Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. कम से कम एक \(a\in A\) होगा जिसके लिए (f(a)=b)/There exists at least one \(a\in A\) such that (f(a)=b)
Step 1
Concept
आच्छादी फलन का अर्थ है कि सहप्रांत का कोई भी तत्व खाली न छूटे। / Onto means no element of the codomain is left out.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए प्रत्येक \(b\in B\) के लिए कम से कम एक पूर्वप्रतिबिंब \(a\in A\) होना चाहिए। / Therefore, for each \(b\in B\), at least one preimage \(a\in A\) must exist.
Step 3
Exam Tip
आच्छादी में एक से अधिक पूर्वप्रतिबिंब हो सकते हैं, एकैकी की शर्त अलग है। / An onto function may have multiple preimages; one-one is a separate condition.
किसी भी \(0\le y<1\) के लिए \(x^2=\frac{y}{1-y}\) संभव है, इसलिए कोई वास्तविक (x) मिल जाता है। / For any \(0\le y<1\), \(x^2=\frac{y}{1-y}\) is possible, so a real (x) exists.
Step 3
Exam Tip
वर्ग वाले समीकरण में दायाँ पक्ष गैरऋणात्मक हो तो वास्तविक पूर्वप्रतिबिंब मिल सकता है। / In equations involving \(x^2\), a non-negative right side gives real preimages.
किसी भी \(n\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=n) लेने पर \(\lfloor x\rfloor=n\) मिलता है। / For any \(n\in\mathbb{Z}\), choose (x=n), then \(\lfloor x\rfloor=n\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए हर पूर्णांक सहप्रांतीय तत्व का पूर्वप्रतिबिंब है। / So every integer in the codomain has a preimage.
Step 3
Exam Tip
तल फलन \(\mathbb{Z}\) सहप्रांत पर आच्छादी होता है। / The floor function is onto when the codomain is \(\mathbb{Z}\).
\(e^x\) का मान हमेशा (0) से बड़ा होता है। / \(e^x\) is always positive.
Step 2
Why this answer is correct
हर (y>0) के लिए \(x=\ln y\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every (y>0), taking \(x=\ln y\) gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन में सहप्रांत यदि (\(0,\infty\)) हो तो आच्छादिता तुरंत जाँची जा सकती है। / For exponential functions, codomain (\(0,\infty\)) makes onto verification direct.
किसी \(y\in[-1,1\)) को लक्ष्य मान मानकर \(y=\frac{x^2-1}{x^2+1}\) लिखें। / Take any target value \(y\in[-1,1\)) and write \(y=\frac{x^2-1}{x^2+1}\).
Step 2
Why this answer is correct
हल करने पर \(x^2=\frac{1+y}{1-y}\) मिलता है, जो \(y\ge -1\) और (y<1) के कारण ऋणात्मक नहीं है, इसलिए वास्तविक (x) मिल जाता है। / Solving gives \(x^2=\frac{1+y}{1-y}\), which is non-negative because \(y\ge -1\) and (y<1), so a real (x) exists.
Step 3
Exam Tip
आच्छादकता सिद्ध करने के लिए लक्ष्य मान से प्रांत का वैध प्रतिचित्र निकालना सबसे मजबूत तरीका है। / To prove onto, finding a valid preimage for every target value is the strongest method.
किसी \(y\ne1\) के लिए \(y=\frac{x+1}{x-1}\) लिखें। / For any \(y\ne1\), write \(y=\frac{x+1}{x-1}\).
Step 2
Why this answer is correct
हल करने पर \(x=\frac{y+1}{y-1}\), जो \(y\ne1\) पर परिभाषित है और \(x\ne1\) भी है। / Solving gives \(x=\frac{y+1}{y-1}\), which is defined for \(y\ne1\) and also \(x\ne1\).
Step 3
Exam Tip
लक्ष्य मान से (x) मिल जाए तो आच्छादकता सिद्ध होती है। / If every target value gives a valid (x), the function is onto.
\(|x^2-1|\) हमेशा गैरऋणात्मक है और (x=1) पर (0) मिलता है। / \(|x^2-1|\) is always non-negative, and (0) is obtained at (x=1).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\ge0\) के लिए \(x=\sqrt{y+1}\) लेने पर \(|x^2-1|=y\) मिलता है। / For any \(y\ge0\), taking \(x=\sqrt{y+1}\) gives \(|x^2-1|=y\).
Step 3
Exam Tip
मापांक वाले प्रश्न में धनात्मक शाखा से पूर्वप्रतिबिंब बनाना आसान हो सकता है। / In modulus questions, the positive branch can make preimage construction easier.
