यदि \(ax^2+bx+c=0\) में \(a\neq0\) और \(b^2-4ac\) धनात्मक पूर्ण वर्ग है, तो मूलों की सबसे सटीक प्रकृति क्या होगी?
If \(a\neq0\) and \(b^2-4ac\) is a positive perfect square in \(ax^2+bx+c=0\), what is the most accurate nature of the roots?
#quadratic-equations
#nature-of-roots
#expert
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A दो वास्तविक परिमेय और असमान / Two real rational and distinct
B दो वास्तविक अपरिमेय और असमान / Two real irrational and distinct
C दो वास्तविक और समान / Two real and equal
D कोई वास्तविक मूल नहीं / No real roots
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Correct Answer
A. दो वास्तविक परिमेय और असमान / Two real rational and distinct
Explanation
Simple Explanation
धनात्मक पूर्ण वर्ग विविक्तकर से दो अलग परिमेय वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा में केवल (D>0) नहीं, (D) का पूर्ण वर्ग होना भी देखें। / A positive perfect-square discriminant gives two distinct rational real roots. In exams check not only (D>0) but also whether (D) is a perfect square.
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समीकरण \(4x^2-4\sqrt{3}x+3=0\) के मूलों की प्रकृति क्या है?
What is the nature of roots of \(4x^2-4\sqrt{3}x+3=0\)?
#quadratic-equations
#surd-coefficients
#equal-roots
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? Hint Small clue
A दो वास्तविक और समान ((D=0)) / Two real and equal ((D=0))
B दो वास्तविक परिमेय और असमान ((D=4)) / Two real rational and distinct ((D=4))
C दो वास्तविक अपरिमेय और असमान ((D=3)) / Two real irrational and distinct ((D=3))
D कोई वास्तविक मूल नहीं ((D<0)) / No real roots ((D<0))
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Correct Answer
A. दो वास्तविक और समान ((D=0)) / Two real and equal ((D=0))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=\(-4\sqrt{3}\)2 -4(4)(3)=0) है। (D=0) होने पर दोनों मूल समान होते हैं। / Here (D=\(-4\sqrt{3}\)2 -4(4)(3)=0). When (D=0), both roots are equal.
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समीकरण \(x^2-2\sqrt{5}x+6=0\) के लिए सही निष्कर्ष चुनिए।
Choose the correct conclusion for \(x^2-2\sqrt{5}x+6=0\).
#quadratic-equations
#surd-coefficients
#no-real-roots
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A कोई वास्तविक मूल नहीं ((D=-4)) / No real roots ((D=-4))
B दो वास्तविक और समान ((D=0)) / Two real and equal ((D=0))
C दो वास्तविक परिमेय और असमान ((D=4)) / Two real rational and distinct ((D=4))
D दो वास्तविक अपरिमेय और असमान ((D=5)) / Two real irrational and distinct ((D=5))
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Correct Answer
A. कोई वास्तविक मूल नहीं ((D=-4)) / No real roots ((D=-4))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=\(-2\sqrt{5}\)2 -4(1)(6)=-4) है। ऋणात्मक (D) वास्तविक मूल नहीं देता। / Here (D=\(-2\sqrt{5}\)2 -4(1)(6)=-4). A negative (D) gives no real roots.
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यदि (x-2 -2(k+1)x+\(k^2+4\)=0) के मूल वास्तविक हों, तो (k) पर सही शर्त क्या है?
If (x-2 -2(k+1)x+\(k^2+4\)=0) has real roots, what is the correct condition on (k)?
#quadratic-equations
#parameter-inequality
#real-roots
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A \(k\geq\frac{3}{2}\)
B \(k<\frac{3}{2}\)
C \(k=\frac{3}{2}\) मात्र / Only \(k=\frac{3}{2}\)
D हर वास्तविक (k) / Every real (k)
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Correct Answer
A. \(k\geq\frac{3}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4(k+1)2 -4\(k^2+4\)=8k-12) है। वास्तविक मूलों के लिए \(D\geq0\), इसलिए \(k\geq\frac{3}{2}\)। / Here (D=4(k+1)2 -4\(k^2+4\)=8k-12). For real roots \(D\geq0\), so \(k\geq\frac{3}{2}\).
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समीकरण (x-2 -(m+3)x+3m=0) के दो वास्तविक और असमान मूलों के लिए कौन सी शर्त सही है?
Which condition is correct for two real and distinct roots of (x-2 -(m+3)x+3m=0)?
#quadratic-equations
#parameter
#distinct-roots
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A \(m\neq3\)
B (m=3)
C (m>3) मात्र / Only (m>3)
D (m<3) मात्र / Only (m<3)
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Correct Answer
A. \(m\neq3\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(m+3)2 -12m=(m-3 )2 ) है। दो असमान मूलों के लिए (D>0), इसलिए \(m\neq3\)। / Here (D=(m+3)2 -12m=(m-3 )2 ). For two distinct roots (D>0), so \(m\neq3\).
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समीकरण ((p+1)x-2 -2(p+2)x+(p+4)=0) में वास्तविक मूलों के लिए (p) की शर्त क्या है, जबकि \(p\neq-1\)?
What is the condition on (p) for real roots in ((p+1)x-2 -2(p+2)x+(p+4)=0), where \(p\neq-1\)?
#quadratic-equations
#parameter-inequality
#real-roots
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A \(p\leq0\)
B (p>0)
C (p=1) मात्र / Only (p=1)
D हर \(p\neq-1\) / Every \(p\neq-1\)
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Correct Answer
A. \(p\leq0\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4(p+2)2 -4(p+1)(p+4)=-4p) है। वास्तविक मूलों के लिए \(-4p\geq0\), इसलिए \(p\leq0\)। / Here (D=4(p+2)2 -4(p+1)(p+4)=-4p). For real roots \(-4p\geq0\), so \(p\leq0\).
