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\(x\)-अक्ष पर प्रतिच्छेद के लिए \(y=0\) रखना होगा, जिससे \(x^2-2kx+k^2-16=0\) प्राप्त होता है। इसका विवर्तक \(D=(-2k)^2-4(k^2-16)=64>0\) है। अतः हर वास्तविक \(k\) के लिए दो भिन्न वास्तविक मूल मिलते हैं और परवलय \(x\)-अक्ष को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटता है। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) का अर्थ है दो भिन्न वास्तविक मूल। / To find intersections with the \(x\)-axis, set \(y=0\), giving \(x^2-2kx+k^2-16=0\). Its discriminant is \(D=(-2k)^2-4(k^2-16)=64>0\). Therefore, for every real value of \(k\), the equation has two distinct real roots, so the parabola intersects the \(x\)-axis at two distinct points. Exam tip: \(D>0\) indicates two distinct real roots.
दिया गया समीकरण \(y=(x-(k+2))^2\) के रूप में लिखा जा सकता है। \(x\)-अक्ष पर \(y=0\) होता है, इसलिए \((x-(k+2))^2=0\), जिसका एक ही वास्तविक मूल \(x=k+2\) है। अतः परवलय प्रत्येक वास्तविक \(k\) के लिए \(x\)-अक्ष को केवल स्पर्श करता है; यह केवल \(k=-2\) पर निर्भर नहीं है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण का विविक्तकर \(D=0\) हो, तो ग्राफ अक्ष को एक ही बिंदु पर स्पर्श करता है। / The equation can be written as \(y=(x-(k+2))^2\). On the \(x\)-axis, \(y=0\), so \((x-(k+2))^2=0\), which has the single real root \(x=k+2\). Therefore, for every real value of \(k\), the parabola only touches the \(x\)-axis; it is not restricted to \(k=-2\). Exam tip: when the discriminant of the corresponding quadratic is \(D=0\), the graph touches the axis at exactly one point.
\(x\)-अक्ष पर \(y=0\) होता है। अतः समीकरण \(x^2-2kx+k^2+9=0\) या \((x-k)^2+9=0\) बनेगा। चूँकि \((x-k)^2\geq 0\), इसलिए बायाँ पक्ष हमेशा कम-से-कम 9 रहेगा और शून्य नहीं हो सकता। समतुल्य रूप से, विविक्तकर \(D=(-2k)^2-4(k^2+9)=-36<0\) है। इसलिए कोई वास्तविक प्रतिच्छेद नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \((x-k)^2+9\) के रूप में लिखने पर निष्कर्ष तुरंत मिल जाता है। / On the \(x\)-axis, \(y=0\). Therefore, the intersection equation is \(x^2-2kx+k^2+9=0\), or \((x-k)^2+9=0\). Since \((x-k)^2\geq 0\), the left side is always at least 9 and can never be zero. Equivalently, the discriminant is \(D=(-2k)^2-4(k^2+9)=-36<0\), so there are no real points of intersection. The tempting answers of one or two intersections are incorrect because they would require a zero or positive discriminant. Exam tip: completing the square gives the result immediately.
A. कथन और कारण दोनों सही हैं तथा कारण, कथन की सही व्याख्या करता है/Both the assertion and the reason are correct, and the reason correctly explains the assertion
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=3\), \(b=-6\) और \(c=11\) हैं। इसलिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(3)(11)=36-132=-96\) है। चूँकि \(D<0\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं; अतः परवलय \(x\)-अक्ष को न तो काटता है और न ही स्पर्श करता है। इसलिए कथन और कारण दोनों सही हैं, तथा कारण कथन की व्याख्या करता है। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) का अर्थ है कि परवलय और \(x\)-अक्ष के बीच कोई वास्तविक प्रतिच्छेद नहीं है। / Here, \(a=3\), \(b=-6\), and \(c=11\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(3)(11)=36-132=-96\). Since \(D<0\), the equation has no real roots; therefore, the parabola neither intersects nor touches the \(x\)-axis. Hence, both the assertion and the reason are correct, and the reason correctly explains the assertion. Exam tip: \(D<0\) indicates no real intersection between the parabola and the \(x\)-axis.
यहाँ \(a=1, b=-2k, c=k^2-9\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-2k)^2-4(1)(k^2-9)=36\), जो हर वास्तविक \(k\) के लिए धनात्मक है। इसलिए दो अलग-अलग वास्तविक मूल मिलेंगे और परवलय \(x\)-अक्ष को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटेगा। वास्तव में, समीकरण के मूल \(x=k+3\) और \(x=k-3\) हैं। विकल्प B के लिए \(D=0\) होना चाहिए, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) का अर्थ हमेशा दो अलग-अलग वास्तविक प्रतिच्छेद बिंदु होता है। / Here, \(a=1, b=-2k, c=k^2-9\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-2k)^2-4(1)(k^2-9)=36\), which is positive for every real value of \(k\). Hence, the equation has two distinct real roots, so the parabola intersects the \(x\)-axis at two distinct points. In fact, the roots are \(x=k+3\) and \(x=k-3\). Option B would require \(D=0\), which is not the case here. Exam tip: \(D>0\) indicates two distinct real intersection points.
