फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) जहाँ (f(x)=x-2 +1), सर्वाच्छादक क्यों नहीं है?
Why is the function \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), where (f(x)=x-2 +1), not onto?
#onto function
#not onto
#quadratic function
#range
#class 12
A क्योंकि (0) किसी भी (x) की छवि नहीं है / Because (0) is not the image of any (x)
B क्योंकि (2) किसी भी (x) की छवि नहीं है / Because (2) is not the image of any (x)
C क्योंकि (1) किसी भी (x) की छवि नहीं है / Because (1) is not the image of any (x)
D क्योंकि हर वास्तविक संख्या छवि है / Because every real number is an image
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Correct Answer
A. क्योंकि (0) किसी भी (x) की छवि नहीं है / Because (0) is not the image of any (x)
Step 1
Concept
\(x^2\ge0\) होने से \(x^2+1\ge1\) होता है। / Since \(x^2\ge0\), we get \(x^2+1\ge1\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (0) और सभी (1) से छोटी वास्तविक संख्याएँ परास में नहीं आतीं। / So (0) and all real numbers less than (1) are not in the range.
Step 3
Exam Tip
सर्वाच्छादकता तोड़ने के लिए सहप्रांत का एक छूटा हुआ अवयव दिखाना काफी है। / To disprove onto, it is enough to show one missed codomain element.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x-2 +2x) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x-2 +2x), why is (f) not onto?
#quadratic function
#not onto
#restricted domain
#range
A क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Because negative values are not obtained
B क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
C क्योंकि (3) नहीं मिलता / Because (3) is not obtained
D क्योंकि सभी वास्तविक मान मिलते हैं / Because all real values are obtained
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Correct Answer
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
\(x\ge0\) होने पर \(x^2+2x\ge0\) होता है। / When \(x\ge0\), \(x^2+2x\ge0\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-1) जैसे ऋणात्मक मान हैं, लेकिन वे परास में नहीं आते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative values such as (-1), but they are not in the range.
Step 3
Exam Tip
प्रांत सीमित होने पर परास भी सीमित हो सकता है। / When the domain is restricted, the range can also be restricted.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=x-2 +2x) है, तो (f) के आच्छादी होने के लिए \(y\ge0\) का पूर्वप्रतिबिंब क्या हो सकता है?
If \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=x-2 +2x), what can be a preimage of \(y\ge0\) to show that (f) is onto?
#quadratic function
#onto
#preimage
#restricted domain
A \(x=-1+\sqrt{y+1}\)
B \(x=1+\sqrt{y+1}\)
C \(x=\sqrt{y}-2\)
D \(x=y^2+2\)
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Correct Answer
A. \(x=-1+\sqrt{y+1}\)
Step 1
Concept
\(x^2+2x=y\) को ((x+1)2 =y+1) लिखें। / Write \(x^2+2x=y\) as ((x+1)2 =y+1).
Step 2
Why this answer is correct
\(x=-1+\sqrt{y+1}\) लेने पर \(x\ge0\) रहता है और फलन मान (y) बनता है। / Taking \(x=-1+\sqrt{y+1}\) keeps \(x\ge0\) and gives function value (y).
Step 3
Exam Tip
द्विघात रूप में पूर्ण वर्ग बनाकर पूर्वप्रतिबिंब निकालें। / Complete the square to find a preimage in quadratic forms.
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यदि (f:\mathbb{R}\to\(-\infty,5]\), (f(x)=5-(x+2)2 ) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If (f:\mathbb{R}\to\(-\infty,5]\), (f(x)=5-(x+2)2 ), what is the correct statement about (f)?
#quadratic function
#onto
#maximum value
#range
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल (5) मान देता है / It gives only value (5)
D यह केवल धनात्मक मान देता है / It gives only positive values
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
((x+2)2 \ge0), इसलिए (5-(x+2)2 \le5)। / Since ((x+2)2 \ge0), (5-(x+2)2 \le5).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\le5\) के लिए \(x=-2+\sqrt{5-y}\) रखने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\le5\), take \(x=-2+\sqrt{5-y}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
नीचे की ओर खुला द्विघात सही सहप्रांत पर आच्छादी हो सकता है। / A downward-opening quadratic can be onto a suitable codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=x-2 -4x+7) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=x-2 -4x+7), why is (f) not onto?