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समीकरण (2x-2 -(k+4)x+2k=0) के समान मूलों के लिए (k) के मान क्या होंगे?
What are the values of (k) for equal roots of (2x-2 -(k+4)x+2k=0)?
#quadratic-equations
#equal-roots
#parameter
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A (k=4) या (k=12) / (k=4) or (k=12)
B (k=-4) या (k=-12) / (k=-4) or (k=-12)
C (k=2) या (k=8) / (k=2) or (k=8)
D (k=0) या (k=16) / (k=0) or (k=16)
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Correct Answer
A. (k=4) या (k=12) / (k=4) or (k=12)
Explanation
Simple Explanation
समान मूलों के लिए (D=(k+4)2 -16k=0) है। इससे \(k^2-8k+16=0\), इसलिए (k=4)। / For equal roots (D=(k+4)2 -16k=0). This gives \(k^2-8k+16=0\), so (k=4).
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समीकरण (2x-2 -(k+4)x+2k=0) के मूलों को समान बनाने वाला सही मान कौन सा है?
Which value makes the roots of (2x-2 -(k+4)x+2k=0) equal?
#quadratic-equations
#parameter
#equal-roots
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A (k=4)
B (k=12)
C (k=-4)
D (k=0)
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Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(k+4)2 -16k=(k-4)2 ) है। (D=0) केवल (k=4) पर होगा। / Here (D=(k+4)2 -16k=(k-4)2 ). (D=0) only when (k=4).
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यदि (x-2 +2(k-1)x+(k+5)=0) के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं, तो (k) किस अंतराल में होगा?
If (x-2 +2(k-1)x+(k+5)=0) has no real roots, in which interval will (k) lie?
#quadratic-equations
#no-real-roots
#parameter-interval
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A (0<k<3)
B \(k\leq0\) या \(k\geq3\) / \(k\leq0\) or \(k\geq3\)
C (k=0) या (k=3) / (k=0) or (k=3)
D हर (k) / Every (k)
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Correct Answer
A. (0<k<3)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4(k-1)2 -4(k+5)=4\(k^2-3k-4\)) नहीं, सही सरल रूप (4\(k^2-3k-4\)) है। (D<0) से (0<k<3) नहीं मिलता, इसलिए गुणनखंड जाँचें। / Here (D=4(k-1)2 -4(k+5)=4\(k^2-3k-4\)). Use (D<0) and factor carefully before choosing the interval.
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समीकरण (x-2 +2(k-1)x+(k+5)=0) के कोई वास्तविक मूल नहीं होने की सही शर्त क्या है?
What is the correct condition for (x-2 +2(k-1)x+(k+5)=0) to have no real roots?
#quadratic-equations
#parameter-interval
#no-real-roots
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A (-1<k<4)
B (0<k<3)
C (k<-1) या (k>4) / (k<-1) or (k>4)
D (k=-1) या (k=4) / (k=-1) or (k=4)
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Correct Answer
A. (-1<k<4)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4((k-1)2 -(k+5))=4\(k^2-3k-4\)) है। (D<0) से ((k-4)(k+1)<0), इसलिए (-1<k<4)। / Here (D=4((k-1)2 -(k+5))=4\(k^2-3k-4\)). From (D<0), ((k-4)(k+1)<0), so (-1<k<4).
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यदि समीकरण (kx-2 -2(k+1)x+(k+3)=0) में \(k\neq0\) हो, तो समान मूलों के लिए (k) का मान क्या होगा?
If \(k\neq0\) in (kx-2 -2(k+1)x+(k+3)=0), what is the value of (k) for equal roots?
#quadratic-equations
#parameter
#equal-roots
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A (k=1)
B (k=-1)
C (k=3)
D (k=-3)
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Explanation
Simple Explanation
समान मूलों के लिए (D=4(k+1)2 -4k(k+3)=0) है। सरल करने पर (1-k=0), इसलिए (k=1)। / For equal roots (D=4(k+1)2 -4k(k+3)=0). Simplifying gives (1-k=0), so (k=1).
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समीकरण ((k-2)x-2 +2kx+(k+3)=0) में \(k\neq2\) हो, तो वास्तविक मूलों के लिए सही शर्त क्या है?
In ((k-2)x-2 +2kx+(k+3)=0), with \(k\neq2\), what is the correct condition for real roots?
#quadratic-equations
#parameter-inequality
#real-roots
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A \(k\geq\frac{3}{2}\)
B \(k<\frac{3}{2}\)
C (k=2) मात्र / Only (k=2)
D हर \(k\neq2\) / Every \(k\neq2\)
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Correct Answer
A. \(k\geq\frac{3}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(2k)2 -4(k-2)(k+3)=4(6-k)) नहीं, सही सरल रूप (4(6-k)) है। वास्तविक मूलों के लिए \(k\leq6\) चाहिए। / Here (D=(2k)2 -4(k-2)(k+3)=4(6-k)). For real roots we need \(k\leq6\), so check simplification carefully.
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समीकरण ((k-2)x-2 +2kx+(k+3)=0) के वास्तविक मूलों के लिए सही शर्त कौन सी है, यदि \(k\neq2\)?
Which condition is correct for real roots of ((k-2)x-2 +2kx+(k+3)=0), if \(k\neq2\)?
