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आयत का क्षेत्रफल \(\text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई}\) होता है। इसलिए \((x+4)(x-3)=154\), अर्थात् \(x^2+x-166=0\)। द्विघात सूत्र से \(x=\frac{-1\pm\sqrt{665}}{2}\) प्राप्त होता है। आयत की चौड़ाई धनात्मक होने के लिए \(x>3\) होना चाहिए, इसलिए मान्य हल \(x=\frac{\sqrt{665}-1}{2}\) है। परीक्षा में आयामों की धनात्मकता जाँचना न भूलें; ऋणात्मक या अमान्य मूल स्वीकार नहीं किया जाता। / The area of a rectangle is length multiplied by breadth. Thus, \((x+4)(x-3)=154\), which gives \(x^2+x-166=0\). Using the quadratic formula, \(x=\frac{-1\pm\sqrt{665}}{2}\). Since the breadth \((x-3)\) must be positive, we require \(x>3\), so the valid value is \(x=\frac{\sqrt{665}-1}{2}\). In such problems, always check that both dimensions are positive; an inadmissible root cannot represent a rectangle.
A. \(\frac{\sqrt{697}-5}{2}\) सेमी/\(\frac{\sqrt{697}-5}{2}\) cm
Explanation
Simple Explanation
मान लें कि छोटी लम्बवत भुजा \(x\) सेमी है। तब दूसरी भुजा \(x+5\) सेमी होगी। क्षेत्रफल के सूत्र से \(\frac{1}{2}x(x+5)=84\), अर्थात \(x^2+5x-168=0\)। द्विघात सूत्र लगाने पर \(x=\frac{-5\pm\sqrt{697}}{2}\) मिलता है। लंबाई धनात्मक होने के कारण \(x=\frac{\sqrt{697}-5}{2}\) सेमी, लगभग 10.69 सेमी, सही उत्तर है। 12 सेमी गलत है, क्योंकि तब दूसरी भुजा 17 सेमी और क्षेत्रफल 102 वर्ग सेमी होगा। परीक्षा में ऋणात्मक मूल को भुजा की लंबाई के रूप में स्वीकार न करें। / Let the shorter perpendicular side be \(x\) cm. Then the other side is \(x+5\) cm. Using the area formula, \(\frac{1}{2}x(x+5)=84\), which gives \(x^2+5x-168=0\). Applying the quadratic formula gives \(x=\frac{-5\pm\sqrt{697}}{2}\). Since a length must be positive, the valid answer is \(x=\frac{\sqrt{697}-5}{2}\) cm, approximately 10.69 cm. The 12 cm option is incorrect because the corresponding sides would be 12 cm and 17 cm, giving an area of 102 square cm. In an exam, reject the negative root as a physical length.
मान लें संख्या \(x\) है। तब \(x^2-27x=1000\), अर्थात् \(x^2-27x-1000=0\)। द्विघात सूत्र से \(x=\frac{27\pm\sqrt{27^2+4(1000)}}{2}=\frac{27\pm\sqrt{4729}}{2}\)। इनमें धनात्मक हल \(\frac{27+\sqrt{4729}}{2}\) है, जबकि दूसरा हल ऋणात्मक है। इसलिए सही विकल्प B है। परीक्षा में पहले समीकरण बनाकर फिर दिए गए ‘धनात्मक’ प्रतिबंध के अनुसार उपयुक्त मूल चुनें। / Let the number be \(x\). Then \(x^2-27x=1000\), so \(x^2-27x-1000=0\). Using the quadratic formula, \(x=\frac{27\pm\sqrt{27^2+4(1000)}}{2}=\frac{27\pm\sqrt{4729}}{2}\). The positive root is \(\frac{27+\sqrt{4729}}{2}\); the other root is negative. Therefore, option B is correct. Exam tip: form the quadratic equation carefully and use the stated positivity condition to reject the negative root.
A. \(36+12\sqrt{14}\) किमी प्रति घंटा/\(36+12\sqrt{14}\) km per hour
Explanation
Simple Explanation
दूरी = गति × समय के अनुसार \(x(x-72)=720\)। अतः \(x^2-72x-720=0\)। द्विघात सूत्र से \(x=36\pm12\sqrt{14}\) प्राप्त होता है। ऋणात्मक मूल \(36-12\sqrt{14}\) गति के लिए मान्य नहीं है, इसलिए गति \(36+12\sqrt{14}\) किमी प्रति घंटा, अर्थात लगभग 80.9 किमी प्रति घंटा है। विकल्प 80 सही नहीं है, क्योंकि इससे दूरी \(80\times8=640\) किमी होगी। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले दूरी = गति × समय का समीकरण बनाकर, फिर केवल धनात्मक और संदर्भानुकूल मूल चुनें। / Using distance = speed × time, we get \(x(x-72)=720\), so \(x^2-72x-720=0\). Applying the quadratic formula gives \(x=36\pm12\sqrt{14}\). The negative root \(36-12\sqrt{14}\) is not a valid speed, so the speed is \(36+12\sqrt{14}\) km per hour, approximately 80.9 km per hour. Option 80 is incorrect because it would give a distance of \(80\times8=640\) km. Exam tip: Form the distance = speed × time equation first, then retain only the positive root that fits the context.
