Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
Here \(\alpha+\beta=\frac{5}{2}\) and \(\alpha\beta=\frac{m}{2}\). Using (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta), we get (m=3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (3). Here \(\alpha+\beta=\frac{5}{2}\) and \(\alpha\beta=\frac{m}{2}\). Using (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta), we get (m=3).
Step 3
Exam Tip
यहाँ \(\alpha+\beta=\frac{5}{2}\) और \(\alpha\beta=\frac{m}{2}\) है। (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) से (m=3) मिलता है।
Here \(\alpha+\beta=\frac{10}{3}\) and \(\alpha\beta=1\). The reciprocal roots also have sum \(\frac{10}{3}\) and product (1).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(3x^2-10x+3=0\). Here \(\alpha+\beta=\frac{10}{3}\) and \(\alpha\beta=1\). The reciprocal roots also have sum \(\frac{10}{3}\) and product (1).
Step 3
Exam Tip
यहाँ \(\alpha+\beta=\frac{10}{3}\) और \(\alpha\beta=1\) है। व्युत्क्रम जड़ों का योग \(\frac{10}{3}\) और गुणनफल (1) ही रहता है।
A. \(\frac{21+3\sqrt{33}}{4}\) या \(\frac{21-3\sqrt{33}}{4}\)/\(\frac{21+3\sqrt{33}}{4}\) or \(\frac{21-3\sqrt{33}}{4}\)
Step 1
Concept
Taking the roots as (r) and (2r), we get (3r=3-k) and \(2r^2=k\). Solving \(2k^2-21k+18=0\) gives the two listed values.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{21+3\sqrt{33}}{4}\) या \(\frac{21-3\sqrt{33}}{4}\) / \(\frac{21+3\sqrt{33}}{4}\) or \(\frac{21-3\sqrt{33}}{4}\). Taking the roots as (r) and (2r), we get (3r=3-k) and \(2r^2=k\). Solving \(2k^2-21k+18=0\) gives the two listed values.
Step 3
Exam Tip
जड़ें (r) और (2r) मानने पर (3r=3-k) और \(2r^2=k\) मिलता है। हल करने पर \(2k^2-21k+18=0\), इसलिए दिए गए दोनों मान मिलते हैं।
Use (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta). Here \(\alpha+\beta=\frac{7}{2}\) and \(\alpha\beta=\frac{3}{2}\), so the value is \(\frac{25}{4}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(\frac{25}{4}\). Use (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta). Here \(\alpha+\beta=\frac{7}{2}\) and \(\alpha\beta=\frac{3}{2}\), so the value is \(\frac{25}{4}\).
Step 3
Exam Tip
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta) का प्रयोग करें। यहाँ \(\alpha+\beta=\frac{7}{2}\) और \(\alpha\beta=\frac{3}{2}\), इसलिए मान \(\frac{25}{4}\) है।
Here \(\alpha+\beta=6\) and \(\alpha\beta=m\). Using (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)), we get (m=8).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (8). Here \(\alpha+\beta=6\) and \(\alpha\beta=m\). Using (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)), we get (m=8).
Step 3
Exam Tip
\(\alpha+\beta=6\) और \(\alpha\beta=m\) है। (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)) से (m=8) मिलता है।
A. \(4+\sqrt{21}\) या \(4-\sqrt{21}\)/\(4+\sqrt{21}\) or \(4-\sqrt{21}\)
Step 1
Concept
Put (\(\alpha-\beta\)2=9) in (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta). This gives \(a^2-8a-5=0\), so \(a=4\pm\sqrt{21}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(4+\sqrt{21}\) या \(4-\sqrt{21}\) / \(4+\sqrt{21}\) or \(4-\sqrt{21}\). Put (\(\alpha-\beta\)2=9) in (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta). This gives \(a^2-8a-5=0\), so \(a=4\pm\sqrt{21}\).
Step 3
Exam Tip
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta) में (\(\alpha-\beta\)2=9) रखें। इससे \(a^2-8a-5=0\) और \(a=4\pm\sqrt{21}\) मिलता है।
Let the roots be (r) and (4r). Then \(4r^2=4\), so \(r=\pm1\); using \(5r=-\frac{p}{3}\), we get \(p=\pm15\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (15) या (-15) / (15) or (-15). Let the roots be (r) and (4r). Then \(4r^2=4\), so \(r=\pm1\); using \(5r=-\frac{p}{3}\), we get \(p=\pm15\).
