\(|x^2-1|\) is always non-negative, and (0) is obtained at (x=1).
Step 2
Why this answer is correct
For any \(y\ge0\), taking \(x=\sqrt{y+1}\) gives \(|x^2-1|=y\).
Step 3
Exam Tip
In modulus questions, the positive branch can make preimage construction easier. चरण 1: \(|x^2-1|\) हमेशा गैरऋणात्मक है और (x=1) पर (0) मिलता है। चरण 2: किसी भी \(y\ge0\) के लिए \(x=\sqrt{y+1}\) लेने पर \(|x^2-1|=y\) मिलता है। चरण 3: मापांक वाले प्रश्न में धनात्मक शाखा से पूर्वप्रतिबिंब बनाना आसान हो सकता है।
On \([0,\infty\)), \(t^2+t\) takes every value from (0) to \(\infty\), since \(t=\frac{-1+\sqrt{1+4y}}{2}\) works.
Step 3
Exam Tip
For harder modulus questions, substitution is useful. चरण 1: (t=|x|) रखने पर \(t\ge0\) और (f(x)=t-2+t)। चरण 2: \(t^2+t\) \([0,\infty\)) पर (0) से \(\infty\) तक सभी मान लेता है, क्योंकि \(t=\frac{-1+\sqrt{1+4y}}{2}\) मिल जाता है। चरण 3: मापांक वाले कठिन प्रश्नों में नया चर रखना उपयोगी है।
For \(y\ge0\), take \(x=\frac{y}{1-y}\), and for (y<0), take \(x=\frac{y}{1+y}\).
Step 3
Exam Tip
For modulus-based expressions, checking cases separately is helpful. चरण 1: इस फलन का परास ((-1,1)) है। चरण 2: हर \(y\in(-1,1)\) के लिए \(y\ge0\) होने पर \(x=\frac{y}{1-y}\) और (y<0) होने पर \(x=\frac{y}{1+y}\) लिया जा सकता है। चरण 3: खंडों में परिभाषित व्यवहार को अलग-अलग जाँचना लाभदायक है।
For any \(y\ge0\), choosing (x=y+2) gives (|x-2|=y).
Step 3
Exam Tip
A horizontal shift of a modulus function changes the vertex location but not the range type. चरण 1: (|x-2|) का परास \([0,\infty\)) है। चरण 2: किसी भी \(y\ge0\) के लिए (x=y+2) लेने पर (|x-2|=y) मिलता है। चरण 3: मापांक में स्थानांतरण परास को नहीं बदलता, केवल शिखर की जगह बदलता है।
A. (f) सर्वाच्छादक है पर एकैकी नहीं/(f) is onto but not one-one
Step 1
Concept
For every \(y\ge0\), taking (x=y) gives (|x|=y).
Step 2
Why this answer is correct
But (|a|=|-a|), so different domain elements can have the same image.
Step 3
Exam Tip
Onto and one-one properties must be checked separately. चरण 1: हर \(y\ge0\) के लिए (x=y) लेने पर (|x|=y) मिलता है। चरण 2: लेकिन (|a|=|-a|), इसलिए अलग प्रांत अवयव एक ही छवि दे सकते हैं। चरण 3: सर्वाच्छादक और एकैकी गुण अलग-अलग जाँचना चाहिए।
A. क्योंकि ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ प्रतिबिंब नहीं बनतीं/Because negative real numbers are not images
Step 1
Concept
(|x|) can never be negative.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) includes negative numbers such as (-3). The equation (|x|=-3) has no real solution.
Step 3
Exam Tip
Remember: if the range is smaller than the codomain, the function is not onto. चरण 1: (|x|) कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक संख्याएँ भी हैं, जैसे (-3)। (|x|=-3) का कोई वास्तविक हल नहीं है। चरण 3: वही नियम याद रखें: परास यदि सहप्रांत से छोटा है तो फलन आच्छादी नहीं है।
For every \(y\ge1\), taking \(x=\ln y\) gives the needed absolute value and \(e^{|x|}=y\).