मान लें संख्या \(x\) है। तब \(x^2-20x=621\), अर्थात \(x^2-20x-621=0\)। द्विघात सूत्र से \(x=\frac{20\pm\sqrt{400+2484}}{2}=10\pm\sqrt{721}\)। चूँकि संख्या धनात्मक है और \(10-\sqrt{721}<0\), इसलिए मान \(10+\sqrt{721}\) होगा। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले कथन को द्विघात समीकरण में बदलें और फिर दी गई शर्त, जैसे धनात्मकता, के अनुसार सही मूल चुनें। / Let the number be \(x\). Then \(x^2-20x=621\), so \(x^2-20x-621=0\). Using the quadratic formula, \(x=\frac{20\pm\sqrt{400+2484}}{2}=10\pm\sqrt{721}\). Since the number is positive and \(10-\sqrt{721}<0\), the required value is \(10+\sqrt{721}\). Exam tip: translate the word statement into a quadratic equation first, then use the given condition, such as positivity, to select the valid root.
मान लेते हैं कि संख्या \(x\) है। तब \(x^2=18x+432\), अर्थात \(x^2-18x-432=0\)। द्विघात सूत्र से \(x=\frac{18\pm\sqrt{18^2+4\cdot432}}{2}=9\pm3\sqrt{57}\)। चूँकि \(9-3\sqrt{57}\) ऋणात्मक है, धनात्मक संख्या \(9+3\sqrt{57}\) होगी। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में समीकरण बनाकर दोनों मूल निकालें और प्रश्नानुसार सही मूल चुनें। / Let the number be \(x\). Then \(x^2=18x+432\), so \(x^2-18x-432=0\). Using the quadratic formula, \(x=\frac{18\pm\sqrt{18^2+4\cdot432}}{2}=9\pm3\sqrt{57}\). Since \(9-3\sqrt{57}\) is negative, the positive number is \(9+3\sqrt{57}\). Exam tip: form the quadratic equation first, calculate both roots, and then select the root that satisfies the condition in the question.
मूल संख्या को \(x\) मानें। तब \((x-7)(x+12)=756\), अर्थात् \(x^2+5x-840=0\)। द्विघात सूत्र से \(x=\frac{-5\pm\sqrt{3385}}{2}\) प्राप्त होता है। इनमें धनात्मक मान \(\frac{-5+\sqrt{3385}}{2}\) है, जबकि दूसरा मूल ऋणात्मक है। परीक्षा टिप: ‘7 कम’ के लिए \(x-7\) और ‘12 अधिक’ के लिए \(x+12\) लिखकर पहले समीकरण बनाएँ। / Let the original number be \(x\). Then \((x-7)(x+12)=756\), which gives \(x^2+5x-840=0\). Applying the quadratic formula yields \(x=\frac{-5\pm\sqrt{3385}}{2}\). The positive value is \(\frac{-5+\sqrt{3385}}{2}\); the other root is negative. Exam tip: translate ‘7 less’ as \(x-7\) and ‘12 more’ as \(x+12\) before forming the equation.
एक वर्गाकार पार्क का क्षेत्रफल एक आयताकार पार्क के क्षेत्रफल के बराबर है। वर्ग की भुजा 42 मीटर है तथा आयत की चौड़ाई \(x\) मीटर और लंबाई \((x+20)\) मीटर है। आयत की चौड़ाई \(x\) का सही मान क्या है?
