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मूल (4,12) हैं, इसलिए नए मूल (10,18) होंगे और समीकरण ((x-10)(x-18)=0) है। परीक्षा में नए मूल बनाकर नया समीकरण लिखें। / The roots are (4,12), so new roots are (10,18), and the equation is ((x-10)(x-18)=0). In exams, form the new roots and then the new equation.
मूल (3,11) हैं, इसलिए नए मूल (8,16) होंगे और समीकरण ((x-8)(x-16)=0) है। परीक्षा में नए मूल बनाकर नया समीकरण लिखें। / The roots are (3,11), so new roots are (8,16), and the equation is ((x-8)(x-16)=0). In exams, form the new roots and then the new equation.
मूल (2,10) हैं, इसलिए नए मूल (6,14) होंगे और समीकरण ((x-6)(x-14)=0) है। परीक्षा में नए मूल बनाकर नया समीकरण लिखें। / The roots are (2,10), so new roots are (6,14), and the equation is ((x-6)(x-14)=0). In exams, form the new roots and then the new equation.
मूल (2,8) हैं, इसलिए नए मूल (5,11) होंगे और समीकरण ((x-5)(x-11)=0) है। परीक्षा में नए मूल बनाकर नया समीकरण लिखें। / The roots are (2,8), so new roots are (5,11), and the equation is ((x-5)(x-11)=0). In exams, form the new roots and then the new equation.
मूल (2,6) हैं, इसलिए नए मूल (4,8) होंगे और समीकरण ((x-4)(x-8)=0) है। परीक्षा में नए मूल बनाकर नया समीकरण लिखें। / The roots are (2,6), so new roots are (4,8), and the equation is ((x-4)(x-8)=0). In exams, form the new roots and then the new equation.
मूल (1,5) हैं, इसलिए नए मूल (2,6) होंगे और समीकरण ((x-2)(x-6)=0) है। परीक्षा में नए मूल बनाकर नया समीकरण लिखें। / The roots are (1,5), so new roots are (2,6), and the equation is ((x-2)(x-6)=0). In exams, form the new roots and then the new equation.
मूल जड़ें (3) और (4) हैं। नई जड़ें (9) और (11) हैं, इसलिए समीकरण \(x^2-20x+99=0\) है। / The original roots are (3) and (4). The new roots are (9) and (11), so the equation is \(x^2-20x+99=0\).
मूल जड़ें (2) और (7) हैं। नई जड़ें (-1) और (4) होंगी, इसलिए समीकरण \(x^2-3x-4=0\) है। / The original roots are (2) and (7). The new roots are (-1) and (4), so the equation is \(x^2-3x-4=0\).
मूल जड़ें (1) और (5) हैं, इसलिए नई जड़ें (1) और (13) हैं। उनका समीकरण \(x^2-14x+13=0\) है। / The original roots are (1) and (5), so the new roots are (1) and (13). Their equation is \(x^2-14x+13=0\).
नई जड़ों का योग \(\alpha+\beta+2=5\) है, इसलिए (p=-3)। गुणनफल (q-p+1=6) से (q=2) मिलता है। / The sum of new roots is \(\alpha+\beta+2=5\), so (p=-3). From product (q-p+1=6), we get (q=2).
मूल जड़ें (2) और (3) हैं, इसलिए नई जड़ें (3) और (4) होंगी। उनका समीकरण \(x^2-7x+12=0\) है। / The original roots are (2) and (3), so the new roots are (3) and (4). Their equation is \(x^2-7x+12=0\).
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए मूलों का योग \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\) और गुणनफल \(\alpha\beta=\frac{c}{a}\) होता है। इसलिए यहाँ \(\alpha+\beta=4\) तथा \(\alpha\beta=-5\)। अब \((\alpha+2)(\beta+2)=\alpha\beta+2(\alpha+\beta)+4=-5+2(4)+4=7\)। अतः सही उत्तर A है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में मूलों को अलग-अलग हल करने के बजाय योग और गुणनफल के सूत्रों का प्रयोग करें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\) and their product is \(\alpha\beta=\frac{c}{a}\). Thus, here \(\alpha+\beta=4\) and \(\alpha\beta=-5\). Therefore, \((\alpha+2)(\beta+2)=\alpha\beta+2(\alpha+\beta)+4=-5+2(4)+4=7\). Hence, option A is correct. Exam tip: Use the sum and product of roots directly instead of solving for the roots individually.
