यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=|x-2 -1|), तो (f) सर्वाच्छादक है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=|x-2 -1|), is (f) onto or not?
#onto function
#modulus
#quadratic
#preimage
A सर्वाच्छादक है / It is onto
B सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि (0) नहीं मिलता / It is not onto because (0) is not obtained
C सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि (1) नहीं मिलता / It is not onto because (1) is not obtained
D सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि बड़े मान नहीं मिलते / It is not onto because large values are not obtained
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Correct Answer
A. सर्वाच्छादक है / It is onto
Step 1
Concept
\(|x^2-1|\) हमेशा गैरऋणात्मक है और (x=1) पर (0) मिलता है। / \(|x^2-1|\) is always non-negative, and (0) is obtained at (x=1).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\ge0\) के लिए \(x=\sqrt{y+1}\) लेने पर \(|x^2-1|=y\) मिलता है। / For any \(y\ge0\), taking \(x=\sqrt{y+1}\) gives \(|x^2-1|=y\).
Step 3
Exam Tip
मापांक वाले प्रश्न में धनात्मक शाखा से पूर्वप्रतिबिंब बनाना आसान हो सकता है। / In modulus questions, the positive branch can make preimage construction easier.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)) और (f(x)=x-2 +|x|), तो (f) सर्वाच्छादक है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)) and (f(x)=x-2 +|x|), is (f) onto or not?
#onto function
#modulus
#quadratic substitution
#hard
A सर्वाच्छादक है / It is onto
B सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि (0) नहीं मिलता / It is not onto because (0) is not obtained
C सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि (1) नहीं मिलता / It is not onto because (1) is not obtained
D सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि परास ऋणात्मक है / It is not onto because the range is negative
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. सर्वाच्छादक है / It is onto
Step 1
Concept
(t=|x|) रखने पर \(t\ge0\) और (f(x)=t-2 +t)। / Put (t=|x|), so \(t\ge0\) and (f(x)=t-2 +t).
Step 2
Why this answer is correct
\(t^2+t\) \([0,\infty\)) पर (0) से \(\infty\) तक सभी मान लेता है, क्योंकि \(t=\frac{-1+\sqrt{1+4y}}{2}\) मिल जाता है। / On \([0,\infty\)), \(t^2+t\) takes every value from (0) to \(\infty\), since \(t=\frac{-1+\sqrt{1+4y}}{2}\) works.
Step 3
Exam Tip
मापांक वाले कठिन प्रश्नों में नया चर रखना उपयोगी है। / For harder modulus questions, substitution is useful.
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यदि (f:\mathbb{R}\to(-1,1)) और (f(x)=\frac{x}{1+|x|}), तो (f) सर्वाच्छादक है या नहीं?
If (f:\mathbb{R}\to(-1,1)) and (f(x)=\frac{x}{1+|x|}), is (f) onto or not?
#onto function
#range interval
#modulus
#preimage
A सर्वाच्छादक है / It is onto
B सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि (0) नहीं मिलता / It is not onto because (0) is not obtained
C सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि \(\frac{1}{2}\) नहीं मिलता / It is not onto because \(\frac{1}{2}\) is not obtained
D सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / It is not onto because negative values are not obtained
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. सर्वाच्छादक है / It is onto
Step 1
Concept
इस फलन का परास ((-1,1)) है। / The range of this function is ((-1,1)).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\in(-1,1)\) के लिए \(y\ge0\) होने पर \(x=\frac{y}{1-y}\) और (y<0) होने पर \(x=\frac{y}{1+y}\) लिया जा सकता है। / For \(y\ge0\), take \(x=\frac{y}{1-y}\), and for (y<0), take \(x=\frac{y}{1+y}\).
Step 3
Exam Tip
खंडों में परिभाषित व्यवहार को अलग-अलग जाँचना लाभदायक है। / For modulus-based expressions, checking cases separately is helpful.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)) और (f(x)=|x-2|), तो (f) सर्वाच्छादक है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)) and (f(x)=|x-2|), is (f) onto or not?