दिया गया समीकरण \(y=x^2-2(k-1)x+(k-1)^2\) को \(y=(x-(k-1))^2\) के रूप में लिखा जा सकता है। अतः इसके शून्यक समान हैं और विविक्तकर \(D=0\) है। परवलय का शीर्ष \((k-1,0)\) होता है, इसलिए यह प्रत्येक वास्तविक \(k\) के लिए \(x\)-अक्ष को केवल स्पर्श करता है। विकल्प D गलत है, क्योंकि स्पर्श करना केवल \(k=1\) तक सीमित नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) होने पर द्विघात समीकरण के दो समान मूल होते हैं और परवलय \(x\)-अक्ष को स्पर्श करता है। / The equation \(y=x^2-2(k-1)x+(k-1)^2\) can be rewritten as \(y=(x-(k-1))^2\). Hence its roots are equal and the discriminant is \(D=0\). The vertex is \((k-1,0)\), so for every real value of \(k\), the parabola touches the \(x\)-axis at exactly one point. Option D is incorrect because this tangency is not restricted to \(k=1\). Exam tip: When \(D=0\), a quadratic has equal roots and its parabola touches the \(x\)-axis.
x-अक्ष पर y=0 होता है। अतः समीकरण है \(x^2-2kx+k^2+4=0\), जिसका विविक्तकर \(D=(-2k)^2-4(k^2+4)=-16<0\) है। इसलिए इसके कोई वास्तविक मूल नहीं हैं और परवलय x-अक्ष को नहीं काटता। विकल्प D गलत है, क्योंकि विविक्तकर k के किसी भी वास्तविक मान के लिए -16 ही रहता है। परीक्षा-युक्ति: \(y=(x-k)^2+4\) लिखने पर तुरंत स्पष्ट होता है कि परवलय का न्यूनतम y-मान 4 है, इसलिए वह x-अक्ष से 4 इकाई ऊपर रहता है। / On the x-axis, \(y=0\). Therefore, the intersection equation is \(x^2-2kx+k^2+4=0\), whose discriminant is \(D=(-2k)^2-4(k^2+4)=-16<0\). Hence it has no real roots, so the parabola does not intersect the x-axis. Option D is incorrect because the discriminant remains -16 for every real value of k. Exam tip: Rewriting the equation as \(y=(x-k)^2+4\) immediately shows that the minimum y-value is 4, so the parabola stays 4 units above the x-axis.
\(x\)-अक्ष पर \(y=0\) होता है। अतः समीकरण \(x^2-2kx+k^2-4=0\) प्राप्त होता है। इसका विविक्तकर \(\Delta=(-2k)^2-4(1)(k^2-4)=16>0\) है, इसलिए प्रत्येक वास्तविक \(k\) के लिए दो अलग-अलग वास्तविक मूल मिलते हैं। वास्तव में मूल \(x=k-2\) और \(x=k+2\) हैं, इसलिए परवलय \((k-2,0)\) और \((k+2,0)\) पर \(x\)-अक्ष को काटता है। \(\Delta>0\) का अर्थ हमेशा दो भिन्न वास्तविक प्रतिच्छेद-बिंदु होता है। / On the \(x\)-axis, \(y=0\). Therefore, we solve \(x^2-2kx+k^2-4=0\). Its discriminant is \(\Delta=(-2k)^2-4(1)(k^2-4)=16>0\), so for every real value of \(k\), the equation has two distinct real roots. In fact, the roots are \(x=k-2\) and \(x=k+2\), so the parabola intersects the \(x\)-axis at \((k-2,0)\) and \((k+2,0)\). Remember: \(\Delta>0\) indicates two distinct points of intersection.
A. केवल एक बिंदु पर स्पर्श करेगा/It will touch at exactly one point
Explanation
Simple Explanation
दिया गया समीकरण \(y=x^2-2kx+k^2=(x-k)^2\) है। x-अक्ष पर \(y=0\), इसलिए \((x-k)^2=0\), जिससे \(x=k\) का एक दोहराया हुआ मूल मिलता है। अतः परवलय x-अक्ष को केवल एक बिंदु \((k,0)\) पर स्पर्श करता है। दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए, जबकि यहाँ \(D=0\) है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) का अर्थ सदैव समान मूल और x-अक्ष को स्पर्श करना होता है। / The equation can be written as \(y=x^2-2kx+k^2=(x-k)^2\). On the x-axis, \(y=0\), so \((x-k)^2=0\), giving the repeated root \(x=k\). Therefore, the parabola touches the x-axis at exactly one point, \((k,0)\), for every real value of \(k\). It does not cut the axis at two distinct points because that would require \(D>0\), whereas here \(D=0\). Exam tip: for a quadratic, \(D=0\) indicates equal roots and tangency to the x-axis.