वियता के सूत्र से \(\alpha+\beta=10\) और \(\alpha\beta=24\) प्राप्त होते हैं। अतः \((\alpha-2)(\beta-2)=\alpha\beta-2(\alpha+\beta)+4=24-20+4=8\)। इसलिए सही उत्तर A है। ध्यान रखें कि दोनों मूलों में से 2 घटाने पर गुणनफल निकालते समय \(-2(\alpha+\beta)\) पद अवश्य शामिल करें; केवल \(\alpha\beta\) लेने पर 24 प्राप्त होगा, जो गलत है। / By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=10\) and \(\alpha\beta=24\). Therefore, \((\alpha-2)(\beta-2)=\alpha\beta-2(\alpha+\beta)+4=24-20+4=8\). Hence, option A is correct. Exam tip: when subtracting the same number from both roots, expand the product carefully; using only \(\alpha\beta\) would incorrectly give 24.
विएटा के सूत्र के अनुसार, \(\alpha+\beta=9\) और \(\alpha\beta=18\)। अतः \((\alpha-2)(\beta-2)=\alpha\beta-2(\alpha+\beta)+4=18-18+4=4\)। इसलिए सही उत्तर विकल्प A है। ध्यान रखें कि केवल \(\alpha\beta\) पूछे जाने पर उत्तर 18 होता, लेकिन यहाँ दोनों मूलों में से 2 घटाकर गुणनफल निकालना है। / By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=9\) and \(\alpha\beta=18\). Therefore, \((\alpha-2)(\beta-2)=\alpha\beta-2(\alpha+\beta)+4=18-18+4=4\). Hence, option A is correct. Exam tip: 18 is only the product \(\alpha\beta\); the required expression also involves the sum of the roots.
वियत के सूत्र के अनुसार, समीकरण 8x-2-6x+5=09 के मूलों का योग 8\alpha+\beta9 = -\frac{-6}{1}=6 है। इसलिए नए व्यंजकों का योग 8\alpha+39+\u00028\beta+39 = \alpha+\beta+6 = 6+6=12 होगा। विकल्प 9 में केवल एक बार 3 जोड़ने की भूल होती है। परीक्षा-युक्ति: दोनों मूलों में समान संख्या जोड़ने पर मूलों का योग उस संख्या के दोगुने से बढ़ता है। / By Vieta’s formula, the sum of the roots of 8x-2-6x+5=09 is 8\alpha+\beta9 = -\frac{-6}{1}=6. Hence, 8\alpha+39+8\beta+39 = \alpha+\beta+6 = 6+6=12. The distractor 9 results from adding 3 only once. Exam tip: when the same number is added to both roots, their sum increases by twice that number.
पुराने योग (4) और गुणनफल (3) हैं। नए योग (12) और गुणनफल (27) होंगे इसलिए \(x^2-12x+27=0\) है। / The old sum is (4) and product is (3). The new sum is (12) and product is (27), so the equation is \(x^2-12x+27=0\).
समीकरण के मूल 8 और -2 हैं, क्योंकि \(x^2-6x-16=(x-8)(x+2)\)। प्रत्येक मूल में 2 घटाने पर नए मूल 6 और -4 मिलते हैं, अतः उनका गुणनफल \(6\times(-4)=-24\) है। ध्यान रखें कि दोनों मूलों में परिवर्तन करना है; केवल एक मूल में 2 घटाने से सही उत्तर नहीं मिलेगा। / The roots of the equation are 8 and -2, since \(x^2-6x-16=(x-8)(x+2)\). After subtracting 2 from each root, the new roots are 6 and -4, whose product is \(6\times(-4)=-24\). Remember that the transformation must be applied to both roots; changing only one root gives an incorrect result.
दिए गए समीकरण के मूल 8 और −2 हैं, क्योंकि \(x^2-6x-16=(x-8)(x+2)\)। प्रत्येक मूल में 1 जोड़ने पर नए मूल 9 और −1 मिलते हैं। अतः नए मूलों का योग 8 और गुणनफल −9 है, इसलिए मोनिक समीकरण \(x^2-8x-9=0\) होगा। विकल्प B पुराने मूलों का समीकरण है, जबकि विकल्प C में नए मूलों का योग गलत लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: मूलों में समान संख्या जोड़ने पर पहले नए मूलों का योग और गुणनफल निकालकर समीकरण \(x^2-(योग)x+(गुणनफल)=0\) बनाइए। / The given equation factors as \(x^2-6x-16=(x-8)(x+2)\), so its roots are 8 and −2. Adding 1 to each root gives 9 and −1. Their sum is 8 and their product is −9; therefore, the required monic equation is \(x^2-8x-9=0\). Option B retains the old roots, while option C uses an incorrect sum of the new roots. Exam tip: for roots \(\alpha\) and \(\beta\), form the monic equation as \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\).