#quadratic function
#not onto
#minimum value
#codomain
A क्योंकि (1) जैसा मान नहीं मिलता / Because a value like (1) is not obtained
B क्योंकि (3) नहीं मिलता / Because (3) is not obtained
C क्योंकि (4) नहीं मिलता / Because (4) is not obtained
D क्योंकि सभी अऋणात्मक मान मिलते हैं / Because all non-negative values are obtained
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Correct Answer
A. क्योंकि (1) जैसा मान नहीं मिलता / Because a value like (1) is not obtained
Step 1
Concept
(f(x)=(x-2)2 +3), इसलिए परास \([3,\infty\)) है। / (f(x)=(x-2)2 +3), so the range is \([3,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \([0,\infty\)) में (1) है, लेकिन वह परास में नहीं आता। / The codomain \([0,\infty\)) contains (1), but it is not in the range.
Step 3
Exam Tip
आच्छादीपन में सहप्रांत का हर मान मिलना चाहिए, केवल कुछ मान नहीं। / For onto nature, every codomain value must be obtained, not just some values.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[3,\infty\)), (f(x)=x-2 -4x+7) है, तो सही कथन चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to[3,\infty\)), (f(x)=x-2 -4x+7), choose the correct statement.
#quadratic function
#onto
#range
#codomain
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह \([0,\infty\)) पर आच्छादी है / It is onto \([0,\infty\))
D यह \(\mathbb{R}\) पर आच्छादी है / It is onto \(\mathbb{R}\)
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
(x-2 -4x+7=(x-2)2 +3) है। / (x-2 -4x+7=(x-2)2 +3).
Step 2
Why this answer is correct
इसका न्यूनतम मान (3) है और परास \([3,\infty\)) बनता है, जो सहप्रांत के बराबर है। / Its minimum value is (3), so the range is \([3,\infty\)), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन में पूर्ण वर्ग बनाकर परास जल्दी पहचानें। / For a quadratic function, complete the square to find the range quickly.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[9,\infty\)), (f(x)=(x+4)2 +9) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to[9,\infty\)), (f(x)=(x+4)2 +9), what is the correct statement about (f)?
#onto function
#quadratic function
#range
#codomain
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (8) मान देता है / It gives value (8)
D यह ऋणात्मक मान देता है / It gives negative values
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
((x+4)2 \ge0), इसलिए (f(x)\ge9)। / Since ((x+4)2 \ge0), (f(x)\ge9).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge9\) के लिए \(x=-4+\sqrt{y-9}\) रखने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\ge9\), take \(x=-4+\sqrt{y-9}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन का न्यूनतम मान सहप्रांत की शुरुआत से मेल खाए, तो फलन आच्छादी होता है। / When the minimum value of a quadratic matches the start of the codomain, the function is onto.
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यदि (f:\mathbb{R}\to\(-\infty,5]\), (f(x)=4-x-2 ) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If (f:\mathbb{R}\to\(-\infty,5]\), (f(x)=4-x-2 ), why is (f) not onto?
#quadratic function
#not onto
#maximum value
#codomain
A क्योंकि (5) नहीं मिलता / Because (5) is not obtained
B क्योंकि (4) नहीं मिलता / Because (4) is not obtained
C क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
D क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Because negative values are not obtained
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Correct Answer
A. क्योंकि (5) नहीं मिलता / Because (5) is not obtained
Step 1
Concept
\(4-x^2\) का अधिकतम मान (4) है। / The maximum value of \(4-x^2\) is (4).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत (\(-\infty,5]\) में (5) है, लेकिन कोई वास्तविक (x) \(4-x^2=5\) नहीं बना सकता। / The codomain (\(-\infty,5]\) contains (5), but no real (x) can make \(4-x^2=5\).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत में अधिकतम परास से बड़ा मान हो तो फलन आच्छादी नहीं होता। / If the codomain contains a value above the maximum range, the function is not onto.