Step 3
Exam Tip
A modulus with an exponential gives range \([1,\infty\)). चरण 1: \(|x|\ge0\), इसलिए \(e^{|x|}\ge1\)। चरण 2: हर \(y\ge1\) के लिए \(x=\ln y\) लेने पर (|x|) को आवश्यक मान मिल जाता है और \(e^{|x|}=y\)। चरण 3: मापांक और घातीय फलन मिलकर \([1,\infty\)) परास देते हैं।
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
(\sqrt{(x+5)2}=|x+5|) is always non-negative.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative values, which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
A function with a non-negative range is not onto the whole \(\mathbb{R}\). चरण 1: (\sqrt{(x+5)2}=|x+5|) हमेशा अऋणात्मक होता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक मान हैं, जो फलन से नहीं मिलते। चरण 3: अऋणात्मक परास वाले फलन को पूरे \(\mathbb{R}\) पर आच्छादी नहीं मानें।
The range of (|x+5|) is \([0,\infty\)), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
Recognize \(\sqrt{u^2}\) as a modulus expression. चरण 1: (\sqrt{(x+5)2}=|x+5|) है। चरण 2: (|x+5|) का परास \([0,\infty\)) है, जो सहप्रांत के बराबर है। चरण 3: \(\sqrt{u^2}\) को मापांक के रूप में पहचानें।
This function always gives values between (-1) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
Every value in the open interval ((-1,1)) is obtained for some real (x).
Step 3
Exam Tip
Since the endpoints are open, obtaining (-1) and (1) is not required. चरण 1: यह फलन हमेशा (-1) और (1) के बीच मान देता है। चरण 2: खुले अंतराल ((-1,1)) का हर मान किसी वास्तविक (x) से मिल जाता है। चरण 3: खुले सिरों पर (-1) और (1) पाने की जरूरत नहीं होती।
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
(\sqrt{(x-4)2}=|x-4|).
Step 2
Why this answer is correct
Its value is never negative, while the codomain \(\mathbb{R}\) contains negative values.
Step 3
Exam Tip
Be careful when matching a modulus-type range with a real codomain. चरण 1: (\sqrt{(x-4)2}=|x-4|) है। चरण 2: इसका मान कभी ऋणात्मक नहीं होता, जबकि सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक मान हैं। चरण 3: मापांक रूप को वास्तविक सहप्रांत से मिलाते समय सावधान रहें।
The range of (|x-4|) is \([0,\infty\)), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
Recognize \(\sqrt{u^2}\) as a modulus form. चरण 1: (\sqrt{(x-4)2}=|x-4|) होता है। चरण 2: (|x-4|) का परास \([0,\infty\)) है, जो सहप्रांत के बराबर है। चरण 3: \(\sqrt{u^2}\) को मापांक के रूप में पहचानें।
Since the codomain is also ((-2,2)), the function is onto. चरण 1: \(\frac{x}{1+|x|}\) का परास ((-1,1)) है। चरण 2: (2) से गुणा करने पर परास ((-2,2)) हो जाता है। चरण 3: सहप्रांत भी ((-2,2)) है, इसलिए फलन आच्छादी है।
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
\(\sqrt{x^2}=|x|\).
Step 2
Why this answer is correct
Its value is never negative, while the codomain \(\mathbb{R}\) contains negative values.
Step 3
Exam Tip
Compare a modulus-type range with the real codomain carefully. चरण 1: \(\sqrt{x^2}=|x|\) है। चरण 2: इसका मान कभी ऋणात्मक नहीं होता, जबकि सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक मान हैं। चरण 3: मापांक जैसे परास को वास्तविक सहप्रांत से तुलना करें।
The range of (|x|) is \([0,\infty\)), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
Recognizing \(\sqrt{x^2}\) as a modulus is an easy method. चरण 1: \(\sqrt{x^2}=|x|\) होता है। चरण 2: (|x|) का परास \([0,\infty\)) है, जो सहप्रांत के बराबर है। चरण 3: \(\sqrt{x^2}\) को मापांक के रूप में पहचानना आसान तरीका है।
A. क्योंकि (1) और (-1) नहीं मिलते/Because (1) and (-1) are not obtained
Step 1
Concept
The value of \(\frac{x}{1+|x|}\) always lies between (-1) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
It can never be equal to (1) or (-1), so these codomain values are missed.
