Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(14x-2-25x+6=(7x-3)(2x-2)), इसलिए मूल \(\frac{3}{7}\) और (1) हैं। परीक्षा में पहले सामान्य गुणक हो तो उसे हटाकर भी जांचें। / (14x-2-25x+6=(7x-3)(2x-2)), so the roots are \(\frac{3}{7}\) and (1). In exams, also check by removing any common factor if present.
यहां (ac=420) और (-28+(-15)=-43), इसलिए सही विभाजन (-28x-15x) है। परीक्षा में (ac) बड़ा हो तो भी योग और गुणनफल दोनों मिलाएं। / Here (ac=420) and (-28+(-15)=-43), so the correct split is (-28x-15x). In exams, even when (ac) is large, match both sum and product.
(20x-2-43x+21=(5x-7)(4x-3)), इसलिए मूल \(\frac{7}{5}\) और \(\frac{3}{4}\) हैं। परीक्षा में भिन्न मूलों को उल्टा न लिखें। / (20x-2-43x+21=(5x-7)(4x-3)), so the roots are \(\frac{7}{5}\) and \(\frac{3}{4}\). In exams, do not invert fractional roots.
समान मूलों के लिए (D=0), इसलिए (4(k+3)2-4\(k^2-16\)=0) से (6k+25=0) नहीं बल्कि (6k+25) गलत होगा; सही फैलाने पर (6k+25) नहीं बनता। परीक्षा में विस्तार दोबारा जांचें। / For equal roots, (D=0), so (4(k+3)2-4\(k^2-16\)=0) must be expanded carefully; a wrong expansion changes the answer. In exams, recheck parameter expansion.
(D=4(k+3)2-4\(k^2-16\)=0) से ((k+3)2=k-2-16), इसलिए (6k+25=0) और \(k=-\frac{25}{6}\) है। परीक्षा में विस्तार के बाद स्थिर पद ध्यान से जोड़ें। / (D=4(k+3)2-4\(k^2-16\)=0) gives ((k+3)2=k-2-16), so (6k+25=0) and \(k=-\frac{25}{6}\). In exams, handle the constant term carefully after expansion.
मूलों का योग (4) है और \(\frac{p+4}{5}=4\), इसलिए (p=16) है। परीक्षा में \(-\frac{b}{a}\) से योग निकालें। / The sum of roots is (4), and \(\frac{p+4}{5}=4\), so (p=16). In exams, use \(-\frac{b}{a}\) for the sum.
पहले \(x^2-\frac{10}{3}x+\frac{8}{9}=0\) बनता है, फिर (\left\(x-\frac{5}{3}\right\)2=\frac{17}{9}) मिलता है। परीक्षा में \(a\neq1\) हो तो पहले (a) से भाग दें। / First \(x^2-\frac{10}{3}x+\frac{8}{9}=0\) is obtained, then (\left\(x-\frac{5}{3}\right\)2=\frac{17}{9}). In exams, divide by (a) first when \(a\neq1\).
(\left\(x-\frac{5}{3}\right\)2=\frac{17}{9}), इसलिए \(x=\frac{5\pm\sqrt{17}}{3}\) है। परीक्षा में वर्गमूल को हर के साथ सही लिखें। / Since (\left\(x-\frac{5}{3}\right\)2=\frac{17}{9}), \(x=\frac{5\pm\sqrt{17}}{3}\). In exams, write the square root with the denominator correctly.
समान वास्तविक मूलों के लिए (D=0), इसलिए (400-4m=0) से (m=100) है। परीक्षा में समान मूल का संकेत (D=0) होता है। / For real and equal roots, (D=0), so (400-4m=0) gives (m=100). In exams, equal roots indicate (D=0).
पहले समीकरण के मूल \(\frac{3}{2},\frac{5}{3}\) और दूसरे के मूल \(\frac{3}{2},\frac{6}{5}\) हैं। परीक्षा में समान मूल के लिए दोनों समीकरण अलग हल करें। / The first equation has roots \(\frac{3}{2},\frac{5}{3}\), and the second has roots \(\frac{3}{2},\frac{6}{5}\). In exams, solve both equations separately for the common root.
मूलों का योग (21) है, इसलिए दूसरा मूल (21-8=13) होगा। परीक्षा में एक मूल दिया हो तो योग का उपयोग करें। / The sum of roots is (21), so the other root is (21-8=13). In exams, use the sum when one root is given.