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यदि (f:\mathbb{R}\to\(-\infty,3]\), (f(x)=3-(x+1)2 ) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If (f:\mathbb{R}\to\(-\infty,3]\), (f(x)=3-(x+1)2 ), what is the correct statement about (f)?
#quadratic function
#onto
#maximum value
#range
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल (3) मान देता है / It gives only value (3)
D यह केवल धनात्मक मान देता है / It gives only positive values
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
((x+1)2 \ge0), इसलिए (3-(x+1)2 \le3)। / ((x+1)2 \ge0), so (3-(x+1)2 \le3).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\le3\) के लिए \(x=-1+\sqrt{3-y}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\le3\), take \(x=-1+\sqrt{3-y}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
नीचे खुला द्विघात अपने सही सहप्रांत पर आच्छादी हो सकता है। / A downward quadratic can be onto its correct codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=(x-2)2 +1) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=(x-2)2 +1), why is (f) not onto?
#quadratic function
#not onto
#minimum value
#codomain
A क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
B क्योंकि (1) नहीं मिलता / Because (1) is not obtained
C क्योंकि (2) नहीं मिलता / Because (2) is not obtained
D क्योंकि सभी मान मिलते हैं / Because all values are obtained
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Correct Answer
A. क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
Step 1
Concept
((x-2)2 +1) का न्यूनतम मान (1) है। / The minimum value of ((x-2)2 +1) is (1).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \([0,\infty\)) में (0) है, पर फलन (0) नहीं दे सकता। / The codomain \([0,\infty\)) contains (0), but the function cannot produce (0).
Step 3
Exam Tip
आच्छादी जांचते समय सहप्रांत के शुरुआती मानों को जरूर देखें। / While checking onto nature, always inspect the starting values of the codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[4,\infty\)), (f(x)=(x-1)2 +4) है, तो सही विकल्प चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to[4,\infty\)), (f(x)=(x-1)2 +4), choose the correct option.
#quadratic function
#onto
#range
#codomain
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (3) मान देता है / It gives value (3)
D यह ऋणात्मक मान देता है / It gives negative values
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
((x-1)2 \ge0), इसलिए (f(x)\ge4)। / ((x-1)2 \ge0), so (f(x)\ge4).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge4\) के लिए \(x=1+\sqrt{y-4}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\ge4\), take \(x=1+\sqrt{y-4}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन का न्यूनतम मान और सहप्रांत बराबर हों तो आच्छादीपन आसानी से दिखता है। / When the minimum value matches the codomain start, onto nature is easy to verify.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[-1,\infty\)), (f(x)=x-2 -1) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to[-1,\infty\)), (f(x)=x-2 -1), what is the correct statement about (f)?
#onto function
#quadratic function
#range
#codomain
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल ऋणात्मक मान देता है / It gives only negative values
D यह (0) पर परिभाषित नहीं है / It is not defined at (0)
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(x^2\ge0\), इसलिए \(x^2-1\ge-1\)। / Since \(x^2\ge0\), we have \(x^2-1\ge-1\).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge-1\) के लिए \(x=\sqrt{y+1}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\ge-1\), take \(x=\sqrt{y+1}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन का न्यूनतम मान और सहप्रांत मिल जाएं, तो आच्छादीपन आसानी से जांचा जा सकता है। / If the minimum value of a quadratic matches the codomain start, onto nature is easy to verify.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=7-x-2 ) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=7-x-2 ), why is (f) not onto?