#onto function
#modulus
#translation
#range
A सर्वाच्छादक है / It is onto
B सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि (0) नहीं मिलता / It is not onto because (0) is not obtained
C सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि (5) नहीं मिलता / It is not onto because (5) is not obtained
D सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि केवल ऋणात्मक मान मिलते हैं / It is not onto because only negative values are obtained
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. सर्वाच्छादक है / It is onto
Step 1
Concept
(|x-2|) का परास \([0,\infty\)) है। / The range of (|x-2|) is \([0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\ge0\) के लिए (x=y+2) लेने पर (|x-2|=y) मिलता है। / For any \(y\ge0\), choosing (x=y+2) gives (|x-2|=y).
Step 3
Exam Tip
मापांक में स्थानांतरण परास को नहीं बदलता, केवल शिखर की जगह बदलता है। / A horizontal shift of a modulus function changes the vertex location but not the range type.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)) जहाँ (f(x)=|x|), सही कथन कौन सा है?
For \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), where (f(x)=|x|), which statement is correct?
#onto function
#modulus
#one-one
#codomain
A (f) सर्वाच्छादक है पर एकैकी नहीं / (f) is onto but not one-one
B (f) एकैकी है पर सर्वाच्छादक नहीं / (f) is one-one but not onto
C (f) एकैकी और सर्वाच्छादक दोनों है / (f) is both one-one and onto
D (f) न एकैकी है न सर्वाच्छादक / (f) is neither one-one nor onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) सर्वाच्छादक है पर एकैकी नहीं / (f) is onto but not one-one
Step 1
Concept
हर \(y\ge0\) के लिए (x=y) लेने पर (|x|=y) मिलता है। / For every \(y\ge0\), taking (x=y) gives (|x|=y).
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन (|a|=|-a|), इसलिए अलग प्रांत अवयव एक ही छवि दे सकते हैं। / But (|a|=|-a|), so different domain elements can have the same image.
Step 3
Exam Tip
सर्वाच्छादक और एकैकी गुण अलग-अलग जाँचना चाहिए। / Onto and one-one properties must be checked separately.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x|) है, तो यह आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x|), why is it not onto?
#relations-functions
#modulus
#range-codomain
A क्योंकि ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ प्रतिबिंब नहीं बनतीं / Because negative real numbers are not images
B क्योंकि (0) प्रतिबिंब नहीं बनता / Because (0) is not an image
C क्योंकि हर वास्तविक संख्या प्रतिबिंब बनती है / Because every real number is an image
D क्योंकि (|x|) वास्तविक नहीं होता / Because (|x|) is not real
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Correct Answer
A. क्योंकि ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ प्रतिबिंब नहीं बनतीं / Because negative real numbers are not images
Step 1
Concept
(|x|) कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता। / (|x|) can never be negative.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक संख्याएँ भी हैं, जैसे (-3)। (|x|=-3) का कोई वास्तविक हल नहीं है। / The codomain \(\mathbb{R}\) includes negative numbers such as (-3). The equation (|x|=-3) has no real solution.
Step 3
Exam Tip
वही नियम याद रखें: परास यदि सहप्रांत से छोटा है तो फलन आच्छादी नहीं है। / Remember: if the range is smaller than the codomain, the function is not onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[1,\infty\)), (f(x)=e^{|x|}) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to[1,\infty\)), (f(x)=e^{|x|}), what is the correct statement about (f)?
#exponential function
#modulus
#onto
#range
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (0) मान देता है / It gives value (0)
D यह ऋणात्मक मान देता है / It gives negative values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(|x|\ge0\), इसलिए \(e^{|x|}\ge1\)। / \(|x|\ge0\), so \(e^{|x|}\ge1\).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge1\) के लिए \(x=\ln y\) लेने पर (|x|) को आवश्यक मान मिल जाता है और \(e^{|x|}=y\)। / For every \(y\ge1\), taking \(x=\ln y\) gives the needed absolute value and \(e^{|x|}=y\).
Step 3
Exam Tip
मापांक और घातीय फलन मिलकर \([1,\infty\)) परास देते हैं। / A modulus with an exponential gives range \([1,\infty\)).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sqrt{(x+5)2 }) है, तो यह आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sqrt{(x+5)2 }), why is it not onto?
