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A. दो वास्तविक और असमान मूल/Two real and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=m+4\), \(b=-2(m+2)\) और \(c=m\) हैं। शर्त \(m\ne-4\) से \(a\ne0\), इसलिए समीकरण वास्तव में द्विघात है। इसका विविक्तकर \(\Delta=b^2-4ac=4(m+2)^2-4m(m+4)=16\) है। चूँकि \(\Delta>0\), मूल दो वास्तविक और असमान होंगे। समान मूलों के लिए \(\Delta=0\) होना चाहिए, इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(\Delta>0\), \(\Delta=0\) और \(\Delta<0\) क्रमशः असमान वास्तविक, समान वास्तविक और अवास्तविक मूल दर्शाते हैं। / Here, \(a=m+4\), \(b=-2(m+2)\), and \(c=m\). The condition \(m\ne-4\) ensures that \(a\ne0\), so the equation is genuinely quadratic. Its discriminant is \(\Delta=b^2-4ac=4(m+2)^2-4m(m+4)=16\). Since \(\Delta>0\), the roots are real and distinct. Equal roots would require \(\Delta=0\), so option B is incorrect. Exam tip: \(\Delta>0\), \(\Delta=0\), and \(\Delta<0\) indicate distinct real, equal real, and non-real roots, respectively.
इस समीकरण का विविक्तकर \(D=(t+7)^2-4(1)(7t)=(t-7)^2\) है। दो वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए \(D>0\) होना चाहिए। इसलिए \((t-7)^2>0\), जो केवल \(t\ne7\) पर सत्य है। वास्तव में समीकरण \((x-7)(x-t)=0\) के रूप में लिखा जा सकता है; \(t=7\) होने पर दोनों मूल समान हो जाते हैं। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में असमान वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) जाँचें। / The discriminant is \(D=(t+7)^2-4(1)(7t)=(t-7)^2\). Two real and distinct roots require \(D>0\), so \((t-7)^2>0\), which is true exactly when \(t\ne7\). Equivalently, the equation factors as \((x-7)(x-t)=0\); when \(t=7\), the two roots coincide. Exam tip: for distinct real roots of a quadratic, always check the condition \(D>0\).
A. दो वास्तविक और भिन्न मूल/Two real and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ द्विघात समीकरण के गुणांक हैं: �(a=m+3
d=-2(m+1)
c=m-1
oops)�। इसका विविक्तकर �(D=[-2(m+1)]2-4(m+3)(m-1)=16)� है। चूँकि �(D=16>0)� और �\(a=m+3\ne0\)�, इसलिए समीकरण के दो वास्तविक और भिन्न मूल होंगे। समान मूलों के लिए �(D=0)� होना आवश्यक है। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर का मान देखकर मूलों की प्रकृति तुरंत निर्धारित की जा सकती है। / The coefficients are �(a=m+3
d=-2(m+1)
c=m-1
oops)�. Its discriminant is �(D=[-2(m+1)]2-4(m+3)(m-1)=16)�. Since �(D=16>0)� and �\(a=m+3\ne0\)�, the equation has two real and distinct roots. Equal roots would require �(D=0)�. Exam tip: For a quadratic equation, use the sign of the discriminant to determine the nature of its roots.
द्विघात समीकरण के दो वास्तविक और असमान मूलों के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। अतः \(12n-36>0\), जिससे \(12n>36\) और \(n>3\) प्राप्त होता है। \(n=3\) पर \(D=0\) होता है, इसलिए दोनों मूल वास्तविक तो होंगे, पर समान होंगे। परीक्षा में असमान वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) याद रखें। / A quadratic equation has two real and distinct roots only when its discriminant satisfies \(D>0\). Therefore, \(12n-36>0\), which gives \(12n>36\) and hence \(n>3\). At \(n=3\), \(D=0\), so the roots are real but equal. Exam tip: remember \(D>0\) for two real and distinct roots.