#quadratic function
#not onto
#maximum value
#real codomain
A क्योंकि (8) जैसा मान नहीं मिलता / Because a value like (8) is not obtained
B क्योंकि (7) नहीं मिलता / Because (7) is not obtained
C क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
D क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Because negative values are not obtained
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (8) जैसा मान नहीं मिलता / Because a value like (8) is not obtained
Step 1
Concept
\(7-x^2\) का अधिकतम मान (7) है। / The maximum value of \(7-x^2\) is (7).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (8) है, पर \(7-x^2=8\) का कोई वास्तविक हल नहीं है। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (8), but \(7-x^2=8\) has no real solution.
Step 3
Exam Tip
अधिकतम मान से ऊपर के सहप्रांत मान परास में नहीं आते। / Codomain values above the maximum are not in the range.
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यदि (f:\mathbb{R}\to\(-\infty,7]\), (f(x)=7-x-2 ) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If (f:\mathbb{R}\to\(-\infty,7]\), (f(x)=7-x-2 ), what is the correct statement about (f)?
#quadratic function
#onto
#maximum value
#range
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल (7) मान देता है / It gives only value (7)
D यह केवल धनात्मक मान देता है / It gives only positive values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(x^2\ge0\), इसलिए \(7-x^2\le7\)। / \(x^2\ge0\), so \(7-x^2\le7\).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\le7\) के लिए \(x=\sqrt{7-y}\) लेने पर (f(x)=y) मिल जाता है। / For every \(y\le7\), take \(x=\sqrt{7-y}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
नीचे की ओर खुला द्विघात अपने सही सहप्रांत पर आच्छादी हो सकता है। / A downward-opening quadratic can be onto its correct codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 +5) है, तो यह आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 +5), why is it not onto?
#quadratic function
#not onto
#minimum value
#codomain
A क्योंकि (3) जैसा मान नहीं मिलता / Because a value like (3) is not obtained
B क्योंकि (5) नहीं मिलता / Because (5) is not obtained
C क्योंकि (6) नहीं मिलता / Because (6) is not obtained
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (3) जैसा मान नहीं मिलता / Because a value like (3) is not obtained
Step 1
Concept
\(x^2+5\) का न्यूनतम मान (5) है। / The minimum value of \(x^2+5\) is (5).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (3) है, पर \(x^2+5=3\) का कोई वास्तविक हल नहीं है। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (3), but \(x^2+5=3\) has no real solution.
Step 3
Exam Tip
परास में जो मान नहीं आते, वे आच्छादीपन को रोकते हैं। / Values missing from the range prevent onto nature.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[5,\infty\)), (f(x)=x-2 +5) है, तो सही विकल्प चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to[5,\infty\)), (f(x)=x-2 +5), choose the correct option.
#quadratic function
#onto
#range
#codomain
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (4) मान देता है / It gives value (4)
D यह केवल ऋणात्मक मान देता है / It gives only negative values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(x^2\ge0\), इसलिए \(x^2+5\ge5\)। / \(x^2\ge0\), so \(x^2+5\ge5\).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge5\) के लिए \(x=\sqrt{y-5}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\ge5\), take \(x=\sqrt{y-5}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
परास \([5,\infty\)) सहप्रांत के बराबर है, इसलिए फलन आच्छादी है। / The range is \([5,\infty\)), equal to the codomain, so the function is onto.
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यदि \(f:[2,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x-2 -4x+6) है, तो सही कथन चुनिए।
If \(f:[2,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x-2 -4x+6), choose the correct statement.
#quadratic function
#restricted domain
#one-one
#vertex
A यह एकैकी है / It is one-one
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह हर जगह घटता है / It decreases everywhere
D यह स्थिर है / It is constant
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
(f(x)=x-2 -4x+6=(x-2)2 +2) है। / (f(x)=x-2 -4x+6=(x-2)2 +2).
Step 2
Why this answer is correct
प्रांत \([2,\infty\)) शीर्ष के दाईं ओर है, जहां फलन लगातार बढ़ता है। / The domain \([2,\infty\)) lies to the right of the vertex, where the function is strictly increasing.