समान क्षेत्रफल के आधार पर \(x(x+20)=42^2=1764\) होगा। अतः \(x^2+20x-1764=0\)। द्विघात सूत्र से \(x=\frac{-20\pm\sqrt{20^2+4(1764)}}{2}=-10\pm2\sqrt{466}\)। लंबाई और चौड़ाई धनात्मक होने के कारण केवल \(x=-10+2\sqrt{466}\approx33.17\) मीटर स्वीकार्य है; ऋणात्मक मूल अमान्य है। परीक्षा में क्षेत्रफल का समीकरण बनाकर मूलों में से धनात्मक मूल चुनना याद रखें। / Since the areas are equal, \(x(x+20)=42^2=1764\). Therefore, \(x^2+20x-1764=0\). Using the quadratic formula, \(x=\frac{-20\pm\sqrt{20^2+4(1764)}}{2}=-10\pm2\sqrt{466}\). Because a breadth must be positive, the valid value is \(x=-10+2\sqrt{466}\approx33.17\) m; the negative root is not physically meaningful. In such problems, first form the area equation and then reject any root that makes a length negative.
एक आयत की लंबाई उसकी चौड़ाई से 5 मीटर अधिक है। यदि लंबाई में 3 मीटर और चौड़ाई में 2 मीटर बढ़ा दिए जाएँ, तो नया क्षेत्रफल 462 वर्ग मीटर हो जाता है। आयत की मूल चौड़ाई क्या थी?
मूल चौड़ाई को \(x\) मीटर मानें। तब मूल लंबाई \(x+5\) मीटर होगी। बढ़ाने के बाद लंबाई \(x+8\) और चौड़ाई \(x+2\) होगी, इसलिए \((x+8)(x+2)=462\)। इससे \(x^2+10x-446=0\) प्राप्त होता है। द्विघात सूत्र से \(x=-5\pm\sqrt{471}\) मिलता है। चौड़ाई धनात्मक होने के कारण \(x=-5+\sqrt{471}\approx16.70\) मीटर सही उत्तर है। उदाहरण के लिए, 18 मीटर लेने पर नया क्षेत्रफल \(26\times20=520\) वर्ग मीटर होगा, 462 नहीं। परीक्षा-युक्ति: आयामों से संबंधित प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को हटाकर धनात्मक मूल को मूल समीकरण में अवश्य जाँचें। / Let the original breadth be \(x\) m. Then the original length is \(x+5\) m. After the increase, the length becomes \(x+8\) m and the breadth becomes \(x+2\) m. Hence, \((x+8)(x+2)=462\), which gives \(x^2+10x-446=0\). Using the quadratic formula, \(x=-5\pm\sqrt{471}\). Since a breadth must be positive, \(x=-5+\sqrt{471}\approx16.70\) m. The distractor 18 m is incorrect because it would give a new area of \(26\times20=520\) square metres. Exam tip: discard the negative root and verify the remaining root in the original area equation.
मूल संख्या को \(x\) मानें। तब \((x+3)(x+7)=600\), अर्थात \(x^2+10x-579=0\)। द्विघात सूत्र से \(x=-5\pm2\sqrt{151}\) प्राप्त होता है। चूँकि संख्या धनात्मक है, इसलिए \(x=-5+2\sqrt{151}\approx14.6\) सही उत्तर है। विकल्प 15 निकट है, लेकिन उसके लिए गुणनफल \(18\times22=396\) होगा, 600 नहीं। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले चर निर्धारित करके दोनों संभावित मूलों में से शर्त के अनुरूप मूल चुनें। / Let the original number be \(x\). Then \((x+3)(x+7)=600\), which gives \(x^2+10x-579=0\). Using the quadratic formula, \(x=-5\pm2\sqrt{151}\). Since the number is positive, the valid value is \(x=-5+2\sqrt{151}\approx14.6\). Option 15 is a close distractor, but it gives \(18\times22=396\), not 600. Exam tip: Form the equation first and then use the stated condition to select the valid root.