A. कोई वास्तविक प्रतिच्छेद नहीं/No real intersection
Explanation
Simple Explanation
\(x\)-अक्ष पर \(y=0\) होता है, इसलिए समीकरण \(x^2-2kx+k^2+1=0\) प्राप्त होता है। इसका विविक्तकर \(D=(-2k)^2-4(1)(k^2+1)=-4<0\) है, अतः किसी भी वास्तविक \(k\) के लिए इसके कोई वास्तविक मूल नहीं हैं और परवलय \(x\)-अक्ष को नहीं काटता। इसी बात को \(y=(x-k)^2+1\ge 1\) से भी देखा जा सकता है। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) होने पर द्विघात ग्राफ और \(x\)-अक्ष का कोई वास्तविक प्रतिच्छेद नहीं होता। / On the \(x\)-axis, \(y=0\), so we get \(x^2-2kx+k^2+1=0\). Its discriminant is \(D=(-2k)^2-4(1)(k^2+1)=-4<0\), so it has no real roots for any real \(k\). Hence, the parabola has no real intersection with the \(x\)-axis. Equivalently, \(y=(x-k)^2+1\ge 1\), so its vertex always lies one unit above the \(x\)-axis. Exam tip: For a quadratic graph, \(D<0\) means there are no real intersections with the \(x\)-axis.
परवलय और x-अक्ष के प्रतिच्छेद बिंदु ही द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल दर्शाते हैं। यदि परवलय x-अक्ष को न काटता है और न स्पर्श करता है, तो कोई वास्तविक प्रतिच्छेद नहीं होता; इसलिए विविक्तकर \(D<0\) और कोई वास्तविक मूल नहीं होता। ध्यान रखें, x-अक्ष को केवल स्पर्श करने की स्थिति में \(D=0\) होता है। / The points where the parabola intersects the x-axis represent the real roots of the quadratic equation. If it neither intersects nor touches the x-axis, there is no real intercept; therefore, the discriminant satisfies \(D<0\), and the equation has no real roots. In contrast, touching the x-axis would give \(D=0\).
A. यह \(x\)-अक्ष को नहीं मिलेगा/It will not meet the \(x\)-axis
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग बनाकर \(x^2+6x+10=(x+3)^2+1\) मिलता है। क्योंकि \((x+3)^2\ge0\) है, मान हमेशा कम से कम 1 होगा इसलिए पारबोला \(x\)-अक्ष को कभी काटता ही नहीं। समान रूप से डिस्क्रिमिनेंट \(b^2-4ac=36-40=-4<0\) होने से कोई वास्तविक शून्य नहीं है। निकटतम विकल्प (छूना एक बार) गलत है क्योंकि उसके लिए डिस्क्रिमिनेंट शून्य होना चाहिए। परीक्षा-सुझाव: तीव्रता से जाँचने के लिए तुरंत डिस्क्रिमिनेंट निकालें या पूर्ण-वर्ग में बदलकर शीर्षबिंदु देखें। / Completing the square gives \(x^2+6x+10=(x+3)^2+1\). Since \((x+3)^2\ge0\), the minimum value is 1, so the parabola never reaches 0 and does not meet the x-axis. Equivalently, the discriminant is \(b^2-4ac=36-40=-4<0\), so there are no real roots. The closest distractor (touch once) is wrong because that requires discriminant zero. Exam tip: use the discriminant or complete the square to quickly decide if real x-intercepts exist.
खुलने की दिशा शून्यकों की संख्या अकेले तय नहीं करती। दो कटान स्पष्ट रूप से दो वास्तविक शून्यक देते हैं। / The opening direction alone does not decide the number of zeroes. Two intersections clearly give two real zeroes.
ग्राफ (x)-अक्ष से न मिले तो वास्तविक शून्यक नहीं होता। केवल (y=0) वाले बिंदु गिने जाते हैं। / If the graph does not meet the (x)-axis there is no real zero. Only points with (y=0) are counted.
सममिति अक्ष शून्यकों के औसत पर है, (\frac{(q-11)+(q+7)}{2}=q-2)। टिप: प्रतीकों में भी मध्य मान लें। / The axis of symmetry is at the average of the zeroes, (\frac{(q-11)+(q+7)}{2}=q-2). Tip: take the midpoint even with symbols.
मध्यबिंदु (\left\(\frac{-17+9}{2},0\right\)=(-4,0)) है। टिप: (x)-अक्ष पर मध्यबिंदु का (y)-मान (0) रहता है। / The midpoint is (\left\(\frac{-17+9}{2},0\right\)=(-4,0)). Tip: on the (x)-axis the midpoint has (y=0).