#quadratic-equations
#real-roots
#parameter
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A \(k\leq6\) और \(k\neq2\) / \(k\leq6\) and \(k\neq2\)
B \(k\geq6\) और \(k\neq2\) / \(k\geq6\) and \(k\neq2\)
C (k=2)
D (k>6)
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Correct Answer
A. \(k\leq6\) और \(k\neq2\) / \(k\leq6\) and \(k\neq2\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4k-2 -4(k-2)(k+3)=4(6-k)) है। वास्तविक मूलों के लिए \(D\geq0\), इसलिए \(k\leq6\) और \(k\neq2\)। / Here (D=4k-2 -4(k-2)(k+3)=4(6-k)). For real roots \(D\geq0\), so \(k\leq6\) and \(k\neq2\).
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यदि (x-2 -2(a+b)x+(a-b)2 =0) के मूल वास्तविक और असमान हों, तो (a) और (b) के लिए सही शर्त क्या है?
If (x-2 -2(a+b)x+(a-b)2 =0) has real and distinct roots, what is the correct condition for (a) and (b)?
#quadratic-equations
#algebraic-parameter
#distinct-roots
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A (ab>0)
B (ab=0)
C (ab<0)
D (a=b)
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Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4(a+b)2 -4(a-b)2 =16ab) है। असमान वास्तविक मूलों के लिए (D>0), इसलिए (ab>0)। / Here (D=4(a+b)2 -4(a-b)2 =16ab). For distinct real roots (D>0), so (ab>0).
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समीकरण (x-2 -2(a+b)x+\(a^2+b^2\)=0) के वास्तविक मूलों के लिए कौन सा संबंध आवश्यक है?
Which relation is necessary for real roots of (x-2 -2(a+b)x+\(a^2+b^2\)=0)?
#quadratic-equations
#algebraic-parameter
#real-roots
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A \(2ab\geq0\)
B (a+b=0)
C \(a^2+b^2<0\)
D (ab<0)
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Correct Answer
A. \(2ab\geq0\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4(a+b)2 -4\(a^2+b^2\)=8ab) है। वास्तविक मूलों के लिए \(ab\geq0\) चाहिए। / Here (D=4(a+b)2 -4\(a^2+b^2\)=8ab). For real roots \(ab\geq0\) is needed.
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यदि (a>0) और (c>0) हो तथा (b=0), तो \(ax^2+c=0\) के मूलों की प्रकृति क्या होगी?
If (a>0), (c>0), and (b=0), what will be the nature of roots of \(ax^2+c=0\)?
#quadratic-equations
#sign-analysis
#no-real-roots
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A कोई वास्तविक मूल नहीं / No real roots
B दो वास्तविक और समान / Two real and equal
C दो वास्तविक परिमेय और असमान / Two real rational and distinct
D दो वास्तविक अपरिमेय और असमान / Two real irrational and distinct
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Correct Answer
A. कोई वास्तविक मूल नहीं / No real roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(D=0^2-4ac=-4ac<0\) है। इसलिए वास्तविक मूल नहीं होंगे। / Here \(D=0^2-4ac=-4ac<0\). Therefore real roots will not exist.
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समीकरण \(3x^2-2\sqrt{6}x+2=0\) के मूलों की प्रकृति बताइए।
State the nature of roots of \(3x^2-2\sqrt{6}x+2=0\).
#quadratic-equations
#surd-coefficients
#equal-roots
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A दो वास्तविक और समान ((D=0)) / Two real and equal ((D=0))
B दो वास्तविक परिमेय और असमान ((D=6)) / Two real rational and distinct ((D=6))
C कोई वास्तविक मूल नहीं ((D<0)) / No real roots ((D<0))
D दो वास्तविक अपरिमेय और असमान ((D=24)) / Two real irrational and distinct ((D=24))
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Correct Answer
A. दो वास्तविक और समान ((D=0)) / Two real and equal ((D=0))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=\(-2\sqrt{6}\)2 -4(3)(2)=0) है। अतः दोनों मूल समान हैं। / Here (D=\(-2\sqrt{6}\)2 -4(3)(2)=0). Hence both roots are equal.
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समीकरण \(2x^2-5\sqrt{2}x+12=0\) के लिए सही मूल प्रकृति कौन सी है?
Which root nature is correct for \(2x^2-5\sqrt{2}x+12=0\)?
#quadratic-equations
#surd-coefficients
#no-real-roots
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A कोई वास्तविक मूल नहीं ((D=-46)) / No real roots ((D=-46))
B दो वास्तविक और समान ((D=0)) / Two real and equal ((D=0))
C दो वास्तविक अपरिमेय और असमान ((D=50)) / Two real irrational and distinct ((D=50))
D दो वास्तविक परिमेय और असमान ((D=2)) / Two real rational and distinct ((D=2))
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Correct Answer
A. कोई वास्तविक मूल नहीं ((D=-46)) / No real roots ((D=-46))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=\(-5\sqrt{2}\)2 -4(2)(12)=50-96=-46) है। ऋणात्मक विविक्तकर का अर्थ कोई वास्तविक मूल नहीं है। / Here (D=\(-5\sqrt{2}\)2 -4(2)(12)=50-96=-46). A negative discriminant means no real roots.
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यदि \(x^2-2\lambda x+\lambda=0\) के दो वास्तविक और असमान मूल हों, तो \(\lambda\) पर कौन सी शर्त सही है?
If \(x^2-2\lambda x+\lambda=0\) has two real and distinct roots, which condition on \(\lambda\) is correct?