मान लें कि खेत की चौड़ाई \(x\) मीटर है। तब लंबाई \(x+5\) मीटर होगी और \(x(x+5)=200\), अर्थात् \(x^2+5x-200=0\)। द्विघात सूत्र से \(x=\frac{-5\pm\sqrt{825}}{2}=\frac{5(-1\pm\sqrt{33})}{2}\)। चौड़ाई धनात्मक होने के कारण \(x=\frac{5(\sqrt{33}-1)}{2}\) मीटर होगी। इसलिए लंबाई \(x+5=\frac{5(1+\sqrt{33})}{2}\) मीटर, लगभग 16.86 मीटर है। 20 मीटर सही नहीं है, क्योंकि तब चौड़ाई 15 मीटर और क्षेत्रफल 300 वर्ग मीटर हो जाएगा। परीक्षा-युक्ति: आयत के प्रश्नों में ऋणात्मक मूल छोड़कर धनात्मक मूल को क्षेत्रफल से अवश्य जाँचें। / Let the breadth be \(x\) metres. Then the length is \(x+5\) metres, so \(x(x+5)=200\), or \(x^2+5x-200=0\). Using the quadratic formula, \(x=\frac{-5\pm\sqrt{825}}{2}=\frac{5(-1\pm\sqrt{33})}{2}\). Since breadth must be positive, \(x=\frac{5(\sqrt{33}-1)}{2}\) metres. Therefore, the length is \(x+5=\frac{5(1+\sqrt{33})}{2}\) metres, approximately 16.86 metres. The distractor 20 m is incorrect because it would give a breadth of 15 m and an area of 300 square metres. Exam tip: discard the negative root and verify the positive root using the area condition.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=3\), \(b=2\) और \(c=1\), इसलिए \(D=(2)^2-4(3)(1)=4-12=-8\)। अतः सही उत्तर A है। धनात्मक 8 लेना सामान्यतः \(-4ac\) में ऋण चिह्न भूलने की गलती है। परीक्षा-युक्ति: पहले \(a,b,c\) पहचानकर सूत्र में क्रमशः रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=3\), \(b=2\), and \(c=1\), so \(D=(2)^2-4(3)(1)=4-12=-8\). Therefore, option A is correct. Choosing 8 usually results from missing the minus sign in \(-4ac\). Exam tip: identify \(a\), \(b\), and \(c\) first, then substitute them carefully.
यहां (D=(-22)2-4(1)(79)=168), इसलिए \(x=\frac{22\pm2\sqrt{42}}{2}=11\pm\sqrt{42}\) है। परीक्षा में (D) को सही सरल करें। / Here (D=(-22)2-4(1)(79)=168), so \(x=\frac{22\pm2\sqrt{42}}{2}=11\pm\sqrt{42}\). In exams, simplify (D) correctly.
(D=(-14)2-4(1)(13)=144), इसलिए \(x=\frac{14\pm12}{2}\) से (1) और (13) मिलते हैं। परीक्षा में (D) पूर्ण वर्ग हो तो उत्तर जल्दी सरल करें। / (D=(-14)2-4(1)(13)=144), so \(x=\frac{14\pm12}{2}\) gives (1) and (13). In exams, if (D) is a perfect square, simplify quickly.
यहां (D=(-19)2-4(1)(56)=137), इसलिए \(x=\frac{19\pm\sqrt{137}}{2}\) है। परीक्षा में (D) को सही निकालना जरूरी है। / Here (D=(-19)2-4(1)(56)=137), so \(x=\frac{19\pm\sqrt{137}}{2}\). In exams, finding (D) correctly is important.
(D=(-12)2-4(1)(11)=100), इसलिए \(x=\frac{12\pm10}{2}\) से (1) और (11) मिलते हैं। परीक्षा में (D) पूर्ण वर्ग हो तो उत्तर जल्दी सरल करें। / (D=(-12)2-4(1)(11)=100), so \(x=\frac{12\pm10}{2}\) gives (1) and (11). In exams, if (D) is a perfect square, simplify quickly.
यहां (D=(-16)2-4(1)(37)=108), इसलिए \(x=\frac{16\pm6\sqrt{3}}{2}=8\pm3\sqrt{3}\) है। परीक्षा में (D) को सही सरल करें। / Here (D=(-16)2-4(1)(37)=108), so \(x=\frac{16\pm6\sqrt{3}}{2}=8\pm3\sqrt{3}\). In exams, simplify (D) correctly.
दिए गए समीकरण में \(a=1, b=10, c=6\) हैं। द्विघात सूत्र से \(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-10\pm\sqrt{100-24}}{2}=\frac{-10\pm\sqrt{76}}{2}=-5\pm\sqrt{19}\)। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में \(-b\) का चिह्न गलत है और विकल्प D में विविक्तकर के वर्गमूल के स्थान पर केवल \(19\) लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: उत्तर जाँचने के लिए मूलों का योग \(-10\) और गुणनफल \(6\) होना चाहिए। / Here, \(a=1, b=10, c=6\). Using the quadratic formula, \(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-10\pm\sqrt{100-24}}{2}=\frac{-10\pm\sqrt{76}}{2}=-5\pm\sqrt{19}\). Therefore, option A is correct. Option B has the wrong sign for \(-b\), while option D omits the square root of the simplified discriminant. Exam tip: verify that the sum of the roots is \(-10\) and their product is \(6\).
(D=(-10)2-4(1)(7)=72), इसलिए \(x=\frac{10\pm6\sqrt{2}}{2}=5\pm3\sqrt{2}\) है। परीक्षा में वर्गमूल को सरल करें। / (D=(-10)2-4(1)(7)=72), so \(x=\frac{10\pm6\sqrt{2}}{2}=5\pm3\sqrt{2}\). In exams, simplify the square root.