#modulus
#not onto
#nonnegative range
#real codomain
A क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Because negative values are not obtained
B क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
C क्योंकि (1) नहीं मिलता / Because (1) is not obtained
D क्योंकि सभी वास्तविक मान मिलते हैं / Because all real values are obtained
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
(\sqrt{(x+5)2 }=|x+5|) हमेशा अऋणात्मक होता है। / (\sqrt{(x+5)2 }=|x+5|) is always non-negative.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक मान हैं, जो फलन से नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative values, which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
अऋणात्मक परास वाले फलन को पूरे \(\mathbb{R}\) पर आच्छादी नहीं मानें। / A function with a non-negative range is not onto the whole \(\mathbb{R}\).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=\sqrt{(x+5)2 }) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=\sqrt{(x+5)2 }), what is the correct statement about (f)?
#square root
#modulus
#onto
#range
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह ऋणात्मक मान देता है / It gives negative values
D यह केवल (5) मान देता है / It gives only (5)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
(\sqrt{(x+5)2 }=|x+5|) है। / (\sqrt{(x+5)2 }=|x+5|).
Step 2
Why this answer is correct
(|x+5|) का परास \([0,\infty\)) है, जो सहप्रांत के बराबर है। / The range of (|x+5|) is \([0,\infty\)), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{u^2}\) को मापांक के रूप में पहचानें। / Recognize \(\sqrt{u^2}\) as a modulus expression.
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यदि (f:\mathbb{R}\to(-1,1)), (f(x)=\frac{x}{1+|x|}) है, तो सही विकल्प चुनिए।
If (f:\mathbb{R}\to(-1,1)), (f(x)=\frac{x}{1+|x|}), choose the correct option.
#bounded function
#onto
#open interval
#modulus
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (1) मान देता है / It gives value (1)
D यह (-1) मान देता है / It gives value (-1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
यह फलन हमेशा (-1) और (1) के बीच मान देता है। / This function always gives values between (-1) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
खुले अंतराल ((-1,1)) का हर मान किसी वास्तविक (x) से मिल जाता है। / Every value in the open interval ((-1,1)) is obtained for some real (x).
Step 3
Exam Tip
खुले सिरों पर (-1) और (1) पाने की जरूरत नहीं होती। / Since the endpoints are open, obtaining (-1) and (1) is not required.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sqrt{(x-4)2 }) है, तो यह आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sqrt{(x-4)2 }), why is it not onto?
#modulus
#not onto
#nonnegative range
#real codomain
A क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Because negative values are not obtained
B क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
C क्योंकि (1) नहीं मिलता / Because (1) is not obtained
D क्योंकि सभी वास्तविक मान मिलते हैं / Because all real values are obtained
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
(\sqrt{(x-4)2 }=|x-4|) है। / (\sqrt{(x-4)2 }=|x-4|).
Step 2
Why this answer is correct
इसका मान कभी ऋणात्मक नहीं होता, जबकि सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक मान हैं। / Its value is never negative, while the codomain \(\mathbb{R}\) contains negative values.
Step 3
Exam Tip
मापांक रूप को वास्तविक सहप्रांत से मिलाते समय सावधान रहें। / Be careful when matching a modulus-type range with a real codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=\sqrt{(x-4)2 }) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=\sqrt{(x-4)2 }), what is the correct statement about (f)?
#square root
#modulus
#onto
#range
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह ऋणात्मक मान देता है / It gives negative values
D यह केवल (0) देता है / It gives only (0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
(\sqrt{(x-4)2 }=|x-4|) होता है। / (\sqrt{(x-4)2 }=|x-4|).
Step 2
Why this answer is correct
(|x-4|) का परास \([0,\infty\)) है, जो सहप्रांत के बराबर है। / The range of (|x-4|) is \([0,\infty\)), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{u^2}\) को मापांक के रूप में पहचानें। / Recognize \(\sqrt{u^2}\) as a modulus form.
