Taking \(x=-1+\sqrt{y+1}\) keeps \(x\ge0\) and gives function value (y).
Step 3
Exam Tip
Complete the square to find a preimage in quadratic forms. चरण 1: \(x^2+2x=y\) को ((x+1)2=y+1) लिखें। चरण 2: \(x=-1+\sqrt{y+1}\) लेने पर \(x\ge0\) रहता है और फलन मान (y) बनता है। चरण 3: द्विघात रूप में पूर्ण वर्ग बनाकर पूर्वप्रतिबिंब निकालें।
Since (g) is onto, some \(b\in B\) has (g(b)=c); since (f) is onto, some \(a\in A\) has (f(a)=b).
Step 3
Exam Tip
Therefore (\(g\circ f\)(a)=c), so the composition is onto. चरण 1: (C) का कोई भी अवयव (c) लें। चरण 2: (g) आच्छादी है, इसलिए कोई \(b\in B\) है जिससे (g(b)=c); और (f) आच्छादी है, इसलिए कोई \(a\in A\) है जिससे (f(a)=b)। चरण 3: इसलिए (\(g\circ f\)(a)=c), अतः संयोजन आच्छादी है।
As (x) grows large, the value approaches (1) but never reaches it, so the range is ([-1,1)).
Step 3
Exam Tip
Approaching a boundary and attaining it are different ideas. चरण 1: (x=0) पर मान (-1) मिलता है। चरण 2: (x) बड़ा होने पर मान (1) के पास जाता है, लेकिन (1) तक नहीं पहुंचता, इसलिए परास ([-1,1)) है। चरण 3: सीमा तक पहुंचना और सीमा पर मान लेना अलग बातें हैं।
For every \(y\ge1\), taking \(x=\ln y\) gives the needed absolute value and \(e^{|x|}=y\).
Step 3
Exam Tip
A modulus with an exponential gives range \([1,\infty\)). चरण 1: \(|x|\ge0\), इसलिए \(e^{|x|}\ge1\)। चरण 2: हर \(y\ge1\) के लिए \(x=\ln y\) लेने पर (|x|) को आवश्यक मान मिल जाता है और \(e^{|x|}=y\)। चरण 3: मापांक और घातीय फलन मिलकर \([1,\infty\)) परास देते हैं।
For every \(y\ge2\), take \(x=\sqrt[6]{y-2}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
An even-power function is onto its correctly shifted codomain. चरण 1: \(x^6\ge0\), इसलिए \(x^6+2\ge2\)। चरण 2: हर \(y\ge2\) के लिए \(x=\sqrt[6]{y-2}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: सम घात फलन अपने सही खिसके हुए सहप्रांत पर आच्छादी होता है।
A. यह सतत है और \(-\infty\) से \(\infty\) तक मान लेता है/It is continuous and takes values from \(-\infty\) to \(\infty\)
Step 1
Concept
\(x^3+x+1\) is a continuous cubic polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
As \(x\to-\infty\), it tends to \(-\infty\), and as \(x\to\infty\), it tends to \(\infty\).
Step 3
Exam Tip
By the intermediate value idea, it obtains every real value. चरण 1: \(x^3+x+1\) एक सतत घन बहुपद है। चरण 2: \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) और \(x\to\infty\) पर \(\infty\) की ओर जाता है। चरण 3: मध्य मान विचार से यह हर वास्तविक मान प्राप्त करता है।
The range of (|x+5|) is \([0,\infty\)), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
Recognize \(\sqrt{u^2}\) as a modulus expression. चरण 1: (\sqrt{(x+5)2}=|x+5|) है। चरण 2: (|x+5|) का परास \([0,\infty\)) है, जो सहप्रांत के बराबर है। चरण 3: \(\sqrt{u^2}\) को मापांक के रूप में पहचानें।
Both codomain values are obtained, so the function is onto. चरण 1: (x=1) रखने पर (f(x)=0) मिलता है। चरण 2: (x=2) रखने पर (f(x)=1) मिलता है। चरण 3: सहप्रांत के दोनों मान प्राप्त हैं, इसलिए फलन आच्छादी है।
For any \(k\in\mathbb{Z}\), take \(x=\frac{k}{2}\), then \(\lceil 2x\rceil=k\).
Step 3
Exam Tip
The linear expression inside the ceiling can produce all required integers. चरण 1: \(\lceil 2x\rceil\) पूर्णांक मान देता है। चरण 2: किसी भी \(k\in\mathbb{Z}\) के लिए \(x=\frac{k}{2}\) रखने पर \(\lceil 2x\rceil=k\) मिलता है। चरण 3: छत फलन में अंदर का रैखिक भाग सभी आवश्यक पूर्णांक बना सकता है।
For any \(k\in\mathbb{Z}\), take (x=k+3), then \(\lfloor x-3\rfloor=k\).