A. दो वास्तविक और असमान मूल, अर्थात् \\(a\\) और \\(a+1\\)/Two real and distinct roots, namely \\(a\\) and \\(a+1\\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \\(A=1\\), \\(B=-(2a+1)\\) और \\(C=a(a+1)\\) हैं। अतः विविक्तकर \\(D=B^2-4AC=(2a+1)^2-4a(a+1)=1\\) है। चूँकि \\(D>0\\), दोनों मूल वास्तविक और असमान होंगे। वास्तव में, मूल \\(a\\) और \\(a+1\\) हैं। इन्हें हमेशा परिमेय या अपरिमेय नहीं कहा जा सकता, क्योंकि यह \\(a\\) पर निर्भर करता है। परीक्षा-युक्ति: पहले विविक्तकर को सरल करके उसका चिह्न निर्धारित करें। / Here \\(A=1\\), \\(B=-(2a+1)\\), and \\(C=a(a+1)\\). Therefore, the discriminant is \\(D=B^2-4AC=(2a+1)^2-4a(a+1)=1\\). Since \\(D>0\\), the roots are real and distinct. In fact, the roots are \\(a\\) and \\(a+1\\). They cannot always be called rational or irrational, because that depends on the value of \\(a\\). Exam tip: simplify the discriminant first and then determine its sign.
यहाँ \(a=1\), \(b=-2p\) और \(c=p^2-5p\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-2p)^2-4(p^2-5p)=20p\) होगा। दो वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए \(D>0\) होना चाहिए, इसलिए \(20p>0\), अर्थात् \(p>0\)। \(p=0\) पर विविक्तकर शून्य होता है और दोनों मूल समान हो जाते हैं, जबकि \(p<0\) पर मूल वास्तविक नहीं होते। परीक्षा-युक्ति: भिन्न वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) जाँचें। / Here, \(a=1\), \(b=-2p\), and \(c=p^2-5p\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-2p)^2-4(p^2-5p)=20p\). A quadratic equation has two real and distinct roots only when \(D>0\). Hence, \(20p>0\), which gives \(p>0\). For \(p=0\), the discriminant is zero and the roots are equal; for \(p<0\), the roots are non-real. Exam tip: For distinct real roots, always apply the condition \(D>0\).
A. दो वास्तविक और असमान मूल/Two real and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=1\), \(b=-2p\) और \(c=p^2-q^2\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4p^2-4(p^2-q^2)=4q^2\) होगा। चूँकि \(q\neq 0\), इसलिए \(D=4q^2>0\), जिससे दो वास्तविक और असमान मूल प्राप्त होते हैं। वास्तव में मूल \(p+q\) और \(p-q\) हैं। विकल्प B गलत है क्योंकि समान मूलों के लिए \(D=0\) होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D>0\) का अर्थ हमेशा दो वास्तविक और असमान मूल होता है। / Here, \(a=1\), \(b=-2p\), and \(c=p^2-q^2\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=4p^2-4(p^2-q^2)=4q^2\). Since \(q\neq 0\), we have \(D=4q^2>0\), so the equation has two real and distinct roots. In fact, the roots are \(p+q\) and \(p-q\). Option B is incorrect because equal roots require \(D=0\). Exam tip: For a quadratic equation, \(D>0\) always indicates two real and distinct roots.
A. \(\lambda<0\) या \(\lambda>1\)/\(\lambda<0\) or \(\lambda>1\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4\lambda-2-4\lambda=4\lambda\(\lambda-1\)) है। असमान वास्तविक मूलों के लिए (D>0), इसलिए \(\lambda<0\) या \(\lambda>1\)। / Here (D=4\lambda-2-4\lambda=4\lambda\(\lambda-1\)). For distinct real roots (D>0), so \(\lambda<0\) or \(\lambda>1\).