Step 3
Exam Tip
जड़ें (r) और (4r) मानने पर \(4r^2=4\), इसलिए \(r=\pm1\)। योग \(5r=-\frac{p}{3}\) से \(p=\pm15\) मिलता है।
For real roots, \(D=36-36k\ge0\) is required. Thus \(k\le1\), and \(k\ne0\) is also needed for a quadratic equation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(k\le 1,\ k\ne0\). For real roots, \(D=36-36k\ge0\) is required. Thus \(k\le1\), and \(k\ne0\) is also needed for a quadratic equation.
Step 3
Exam Tip
वास्तविक जड़ों के लिए \(D=36-36k\ge0\) होना चाहिए। इसलिए \(k\le1\) और द्विघात के लिए \(k\ne0\) भी जरूरी है।
\(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\). With \(\alpha+\beta=-4\) and \(\alpha\beta=1\), the value is (14).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (14). \(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\). With \(\alpha+\beta=-4\) and \(\alpha\beta=1\), the value is (14).
Step 3
Exam Tip
\(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\) होता है। \(\alpha+\beta=-4\) और \(\alpha\beta=1\) से मान (14) आता है।
The sum of roots is (\frac{2(m-1)}{m+1}). Setting it equal to (2) gives (m-1=m+1), which is impossible.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. नहीं, कोई मान नहीं / No, no value. The sum of roots is (\frac{2(m-1)}{m+1}). Setting it equal to (2) gives (m-1=m+1), which is impossible.
Step 3
Exam Tip
जड़ों का योग (\frac{2(m-1)}{m+1}) है। इसे (2) रखने पर (m-1=m+1) आता है, जो असंभव है।
Here \(\alpha+\beta=3\) and \(\alpha\beta=-2\). Thus \(\alpha^2+\beta^2=13\) and \(\alpha^2\beta^2=4\), so the equation is \(x^2-13x+4=0\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x^2-13x+4=0\). Here \(\alpha+\beta=3\) and \(\alpha\beta=-2\). Thus \(\alpha^2+\beta^2=13\) and \(\alpha^2\beta^2=4\), so the equation is \(x^2-13x+4=0\).
Step 3
Exam Tip
\(\alpha+\beta=3\) और \(\alpha\beta=-2\) है। इसलिए \(\alpha^2+\beta^2=13\) और \(\alpha^2\beta^2=4\), अतः समीकरण \(x^2-13x+4=0\) है।
The denominator (\(\alpha-1\)\(\beta-1\)=\alpha\beta-\(\alpha+\beta\)+1=4). The numerator is \(\alpha+\beta-2=5\), so the value is \(\frac{5}{4}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{5}{4}\). The denominator (\(\alpha-1\)\(\beta-1\)=\alpha\beta-\(\alpha+\beta\)+1=4). The numerator is \(\alpha+\beta-2=5\), so the value is \(\frac{5}{4}\).
Step 3
Exam Tip
हर (\(\alpha-1\)\(\beta-1\)=\alpha\beta-\(\alpha+\beta\)+1=4) है। ऊपर \(\alpha+\beta-2=5\), इसलिए मान \(\frac{5}{4}\) है।
(\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)). Since \(\alpha\beta=-\frac{5}{2}\) and \(\alpha+\beta=-\frac{3}{2}\), the value is \(\frac{15}{4}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{15}{4}\). (\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)). Since \(\alpha\beta=-\frac{5}{2}\) and \(\alpha+\beta=-\frac{3}{2}\), the value is \(\frac{15}{4}\).
Step 3
Exam Tip
(\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)) होता है। \(\alpha\beta=-\frac{5}{2}\) और \(\alpha+\beta=-\frac{3}{2}\), इसलिए मान \(\frac{15}{4}\) है।
A. \(\sqrt{57}\) और \(-\sqrt{57}\)/\(\sqrt{57}\) and \(-\sqrt{57}\)
Step 1
Concept
Let the roots be (r) and (r+3). Then (r(r+3)=12), giving the sum as \(\pm\sqrt{57}\), so \(a=\mp\sqrt{57}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{57}\) और \(-\sqrt{57}\) / \(\sqrt{57}\) and \(-\sqrt{57}\). Let the roots be (r) and (r+3). Then (r(r+3)=12), giving the sum as \(\pm\sqrt{57}\), so \(a=\mp\sqrt{57}\).
