Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. यह \(x\)-अक्ष को नहीं मिलेगा/It will not meet the \(x\)-axis
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग बनाकर \(x^2+6x+10=(x+3)^2+1\) मिलता है। क्योंकि \((x+3)^2\ge0\) है, मान हमेशा कम से कम 1 होगा इसलिए पारबोला \(x\)-अक्ष को कभी काटता ही नहीं। समान रूप से डिस्क्रिमिनेंट \(b^2-4ac=36-40=-4<0\) होने से कोई वास्तविक शून्य नहीं है। निकटतम विकल्प (छूना एक बार) गलत है क्योंकि उसके लिए डिस्क्रिमिनेंट शून्य होना चाहिए। परीक्षा-सुझाव: तीव्रता से जाँचने के लिए तुरंत डिस्क्रिमिनेंट निकालें या पूर्ण-वर्ग में बदलकर शीर्षबिंदु देखें। / Completing the square gives \(x^2+6x+10=(x+3)^2+1\). Since \((x+3)^2\ge0\), the minimum value is 1, so the parabola never reaches 0 and does not meet the x-axis. Equivalently, the discriminant is \(b^2-4ac=36-40=-4<0\), so there are no real roots. The closest distractor (touch once) is wrong because that requires discriminant zero. Exam tip: use the discriminant or complete the square to quickly decide if real x-intercepts exist.
A. दोनों वास्तविक शून्यक समान हैं/Both real zeroes are equal
Explanation
Simple Explanation
शीर्ष (x)-अक्ष पर होने पर परवलय अक्ष को एक ही बिंदु पर छूता है। इसलिए शून्यक समान होते हैं। / When the vertex lies on the (x)-axis, the parabola touches the axis at one point. Hence the zeroes are equal.
शीर्ष (x)-अक्ष पर है, इसलिए परवलय ((-14,0)) पर स्पर्श करेगा। टिप: शीर्ष का (y)-मान (0) हो तो एक अलग शून्यक होता है। / The vertex lies on the (x)-axis, so the parabola touches at ((-14,0)). Tip: if the vertex has (y=0), there is one distinct zero.
शीर्ष (x)-अक्ष पर है, इसलिए परवलय ((12,0)) पर स्पर्श करेगा। टिप: शीर्ष का (y)-मान (0) हो तो एक अलग शून्यक होता है। / The vertex lies on the (x)-axis, so the parabola touches at ((12,0)). Tip: if the vertex has (y=0), there is one distinct zero.
शीर्ष (x)-अक्ष पर है इसलिए परवलय ((-5,0)) पर स्पर्श करेगा। टिप: शीर्ष का (y)-मान (0) हो तो एक अलग शून्यक होता है। / The vertex lies on the (x)-axis, so the parabola touches at ((-5,0)). Tip: if the vertex has (y=0), there is one distinct zero.
शीर्ष (x)-अक्ष पर है, इसलिए परवलय ((4,0)) पर स्पर्श करेगा। टिप: शीर्ष का (y)-मान (0) हो तो एक अलग शून्यक होता है। / The vertex lies on the (x)-axis, so the parabola touches at ((4,0)). Tip: if the vertex has (y=0), there is one distinct zero.
शीर्ष (x)-अक्ष पर है, इसलिए ग्राफ वहीं स्पर्श करता है। टिप: खुलने की दिशा स्पर्श बिंदु नहीं बदलती। / The vertex lies on the (x)-axis, so the graph touches there. Tip: the opening direction does not change the touching point.
शीर्ष (x)-अक्ष के नीचे है और ग्राफ ऊपर खुलता है, इसलिए वह (x)-अक्ष को दो बार काटेगा। टिप: शीर्ष की ऊँचाई और खुलने की दिशा साथ देखें। / The vertex is below the (x)-axis and the graph opens upward, so it cuts the (x)-axis twice. Tip: check vertex height and opening direction together.
A. मूल \(x=0\) पर स्पर्श करता है/It touches the x-axis at the origin \(x=0\)
Explanation
Simple Explanation
\(p(x)=x^2\) का शून्य तब मिलता है जब \(x^2=0\), अर्थात् \(x=0\) मात्र। यह जड़ दोहरायी हुई (multiplicity 2) है, इसलिए परबोला x-अक्ष को काटकर पार नहीं होता बल्कि उसी बिंदु पर स्पर्श कर लौटता है (vertex पर)। विकल्प B गलत है क्योंकि दो अलग शून्य होने पर परबोला x-अक्ष को दो स्थानों पर काटती, पर यहाँ परिणाम एक ही शून्य है। विकल्प D गलत है क्योंकि \(x=1\) शून्य नहीं है। परीक्षा टिप: किसी बहुपद की जड़ों की गुणिता (multiplicity) देखकर तय करें कि ग्राफ x-अक्ष को 'छेदता' है या 'स्पर्श' करता है। / Solve \(x^2=0\) to find zeros: the only root is \(x=0\), with multiplicity 2. A repeated root of even multiplicity means the parabola touches (is tangent to) the x-axis at that point and does not cross it. Option B is incorrect because two distinct real roots would be required to cut the axis at two points (discriminant > 0), which is not the case here. Option D is wrong since \(x=1\) is not a root. Exam tip: check factorization or discriminant and note root multiplicities to determine whether the graph crosses or merely touches the x-axis.
किसी घनात्मक बहुपद (parabola) का शून्यक वह x-मूल (x-coordinate) है जहाँ वह x-अक्ष से मिलता है। यहाँ पर परवलय केवल बिंदु (-2,0) पर x-अक्ष को स्पर्श कर रही है, जिसका अर्थ है कि वही एकमात्र वास्तविक शून्यक है (मल्टीप्लिसिटी 2 — दोहरा शून्यक)। इसलिए शून्यक -2 है। विकल्प B और C गलत हैं क्योंकि वे दिए हुए बिंदु के x-निर्देशांक से मेल नहीं खाते; विकल्प D गलत है क्योंकि स्पर्श करने पर दो अलग वास्तविक शून्यक नहीं होते बल्कि एक दोहरा शून्यक होता है। परीक्षा टिप: यदि परवलय x-अक्ष को अपने शीर्ष पर स्पर्श करती है तो शून्यक सीधे शीर्ष के x-निर्देशांक के बराबर होता है। / The zero of a parabola is the x-coordinate where it meets the x-axis. Since the parabola meets (touches) the x-axis only at (-2,0), that x-value is the only real zero; touching means a repeated root (multiplicity 2) at x = -2. Thus the correct zero is -2. Options B and C are incorrect because their x-values do not match the given point; option D is incorrect because touching gives one repeated zero, not two distinct zeros. Exam tip: when a parabola touches the x-axis at its vertex, the x-coordinate of the vertex is the zero (a double root).
जब परवलय (x)-अक्ष को शीर्ष पर छूता है, तो एक ही वास्तविक शून्यक होता है। उसका (x)-निर्देशांक (4) है। / When a parabola touches the (x)-axis at its vertex, it has one real zero. Its (x)-coordinate is (4).