यहाँ \(a=1\), \(b=-16\) और \(c=k\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-16)^2-4(1)(k)=256-4k\)। दो वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए \(D>0\) होना चाहिए, इसलिए \(256-4k>0\), अर्थात् \(k<64\)। \(k=64\) पर दोनों मूल समान हो जाते हैं, इसलिए वह विकल्प सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति ज्ञात करने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का चिह्न जाँचें। / Here, \(a=1\), \(b=-16\), and \(c=k\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-16)^2-4(1)(k)=256-4k\). Two real and distinct roots require \(D>0\), so \(256-4k>0\), which gives \(k<64\). When \(k=64\), the roots are equal, so that option is not correct. Exam tip: Check the sign of the discriminant first when determining the nature of roots.
द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति ज्ञात करने के लिए विविक्तकर �Delta=b-2-4ac का उपयोग करते हैं। विकल्प (A) के लिए �Delta=(-11)2-4(1)(18)=49>0 है, इसलिए इसके दो वास्तविक और असमान मूल हैं; वास्तव में मूल 2 और 9 हैं। विकल्प (B) और (D) में �Delta=0 है, इसलिए मूल वास्तविक और समान हैं, जबकि विकल्प (C) में �Delta=4-24=-20<0 है, इसलिए उसके मूल वास्तविक नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: �Delta>0,
elta=0 और
elta<0 क्रमशः दो असमान वास्तविक, समान वास्तविक और अवास्तविक मूल दर्शाते हैं। / The nature of the roots of a quadratic equation is determined using the discriminant, �Delta=b-2-4ac. For option (A), �Delta=(-11)2-4(1)(18)=49>0, so the equation has two real and distinct roots; they are 2 and 9. In options (B) and (D), �Delta=0, so the roots are real and equal, while in option (C), �Delta=4-24=-20<0, so its roots are not real. Exam tip: �Delta>0,
elta=0, and
elta<0 indicate two distinct real roots, equal real roots, and non-real roots, respectively.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के दो वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac>0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-12\) और \(c=k\), इसलिए \(D=(-12)^2-4(1)(k)=144-4k=4(36-k)\)। अतः \(D>0\) के लिए \(k<36\), इसलिए विकल्प A सही है। \(k=36\) पर दोनों मूल समान हो जाते हैं। परीक्षा-युक्ति: भिन्न वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) याद रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) to have two real and distinct roots, its discriminant must satisfy \(D=b^2-4ac>0\). Here, \(a=1\), \(b=-12\), and \(c=k\), so \(D=(-12)^2-4(1)(k)=144-4k=4(36-k)\). Therefore, \(D>0\) gives \(k<36\), making option A correct. At \(k=36\), the roots are real but equal, not distinct. Exam tip: use \(D>0\) specifically for two distinct real roots.
A. हमेशा वास्तविक और भिन्न/Always real and distinct
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण में \(A=2\), \(B=-4a\) और \(C=2a^2-3\) हैं। इसका विविक्तकर \(D=B^2-4AC=(-4a)^2-4(2)(2a^2-3)=16a^2-16a^2+24=24\) है। चूँकि \(D=24>0\) प्रत्येक वास्तविक \(a\) के लिए, दोनों मूल वास्तविक और भिन्न होंगे। इसलिए विकल्प A सही है; \(D=0\) होने पर ही मूल समान होते। परीक्षा-युक्ति: पैरामीटर वाले प्रश्नों में विविक्तकर को सरल करके देखें कि उसका चिह्न पैरामीटर पर निर्भर करता है या नहीं। / For the quadratic equation, \(A=2\), \(B=-4a\), and \(C=2a^2-3\). Its discriminant is \(D=B^2-4AC=(-4a)^2-4(2)(2a^2-3)=16a^2-16a^2+24=24\). Since \(D=24>0\) for every real value of \(a\), the roots are always real and distinct. Hence option A is correct; equal roots would require \(D=0\). Exam tip: in parameter-based questions, simplify the discriminant fully and check whether its sign depends on the parameter.