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यदि (f:\mathbb{R}\to(-2,2)), (f(x)=\frac{2x}{1+|x|}) है, तो सही विकल्प चुनिए।
If (f:\mathbb{R}\to(-2,2)), (f(x)=\frac{2x}{1+|x|}), choose the correct option.
#bounded function
#onto
#modulus
#open interval
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (2) मान देता है / It gives value (2)
D यह (-2) मान देता है / It gives value (-2)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(\frac{x}{1+|x|}\) का परास ((-1,1)) है। / The range of \(\frac{x}{1+|x|}\) is ((-1,1)).
Step 2
Why this answer is correct
(2) से गुणा करने पर परास ((-2,2)) हो जाता है। / Multiplying by (2) changes the range to ((-2,2)).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत भी ((-2,2)) है, इसलिए फलन आच्छादी है। / Since the codomain is also ((-2,2)), the function is onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sqrt{x-2 }) है, तो यह आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sqrt{x-2 }), why is it not onto?
#square root
#not onto
#modulus
#codomain
A क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Because negative values are not obtained
B क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
C क्योंकि धनात्मक मान नहीं मिलते / Because positive values are not obtained
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
\(\sqrt{x^2}=|x|\) है। / \(\sqrt{x^2}=|x|\).
Step 2
Why this answer is correct
इसका मान कभी ऋणात्मक नहीं होता, जबकि सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक मान हैं। / Its value is never negative, while the codomain \(\mathbb{R}\) contains negative values.
Step 3
Exam Tip
मापांक जैसे परास को वास्तविक सहप्रांत से तुलना करें। / Compare a modulus-type range with the real codomain carefully.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=\sqrt{x-2 }) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=\sqrt{x-2 }), what is the correct statement about (f)?
#square root
#modulus
#onto
#range
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह ऋणात्मक मान देता है / It gives negative values
D यह केवल (0) देता है / It gives only (0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(\sqrt{x^2}=|x|\) होता है। / \(\sqrt{x^2}=|x|\).
Step 2
Why this answer is correct
(|x|) का परास \([0,\infty\)) है, जो सहप्रांत के बराबर है। / The range of (|x|) is \([0,\infty\)), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{x^2}\) को मापांक के रूप में पहचानना आसान तरीका है। / Recognizing \(\sqrt{x^2}\) as a modulus is an easy method.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[-1,1]\), (f(x)=\frac{x}{1+|x|}) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to[-1,1]\), (f(x)=\frac{x}{1+|x|}), why is (f) not onto?
#bounded function
#not onto
#modulus
#rational function
A क्योंकि (1) और (-1) नहीं मिलते / Because (1) and (-1) are not obtained
B क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
C क्योंकि सभी मान मिलते हैं / Because all values are obtained
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (1) और (-1) नहीं मिलते / Because (1) and (-1) are not obtained
Step 1
Concept
\(\frac{x}{1+|x|}\) का मान हमेशा (-1) और (1) के बीच रहता है। / The value of \(\frac{x}{1+|x|}\) always lies between (-1) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
यह (1) या (-1) के बराबर नहीं हो सकता, इसलिए सहप्रांत के ये दो मान छूट जाते हैं। / It can never be equal to (1) or (-1), so these codomain values are missed.
Step 3
Exam Tip
सीमा के किनारे वाले मान भी जांचें। / Always check endpoint values in bounded-range questions.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x|+3) है, तो यह आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x|+3), why is it not onto?
#modulus
#not onto
#minimum value
#codomain
A क्योंकि (0) जैसा मान नहीं मिलता / Because a value like (0) is not obtained
B क्योंकि (3) नहीं मिलता / Because (3) is not obtained
C क्योंकि (4) नहीं मिलता / Because (4) is not obtained
D क्योंकि सभी वास्तविक मान मिलते हैं / Because all real values are obtained
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (0) जैसा मान नहीं मिलता / Because a value like (0) is not obtained
Step 1
Concept
(|x|+3) का न्यूनतम मान (3) है। / The minimum value of (|x|+3) is (3).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) है, लेकिन यह फलन से नहीं मिल सकता। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0), but this value cannot be obtained.