दो शून्यकों का औसत (5) है इसलिए दूसरा शून्यक (11) होगा। टिप: सममिति अक्ष शून्यकों के मध्य से गुजरता है। / The average of the two zeroes is (5), so the other zero is (11). Tip: the axis of symmetry passes through the midpoint of zeroes.
सममिति अक्ष शून्यकों के औसत पर है, (\frac{(t-9)+(t+5)}{2}=t-2)। टिप: प्रतीकों में भी मध्य मान लें। / The axis of symmetry is at the average of the zeroes, (\frac{(t-9)+(t+5)}{2}=t-2). Tip: take the midpoint even with symbols.
मध्यबिंदु (\left\(\frac{-13+7}{2},0\right\)=(-3,0)) है। टिप: (x)-अक्ष पर मध्यबिंदु का (y)-मान (0) रहता है। / The midpoint is (\left\(\frac{-13+7}{2},0\right\)=(-3,0)). Tip: on the (x)-axis the midpoint has (y=0).
दो शून्यकों का औसत (-2) है, इसलिए दूसरा शून्यक (-9) होगा। टिप: सममिति अक्ष को शून्यकों के मध्य से जोड़ें। / The average of the two zeroes is (-2), so the other zero is (-9). Tip: connect the axis of symmetry with the midpoint of zeroes.
सममिति अक्ष शून्यकों के औसत पर है (\frac{(c-7)+(c+3)}{2}=c-2)। टिप: प्रतीकों में भी औसत का नियम लागू होता है। / The axis of symmetry is at the average of the zeroes, (\frac{(c-7)+(c+3)}{2}=c-2). Tip: the average rule also works with symbols.
मध्यबिंदु (\left\(\frac{-11+5}{2},0\right\)=(-3,0)) है। टिप: (x)-अक्ष पर मध्यबिंदु का (y)-मान (0) रहता है। / The midpoint is (\left\(\frac{-11+5}{2},0\right\)=(-3,0)). Tip: on the (x)-axis the midpoint has (y=0).
दो शून्यकों का औसत (3) है इसलिए दूसरा शून्यक (-5) होगा। टिप: \(\frac{a+b}{2}\) को सममिति अक्ष के बराबर रखें। / The average of the two zeroes is (3), so the other zero is (-5). Tip: set \(\frac{a+b}{2}\) equal to the axis of symmetry.
दोनों शून्यकों का औसत (4) है इसलिए दूसरा शून्यक (10) होगा। टिप: सममिति अक्ष को शून्यकों के मध्य मान से जोड़ें। / The average of the two zeroes is (4), so the other zero is (10). Tip: connect the axis of symmetry with the midpoint of zeroes.
सममिति अक्ष शून्यकों के औसत पर है, (\frac{(b-5)+(b+1)}{2}=b-2)। टिप: प्रतीकों में भी औसत का नियम लागू होता है। / The axis of symmetry is at the average of the zeroes, (\frac{(b-5)+(b+1)}{2}=b-2). Tip: the average rule also works with symbols.
मध्यबिंदु (\left\(\frac{-9+3}{2},0\right\)=(-3,0)) है। टिप: (x)-अक्ष पर मध्यबिंदु का (y)-मान (0) रहता है। / The midpoint is (\left\(\frac{-9+3}{2},0\right\)=(-3,0)). Tip: on the (x)-axis the midpoint has (y=0).
दो शून्यकों का औसत (2) है, इसलिए दूसरा शून्यक (-5) होगा। टिप: \( \frac{a+b}{2} \) को सममिति अक्ष के बराबर रखें। / The average of the two zeroes is (2), so the other zero is (-5). Tip: set \( \frac{a+b}{2} \) equal to the axis of symmetry.
दो शून्यकों का औसत (1) होगा इसलिए दूसरा शून्यक (7) है। टिप: सममिति अक्ष शून्यकों के मध्य से गुजरता है। / The average of the two zeroes is (1), so the other zero is (7). Tip: the axis of symmetry passes through the midpoint of zeroes.
नीचे खुलने वाले परवलय में शून्यकों के बाहर मान ऋणात्मक होते हैं। टिप: दिशा बदलने पर संकेत क्षेत्र भी बदलता है। / For a downward-opening parabola, values outside the zeroes are negative. Tip: when the direction changes, sign regions also change.
सममिति अक्ष शून्यकों के औसत पर है, (\frac{(a-2)+(a+4)}{2}=a+1)। टिप: प्रतीकात्मक शून्यकों में भी औसत लें। / The axis of symmetry is at the average of zeroes, (\frac{(a-2)+(a+4)}{2}=a+1). Tip: take the average even for symbolic zeroes.