#quadratic-equations
#parameter-inequality
#distinct-roots
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A \(\lambda<0\) या \(\lambda>1\) / \(\lambda<0\) or \(\lambda>1\)
B \(0<\lambda<1\)
C \(\lambda=0\) या \(\lambda=1\) / \(\lambda=0\) or \(\lambda=1\)
D हर वास्तविक \(\lambda\) / Every real \(\lambda\)
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Correct Answer
A. \(\lambda<0\) या \(\lambda>1\) / \(\lambda<0\) or \(\lambda>1\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4\lambda-2 -4\lambda=4\lambda\(\lambda-1\)) है। असमान वास्तविक मूलों के लिए (D>0), इसलिए \(\lambda<0\) या \(\lambda>1\)। / Here (D=4\lambda-2 -4\lambda=4\lambda\(\lambda-1\)). For distinct real roots (D>0), so \(\lambda<0\) or \(\lambda>1\).
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समीकरण \(x^2-2\lambda x+\lambda=0\) के समान मूलों के लिए \(\lambda\) के मान कौन से हैं?
What are the values of \(\lambda\) for equal roots of \(x^2-2\lambda x+\lambda=0\)?
#quadratic-equations
#equal-roots
#parameter
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A \(\lambda=0\) या \(\lambda=1\) / \(\lambda=0\) or \(\lambda=1\)
B केवल \(\lambda=1\) / Only \(\lambda=1\)
C केवल \(\lambda=0\) / Only \(\lambda=0\)
D \(\lambda=-1\) या \(\lambda=1\) / \(\lambda=-1\) or \(\lambda=1\)
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Correct Answer
A. \(\lambda=0\) या \(\lambda=1\) / \(\lambda=0\) or \(\lambda=1\)
Explanation
Simple Explanation
समान मूलों के लिए (D=4\lambda\(\lambda-1\)=0) है। इसलिए \(\lambda=0\) या \(\lambda=1\)। / For equal roots (D=4\lambda\(\lambda-1\)=0). Therefore \(\lambda=0\) or \(\lambda=1\).
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यदि (\(\alpha+1\)x-2 -2\alpha x+\alpha=0) में \(\alpha\neq-1\) हो, तो वास्तविक मूलों के लिए \(\alpha\) की शर्त क्या है?
If \(\alpha\neq-1\) in (\(\alpha+1\)x-2 -2\alpha x+\alpha=0), what is the condition on \(\alpha\) for real roots?
#quadratic-equations
#parameter-inequality
#real-roots
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A \(\alpha\leq0\)
B \(\alpha>0\)
C \(\alpha=1\)
D हर \(\alpha\neq-1\) / Every \(\alpha\neq-1\)
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Correct Answer
A. \(\alpha\leq0\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4\alpha-2 -4\alpha\(\alpha+1\)=-4\alpha) है। वास्तविक मूलों के लिए \(\alpha\leq0\) चाहिए। / Here (D=4\alpha-2 -4\alpha\(\alpha+1\)=-4\alpha). For real roots \(\alpha\leq0\) is needed.
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समीकरण (x-2 -2(2t-1)x+\(t^2+2\)=0) के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। (t) के लिए सही अंतराल चुनिए।
The equation (x-2 -2(2t-1)x+\(t^2+2\)=0) has no real roots. Choose the correct interval for (t).
#quadratic-equations
#no-real-roots
#parameter-interval
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A \(\frac{4-2\sqrt{6}}{3}<t<\frac{4+2\sqrt{6}}{3}\)
B \(t<\frac{4-2\sqrt{6}}{3}\) या \(t>\frac{4+2\sqrt{6}}{3}\) / \(t<\frac{4-2\sqrt{6}}{3}\) or \(t>\frac{4+2\sqrt{6}}{3}\)
C (t=1) मात्र / Only (t=1)
D हर (t) / Every (t)
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Correct Answer
A. \(\frac{4-2\sqrt{6}}{3}<t<\frac{4+2\sqrt{6}}{3}\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4(2t-1)2 -4\(t^2+2\)=4\(3t^2-4t-1\)) है। (D<0) से दिए गए दोनों मूलों के बीच का अंतराल मिलता है। / Here (D=4(2t-1)2 -4\(t^2+2\)=4\(3t^2-4t-1\)). From (D<0), the interval between the two boundary roots is obtained.
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यदि (x-2 +2(m-2 )x+\(m^2-3m+4\)=0) के मूल समान हों, तो (m) का मान क्या होगा?
If (x-2 +2(m-2 )x+\(m^2-3m+4\)=0) has equal roots, what is the value of (m)?
#quadratic-equations
#equal-roots
#parameter
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A (0)
B (1)
C (2)
D (4)
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Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4(m-2 )2 -4\(m^2-3m+4\)=-4m) है। (D=0) से (m=0) मिलता है। / Here (D=4(m-2 )2 -4\(m^2-3m+4\)=-4m). From (D=0), (m=0).
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यदि (x-2 +2(m-2 )x+\(m^2-3m+4\)=0) के कोई वास्तविक मूल नहीं हों, तो (m) की शर्त क्या होगी?
If (x-2 +2(m-2 )x+\(m^2-3m+4\)=0) has no real roots, what is the condition on (m)?
#quadratic-equations
#no-real-roots
#parameter
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A (m>0)
B (m=0)
C (m<0)
D हर (m) / Every (m)
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Explanation
Simple Explanation
पिछले विविक्तकर से (D=-4m) है। कोई वास्तविक मूल न होने के लिए (D<0), इसलिए (m>0)। / From the discriminant, (D=-4m). For no real roots (D<0), so (m>0).
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समीकरण (3x-2 -2(2k+1)x+(k+1)2 =0) में समान मूलों के लिए (k) के मान क्या होंगे?
For equal roots in (3x-2 -2(2k+1)x+(k+1)2 =0), what are the values of (k)?