Step 3
Exam Tip
न्यूनतम मान से नीचे के सहप्रांत मान छूटते हैं। / Values below the minimum are missed from the range.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[3,\infty\)), (f(x)=|x|+3) है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to[3,\infty\)), (f(x)=|x|+3), which statement about (f) is correct?
#modulus
#onto
#shifted range
#absolute value
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (2) मान देता है / It gives value (2)
D यह ऋणात्मक मान देता है / It gives negative values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(|x|\ge0\), इसलिए \(|x|+3\ge3\)। / \(|x|\ge0\), so \(|x|+3\ge3\).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge3\) के लिए (x=y-3) लेने पर (|x|+3=y) मिलता है। / For every \(y\ge3\), take (x=y-3), then (|x|+3=y).
Step 3
Exam Tip
मापांक में ऊपर खिसकाव से परास भी ऊपर खिसक जाता है। / A vertical shift of a modulus function shifts its range upward.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x+|x|) के एकैकी न होने का सही कारण कौन-सा है?
What is the correct reason that \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x+|x|), is not one-one?
#piecewise function
#modulus
#not one-one
#constant part
A ऋणात्मक (x) के लिए (f(x)=0) / For negative (x), (f(x)=0)
B धनात्मक (x) के लिए (f(x)=0) / For positive (x), (f(x)=0)
C हर (x) के लिए (f(x)=x-2 ) / For every (x), (f(x)=x-2 )
D हर (x) के लिए (f(x)=1) / For every (x), (f(x)=1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ऋणात्मक (x) के लिए (f(x)=0) / For negative (x), (f(x)=0)
Step 1
Concept
जब (x<0), तब (|x|=-x) होता है। / When (x<0), (|x|=-x).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (f(x)=x-x=0), यानी अनेक ऋणात्मक संख्याओं का प्रतिबिंब समान है। / Hence (f(x)=x-x=0), so many negative numbers have the same image.
Step 3
Exam Tip
किसी पूरे हिस्से पर फलन स्थिर हो जाए तो वह एकैकी नहीं होता। / If a function is constant on an entire part of its domain, it is not one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 +|x|) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 +|x|), what is the correct statement about (f)?
#modulus
#even expression
#not one-one
#counterexample
A यह एकैकी है / It is one-one
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह केवल धनात्मक (x) पर परिभाषित है / It is defined only for positive (x)
D यह रैखिक है / It is linear
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Correct Answer
B. यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
(|x|) और \(x^2\) दोनों (x) और (-x) पर समान मान देते हैं। / Both (|x|) and \(x^2\) give the same value at (x) and (-x).
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=1+1=2) और (f(-1)=1+1=2), जबकि \(1\ne-1\)। / (f(1)=1+1=2) and (f(-1)=1+1=2), while \(1\ne-1\).
Step 3
Exam Tip
सममित अभिव्यक्ति दिखे तो (x) और (-x) की जांच करें। / When an expression is symmetric, test (x) and (-x).
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x|+x) के बारे में सही कथन क्या है?
What is the correct statement about \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x|+x)?
#modulus
#not one-one
#piecewise function
#counterexample
A यह एकैकी है / It is one-one
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह हर जगह (2x) है / It is (2x) everywhere
D यह केवल धनात्मक मान देता है और एकैकी है / It gives only positive values and is one-one
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
(x<0) के लिए (|x|=-x), इसलिए (f(x)=0)। / For (x<0), (|x|=-x), so (f(x)=0).
Step 2
Why this answer is correct
सभी ऋणात्मक (x) का मान (0) है, जैसे (f(-1)=f(-2)=0)। / All negative (x)-values give (0), for example (f(-1)=f(-2)=0).
Step 3
Exam Tip
किसी बड़े भाग पर स्थिर व्यवहार एकैकीपन को खत्म कर देता है। / Constant behaviour on a large part destroys one-one nature.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=2|x|+1) है, तो कौन-सा कथन सही है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=2|x|+1), which statement is correct?