A. वास्तविक, परिमेय और भिन्न/Real, rational and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-5)^2-4(6)(1)=25-24=1\) है। \(D\) धनात्मक पूर्ण वर्ग होने पर दोनों मूल वास्तविक, परिमेय और भिन्न होते हैं। वास्तव में मूल \(x=\frac{1}{2}\) और \(x=\frac{1}{3}\) हैं। परीक्षा में याद रखें: \(D>0\) और पूर्ण वर्ग होने पर मूल वास्तविक, परिमेय और अलग-अलग होते हैं। / Here, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-5)^2-4(6)(1)=25-24=1\). Since \(D\) is positive and a perfect square, the roots are real, rational, and distinct. In fact, the roots are \(x=\frac{1}{2}\) and \(x=\frac{1}{3}\). Exam tip: if \(D>0\) is a perfect square, the roots are real, rational, and distinct.
द्विघात समीकरण में विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। जब \(D<0\), तब समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते, इसलिए दो वास्तविक और भिन्न मूल मिलने वाला कथन असत्य है। दो वास्तविक और भिन्न मूल \(D>0\) होने पर मिलते हैं; \(D=0\) पर दोनों मूल समान होते हैं। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति याद रखने के लिए \(D>0\), \(D=0\), और \(D<0\) के क्रम को अवश्य जाँचें। / For a quadratic equation, the discriminant is \(D=b^2-4ac\). When \(D<0\), the equation has no real roots, so the statement claiming two real and distinct roots is false. Two real and distinct roots occur when \(D>0\), while \(D=0\) gives equal real roots. Exam tip: Always check the three cases \(D>0\), \(D=0\), and \(D<0\) to determine the nature of the roots.
A. वास्तविक, अपरिमेय और अलग-अलग/Real, irrational and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=1, b=-2, c=-1\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-2)^2-4(1)(-1)=8\) है। चूँकि \(D>0\), दोनों मूल वास्तविक और अलग-अलग हैं। साथ ही, \(8\) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए मूल अपरिमेय हैं। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) और \(D\) पूर्ण वर्ग न हो, तो मूल वास्तविक, अपरिमेय और अलग-अलग होते हैं। / Here, \(a=1, b=-2, c=-1\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-2)^2-4(1)(-1)=8\). Since \(D>0\), the roots are real and distinct. Also, 8 is not a perfect square, so the roots are irrational. Exam tip: If \(D>0\) and \(D\) is not a perfect square, the roots are real, irrational, and distinct.
A. वास्तविक, परिमेय और अलग-अलग/Real, rational and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=1, b=-6, c=8\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(1)(8)=36-32=4\) है। चूँकि \(D>0\), दोनों मूल वास्तविक और अलग-अलग हैं; तथा \(D=4\) पूर्ण वर्ग है, इसलिए वे परिमेय भी हैं। वास्तव में मूल \(2\) और \(4\) हैं। अतः विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) और पूर्ण वर्ग होने पर मूल वास्तविक, परिमेय और अलग-अलग होते हैं। / Here, \(a=1, b=-6, c=8\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(1)(8)=36-32=4\). Since \(D>0\), the roots are real and distinct; since \(D=4\) is a perfect square, they are also rational. In fact, the roots are \(2\) and \(4\). Therefore, option A is correct. Exam tip: If \(D>0\) and is a perfect square, the roots are real, rational and distinct.
A. वास्तविक, परिमेय और भिन्न/Real, rational and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=3, b=-5, c=2\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-5)^2-4(3)(2)=25-24=1\) है। चूँकि \(D\) धनात्मक पूर्ण वर्ग है, दोनों मूल वास्तविक, परिमेय और भिन्न होंगे। वास्तव में मूल \(x=1\) और \(x=\frac{2}{3}\) हैं। परीक्षा में याद रखें: \(D>0\) से मूल भिन्न, और \(D\) का पूर्ण वर्ग होना उन्हें परिमेय बनाता है। / Here, \(a=3, b=-5, c=2\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=(-5)^2-4(3)(2)=25-24=1\). Since \(D\) is positive and a perfect square, the two roots are real, rational, and distinct. In fact, the roots are \(x=1\) and \(x=\frac{2}{3}\). Exam tip: \(D>0\) indicates distinct roots, while a perfect-square discriminant makes them rational.