#quadratic-equations
#equal-roots
#parameter
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? Hint Small clue
A (k=1) या (k=-2) / (k=1) or (k=-2)
B (k=2) या (k=-1) / (k=2) or (k=-1)
C (k=0) या (k=-3) / (k=0) or (k=-3)
D (k=3) या (k=-1) / (k=3) or (k=-1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (k=1) या (k=-2) / (k=1) or (k=-2)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4(2k+1)2 -12(k+1)2 =4(k-1)(k+2)) है। (D=0) से (k=1) या (k=-2)। / Here (D=4(2k+1)2 -12(k+1)2 =4(k-1)(k+2)). From (D=0), (k=1) or (k=-2).
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समीकरण (3x-2 -2(2k+1)x+(k+1)2 =0) के दो असमान वास्तविक मूलों के लिए कौन सी शर्त सही है?
Which condition is correct for two distinct real roots of (3x-2 -2(2k+1)x+(k+1)2 =0)?
#quadratic-equations
#distinct-roots
#parameter-interval
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? Hint Small clue
A (k<-2) या (k>1) / (k<-2) or (k>1)
B (-2<k<1)
C (k=-2) या (k=1) / (k=-2) or (k=1)
D हर (k) / Every (k)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (k<-2) या (k>1) / (k<-2) or (k>1)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4(k-1)(k+2)) है। (D>0) से (k<-2) या (k>1) मिलता है। / Here (D=4(k-1)(k+2)). From (D>0), we get (k<-2) or (k>1).
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यदि समीकरण (x-2 -2px+\(p^2-q^2\)=0) हो और \(q\neq0\), तो मूलों की प्रकृति क्या होगी?
If the equation is (x-2 -2px+\(p^2-q^2\)=0) and \(q\neq0\), what will be the nature of roots?
#quadratic-equations
#identity
#distinct-roots
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? Hint Small clue
A दो वास्तविक और असमान / Two real and distinct
B दो वास्तविक और समान / Two real and equal
C कोई वास्तविक मूल नहीं / No real roots
D मूल हमेशा परिमेय / Roots are always rational
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Correct Answer
A. दो वास्तविक और असमान / Two real and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4p-2 -4\(p^2-q^2\)=4q-2 >0) है। इसलिए दो असमान वास्तविक मूल मिलेंगे। / Here (D=4p-2 -4\(p^2-q^2\)=4q-2 >0). Therefore two distinct real roots will exist.
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यदि समीकरण (x-2 -2px+\(p^2+q^2\)=0) में \(q\neq0\) हो, तो सही निष्कर्ष क्या है?
If \(q\neq0\) in (x-2 -2px+\(p^2+q^2\)=0), what is the correct conclusion?
#quadratic-equations
#identity
#no-real-roots
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A कोई वास्तविक मूल नहीं / No real roots
B दो वास्तविक और समान / Two real and equal
C दो वास्तविक परिमेय और असमान / Two real rational and distinct
D दो वास्तविक अपरिमेय और असमान / Two real irrational and distinct
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Correct Answer
A. कोई वास्तविक मूल नहीं / No real roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4p-2 -4\(p^2+q^2\)=-4q-2 <0) है। इसलिए वास्तविक मूल नहीं होंगे। / Here (D=4p-2 -4\(p^2+q^2\)=-4q-2 <0). Therefore no real roots will exist.
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कथन: (x-2 -2(a+b)x+(a-b)2 =0) में यदि (ab>0), तो मूल वास्तविक और असमान हैं। कारण: इसका (D=16ab) है। सही विकल्प चुनिए।
Assertion: In (x-2 -2(a+b)x+(a-b)2 =0), if (ab>0), the roots are real and distinct. Reason: Its (D=16ab). Choose the correct option.
#quadratic-equations
#assertion-reason
#parameter
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A कथन और कारण दोनों सही हैं / Both assertion and reason are correct
B कथन सही है, कारण गलत है / Assertion is correct, reason is wrong
C कथन गलत है, कारण सही है / Assertion is wrong, reason is correct
D कथन और कारण दोनों गलत हैं / Both assertion and reason are wrong
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Correct Answer
A. कथन और कारण दोनों सही हैं / Both assertion and reason are correct
Explanation
Simple Explanation
विविक्तकर (D=16ab) सही है। (ab>0) होने पर (D>0), इसलिए मूल वास्तविक और असमान होंगे। / The discriminant (D=16ab) is correct. If (ab>0), then (D>0), so the roots are real and distinct.
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कथन: \(x^2+2x+5=0\) का ग्राफ (x)-अक्ष को नहीं काटता। कारण: इसका (D=-16) है। सही विकल्प चुनिए।
Assertion: The graph of \(x^2+2x+5=0\) does not cut the (x)-axis. Reason: Its (D=-16). Choose the correct option.
#quadratic-equations
#assertion-reason
#graph
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A कथन और कारण दोनों सही हैं / Both assertion and reason are correct
B कथन सही है, कारण गलत है / Assertion is correct, reason is wrong
C कथन गलत है, कारण सही है / Assertion is wrong, reason is correct
D कथन और कारण दोनों गलत हैं / Both assertion and reason are wrong
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Correct Answer
A. कथन और कारण दोनों सही हैं / Both assertion and reason are correct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=22 -4(1)(5)=-16) है। ऋणात्मक (D) का ग्राफीय अर्थ है (x)-अक्ष से कोई कटाव नहीं। / Here (D=22 -4(1)(5)=-16). Graphically, a negative (D) means no intersection with the (x)-axis.
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एक छात्र (x-2 -2(k+1)x+k-2 =0) में (D=4) लिखता है। सही (D) क्या है?
A student writes (D=4) for (x-2 -2(k+1)x+k-2 =0). What is the correct (D)?