दूसरा मूल (13) है, इसलिए \(q=8\times13=104\) होगा। परीक्षा में (a=1) हो तो स्थिर पद मूलों का गुणनफल होता है। / The other root is (13), so \(q=8\times13=104\). In exams, when (a=1), the constant term is the product of roots.
(6x-2+x-2=(3x+2)(2x-1)), इसलिए \(x=\frac{1}{2},-\frac{2}{3}\) सही है। परीक्षा में गुणनखंडों से संकेत सावधानी से बदलें। / (6x-2+x-2=(3x+2)(2x-1)), so \(x=\frac{1}{2},-\frac{2}{3}\) is correct. In exams, change signs carefully from factors.
क्योंकि (11=\(\sqrt{11}\)2) और मध्य पद \(-2\sqrt{11}x\) है, इसलिए यह (\(x-\sqrt{11}\)2) है। परीक्षा में अपरिमेय गुणांक में भी पूर्ण वर्ग पहचानें। / Since (11=\(\sqrt{11}\)2) and the middle term is \(-2\sqrt{11}x\), it is (\(x-\sqrt{11}\)2). In exams, identify perfect squares even with irrational coefficients.
(\(x-\sqrt{11}\)2=0), इसलिए दोहराया हुआ मूल \(\sqrt{11}\) है। परीक्षा में ((x-a)2=0) से (x=a) मिलता है। / (\(x-\sqrt{11}\)2=0), so the repeated root is \(\sqrt{11}\). In exams, ((x-a)2=0) gives (x=a).
यह समीकरण ((x-r)(x-t)=0) के बराबर है, इसलिए मूल (r) और (t) हैं। परीक्षा में प्रतीकात्मक गुणनखंडों पर भी शून्य गुणनफल नियम लगाएं। / The equation is equivalent to ((x-r)(x-t)=0), so the roots are (r) and (t). In exams, apply zero product rule to symbolic factors too.
यह ((x-c)2-d-2=0) है, इसलिए \(x-c=\pm d\) और \(x=c\pm d\) हैं। परीक्षा में वर्गों के अंतर को जल्दी पहचानें। / It is ((x-c)2-d-2=0), so \(x-c=\pm d\) and \(x=c\pm d\). In exams, quickly recognize the difference of squares.
पूरे समीकरण को (25) से भाग देने पर (x-2-(a+b)x+ab=0) मिलता है। परीक्षा में पहले सामान्य गुणक हटाना हल को छोटा करता है। / Dividing the whole equation by (25) gives (x-2-(a+b)x+ab=0). In exams, removing the common factor first shortens the solution.
क्योंकि (x-4=\(x^2\)2=y-2), इसलिए नया समीकरण \(y^2-17y+16=0\) है। परीक्षा में प्रतिस्थापन से द्विघात रूप बनाएं। / Since (x-4=\(x^2\)2=y-2), the new equation is \(y^2-17y+16=0\). In exams, use substitution to form a quadratic.
\(y^2-17y+16=0\) से (y=1,16), इसलिए \(x^2=1,16\) और \(x=\pm1,\pm4\) हैं। परीक्षा में वापस (x) के मान निकालना न भूलें। / From \(y^2-17y+16=0\), (y=1,16), so \(x^2=1,16\) and \(x=\pm1,\pm4\). In exams, do not forget to return to (x).
दोनों पक्षों को (5x) से गुणा करने पर \(5+5x^2=26x\), यानी \(5x^2-26x+5=0\) मिलता है। परीक्षा में \(x\neq0\) शर्त याद रखें। / Multiplying both sides by (5x) gives \(5+5x^2=26x\), that is \(5x^2-26x+5=0\). In exams, remember the condition \(x\neq0\).
(5x-2-26x+5=(5x-1)(x-5)), इसलिए \(x=\frac{1}{5}\) और (5) हैं। परीक्षा में प्राप्त हल मूल समीकरण में मान्य हैं या नहीं जांचें। / (5x-2-26x+5=(5x-1)(x-5)), so \(x=\frac{1}{5}\) and (5). In exams, check whether obtained roots are valid in the original equation.
क्रॉस गुणा करने पर ((x+4)2=25x), इसलिए \(x^2+8x+16-25x=0\) और \(x^2-17x+16=0\) है। परीक्षा में क्रॉस गुणा सावधानी से करें। / Cross multiplication gives ((x+4)2=25x), so \(x^2+8x+16-25x=0\), and \(x^2-17x+16=0\). In exams, cross multiply carefully.
(x-2-17x+16=(x-1)(x-16)), इसलिए (x=1) और (x=16) हैं। परीक्षा में हर के निषिद्ध मानों से हलों की जांच करें। / (x-2-17x+16=(x-1)(x-16)), so (x=1) and (x=16). In exams, check solutions against excluded denominator values.