Step 3
Exam Tip
A floor function can be onto an integer codomain. चरण 1: \(\lfloor x-3\rfloor\) पूर्णांक मान देता है। चरण 2: किसी भी \(k\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=k+3) रखने पर \(\lfloor x-3\rfloor=k\) मिलता है। चरण 3: नीचे पूर्णांक फलन पूर्णांक सहप्रांत पर आच्छादी हो सकता है।
For any \(y\in\mathbb{R}\), take \(x=y^3-8\), then \(\sqrt[3]{x+8}=y\).
Step 3
Exam Tip
A cube-root form gives all real values on \(\mathbb{R}\). चरण 1: घनमूल हर वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित होता है। चरण 2: किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=y^3-8\) लेने पर \(\sqrt[3]{x+8}=y\) मिलता है। चरण 3: घनमूल रूप \(\mathbb{R}\) पर सभी वास्तविक मान देता है।
If \(x=y^2+1\), then \(x\ge1\) and \(\sqrt{x-1}=y\).
Step 3
Exam Tip
For a square-root function, square the target value to find a preimage. चरण 1: सहप्रांत का कोई \(y\ge0\) लें। चरण 2: \(x=y^2+1\) रखने पर \(x\ge1\) और \(\sqrt{x-1}=y\) मिलता है। चरण 3: वर्गमूल फलन में पूर्वप्रतिबिंब खोजने के लिए लक्ष्य मान का वर्ग करें।
This function always gives values between (-1) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
Every value in the open interval ((-1,1)) is obtained for some real (x).
Step 3
Exam Tip
Since the endpoints are open, obtaining (-1) and (1) is not required. चरण 1: यह फलन हमेशा (-1) और (1) के बीच मान देता है। चरण 2: खुले अंतराल ((-1,1)) का हर मान किसी वास्तविक (x) से मिल जाता है। चरण 3: खुले सिरों पर (-1) और (1) पाने की जरूरत नहीं होती।
For finite sets, if every codomain element appears as an image, the function is onto. चरण 1: सहप्रांत (B) के अवयव (p,q,r) हैं। चरण 2: दिए गए प्रतिबिंबों में ये तीनों अवयव मिल रहे हैं। चरण 3: सीमित समुच्चय में सहप्रांत का हर अवयव प्रतिबिंब बने तो फलन आच्छादी होता है।
The range of \(2\cos x\) becomes ([-2,2]), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
Multiplication scales the trigonometric range accordingly. चरण 1: \(\cos x\) का परास ([-1,1]) है। चरण 2: \(2\cos x\) का परास ([-2,2]) बनता है, जो सहप्रांत के बराबर है। चरण 3: गुणा करने से त्रिकोणमितीय परास उसी अनुपात में फैलता है।
On this standard interval, \(\tan x\) takes all real values.
Step 2
Why this answer is correct
For any \(y\in\mathbb{R}\), \(x=\tan^{-1}y\) lies in this interval.
Step 3
Exam Tip
Remember the onto interval of \(\tan x\). चरण 1: इस मानक अंतराल पर \(\tan x\) सभी वास्तविक मान लेता है। चरण 2: किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=\tan^{-1}y\) इसी अंतराल में होता है। चरण 3: \(\tan x\) का आच्छादी अंतराल याद रखें।
A. यह (1) से (-1) तक सभी मान लेता है/It takes all values from (1) to (-1)
Step 1
Concept
\(\cos0=1\) and \(\cos\pi=-1\).
Step 2
Why this answer is correct
On \([0,\pi]\), \(\cos x\) decreases continuously and takes all intermediate values.
Step 3
Exam Tip
For trigonometric functions, remember the range on the chosen interval. चरण 1: \(\cos0=1\) और \(\cos\pi=-1\)। चरण 2: \([0,\pi]\) पर \(\cos x\) लगातार घटता है और बीच के सभी मान लेता है। चरण 3: त्रिकोणमितीय फलनों में चुने गए अंतराल का परास याद रखना जरूरी है।
As \(x\to\infty\), it goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
Such a continuous cubic polynomial takes all real values. चरण 1: \(x^3-3x\) एक सतत घन बहुपद है। चरण 2: \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) की ओर और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। चरण 3: ऐसा सतत घन बहुपद सभी वास्तविक मान लेता है।
For every \(y\ge1\), take \(x=\sqrt[4]{y-1}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
An even-power function can be onto a suitable non-negative codomain. चरण 1: \(x^4\ge0\), इसलिए \(x^4+1\ge1\)। चरण 2: हर \(y\ge1\) के लिए \(x=\sqrt[4]{y-1}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: सम घात वाला फलन सही अऋणात्मक सहप्रांत पर आच्छादी हो सकता है।
Then (2x+3=xy-y), so (x(y-2)=y+3) and \(x=\frac{y+3}{y-2}\).
Step 3
Exam Tip
Since (y=2) is not in the codomain, this preimage is valid. चरण 1: \(\frac{2x+3}{x-1}=y\) रखें। चरण 2: (2x+3=xy-y), इसलिए (x(y-2)=y+3) और \(x=\frac{y+3}{y-2}\)। चरण 3: चूंकि सहप्रांत में (y=2) नहीं है, यह पूर्वप्रतिबिंब मान्य रहता है।
From \(\frac{2}{x-3}=y\), we get \(x=3+\frac{2}{y}\), which is not (3).