Step 3
Exam Tip
Always check endpoint values in bounded-range questions. चरण 1: \(\frac{x}{1+|x|}\) का मान हमेशा (-1) और (1) के बीच रहता है। चरण 2: यह (1) या (-1) के बराबर नहीं हो सकता, इसलिए सहप्रांत के ये दो मान छूट जाते हैं। चरण 3: सीमा के किनारे वाले मान भी जांचें।
A. क्योंकि (0) जैसा मान नहीं मिलता/Because a value like (0) is not obtained
Step 1
Concept
The minimum value of (|x|+3) is (3).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0), but this value cannot be obtained.
Step 3
Exam Tip
Values below the minimum are missed from the range. चरण 1: (|x|+3) का न्यूनतम मान (3) है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) है, लेकिन यह फलन से नहीं मिल सकता। चरण 3: न्यूनतम मान से नीचे के सहप्रांत मान छूटते हैं।
For every \(y\ge3\), take (x=y-3), then (|x|+3=y).
Step 3
Exam Tip
A vertical shift of a modulus function shifts its range upward. चरण 1: \(|x|\ge0\), इसलिए \(|x|+3\ge3\)। चरण 2: हर \(y\ge3\) के लिए (x=y-3) लेने पर (|x|+3=y) मिलता है। चरण 3: मापांक में ऊपर खिसकाव से परास भी ऊपर खिसक जाता है।
A. ऋणात्मक (x) के लिए (f(x)=0)/For negative (x), (f(x)=0)
Step 1
Concept
When (x<0), (|x|=-x).
Step 2
Why this answer is correct
Hence (f(x)=x-x=0), so many negative numbers have the same image.
Step 3
Exam Tip
If a function is constant on an entire part of its domain, it is not one-one. चरण 1: जब (x<0), तब (|x|=-x) होता है। चरण 2: इसलिए (f(x)=x-x=0), यानी अनेक ऋणात्मक संख्याओं का प्रतिबिंब समान है। चरण 3: किसी पूरे हिस्से पर फलन स्थिर हो जाए तो वह एकैकी नहीं होता।
Both (|x|) and \(x^2\) give the same value at (x) and (-x).
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=1+1=2) and (f(-1)=1+1=2), while \(1\ne-1\).
Step 3
Exam Tip
When an expression is symmetric, test (x) and (-x). चरण 1: (|x|) और \(x^2\) दोनों (x) और (-x) पर समान मान देते हैं। चरण 2: (f(1)=1+1=2) और (f(-1)=1+1=2), जबकि \(1\ne-1\)। चरण 3: सममित अभिव्यक्ति दिखे तो (x) और (-x) की जांच करें।
All negative (x)-values give (0), for example (f(-1)=f(-2)=0).
Step 3
Exam Tip
Constant behaviour on a large part destroys one-one nature. चरण 1: (x<0) के लिए (|x|=-x), इसलिए (f(x)=0)। चरण 2: सभी ऋणात्मक (x) का मान (0) है, जैसे (f(-1)=f(-2)=0)। चरण 3: किसी बड़े भाग पर स्थिर व्यवहार एकैकीपन को खत्म कर देता है।
Multiplying or adding outside the modulus does not remove equal-image pairs. चरण 1: (|x|) में (x) और (-x) का मान समान होता है। चरण 2: (f(3)=7) और (f(-3)=7), जबकि \(3\neq -3\)। चरण 3: परम मान के बाहर गुणा या जोड़ करने से समान प्रतिबिंब वाली जोड़ी नहीं हटती।
Treat \(\sqrt{x^2}\) as modulus while solving. चरण 1: \(\sqrt{x^2}=|x|\) होता है। चरण 2: (f(2)=2) और (f(-2)=2), जबकि \(2\neq -2\)। चरण 3: \(\sqrt{x^2}\) को परम मान समझकर प्रश्न हल करें।
Therefore \(|x-2|+3\geq3\), and at (x=2), the value is (3).