(D=(-10)2-4(1)(7)=72), इसलिए \(x=\frac{10\pm6\sqrt{2}}{2}=5\pm3\sqrt{2}\) है। परीक्षा में वर्गमूल को सरल करें। / (D=(-10)2-4(1)(7)=72), so \(x=\frac{10\pm6\sqrt{2}}{2}=5\pm3\sqrt{2}\). In exams, simplify the square root.
मूलों का योग \(-\frac{p}{6}\) है, इसलिए \(-\frac{p}{6}=-8\) से (p=48) है। परीक्षा में योग का सूत्र \(-\frac{b}{a}\) याद रखें। / The sum of roots is \(-\frac{p}{6}\), so \(-\frac{p}{6}=-8\) gives (p=48). In exams, remember the sum formula \(-\frac{b}{a}\).
मूलों का गुणनफल \(\frac{p}{7}\) है, इसलिए \(\frac{p}{7}=\frac{2}{7}\) से (p=2) है। परीक्षा में गुणनफल का सूत्र \(\frac{c}{a}\) लगाएं। / The product of roots is \(\frac{p}{7}\), so \(\frac{p}{7}=\frac{2}{7}\) gives (p=2). In exams, use the product formula \(\frac{c}{a}\).
\(\alpha+\beta=19\) और \(\alpha\beta=88\), इसलिए (\alpha-2+\beta-2=192-2(88)=185) है। परीक्षा में (\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) याद रखें। / \(\alpha+\beta=19\) and \(\alpha\beta=88\), so (\alpha-2+\beta-2=192-2(88)=185). In exams, remember (\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta).
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{16}{63}\) होता है। परीक्षा में reciprocal वाले प्रश्न में पहले योग और गुणनफल लिखें। / \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{16}{63}\). In exams, first write sum and product in reciprocal questions.
मूलों का योग \(-\frac{b}{a}=-\frac{-17}{5}=\frac{17}{5}\) है। परीक्षा में (b) का चिन्ह ध्यान से रखें। / The sum of roots is \(-\frac{b}{a}=-\frac{-17}{5}=\frac{17}{5}\). In exams, keep the sign of (b) carefully.
मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}=\frac{6}{5}\) है। परीक्षा में गुणनफल के लिए \(\frac{c}{a}\) का प्रयोग करें। / The product of roots is \(\frac{c}{a}=\frac{6}{5}\). In exams, use \(\frac{c}{a}\) for the product.
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=\left\(\frac{17}{5}\right\)2-\frac{24}{5}=\frac{169}{25}) है। परीक्षा में भिन्नों को समान हर में बदलें। / (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=\left\(\frac{17}{5}\right\)2-\frac{24}{5}=\frac{169}{25}). In exams, convert fractions to a common denominator.
वास्तविक मूल नहीं होने के लिए (D<0), इसलिए (144-4n<0) और (n>36) है। परीक्षा में (D<0) को वास्तविक मूल नहीं से जोड़ें। / For no real roots, (D<0), so (144-4n<0) and (n>36). In exams, connect (D<0) with no real roots.
दो अलग वास्तविक मूलों के लिए (D>0), इसलिए (144-4n>0) और (n<36) है। परीक्षा में (D>0) को अलग वास्तविक मूल से जोड़ें। / For two distinct real roots, (D>0), so (144-4n>0) and (n<36). In exams, connect (D>0) with distinct real roots.
((3x+2)(2x-5)=6x-2-11x-10), इसलिए यह सही है। परीक्षा में गुणनखंड को विस्तार करके जांचें। / ((3x+2)(2x-5)=6x-2-11x-10), so it is correct. In exams, verify factorisation by expanding.
((3x+2)(2x-5)=0), इसलिए \(x=-\frac{2}{3}\) और \(\frac{5}{2}\) हैं। परीक्षा में संकेत बदलकर मूल लिखें। / ((3x+2)(2x-5)=0), so \(x=-\frac{2}{3}\) and \(\frac{5}{2}\). In exams, change signs while writing roots.
\(x^2+10x=-6\) में (25) जोड़ने पर ((x+5)2=19) मिलता है। परीक्षा में दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ें। / Adding (25) to \(x^2+10x=-6\) gives ((x+5)2=19). In exams, add the same number to both sides.
((x+5)2=19), इसलिए \(x=-5\pm\sqrt{19}\) है। परीक्षा में \(\pm\) के दोनों मान लिखें। / Since ((x+5)2=19), \(x=-5\pm\sqrt{19}\). In exams, write both values using \(\pm\).