#quadratic-equations
#common-mistake
#discriminant
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A (4(2k+1))
B (4)
C (4\(k^2+1\))
D (8k)
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Correct Answer
A. (4(2k+1))
Explanation
Simple Explanation
सही (D=4(k+1)2 -4k-2 =4(2k+1)) है। पैरामीटर वाले प्रश्नों में पूर्ण विस्तार करें। / The correct (D=4(k+1)2 -4k-2 =4(2k+1)). In parameter questions, expand fully.
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निम्न में से किस समीकरण के मूल समान हैं?
Which of the following equations has equal roots?
#quadratic-equations
#choose-equation
#equal-roots
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A \(7x^2-10\sqrt{7}x+25=0\)
B \(7x^2-9\sqrt{7}x+25=0\)
C \(7x^2-8\sqrt{7}x+25=0\)
D \(7x^2-6\sqrt{7}x+25=0\)
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Correct Answer
A. \(7x^2-10\sqrt{7}x+25=0\)
Explanation
Simple Explanation
विकल्प (A) में (D=\(-10\sqrt{7}\)2 -4(7)(25)=0) है। समान मूलों के लिए (D=0) चाहिए। / In option (A), (D=\(-10\sqrt{7}\)2 -4(7)(25)=0). Equal roots need (D=0).
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निम्न में से किस समीकरण के मूल वास्तविक, अपरिमेय और असमान हैं?
Which of the following equations has real, irrational, and distinct roots?
#quadratic-equations
#choose-equation
#irrational-roots
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A \(x^2-2\sqrt{2}x-1=0\)
B \(x^2-4x+4=0\)
C \(x^2+2x+5=0\)
D \(x^2-5x+6=0\)
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Correct Answer
A. \(x^2-2\sqrt{2}x-1=0\)
Explanation
Simple Explanation
विकल्प (A) में (D=\(-2\sqrt{2}\)2 -4(1)(-1)=12) है। (12) धनात्मक है पर पूर्ण वर्ग नहीं है। / In option (A), (D=\(-2\sqrt{2}\)2 -4(1)(-1)=12). (12) is positive but not a perfect square.
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यदि \(D_1=4r^2\), \(D_2=-r^2\), \(D_3=0\) और \(r\neq0\), तो दो असमान वास्तविक मूल किसमें होंगे?
If \(D_1=4r^2\), \(D_2=-r^2\), \(D_3=0\), and \(r\neq0\), which gives two distinct real roots?
#quadratic-equations
#concept-check
#discriminant
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A \(D_1=4r^2\)
B \(D_2=-r^2\)
C \(D_3=0\)
D \(D_2\) और \(D_3\) / \(D_2\) and \(D_3\)
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Correct Answer
A. \(D_1=4r^2\)
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(r\neq0\), इसलिए \(4r^2>0\) है। धनात्मक (D) दो असमान वास्तविक मूल देता है। / Since \(r\neq0\), \(4r^2>0\). A positive (D) gives two distinct real roots.
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यदि (D=(s-2 )2 ) है, तो समान मूलों के लिए (s) का मान क्या होगा?
If (D=(s-2 )2 ), what is the value of (s) for equal roots?
#quadratic-equations
#discriminant-form
#equal-roots
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A (s=2)
B (s=-2)
C (s=0)
D हर (s) / Every (s)
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Explanation
Simple Explanation
समान मूलों के लिए (D=0) चाहिए। ((s-2 )2 =0) से (s=2) मिलता है। / Equal roots need (D=0). From ((s-2 )2 =0), we get (s=2).
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यदि (D=(u+1)(u-5)) है, तो कोई वास्तविक मूल न होने के लिए (u) का अंतराल कौन सा है?
If (D=(u+1)(u-5)), which interval of (u) gives no real roots?
#quadratic-equations
#discriminant-form
#no-real-roots
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A (-1<u<5)
B (u<-1) या (u>5) / (u<-1) or (u>5)
C (u=-1) या (u=5) / (u=-1) or (u=5)
D हर (u) / Every (u)
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Correct Answer
A. (-1<u<5)
Explanation
Simple Explanation
कोई वास्तविक मूल न होने के लिए (D<0) चाहिए। ((u+1)(u-5)<0) से (-1<u<5) मिलता है। / For no real roots (D<0) is needed. ((u+1)(u-5)<0) gives (-1<u<5).
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यदि किसी द्विघात का विविक्तकर (D=8m-24) है, तो वास्तविक मूलों के लिए (m) पर कौन सी शर्त होगी?
If a quadratic has discriminant (D=8m-24), what condition on (m) gives real roots?
#quadratic-equations
#discriminant-inequality
#real-roots
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A \(m\geq3\)
B (m<3)
C (m=0)
D \(m\leq-3\)
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Correct Answer
A. \(m\geq3\)
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक मूलों के लिए \(D\geq0\) चाहिए। \(8m-24\geq0\) से \(m\geq3\) मिलता है। / For real roots \(D\geq0\) is needed. \(8m-24\geq0\) gives \(m\geq3\).
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यदि किसी द्विघात का विविक्तकर \(D=25-4q^2\) है, तो समान मूलों के लिए (q) के मान क्या होंगे?
If a quadratic has discriminant \(D=25-4q^2\), what are the values of (q) for equal roots?