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन को शीर्ष के एक ओर सीमित करने पर वह एकैकी बन जाता है। / A quadratic becomes one-one when restricted to one side of its vertex.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 +4x+7) किस समुच्चय पर एकैकी होगा?
The function \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 +4x+7), will be one-one on which set?
#quadratic function
#one-one
#vertex
#domain restriction
A \([-2,\infty)\)
B \((-5,1)\)
C \(\mathbb{R}\)
D \((-3,3)\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \([-2,\infty)\)
Step 1
Concept
(f(x)=x-2 +4x+7=(x+2)2 +3) लिखें। / Write (f(x)=x-2 +4x+7=(x+2)2 +3).
Step 2
Why this answer is correct
शीर्ष बिंदु (x=-2) है और इसके दाईं ओर फलन लगातार बढ़ता है। / The vertex is at (x=-2), and the function is strictly increasing to the right of it.
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन पूरे वास्तविक समुच्चय पर एकैकी नहीं होता, लेकिन शीर्ष के एक ओर एकैकी होता है। / A quadratic function is not one-one on all real numbers, but it is one-one on one side of its vertex.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-2 -6x+10) है, तो कौन सा विकल्प (f) के एक-एक न होने को दिखाता है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 -6x+10), which option shows that (f) is not one-one?
#quadratic function
#vertex
#counterexample
#one-one function
A (f(0)=f(6))
B (f(1)=f(2))
C (f(3)=f(4))
D (f(-1)=f(1))
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f(0)=f(6))
Step 1
Concept
(x-2 -6x+10=(x-3)2 +1) है। / (x-2 -6x+10=(x-3)2 +1).
Step 2
Why this answer is correct
(0) और (6), (3) से बराबर दूरी पर हैं, इसलिए (f(0)=10) और (f(6)=10)। / (0) and (6) are equally distant from (3), so (f(0)=10) and (f(6)=10).
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन में शिखर के दोनों ओर बराबर दूरी वाले मान जल्दी जांचें। / For quadratics quickly test points equally distant from the vertex.
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यदि \(f:[2,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x-2 -4x+5) है, तो (f) के लिए सही कथन क्या है?
If \(f:[2,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x-2 -4x+5), what is the correct statement about (f)?
#quadratic function
#vertex
#restricted domain
#one-one function
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f(1)=f(3)) इसलिए प्रांत में दोहराव है / (f(1)=f(3)) so repetition is in the domain
D (f) स्थिर है / (f) is constant
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Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
(x-2 -4x+5=(x-2)2 +1) है। / (x-2 -4x+5=(x-2)2 +1).
Step 2
Why this answer is correct
प्रांत \(x\ge2\) शिखर के दाईं ओर है, जहां फलन बढ़ता है। / The domain \(x\ge2\) is to the right of the vertex where the function increases.
Step 3
Exam Tip
शिखर से एक ओर सीमित द्विघात फलन एक-एक होता है। / A quadratic restricted to one side of the vertex is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-2 -4x+7) है, तो कौन सा विकल्प (f) के एक-एक न होने को दिखाता है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 -4x+7), which option shows that (f) is not one-one?
#quadratic function
#vertex
#counterexample
#one-one function
A (f(1)=f(3))
B (f(0)=f(1))
C (f(2)=f(4))
D (f(-1)=f(1))
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Correct Answer
A. (f(1)=f(3))
Step 1
Concept
(x-2 -4x+7=(x-2)2 +3) है। / (x-2 -4x+7=(x-2)2 +3).
Step 2
Why this answer is correct
(1) और (3), (2) से बराबर दूरी पर हैं, इसलिए (f(1)=4) और (f(3)=4)। / (1) and (3) are equally distant from (2), so (f(1)=4) and (f(3)=4).
Step 3
Exam Tip
शिखर के दोनों ओर समान दूरी वाले मान जांचना उपयोगी है। / For quadratics check points equally distant from the vertex.
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यदि \(f:[-2,2]\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-2 ) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:[-2,2]\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 ), what is the correct statement about (f)?