#absolute-value
#not-one-one
#modulus
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल (x=1) पर मान देता है / Gives value only at (x=1)
D परिभाषित नहीं है / Not defined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
(|x|) में (x) और (-x) का मान समान होता है। / In (|x|), (x) and (-x) have the same value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(3)=7) और (f(-3)=7), जबकि \(3\neq -3\)। / (f(3)=7) and (f(-3)=7), while \(3\neq -3\).
Step 3
Exam Tip
परम मान के बाहर गुणा या जोड़ करने से समान प्रतिबिंब वाली जोड़ी नहीं हटती। / Multiplying or adding outside the modulus does not remove equal-image pairs.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\sqrt{x-2 }) है, तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\sqrt{x-2 }), choose the correct statement about (f).
#square-root
#modulus
#not-one-one
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C सदैव ऋणात्मक है / Always negative
D सिर्फ (x=0) पर परिभाषित है / Defined only at (x=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
\(\sqrt{x^2}=|x|\) होता है। / \(\sqrt{x^2}=|x|\).
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=2) और (f(-2)=2), जबकि \(2\neq -2\)। / (f(2)=2) and (f(-2)=2), while \(2\neq -2\).
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{x^2}\) को परम मान समझकर प्रश्न हल करें। / Treat \(\sqrt{x^2}\) as modulus while solving.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=|x-2|+3) हो तो परास क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=|x-2|+3), what is the range?
#functions
#range
#modulus
#minimum
A \([3,\infty\))
B (\(3,\infty\))
C (\(-\infty,3]\)
D \(\mathbb{R}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \([3,\infty\))
Step 1
Concept
\(|x-2|\geq0\) हमेशा होता है। / \(|x-2|\geq0\) always.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(|x-2|+3\geq3\) और (x=2) पर मान (3) मिलता है। / Therefore \(|x-2|+3\geq3\), and at (x=2), the value is (3).
Step 3
Exam Tip
मापांक फलन का न्यूनतम मान अंदर की मात्रा शून्य करके मिलता है। / For modulus functions, the minimum is found by making the inside expression zero.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)) तथा (f(x)=|x|) हो तो कौन सा कथन सही है?
If \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)) and (f(x)=|x|), which statement is correct?
#functions
#modulus
#onto
#not-one-one
A एकैकी और आच्छादी / One-one and onto
B एकैकी लेकिन आच्छादी नहीं / One-one but not onto
C आच्छादी लेकिन एकैकी नहीं / Onto but not one-one
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
C. आच्छादी लेकिन एकैकी नहीं / Onto but not one-one
Step 1
Concept
(f(2)=2) और (f(-2)=2) इसलिए यह एकैकी नहीं है। / (f(2)=2) and (f(-2)=2), so the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत का हर मान \(y\geq0\) किसी (x=y) से मिल जाता है। / Every value \(y\geq0\) in the codomain is obtained by taking (x=y).
Step 3
Exam Tip
मापांक फलन में चिन्ह बदलने से समान मान आ सकता है। / In modulus functions, opposite signs can give the same output.
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यदि (f:\mathbb{R}\to(-1,1)) तथा (f(x)=\frac{x}{1+|x|}) हो तो फलन के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
If (f:\mathbb{R}\to(-1,1)) and (f(x)=\frac{x}{1+|x|}), what is the correct conclusion about the function?
#functions
#modulus
#bijective
#range
A यह एकैकी और आच्छादी है / It is one-one and onto
B यह केवल एकैकी है / It is only one-one
C यह केवल आच्छादी है / It is only onto
D यह न एकैकी है न आच्छादी / It is neither one-one nor onto
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Correct Answer
A. यह एकैकी और आच्छादी है / It is one-one and onto
Step 1
Concept
ऋणात्मक भाग और धनात्मक भाग दोनों में फलन बढ़ता है और (0) पर भी क्रम बना रहता है। / On both negative and positive sides, the function increases and the order remains consistent at (0).