वियत के सूत्र के अनुसार, \\(\alpha+\beta=2\\) और \\(\alpha\beta=-8\\)। इसलिए \\(\left(\alpha+3\right)\left(\beta+3\right)=\alpha\beta+3(\alpha+\beta)+9=-8+3(2)+9=7\\)। अतः सही उत्तर 7 है। ध्यान रखें: मूलों में समान संख्या जोड़कर बने गुणनफल को सीधे विस्तार करके वियत के सूत्रों से हल किया जा सकता है; केवल \\(\alpha+\beta\\) का उपयोग करना पर्याप्त नहीं है। / By Vieta’s formulas, \\(\alpha+\beta=2\\) and \\(\alpha\beta=-8\\). Hence, \\(\left(\alpha+3\right)\left(\beta+3\right)=\alpha\beta+3(\alpha+\beta)+9=-8+3(2)+9=7\\). Therefore, the correct answer is 7. Exam tip: when the same number is added to both roots, expand the product and use the sum and product of roots; using only \\(\alpha+\beta\\) would be incomplete.
वियत के सूत्र के अनुसार, (alpha+beta=8) और (alphabeta=15)। इसलिए ((alpha-1)(beta-1)=alphabeta-(alpha+beta)+1=15-8+1=8)। अतः सही उत्तर 8 है। 15 केवल (alphabeta) का मान है; उसमें दोनों मूलों से 1 घटाने का प्रभाव शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले दिए गए मूलों के योग और गुणनफल पहचानें, फिर बीजीय प्रसार करें। / By Vieta’s formulas, (alpha+beta=8) and (alphabeta=15). Hence, ((alpha-1)(beta-1)=alphabeta-(alpha+beta)+1=15-8+1=8)। Therefore, the correct answer is 8. The value 15 is only (alphabeta) and does not account for subtracting 1 from both roots. Exam tip: identify the sum and product of the roots first, then expand the required transformed expression.
वियत के सूत्र के अनुसार, \(\alpha+\beta=\frac{-(-5)}{1}=5\)। इसलिए \((\alpha+2)+(eta+2)=\alpha+\beta+4=5+4=9\)। अतः सही उत्तर 9 है। ध्यान रखें कि दोनों मूलों में 2 जोड़ा गया है, इसलिए योग में 2 नहीं, बल्कि 4 की वृद्धि होगी; इसी कारण 7 गलत है। / By Vieta’s formula, \(\alpha+\beta=\frac{-(-5)}{1}=5\). Therefore, \((\alpha+2)+(eta+2)=\alpha+\beta+4=5+4=9\). Hence, the correct answer is 9. Since 2 is added to both roots, the sum increases by 4, not by 2; therefore, 7 is incorrect. Exam tip: when the same number \(k\) is added to both roots, their sum increases by \(2k\).
पुराने योग (3) और गुणनफल (2) हैं। नए योग (6) और गुणनफल (8) होंगे इसलिए \(x^2-6x+8=0\) है। / The old sum is (3) and product is (2). The new sum is (6) and product is (8), so the equation is \(x^2-6x+8=0\).
दिए गए समीकरण को \((x-6)(x+2)=0\) के रूप में लिखने पर मूल 6 और -2 मिलते हैं। प्रत्येक मूल में से 1 घटाने पर नए मूल 5 और -3 होंगे, इसलिए उनका गुणनफल \(5\times(-3)=-15\) है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पहले मूल ज्ञात करके रूपांतरित मूलों का गुणनफल निकालना सबसे सीधा तरीका है। / Factoring the equation as \((x-6)(x+2)=0\) gives the roots 6 and -2. After subtracting 1 from each root, the new roots are 5 and -3, so their product is \(5\times(-3)=-15\). In such questions, finding the original roots first is a direct and reliable method.
पुराने मूल (6) और (-2) हैं। नए मूल (7) और (-1) होंगे इसलिए समीकरण \(x^2-6x-7=0\) नहीं बल्कि \(x^2-6x-7=0\) होता है। / The old roots are (6) and (-2). The new roots are (7) and (-1), so the equation is \(x^2-6x-7=0\).
नए मूलों का योग (4\alpha+4\beta=4\(\alpha+\beta\)=12) है। गुणक लगे मूलों में योग भी उसी गुणक से गुणा होता है। / The sum of new roots is (4\alpha+4\beta=4\(\alpha+\beta\)=12). When roots are multiplied by a factor, the sum is also multiplied by that factor.
नए मूलों का योग (3\alpha+3\beta=3\(\alpha+\beta\)=12) है। गुणक लगे मूलों में योग पर भी वही गुणक लगता है। / The sum of new roots is (3\alpha+3\beta=3\(\alpha+\beta\)=12). When roots are multiplied by a factor, the sum is multiplied by the same factor.
नए मूलों का योग (2\alpha+2\beta=2\(\alpha+\beta\)=10) है। गुणक लगे मूलों में योग पर भी वही गुणक लगता है। / The sum of new roots is (2\alpha+2\beta=2\(\alpha+\beta\)=10). When roots are multiplied by a factor, the sum is also multiplied by that factor.