Step 3
Exam Tip
Reciprocal-type functions are onto when the codomain is chosen correctly. चरण 1: सहप्रांत का कोई भी \(y\ne0\) लें। चरण 2: \(\frac{2}{x-3}=y\) से \(x=3+\frac{2}{y}\) मिलता है, जो (3) नहीं है। चरण 3: व्युत्क्रम प्रकार के फलन उचित सहप्रांत पर आच्छादी होते हैं।
Adding (4) gives range (\(4,\infty\)), which equals the codomain.
Step 3
Exam Tip
In exponential functions, the open endpoint is never included. चरण 1: \(e^{2x}\) का परास (\(0,\infty\)) है। चरण 2: (4) जोड़ने से परास (\(4,\infty\)) बनता है, जो सहप्रांत के बराबर है। चरण 3: घातीय फलन में खुला सिरा कभी शामिल नहीं होता।
A. हर \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=2+e^y\) मिल जाता है/For every \(y\in\mathbb{R}\), \(x=2+e^y\) exists
Step 1
Concept
Put (f(x)=y), so (\ln(x-2)=y).
Step 2
Why this answer is correct
Then \(x-2=e^y\), so \(x=2+e^y\), which is always greater than (2).
Step 3
Exam Tip
A logarithmic function gives all real values when its inside expression is positive. चरण 1: (f(x)=y) रखने पर (\ln(x-2)=y) मिलता है। चरण 2: इससे \(x-2=e^y\), यानी \(x=2+e^y\), जो हमेशा (2) से बड़ा है। चरण 3: लघुगणक फलन अपने प्राकृतिक धनात्मक अंदरूनी भाग पर सभी वास्तविक मान देता है।
For every \(y\ge-4\), set (3x-6=y+4), giving \(x=\frac{y+10}{3}\).
Step 3
Exam Tip
The range of a modulus of a linear expression starts from its minimum value. चरण 1: \(|3x-6|\ge0\), इसलिए (f(x)\ge-4)। चरण 2: हर \(y\ge-4\) के लिए (3x-6=y+4) रख सकते हैं, जिससे \(x=\frac{y+10}{3}\) मिलता है। चरण 3: मापांक वाले रैखिक रूप का परास न्यूनतम मान से शुरू होता है।
For every \(y\le5\), take \(x=-2+\sqrt{5-y}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
A downward-opening quadratic can be onto a suitable codomain. चरण 1: ((x+2)2\ge0), इसलिए (5-(x+2)2\le5)। चरण 2: हर \(y\le5\) के लिए \(x=-2+\sqrt{5-y}\) रखने पर (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: नीचे की ओर खुला द्विघात सही सहप्रांत पर आच्छादी हो सकता है।
Its minimum value is (3), so the range is \([3,\infty\)), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
For a quadratic function, complete the square to find the range quickly. चरण 1: (x-2-4x+7=(x-2)2+3) है। चरण 2: इसका न्यूनतम मान (3) है और परास \([3,\infty\)) बनता है, जो सहप्रांत के बराबर है। चरण 3: द्विघात फलन में पूर्ण वर्ग बनाकर परास जल्दी पहचानें।
For every \(y\ge-4\), take (x=7+(y+4)), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
The minimum value of a modulus function helps identify its correct codomain. चरण 1: \(|x-7|\ge0\), इसलिए \(|x-7|-4\ge-4\)। चरण 2: हर \(y\ge-4\) के लिए (x=7+(y+4)) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: मापांक फलन का न्यूनतम मान देखकर उसका सही सहप्रांत पहचाना जा सकता है।
For every \(y\ge0\), set (2x-6=y), giving \(x=\frac{y+6}{2}\), and the function value becomes (y).
Step 3
Exam Tip
The modulus of a linear expression has range \([0,\infty\)). चरण 1: (|2x-6|) का मान हमेशा अऋणात्मक होता है। चरण 2: हर \(y\ge0\) के लिए (2x-6=y) लेने पर \(x=\frac{y+6}{2}\) मिलता है और फलन मान (y) हो जाता है। चरण 3: रैखिक अभिव्यक्ति के मापांक का परास \([0,\infty\)) होता है।
Both codomain values are obtained, so the function is onto. चरण 1: (x=0) रखने पर (f(x)=0) मिलता है। चरण 2: (x=1) रखने पर (f(x)=1) मिलता है। चरण 3: सहप्रांत के दोनों मान मिल रहे हैं, इसलिए फलन आच्छादी है।
For any \(k\in\mathbb{Z}\), take (x=k+1), then \(\lceil x-1\rceil=k\).
Step 3
Exam Tip
A ceiling function can cover an integer codomain completely. चरण 1: \(\lceil x-1\rceil\) पूर्णांक मान देता है। चरण 2: किसी भी \(k\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=k+1) रखने पर \(\lceil x-1\rceil=k\) मिलता है। चरण 3: छत फलन पूर्णांक सहप्रांत को पूरा ढक सकता है।