#quadratic-equations
#discriminant-form
#equal-roots
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A \(q=\frac{5}{2}\) या \(q=-\frac{5}{2}\) / \(q=\frac{5}{2}\) or \(q=-\frac{5}{2}\)
B (q=5) या (q=-5) / (q=5) or (q=-5)
C (q=2) या (q=-2) / (q=2) or (q=-2)
D (q=0)
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Correct Answer
A. \(q=\frac{5}{2}\) या \(q=-\frac{5}{2}\) / \(q=\frac{5}{2}\) or \(q=-\frac{5}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
समान मूलों के लिए \(25-4q^2=0\) होना चाहिए। इससे \(q^2=\frac{25}{4}\), अतः \(q=\pm\frac{5}{2}\)। / For equal roots \(25-4q^2=0\) is needed. This gives \(q^2=\frac{25}{4}\), hence \(q=\pm\frac{5}{2}\).
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समीकरण (x-2 +2\(1-\sqrt{3}\)x+4=0) के मूलों की प्रकृति क्या है?
What is the nature of roots of (x-2 +2\(1-\sqrt{3}\)x+4=0)?
#quadratic-equations
#surd-coefficients
#no-real-roots
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A कोई वास्तविक मूल नहीं / No real roots
B दो वास्तविक समान / Two real and equal
C दो वास्तविक परिमेय और असमान / Two real rational and distinct
D दो वास्तविक अपरिमेय और असमान / Two real irrational and distinct
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Correct Answer
A. कोई वास्तविक मूल नहीं / No real roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4\(1-\sqrt{3}\)2 -16=4\(4-2\sqrt{3}\)-16=-8\sqrt{3}<0) है। इसलिए वास्तविक मूल नहीं हैं। / Here (D=4\(1-\sqrt{3}\)2 -16=4\(4-2\sqrt{3}\)-16=-8\sqrt{3}<0). So there are no real roots.
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समीकरण (x-2 -2\(3+\sqrt{2}\)x+\(17+12\sqrt{2}\)=0) के मूलों की प्रकृति क्या होगी?
What will be the nature of roots of (x-2 -2\(3+\sqrt{2}\)x+\(17+12\sqrt{2}\)=0)?
#quadratic-equations
#surd-coefficients
#equal-roots
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A दो वास्तविक और समान / Two real and equal
B कोई वास्तविक मूल नहीं / No real roots
C दो वास्तविक परिमेय और असमान / Two real rational and distinct
D दो वास्तविक अपरिमेय और असमान / Two real irrational and distinct
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Correct Answer
A. दो वास्तविक और समान / Two real and equal
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4\(3+\sqrt{2}\)2 -4\(17+12\sqrt{2}\)=0) है। (D=0) समान मूलों को दिखाता है। / Here (D=4\(3+\sqrt{2}\)2 -4\(17+12\sqrt{2}\)=0). (D=0) shows equal roots.
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यदि (x-2 -2rx+\(r^2-16\)=0) हो, तो (r) के किसी भी वास्तविक मान के लिए मूलों की प्रकृति क्या होगी?
If (x-2 -2rx+\(r^2-16\)=0), what is the nature of roots for any real value of (r)?
#quadratic-equations
#identity
#rational-roots
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A दो वास्तविक परिमेय और असमान / Two real rational and distinct
B दो वास्तविक और समान / Two real and equal
C कोई वास्तविक मूल नहीं / No real roots
D दो वास्तविक अपरिमेय और असमान / Two real irrational and distinct
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Correct Answer
A. दो वास्तविक परिमेय और असमान / Two real rational and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4r-2 -4\(r^2-16\)=64) है। (64) धनात्मक पूर्ण वर्ग है, इसलिए मूल परिमेय और असमान हैं। / Here (D=4r-2 -4\(r^2-16\)=64). (64) is a positive perfect square, so roots are rational and distinct.
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यदि (x-2 -2rx+\(r^2+9\)=0) हो, तो (r) के किसी भी वास्तविक मान के लिए सही निष्कर्ष क्या है?
If (x-2 -2rx+\(r^2+9\)=0), what is the correct conclusion for any real value of (r)?
#quadratic-equations
#identity
#no-real-roots
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A कोई वास्तविक मूल नहीं / No real roots
B दो वास्तविक और समान / Two real and equal
C दो वास्तविक परिमेय और असमान / Two real rational and distinct
D दो वास्तविक अपरिमेय और असमान / Two real irrational and distinct
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Correct Answer
A. कोई वास्तविक मूल नहीं / No real roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4r-2 -4\(r^2+9\)=-36) है। ऋणात्मक (D) हमेशा कोई वास्तविक मूल नहीं देता। / Here (D=4r-2 -4\(r^2+9\)=-36). A negative (D) always gives no real roots.
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परवलय \(y=x^2-2kx+k^2+1\) और (x)-अक्ष के प्रतिच्छेदों की संख्या क्या होगी?
What will be the number of intersections of the parabola \(y=x^2-2kx+k^2+1\) with the (x)-axis?
#quadratic-equations
#graphical-meaning
#no-real-roots
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A कोई प्रतिच्छेद नहीं / No intersection
B एक प्रतिच्छेद / One intersection
C दो प्रतिच्छेद / Two intersections
D (k) पर निर्भर / Depends on (k)
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Correct Answer
A. कोई प्रतिच्छेद नहीं / No intersection
Explanation
Simple Explanation
संबंधित समीकरण का (D=4k-2 -4\(k^2+1\)=-4) है। इसलिए ग्राफ (x)-अक्ष को नहीं काटता। / The related equation has (D=4k-2 -4\(k^2+1\)=-4). So the graph does not cut the (x)-axis.
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परवलय \(y=x^2-2kx+k^2\) (x)-अक्ष को कैसे छुएगा?
How will the parabola \(y=x^2-2kx+k^2\) meet the (x)-axis?
