं होने वाले फलन वे हैं जो केवल एक ही अवयव पर जाते हैं, ऐसे (2) फलन हैं। / Non-onto functions use only one codomain element, so there are (2) such functions.
Step 3
Exam Tip
इसलिए आच्छादक फलन (16-2=14) हैं। / Hence onto functions (=16-2=14).
सहप्रांत केवल विषम पूर्णांकों का है। / The codomain contains only odd integers.
Step 2
Why this answer is correct
हर विषम पूर्णांक (y) के लिए \(n=\frac{y-1}{2}\) पूर्णांक होता है और (f(n)=y)। / For every odd integer (y), \(n=\frac{y-1}{2}\) is an integer and (f(n)=y).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत को उचित रूप से सीमित करने से वही फलन आच्छादक हो सकता है। / Restricting the codomain suitably can make the same function onto.
A. यह फलन इस सहप्रांत में सु-परिभाषित नहीं है/This function is not well-defined for this codomain
Step 1
Concept
(x=0) पर (f(0)=3) मिलता है। / At (x=0), (f(0)=3).
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन (3) दिए गए सहप्रांत (\(-\infty,3\)) में नहीं है, इसलिए फलन इस सहप्रांत के लिए सु-परिभाषित नहीं माना जाएगा। / But (3) is not in the given codomain (\(-\infty,3\)), so the function is not well-defined for this codomain.
Step 3
Exam Tip
आच्छादकता से पहले यह जाँचें कि हर प्रतिचित्र सहप्रांत में आ रहा है या नहीं। / Before onto checking, verify that every output lies in the codomain.
किसी \(y\ne1\) के लिए \(y=\frac{x+1}{x-1}\) लिखें। / For any \(y\ne1\), write \(y=\frac{x+1}{x-1}\).
Step 2
Why this answer is correct
हल करने पर \(x=\frac{y+1}{y-1}\), जो \(y\ne1\) पर परिभाषित है और \(x\ne1\) भी है। / Solving gives \(x=\frac{y+1}{y-1}\), which is defined for \(y\ne1\) and also \(x\ne1\).
Step 3
Exam Tip
लक्ष्य मान से (x) मिल जाए तो आच्छादकता सिद्ध होती है। / If every target value gives a valid (x), the function is onto.
A. क्योंकि \(\sin x\) का परास ([-1,1]) है, इसलिए \(1+\sin x\) का परास ([0,2]) है/Because the range of \(\sin x\) is ([-1,1]), so the range of \(1+\sin x\) is ([0,2])
Step 1
Concept
\(\sin x\) के मान (-1) से (1) तक होते हैं। / Values of \(\sin x\) run from (-1) to (1).
Step 2
Why this answer is correct
उसमें (1) जोड़ने पर परास ([0,2]) बनता है, जो सहप्रांत के बराबर है। / Adding (1) changes the range to ([0,2]), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
परास पर ऊर्ध्व स्थानांतरण का प्रभाव साफ-साफ लगाएँ। / Apply vertical shifts clearly while finding the range.
इसका परास \([2,\infty\)) है, इसलिए सर्वाच्छादक होने के लिए सहप्रांत भी \([2,\infty\)) होना चाहिए। / Its range is \([2,\infty\)), so the codomain must be \([2,\infty\)) for onto property.
Step 3
Exam Tip
द्विघात में पूर्ण वर्ग बनाकर न्यूनतम मान निकालें। / Complete the square to find the minimum value of a quadratic.
(t=|x|) रखने पर \(t\ge0\) और (f(x)=t-2+t+1) है। / Put (t=|x|), so \(t\ge0\) and (f(x)=t-2+t+1).
Step 2
Why this answer is correct
यह (t=0) पर (1) देता है और (t) बढ़ने पर बिना अंतराल छोड़े \(\infty\) तक जाता है। / It gives (1) at (t=0) and increases continuously to \(\infty\) without missing values.
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत \([1,\infty\)) बिल्कुल इसी परास के बराबर है। / The codomain \([1,\infty\)) exactly matches this range.
A. (1) किसी भी (x) की छवि नहीं हो सकता/(1) cannot be the image of any (x)
Step 1
Concept
\(-x^2\) कभी धनात्मक नहीं होता। / \(-x^2\) is never positive.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (1) है पर कोई वास्तविक (x) ऐसा नहीं कि \(-x^2=1\)। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (1), but no real (x) satisfies \(-x^2=1\).
Step 3
Exam Tip
सर्वाच्छादकता न होने के लिए एक छूटा मान दिखाना पर्याप्त है। / Showing one missed codomain value is enough to prove not onto.
A. हाँ क्योंकि हर (y\in(0,1]) के लिए \(x=\sqrt{\frac{1}{y}-1}\) लिया जा सकता है/Yes because for every (y\in(0,1]), \(x=\sqrt{\frac{1}{y}-1}\) can be taken
Step 1
Concept
\(\frac{1}{1+x^2}\) का मान (0) से बड़ा और (1) तक होता है। / \(\frac{1}{1+x^2}\) takes values greater than (0) and up to (1).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(0<y\le1\) के लिए \(\frac{1}{y}-1\ge0\), इसलिए उपयुक्त (x) मिल जाता है। / For any \(0<y\le1\), \(\frac{1}{y}-1\ge0\), so a suitable (x) exists.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में पहले परास की सीमा पहचानें। / In such questions, identify the range interval first.