(\(e^x-1\)2\ge0) और (x=0) पर (0) मिलता है। / (\(e^x-1\)2\ge0), and at (x=0), the value is (0).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\ge0\) के लिए \(e^x-1=\sqrt{y}\) लेने पर (x=\ln\(1+\sqrt{y}\)) वास्तविक मिलता है। / For any \(y\ge0\), set \(e^x-1=\sqrt{y}\), giving (x=\ln\(1+\sqrt{y}\)), which is real.
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन में धनात्मक पूर्वप्रतिबिंब बनाने के लिए लघुगणक का प्रयोग करें। / For exponential expressions, logarithms help construct preimages.
फलन (f:\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\tan x), सर्वाच्छादकता सिद्ध करने के लिए \(y\in\mathbb{R}\) का पूर्वप्रतिबिंब क्या होगा?
A. क्योंकि हर \(k\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=k) लेने पर (f(x)=k) है/Because for every \(k\in\mathbb{Z}\), choosing (x=k) gives (f(x)=k)
Step 1
Concept
सहप्रांत का कोई भी पूर्णांक (k) लें। / Take any integer (k) from the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
(x=k) रखने पर \(\lceil x\rceil=k\), इसलिए हर पूर्णांक छवि बनता है। / Putting (x=k) gives \(\lceil x\rceil=k\), so every integer is an image.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक-मूल्य फलन में सहप्रांत यदि \(\mathbb{Z}\) हो तो सीधे पूर्वप्रतिबिंब खोजें। / For integer-valued functions with codomain \(\mathbb{Z}\), directly find a preimage.
A. हर \(y\ge0\) के लिए \(x=\sqrt{y+1}\in[1,\infty\)) है/For every \(y\ge0\), \(x=\sqrt{y+1}\in[1,\infty\))
Step 1
Concept
सहप्रांत का कोई भी \(y\ge0\) लें। / Take any \(y\ge0\) from the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
\(x=\sqrt{y+1}\) लेने पर \(x\ge1\) और (f(x)=y) हो जाता है। / Choosing \(x=\sqrt{y+1}\) gives \(x\ge1\) and (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
प्रतिबंधित प्रांत में मिला हुआ (x) सच में उसी प्रांत में है या नहीं, यह जरूर देखें। / In restricted domains, always check that the found (x) really lies in the domain.
\(y=\frac{3x+1}{x-2}\) मानकर हल करने पर \(x=\frac{2y+1}{y-3}\) मिलता है। / Put \(y=\frac{3x+1}{x-2}\), then solving gives \(x=\frac{2y+1}{y-3}\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत में \(y\ne3\), इसलिए यह (x) परिभाषित है और जाँचने पर \(x\ne2\) रहता है। / Since \(y\ne3\) in the codomain, this (x) is defined and it also satisfies \(x\ne2\).
Step 3
Exam Tip
भिन्नात्मक फलन में छूटे हुए मान को हर के शून्य से जोड़कर देखें। / In rational functions, relate the missed value to the denominator restriction.
इस फलन का परास ((-1,1)) है। / The range of this function is ((-1,1)).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\in(-1,1)\) के लिए \(y\ge0\) होने पर \(x=\frac{y}{1-y}\) और (y<0) होने पर \(x=\frac{y}{1+y}\) लिया जा सकता है। / For \(y\ge0\), take \(x=\frac{y}{1-y}\), and for (y<0), take \(x=\frac{y}{1+y}\).
Step 3
Exam Tip
खंडों में परिभाषित व्यवहार को अलग-अलग जाँचना लाभदायक है। / For modulus-based expressions, checking cases separately is helpful.
A. क्योंकि हर \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=\tan^{-1}y\) इसी प्रांत में होता है/Because for every \(y\in\mathbb{R}\), \(x=\tan^{-1}y\) lies in this domain
Step 1
Concept
\(\tan x\) का मुख्य अंतराल (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) पूरे \(\mathbb{R}\) पर फैलता है। / On the principal interval (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)), \(\tan x\) covers all real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
हर वास्तविक (y) के लिए \(x=\tan^{-1}y\) इसी अंतराल में मिलता है। / For every real (y), \(x=\tan^{-1}y\) lies in that interval.
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय मान सर्वाच्छादकता दिखाने में मदद करते हैं। / Inverse trigonometric values help prove onto property.
A. क्योंकि किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=\frac{y+7}{2}\) मिल जाता है/Because for any \(y\in\mathbb{R}\), \(x=\frac{y+7}{2}\) exists
Step 1
Concept
सहप्रांत की कोई भी वास्तविक संख्या (y) लें। / Take any real number (y) from the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
समीकरण (y=2x-7) हल करने पर \(x=\frac{y+7}{2}\) वास्तविक मिलता है। / Solving (y=2x-7) gives \(x=\frac{y+7}{2}\), which is real.
Step 3
Exam Tip
रैखिक फलन में गुणांक शून्य न हो तो वास्तविक से वास्तविक पर सर्वाच्छादकता मिलती है। / A non-constant linear function from real numbers to real numbers is onto.