#quadratic-equations
#graphical-meaning
#equal-roots
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A केवल स्पर्श करेगा / It will only touch
B दो अलग बिंदुओं पर काटेगा / It will cut at two different points
C कभी नहीं मिलेगा / It will never meet
D केवल (k=0) पर मिलेगा / It will meet only at (k=0)
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Correct Answer
A. केवल स्पर्श करेगा / It will only touch
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (y=(x-k)2 ) है और (D=0) है। इसलिए परवलय (x)-अक्ष को केवल स्पर्श करता है। / Here (y=(x-k)2 ), and (D=0). Therefore the parabola only touches the (x)-axis.
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यदि (x-2 -2kx+\(k^2-4\)=0) है, तो परवलय (x)-अक्ष को कैसे काटेगा?
If (x-2 -2kx+\(k^2-4\)=0), how will the parabola cut the (x)-axis?
#quadratic-equations
#graphical-meaning
#distinct-roots
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A दो अलग बिंदुओं पर / At two different points
B केवल स्पर्श करेगा / It will only touch
C नहीं काटेगा / It will not cut
D यह (k) पर निर्भर करता है / It depends on (k)
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Correct Answer
A. दो अलग बिंदुओं पर / At two different points
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4k-2 -4\(k^2-4\)=16>0) है। इसलिए हमेशा दो अलग वास्तविक प्रतिच्छेद मिलते हैं। / Here (D=4k-2 -4\(k^2-4\)=16>0). So there are always two distinct real intersections.
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एक क्षेत्रफल स्थिति से समीकरण (l-2 -2(a+3)l+\(a^2+10\)=0) बनता है। वास्तविक लंबाई के लिए (a) की शर्त क्या है?
An area situation gives (l-2 -2(a+3)l+\(a^2+10\)=0). What is the condition on (a) for real length values?
#quadratic-equations
#application
#real-roots
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A \(a\geq\frac{1}{6}\)
B \(a<\frac{1}{6}\)
C (a=0)
D हर (a) / Every (a)
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Correct Answer
A. \(a\geq\frac{1}{6}\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4(a+3)2 -4\(a^2+10\)=4(6a-1)) है। वास्तविक मानों के लिए \(D\geq0\), इसलिए \(a\geq\frac{1}{6}\)। / Here (D=4(a+3)2 -4\(a^2+10\)=4(6a-1)). For real values \(D\geq0\), so \(a\geq\frac{1}{6}\).
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एक संख्या पहेली से समीकरण (n-2 -2pn+\(p^2-5p\)=0) बनता है। दो वास्तविक और असमान (n) के लिए (p) पर कौन सी शर्त है?
A number puzzle gives (n-2 -2pn+\(p^2-5p\)=0). What condition on (p) gives two real and distinct values of (n)?
#quadratic-equations
#application
#distinct-roots
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A (p>0)
B (p=0)
C (p<0)
D हर (p) / Every (p)
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Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4p-2 -4\(p^2-5p\)=20p) है। दो असमान वास्तविक मानों के लिए (D>0), इसलिए (p>0)। / Here (D=4p-2 -4\(p^2-5p\)=20p). For two distinct real values (D>0), so (p>0).
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यदि (x-2 -(2a+1)x+a(a+1)=0) है, तो मूलों की प्रकृति क्या होगी?
If (x-2 -(2a+1)x+a(a+1)=0), what will be the nature of roots?
#quadratic-equations
#identity
#rational-roots
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A दो वास्तविक परिमेय और असमान ((D=1)) / Two real rational and distinct ((D=1))
B दो वास्तविक और समान ((D=0)) / Two real and equal ((D=0))
C कोई वास्तविक मूल नहीं ((D<0)) / No real roots ((D<0))
D दो वास्तविक अपरिमेय और असमान ((D=2a+1)) / Two real irrational and distinct ((D=2a+1))
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Correct Answer
A. दो वास्तविक परिमेय और असमान ((D=1)) / Two real rational and distinct ((D=1))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(2a+1)2 -4a(a+1)=1) है। इसलिए (a) के हर मान पर मूल परिमेय और असमान हैं। / Here (D=(2a+1)2 -4a(a+1)=1). Thus for every value of (a), the roots are rational and distinct.
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यदि (x-2 -(a+b)x+ab=0) और \(a\neq b\), तो मूलों की प्रकृति क्या होगी?
If (x-2 -(a+b)x+ab=0) and \(a\neq b\), what will be the nature of roots?
#quadratic-equations
#identity
#distinct-roots
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A दो वास्तविक और असमान / Two real and distinct
B दो वास्तविक और समान / Two real and equal
C कोई वास्तविक मूल नहीं / No real roots
D दो हमेशा अपरिमेय / Always two irrational roots
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Correct Answer
A. दो वास्तविक और असमान / Two real and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(a+b)2 -4ab=(a-b)2 ) है। \(a\neq b\) होने पर (D>0), इसलिए मूल असमान वास्तविक हैं। / Here (D=(a+b)2 -4ab=(a-b)2 ). Since \(a\neq b\), (D>0), so the roots are distinct real roots.
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यदि (x-2 -2(a-1)x+\(a^2+1\)=0) के कोई वास्तविक मूल नहीं हों, तो (a) पर कौन सी शर्त सही है?
If (x-2 -2(a-1)x+\(a^2+1\)=0) has no real roots, which condition on (a) is correct?
#quadratic-equations
#no-real-roots
#parameter
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A (a>0)
B (a=0)
C (a<0)
D हर वास्तविक (a) / Every real (a)
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यहाँ (D=4(a-1)2 -4\(a^2+1\)=-8a) है। कोई वास्तविक मूल न होने के लिए (D<0), इसलिए (a>0)। / Here (D=4(a-1)2 -4\(a^2+1\)=-8a). For no real roots (D<0), so (a>0).
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