द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के लिए विविक्तकर Δ = b² − 4ac होता है। विकल्प A में Δ = (−3)² − 4(1)(2) = 1 > 0, इसलिए इसके मूल वास्तविक और भिन्न हैं। विकल्प B और D में Δ = 0 है, इसलिए उनके मूल समान हैं, जबकि विकल्प C में Δ = −3 < 0 है, इसलिए उसके मूल वास्तविक नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: Δ > 0 होने पर मूल वास्तविक और भिन्न होते हैं। / For a quadratic equation ax² + bx + c = 0, the discriminant is Δ = b² − 4ac. In option A, Δ = (−3)² − 4(1)(2) = 1 > 0, so its roots are real and distinct. Options B and D have Δ = 0, giving equal roots, while option C has Δ = −3 < 0, so its roots are not real. Exam tip: Δ > 0 indicates real and distinct roots.
A. \(\Delta=1\), दो वास्तविक और भिन्न मूल/\(\Delta=1\), two real and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
दिए गए समीकरण में \(a=1\), \(b=5\) और \(c=6\) हैं। इसलिए \(\Delta=b^2-4ac=5^2-4(1)(6)=25-24=1\)। चूँकि \(\Delta>0\), इसके दो वास्तविक और भिन्न मूल होते हैं। विकल्प B तभी सही होता जब \(\Delta=0\) होता। परीक्षा में पहले विविक्तकर निकालें, फिर उसके चिह्न से मूलों की प्रकृति तय करें। / For the given equation, \(a=1\), \(b=5\), and \(c=6\). Thus, \(\Delta=b^2-4ac=5^2-4(1)(6)=25-24=1\). Since \(\Delta>0\), the equation has two real and distinct roots. Option B would be correct only if \(\Delta=0\). In exams, calculate the discriminant first and then use its sign to determine the nature of the roots.
असमान वास्तविक मूलों के लिए (D>0), इसलिए ((-2)2-4n>0) से (n<1)। असमान के लिए कड़ाई वाली असमता लगती है। / For distinct real roots (D>0), so ((-2)2-4n>0) gives (n<1). Use a strict inequality for distinct roots.
A. मूल वास्तविक और असमान होंगे/The roots will be real and distinct
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण में विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। जब \(D>0\), तब दोनों मूल वास्तविक और असमान होते हैं। यहाँ \(D=25>0\), इसलिए विकल्प A सही है। \(D=0\) होने पर मूल समान होते और \(D<0\) होने पर मूल अवास्तविक होते। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति निर्धारित करने के लिए सबसे पहले विविक्तकर के चिन्ह को देखें। / For a quadratic equation, the discriminant is \(D=b^2-4ac\). When \(D>0\), the two roots are real and distinct. Since \(D=25>0\), option A is correct. Equal roots occur when \(D=0\), while non-real roots occur when \(D<0\). Exam tip: Check the sign of the discriminant first to determine the nature of the roots.
द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के लिए विविक्तकर D = b² − 4ac होता है। विकल्प A में D = (−7)² − 4(1)(10) = 9 > 0 है, इसलिए इसके मूल वास्तविक और असमान होंगे। विकल्प B और D में D = 0 है, इसलिए उनके मूल वास्तविक और समान हैं, जबकि विकल्प C में D = 16 − 32 = −16 है, इसलिए उसके कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: D > 0 होने पर मूल वास्तविक और असमान होते हैं। / For a quadratic equation ax² + bx + c = 0, the discriminant is D = b² − 4ac. For option A, D = (−7)² − 4(1)(10) = 9 > 0, so its roots are real and distinct. In options B and D, D = 0, giving real and equal roots, while option C has D = 16 − 32 = −16, so it has no real roots. Exam tip: D > 0 indicates two real and distinct roots.