Step 3
Exam Tip
जड़ें (r) और (r+3) मानने पर (r(r+3)=12) मिलता है। इससे जड़ों का योग \(\pm\sqrt{57}\) होता है, इसलिए \(a=\mp\sqrt{57}\)।
The sum is \(\frac{5}{4}\) and the product is \(\frac{3}{8}\). Multiply \(x^2-\frac{5}{4}x+\frac{3}{8}=0\) by (8).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(8x^2-10x+3=0\). The sum is \(\frac{5}{4}\) and the product is \(\frac{3}{8}\). Multiply \(x^2-\frac{5}{4}x+\frac{3}{8}=0\) by (8).
Step 3
Exam Tip
जड़ों का योग \(\frac{5}{4}\) और गुणनफल \(\frac{3}{8}\) है। समीकरण \(x^2-\frac{5}{4}x+\frac{3}{8}=0\) को (8) से गुणा करें।
The monic equation is \(x^2-x-6=0\). Since the coefficient of \(x^2\) must be (2), multiply the whole equation by (2).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2x^2-2x-12=0\). The monic equation is \(x^2-x-6=0\). Since the coefficient of \(x^2\) must be (2), multiply the whole equation by (2).
Step 3
Exam Tip
मॉनिक समीकरण \(x^2-x-6=0\) है। \(x^2\) का गुणांक (2) चाहिए, इसलिए पूरे समीकरण को (2) से गुणा करें।
Use (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta). Since (16=\(\alpha+\beta\)2-20), we get (\(\alpha+\beta\)2=36) and \(m^2=36\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (36). Use (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta). Since (16=\(\alpha+\beta\)2-20), we get (\(\alpha+\beta\)2=36) and \(m^2=36\).
Step 3
Exam Tip
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta) लगाएँ। (16=\(\alpha+\beta\)2-20), इसलिए (\(\alpha+\beta\)2=36) और \(m^2=36\)।
Putting (x=3) gives (9-3(a+3)+3a=0). Hence (3) is always one root, and the other root is (a).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (3) हमेशा एक जड़ है / (3) is always a root. Putting (x=3) gives (9-3(a+3)+3a=0). Hence (3) is always one root, and the other root is (a).
Step 3
Exam Tip
(x=3) रखने पर (9-3(a+3)+3a=0) मिलता है। इसलिए (3) हमेशा एक जड़ है और दूसरी जड़ (a) होती है।
(\(\alpha+2\)\(\beta+2\)=\alpha\beta+2\(\alpha+\beta\)+4). Since \(\alpha+\beta=4\) and \(\alpha\beta=2\), the value is (14).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (14). (\(\alpha+2\)\(\beta+2\)=\alpha\beta+2\(\alpha+\beta\)+4). Since \(\alpha+\beta=4\) and \(\alpha\beta=2\), the value is (14).
Step 3
Exam Tip
(\(\alpha+2\)\(\beta+2\)=\alpha\beta+2\(\alpha+\beta\)+4) है। \(\alpha+\beta=4\) और \(\alpha\beta=2\), इसलिए मान (14) है।
The numbers with product (-18) and sum (-3) are (3) and (-6). Hence this is the correct pair of roots.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (3) और (-6) / (3) and (-6). The numbers with product (-18) and sum (-3) are (3) and (-6). Hence this is the correct pair of roots.
Step 3
Exam Tip
गुणनफल (-18) और योग (-3) वाली संख्याएँ (3) और (-6) हैं। इसलिए यही जड़ों का सही युग्म है।
(\(\alpha-2\)\(\beta-2\)=\alpha\beta-2\(\alpha+\beta\)+4). Since \(\alpha+\beta=6\) and \(\alpha\beta=8\), the value is (0).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (0). (\(\alpha-2\)\(\beta-2\)=\alpha\beta-2\(\alpha+\beta\)+4). Since \(\alpha+\beta=6\) and \(\alpha\beta=8\), the value is (0).
Step 3
Exam Tip
(\(\alpha-2\)\(\beta-2\)=\alpha\beta-2\(\alpha+\beta\)+4) है। \(\alpha+\beta=6\) और \(\alpha\beta=8\), इसलिए मान (0) है।