#quadratic function
#symmetric domain
#counterexample
#class 12
A (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
B (f) एक-एक है / (f) is one-one
C (f) केवल (x=2) पर परिभाषित है / (f) is defined only at (x=2)
D (f) का परास रिक्त है / The range of (f) is empty
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Correct Answer
A. (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
Step 1
Concept
इस प्रांत में धनात्मक और ऋणात्मक दोनों विपरीत संख्याएं शामिल हैं। / This domain contains both positive and negative opposite numbers.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=4) और (f(-2)=4), जबकि \(2\neq -2\)। / (f(2)=4) and (f(-2)=4), while \(2\neq -2\).
Step 3
Exam Tip
सममित प्रांत पर \(x^2\) एक-एक नहीं रहता। / On a symmetric domain \(x^2\) is not one-one.
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यदि (f:\(-\infty,1]\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-2 -2x) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If (f:\(-\infty,1]\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 -2x), what is the correct statement about (f)?
#quadratic function
#restricted domain
#one-one function
#hard
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) केवल शून्य देता है / (f) gives only zero
D (f) का कोई मान नहीं है / (f) has no value
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Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
(x-2 -2x=(x-1)2 -1) का शिखर (x=1) पर है। / The vertex of (x-2 -2x=(x-1)2 -1) is at (x=1).
Step 2
Why this answer is correct
\(x\le1\) पर यह फलन एक दिशा में घटता है, इसलिए एक ही मान दो बार नहीं आता। / On \(x\le1\), the function moves in one direction, so no value repeats.
Step 3
Exam Tip
शिखर के एक ही ओर लिया गया द्विघात फलन एक-एक होता है। / A quadratic restricted to one side of its vertex is one-one.
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यदि \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x-2 -2x) है, तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।
If \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x-2 -2x), choose the correct statement about (f).
#restricted domain
#quadratic function
#one-one function
#class 12
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) हर जगह स्थिर है / (f) is constant everywhere
D (f) (x=1) पर परिभाषित नहीं है / (f) is not defined at (x=1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
(x-2 -2x=(x-1)2 -1) है। / (x-2 -2x=(x-1)2 -1).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए प्रांत \(x\ge1\) पर यह फलन बढ़ता है, इसलिए अलग आगत अलग मान देंगे। / On the domain \(x\ge1\), this function increases, so different inputs give different values.
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन को शिखर के एक ओर सीमित करने पर वह एक-एक हो सकता है। / A quadratic can become one-one when restricted to one side of its vertex.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-2 +2x+3) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 +2x+3), what is the correct statement about (f)?
#quadratic function
#parabola
#one-one function
#class 12
A यह एक-एक नहीं है / It is not one-one
B यह एक-एक है / It is one-one
C यह केवल ऋणात्मक मान देता है / It gives only negative values
D यह परिभाषित नहीं है / It is not defined
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Correct Answer
A. यह एक-एक नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
(x-2 +2x+3=(x+1)2 +2) है, इसलिए रेखाचित्र एक परवलय है। / (x-2 +2x+3=(x+1)2 +2), so the graph is a parabola.
Step 2
Why this answer is correct
(-1) के दोनों ओर बराबर दूरी वाले आगत समान मान देते हैं। / Inputs equally distant from (-1) give the same value.
Step 3
Exam Tip
पूरे वास्तविक प्रांत पर परवलय सामान्यतः एक-एक नहीं होता। / A parabola is generally not one-one on the whole real domain.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x-2 ) है, तो (f) के लिए सही कथन चुनिए।
If \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x-2 ), choose the correct statement for (f).
#restricted domain
#quadratic function
#one-one function
#class 12
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) परिभाषित नहीं है / (f) is not defined
D (f) का प्रत्येक मान ऋणात्मक है / Every value of (f) is negative
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Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
यहां प्रांत में केवल (0) और धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं। / The domain contains only (0) and positive real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(x_1^2=x_2^2\) और \(x_1,x_2\ge 0\), तो \(x_1=x_2\) होगा। / If \(x_1^2=x_2^2\) and \(x_1,x_2\ge 0\), then \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
प्रांत बदलने से एक ही नियम वाला फलन एक-एक बन सकता है। / Changing the domain can make the same rule one-one.