दो अलग वास्तविक मूलों के लिए (D>0), इसलिए (256-4n>0) और (n<64) है। परीक्षा में (D>0) को अलग वास्तविक मूल से जोड़ें। / For two distinct real roots, (D>0), so (256-4n>0) and (n<64). In exams, connect (D>0) with distinct real roots.
दो अलग वास्तविक मूलों के लिए (D>0), इसलिए (196-4n>0) और (n<49) है। परीक्षा में (D>0) को अलग वास्तविक मूल से जोड़ें। / For two distinct real roots, (D>0), so (196-4n>0) and (n<49). In exams, connect (D>0) with distinct real roots.
दो अलग वास्तविक मूलों के लिए (D>0), इसलिए (144-4n>0) और (n<36) है। परीक्षा में (D>0) को अलग वास्तविक मूल से जोड़ें। / For two distinct real roots, (D>0), so (144-4n>0) and (n<36). In exams, connect (D>0) with distinct real roots.
दो अलग वास्तविक मूलों के लिए (D>0), इसलिए (100-4n>0) और (n<25) है। परीक्षा में (D>0) को अलग वास्तविक मूल से जोड़ें। / For two distinct real roots, (D>0), so (100-4n>0) and (n<25). In exams, connect (D>0) with distinct real roots.
दो अलग वास्तविक मूलों के लिए (D>0), इसलिए (64-4n>0) और (n<16) है। परीक्षा में (D>0) को अलग वास्तविक मूल से जोड़ें। / For two distinct real roots, (D>0), so (64-4n>0) and (n<16). In exams, connect (D>0) with distinct real roots.
दो अलग वास्तविक मूलों के लिए (D>0), इसलिए (16-4n>0) और (n<4) है। परीक्षा में (D>0) को distinct roots से जोड़ें। / For two distinct real roots, (D>0), so (16-4n>0) and (n<4). In exams, connect (D>0) with distinct roots.
वियत के सूत्र के अनुसार दोनों जड़ों का योग \(10\) है और उनका गुणनफल \(k\) है। 10 बनाने वाली भिन्न अभाज्य संख्याओं की जोड़ी \(3\) और \(7\) है; \(5+5=10\) होने पर जड़ें भिन्न नहीं रहेंगी। इसलिए \(k=3\times7=21\)। परीक्षा-युक्ति: \(x^2-Sx+P=0\) में जड़ों का योग \(S\) और गुणनफल \(P\) होता है। / By Vieta’s relations, the sum of the roots is \(10\) and their product is \(k\). The distinct prime numbers that sum to 10 are \(3\) and \(7\); the pair \(5,5\) is excluded because the roots must be distinct. Hence, \(k=3\times7=21\). Exam tip: In \(x^2-Sx+P=0\), the sum of the roots is \(S\) and their product is \(P\).
द्विघात समीकरण की वास्तविक और भिन्न जड़ों के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2(k+1)\) और \(c=k^2\) हैं, इसलिए \(D=b^2-4ac=4(k+1)^2-4k^2=4(2k+1)\)। अतः \(4(2k+1)>0\), जिससे \(k>- rac{1}{2}\) प्राप्त होता है। विकल्प B में समानता शामिल है, पर \(k=-\frac{1}{2}\) पर जड़ें भिन्न नहीं, समान होती हैं। परीक्षा टिप: ‘वास्तविक और भिन्न’ जड़ों के लिए हमेशा \(D>0\) लगाएँ। / A quadratic equation has real and distinct roots only when its discriminant satisfies \(D>0\). Here, \(a=1\), \(b=-2(k+1)\), and \(c=k^2\), so \(D=b^2-4ac=4(k+1)^2-4k^2=4(2k+1)\). Thus, \(4(2k+1)>0\), which gives \(k>- rac{1}{2}\). Option B is incorrect because at \(k=- rac{1}{2}\), the roots are equal rather than distinct. Exam tip: For ‘real and distinct’ roots, use the strict condition \(D>0\).