Step 2
Why this answer is correct
इसका मान सदैव (-1) और (1) के बीच रहता है और बीच का हर मान मिल जाता है। / Its values always lie between (-1) and (1), and every value in that interval is attained.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में सहप्रांत अगर परास के बराबर दिया हो तो आच्छादी होने की संभावना जाँचें। / When the codomain is exactly the natural range, check for onto carefully.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\frac{x}{1+|x|}) से परिभाषित किया गया है, तो इसका परिसर क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=\frac{x}{1+|x|}), what is its range?
#functions
#range
#modulus
#rational-function
A ((-1,1))
B ([-1,1])
C ((0,1))
D \(\mathbb{R}\)
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Correct Answer
A. ((-1,1))
Step 1
Concept
\(x\ge0\) पर (f(x)=\frac{x}{1+x}), जो (0) से बढ़कर (1) के पास जाता है पर (1) नहीं होता। / For \(x\ge0\), (f(x)=\frac{x}{1+x}), which increases from (0) and approaches (1) but never equals (1).
Step 2
Why this answer is correct
(x<0) पर मान (-1) से बड़ा और (0) से छोटा रहता है। / For (x<0), the value stays greater than (-1) and less than (0).
Step 3
Exam Tip
सीमा के पास पहुँचना और सीमा को प्राप्त करना अलग बातें हैं। / Approaching an endpoint and attaining it are different things.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x+|x|) से परिभाषित किया गया है, तो (f) का परिसर क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x+|x|), what is the range of (f)?
#functions
#modulus
#range
#piecewise
A \([0,\infty\))
B (\(-\infty,0]\)
C \(\mathbb{R}\)
D ({0})
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Correct Answer
A. \([0,\infty\))
Step 1
Concept
यदि (x<0), तो (x+|x|=x-x=0)। / If (x<0), then (x+|x|=x-x=0).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(x\ge0\), तो (x+|x|=2x), जो \([0,\infty\)) में सभी मान देता है। / If \(x\ge0\), then (x+|x|=2x), which gives all values in \([0,\infty\)).
Step 3
Exam Tip
परिमाण वाले फलन को टुकड़ों में बाँटकर परिसर निकालना आसान होता है। / For modulus functions, split the function into cases to find the range.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x+|x|) से परिभाषित किया गया है, तो (f(-5)) क्या होगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x+|x|), what is (f(-5))?
#functions
#modulus
#value
A (0)
B (-10)
C (10)
D (-5)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
(x=-5) के लिए (|-5|=5)। / For (x=-5), (|-5|=5).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (f(-5)=-5+5=0)। / Therefore (f(-5)=-5+5=0).
Step 3
Exam Tip
परिमाण वाले प्रश्नों में पहले चिन्ह के अनुसार (|x|) का मान निकालें। / In modulus questions, first evaluate (|x|) according to the sign of (x).
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सभी जटिल संख्याओं पर \(z_1Rz_2\) तब और केवल तब जब \(|z_1|=|z_2|\)। (3+4i) का तुल्यता वर्ग क्या दर्शाता है?
On all complex numbers, \(z_1Rz_2\) if and only if \(|z_1|=|z_2|\). What does the equivalence class of (3+4i) represent?
#complex numbers
#modulus
#equivalence class
#geometry
A मूल बिंदु से दूरी (5) वाली सभी जटिल संख्याएँ / All complex numbers at distance (5) from the origin
B केवल (3+4i) / Only (3+4i)
C सभी वास्तविक संख्याएँ / All real numbers
D मूल बिंदु से दूरी (7) वाली सभी जटिल संख्याएँ / All complex numbers at distance (7) from the origin
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Correct Answer
A. मूल बिंदु से दूरी (5) वाली सभी जटिल संख्याएँ / All complex numbers at distance (5) from the origin
Step 1
Concept
\(|3+4i|=\sqrt{3^2+4^2}=5\)। / \(|3+4i|=\sqrt{3^2+4^2}=5\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे सम्बन्धित सभी जटिल संख्याओं का परम मान (5) होना चाहिए। / All complex numbers related to it must have modulus (5).
Step 3
Exam Tip
जटिल तल में यह मूल बिंदु से दूरी (5) वाले वृत्त को दर्शाता है। / In the complex plane, this represents the circle with distance (5) from the origin.
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