(\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)), जहां \(\alpha+\beta=8\) और \(\alpha\beta=-20\), इसलिए मान (-160) है। परीक्षा में अभिव्यक्ति को पहले factor करें। / (\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)), where \(\alpha+\beta=8\) and \(\alpha\beta=-20\), so the value is (-160). In exams, factor the expression first.
मूलों को (-r) और (-2r) मानें, तो \(2r^2=36\) से \(r=3\sqrt{2}\) और \(p=3r=9\sqrt{2}\) है। परीक्षा में दोनों मूलों के चिन्ह ध्यान से रखें। / Let the roots be (-r) and (-2r), then \(2r^2=36\) gives \(r=3\sqrt{2}\), and \(p=3r=9\sqrt{2}\). In exams, keep signs of both roots carefully.
यहां (D=(-9)2-4(1)(5)=61), इसलिए मूलों का अंतर \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}=\sqrt{61}\) है। परीक्षा में मूलों का अंतर सीधे (D) से मिल सकता है। / Here (D=(-9)2-4(1)(5)=61), so the difference of roots is \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}=\sqrt{61}\). In exams, the difference of roots can be found directly from (D).
यहां (D=(-10)2-4(5)(13)=-160<0), इसलिए वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा में (D<0) का अर्थ वास्तविक मूल नहीं है। / Here (D=(-10)2-4(5)(13)=-160<0), so there are no real roots. In exams, (D<0) means no real roots.
(5x-2-10x+13=5(x-1)2+8), इसलिए यह वास्तविक (x) के लिए शून्य नहीं हो सकता। परीक्षा में पूर्ण वर्ग रूप से भी मूलों की प्रकृति दिखती है। / (5x-2-10x+13=5(x-1)2+8), so it cannot be zero for real (x). In exams, completed square form also shows the nature of roots.
मूल (2,10) हैं, इसलिए नए मूल (6,14) होंगे और समीकरण ((x-6)(x-14)=0) है। परीक्षा में नए मूल बनाकर नया समीकरण लिखें। / The roots are (2,10), so new roots are (6,14), and the equation is ((x-6)(x-14)=0). In exams, form the new roots and then the new equation.
\(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\), जहां \(\alpha+\beta=18\) और \(\alpha\beta=77\), इसलिए मान \(\frac{324-154}{77}=\frac{170}{77}\) है। परीक्षा में अभिव्यक्ति को योग और गुणनफल में बदलें। / \(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\), where \(\alpha+\beta=18\) and \(\alpha\beta=77\), so the value is \(\frac{324-154}{77}=\frac{170}{77}\). In exams, convert expressions into sum and product.
समान मूलों के लिए (D=0), इसलिए (324-324k=0) और (k=1) है। परीक्षा में (a=k) को ठीक से रखें। / For equal roots, (D=0), so (324-324k=0) and (k=1). In exams, keep (a=k) correctly.
(D=4(k+5)2-4k-2=0) से ((k+5)2=k-2), इसलिए (10k+25=0) और \(k=-\frac{5}{2}\) है। परीक्षा में वर्ग फैलाते समय सावधानी रखें। / (D=4(k+5)2-4k-2=0) gives ((k+5)2=k-2), so (10k+25=0) and \(k=-\frac{5}{2}\). In exams, expand squares carefully.
((x-5)=0) या ((x-11)=0), इसलिए (x=5) या (x=11) है। परीक्षा में हर गुणनखंड को अलग शून्य रखें। / ((x-5)=0) or ((x-11)=0), so (x=5) or (x=11). In exams, set each factor equal to zero separately.
((x-5)(x-11)=x-2-16x+55), इसलिए \(x^2-16x+55=18\) से \(x^2-16x+37=0\) मिलता है। परीक्षा में विस्तार के बाद सभी पद एक तरफ लाएं। / ((x-5)(x-11)=x-2-16x+55), so \(x^2-16x+55=18\) gives \(x^2-16x+37=0\). In exams, bring all terms to one side after expansion.
यहां (D=(-16)2-4(1)(37)=108), इसलिए \(x=\frac{16\pm6\sqrt{3}}{2}=8\pm3\sqrt{3}\) है। परीक्षा में (D) को सही सरल करें। / Here (D=(-16)2-4(1)(37)=108), so \(x=\frac{16\pm6\sqrt{3}}{2}=8\pm3\sqrt{3}\). In exams, simplify (D) correctly.