Step 3
Exam Tip
For modulus functions, the minimum is found by making the inside expression zero. चरण 1: \(|x-2|\geq0\) हमेशा होता है। चरण 2: इसलिए \(|x-2|+3\geq3\) और (x=2) पर मान (3) मिलता है। चरण 3: मापांक फलन का न्यूनतम मान अंदर की मात्रा शून्य करके मिलता है।
(f(2)=2) and (f(-2)=2), so the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
Every value \(y\geq0\) in the codomain is obtained by taking (x=y).
Step 3
Exam Tip
In modulus functions, opposite signs can give the same output. चरण 1: (f(2)=2) और (f(-2)=2) इसलिए यह एकैकी नहीं है। चरण 2: सहप्रांत का हर मान \(y\geq0\) किसी (x=y) से मिल जाता है। चरण 3: मापांक फलन में चिन्ह बदलने से समान मान आ सकता है।
On both negative and positive sides, the function increases and the order remains consistent at (0).
Step 2
Why this answer is correct
Its values always lie between (-1) and (1), and every value in that interval is attained.
Step 3
Exam Tip
When the codomain is exactly the natural range, check for onto carefully. चरण 1: ऋणात्मक भाग और धनात्मक भाग दोनों में फलन बढ़ता है और (0) पर भी क्रम बना रहता है। चरण 2: इसका मान सदैव (-1) और (1) के बीच रहता है और बीच का हर मान मिल जाता है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में सहप्रांत अगर परास के बराबर दिया हो तो आच्छादी होने की संभावना जाँचें।
For \(x\ge0\), (f(x)=\frac{x}{1+x}), which increases from (0) and approaches (1) but never equals (1).
Step 2
Why this answer is correct
For (x<0), the value stays greater than (-1) and less than (0).
Step 3
Exam Tip
Approaching an endpoint and attaining it are different things. चरण 1: \(x\ge0\) पर (f(x)=\frac{x}{1+x}), जो (0) से बढ़कर (1) के पास जाता है पर (1) नहीं होता। चरण 2: (x<0) पर मान (-1) से बड़ा और (0) से छोटा रहता है। चरण 3: सीमा के पास पहुँचना और सीमा को प्राप्त करना अलग बातें हैं।
If \(x\ge0\), then (x+|x|=2x), which gives all values in \([0,\infty\)).
Step 3
Exam Tip
For modulus functions, split the function into cases to find the range. चरण 1: यदि (x<0), तो (x+|x|=x-x=0)। चरण 2: यदि \(x\ge0\), तो (x+|x|=2x), जो \([0,\infty\)) में सभी मान देता है। चरण 3: परिमाण वाले फलन को टुकड़ों में बाँटकर परिसर निकालना आसान होता है।
In modulus questions, first evaluate (|x|) according to the sign of (x). चरण 1: (x=-5) के लिए (|-5|=5)। चरण 2: इसलिए (f(-5)=-5+5=0)। चरण 3: परिमाण वाले प्रश्नों में पहले चिन्ह के अनुसार (|x|) का मान निकालें।
A. मूल बिंदु से दूरी (5) वाली सभी जटिल संख्याएँ/All complex numbers at distance (5) from the origin
Step 1
Concept
\(|3+4i|=\sqrt{3^2+4^2}=5\).
Step 2
Why this answer is correct
All complex numbers related to it must have modulus (5).
Step 3
Exam Tip
In the complex plane, this represents the circle with distance (5) from the origin. चरण 1: \(|3+4i|=\sqrt{3^2+4^2}=5\)। चरण 2: इससे सम्बन्धित सभी जटिल संख्याओं का परम मान (5) होना चाहिए। चरण 3: जटिल तल में यह मूल बिंदु से दूरी (5) वाले वृत्त को दर्शाता है।