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फलन \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n-2 ) एकैकी है या नहीं?
Is the function \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n-2 ), one-one?
#one-one function
#integer function
#quadratic function
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल धनात्मक पूर्णांकों पर नहीं परिभाषित / Not defined on positive integers
D फलन नहीं है / Not a function
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
पूर्णांकों में धन और ऋण दोनों मान आते हैं। / Integers include both positive and negative values.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=4) और (f(-2)=4), जबकि \(2\ne -2\)। / (f(2)=4) and (f(-2)=4), while \(2\ne -2\).
Step 3
Exam Tip
\(n^2\) जैसे फलन को पूर्णांकों पर एकैकी मानने से पहले विपरीत चिह्न वाले मान जाँचें। / Before calling \(n^2\) one-one on integers, test values with opposite signs.
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फलन \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x-2 ) के लिए सही कथन चुनिए।
Choose the correct statement for the function \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x-2 ).
#one-one function
#domain restriction
#quadratic function
A (f) एकैकी है / (f) is one-one
B (f) एकैकी नहीं है / (f) is not one-one
C (f) स्थिर है / (f) is constant
D (f) केवल (x=0) पर परिभाषित है / (f) is defined only at (x=0)
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Correct Answer
A. (f) एकैकी है / (f) is one-one
Step 1
Concept
इस फलन का परिभाषा-क्षेत्र केवल \(x\ge 0\) है। / The domain is only \(x\ge 0\).
Step 2
Why this answer is correct
इस क्षेत्र में \(x^2\) बढ़ता है, इसलिए \(a^2=b^2\) होने पर (a=b)। / On this domain, \(x^2\) is increasing, so \(a^2=b^2\) implies (a=b).
Step 3
Exam Tip
परिभाषा-क्षेत्र बदलने से एकैकी होने का निर्णय बदल सकता है। / Changing the domain can change whether a function is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-2 +1), तो (f) एकैकी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 +1), why is (f) not one-one?
#one-one function
#quadratic function
#counterexample
A क्योंकि (f(1)=f(-1)) / Because (f(1)=f(-1))
B क्योंकि (f(0)=0) / Because (f(0)=0)
C क्योंकि (f(x)) सदा ऋणात्मक है / Because (f(x)) is always negative
D क्योंकि परिभाषा-क्षेत्र खाली है / Because the domain is empty
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Correct Answer
A. क्योंकि (f(1)=f(-1)) / Because (f(1)=f(-1))
Step 1
Concept
एकैकी न होने के लिए दो अलग आगतों पर समान निर्गत दिखाना पर्याप्त है। / To disprove one-one, it is enough to find two different inputs with the same output.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=2) और (f(-1)=2), जबकि \(1\ne -1\)। / (f(1)=2) and (f(-1)=2), while \(1\ne -1\).
Step 3
Exam Tip
सम घात वाले फलनों में धन और ऋण मानों को अवश्य जाँचें। / For even power functions, always check positive and negative inputs.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-2 -2x+1) है, तो उसी सूत्र के लिए पूरे \(\mathbb{R}\) पर निष्कर्ष क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 -2x+1), what is the conclusion for the same formula on all \(\mathbb{R}\)?
#quadratic-function
#domain-change
#not-one-one
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C सिर्फ (x=1) पर फलन है / Function only at (x=1)
D परास खाली है / Range is empty
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
(f(x)=(x-1)2 ) है। / (f(x)=(x-1)2 ).
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=1) और (f(2)=1), जबकि \(0\neq 2\)। / (f(0)=1) and (f(2)=1), while \(0\neq 2\).
Step 3
Exam Tip
वही सूत्र अलग डोमेन पर अलग एकैकी परिणाम दे सकता है। / The same formula can have a different one-one result on a different domain.
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