यहां (D=(-13)2-4(1)(22)=81), इसलिए \(x=\frac{13\pm9}{2}\) है। परीक्षा में (D) पूर्ण वर्ग हो तो उत्तर जल्दी सरल होता है। / Here (D=(-13)2-4(1)(22)=81), so \(x=\frac{13\pm9}{2}\). In exams, if (D) is a perfect square, the answer simplifies quickly.
(D=(-8)2-4(1)(3)=52), इसलिए \(x=\frac{8\pm2\sqrt{13}}{2}=4\pm\sqrt{13}\) है। परीक्षा में वर्गमूल को सरल करें। / (D=(-8)2-4(1)(3)=52), so \(x=\frac{8\pm2\sqrt{13}}{2}=4\pm\sqrt{13}\). In exams, simplify the square root.
यहां (D=(-10)2-4(1)(11)=56), इसलिए \(x=\frac{10\pm2\sqrt{14}}{2}=5\pm\sqrt{14}\) है। परीक्षा में (D) को सही सरल करें। / Here (D=(-10)2-4(1)(11)=56), so \(x=\frac{10\pm2\sqrt{14}}{2}=5\pm\sqrt{14}\). In exams, simplify (D) correctly.
(D=(-6)2-4(1)(2)=28), इसलिए \(x=\frac{6\pm2\sqrt{7}}{2}=3\pm\sqrt{7}\) है। परीक्षा में वर्गमूल को सरल करें। / (D=(-6)2-4(1)(2)=28), so \(x=\frac{6\pm2\sqrt{7}}{2}=3\pm\sqrt{7}\). In exams, simplify the square root.
यहां (D=(-7)2-4(1)(4)=33), इसलिए \(x=\frac{7\pm\sqrt{33}}{2}\) है। परीक्षा में (D) को सही निकालना जरूरी है। / Here (D=(-7)2-4(1)(4)=33), so \(x=\frac{7\pm\sqrt{33}}{2}\). In exams, finding (D) correctly is important.
(D=(-4)2-4(1)(1)=12), इसलिए \(x=\frac{4\pm2\sqrt{3}}{2}=2\pm\sqrt{3}\) है। परीक्षा में वर्गमूल को सरल करें। / (D=(-4)2-4(1)(1)=12), so \(x=\frac{4\pm2\sqrt{3}}{2}=2\pm\sqrt{3}\). In exams, simplify the square root.
यहां (D=32-4(1)(-3)=21), इसलिए \(x=\frac{-3\pm\sqrt{21}}{2}\) है। परीक्षा में (c=-3) का संकेत सही रखें। / Here (D=32-4(1)(-3)=21), so \(x=\frac{-3\pm\sqrt{21}}{2}\). In exams, keep the sign of (c=-3) correct.
(D=(-14)2-4(1)(45)=16), इसलिए \(x=\frac{14\pm4}{2}\) से (5) और (9) मिलते हैं। परीक्षा में सूत्र में (b) का चिन्ह सही रखें। / (D=(-14)2-4(1)(45)=16), so \(x=\frac{14\pm4}{2}\) gives (5) and (9). In exams, keep the sign of (b) correct in the formula.
सूत्र से \(x=\frac{10\pm\sqrt{160}}{10}=1\pm\frac{2\sqrt{10}}{5}\) मिलता है। परीक्षा में \(\sqrt{160}=4\sqrt{10}\) सरल करें। / The formula gives \(x=\frac{10\pm\sqrt{160}}{10}=1\pm\frac{2\sqrt{10}}{5}\). In exams, simplify \(\sqrt{160}=4\sqrt{10}\).
मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) से \(a=5\), \(b=-10\) और \(c=-3\) हैं। इसलिए \(D=b^2-4ac=(-10)^2-4(5)(-3)=100+60=160\)। ऋणात्मक \(c\) होने के कारण \(-4ac\) का मान धनात्मक हो जाता है। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर निकालते समय \(b\) का चिह्न पहले लिखकर उसका वर्ग करें। / Comparing the equation with \(ax^2+bx+c=0\), we get \(a=5\), \(b=-10\), and \(c=-3\). Thus, \(D=b^2-4ac=(-10)^2-4(5)(-3)=100+60=160\). Since \(c\) is negative, the term \(-4ac\) becomes positive. Exam tip: write the sign of \(b\) explicitly before squaring it.
यहां (D=(-10)2-4(1)(24)=4), इसलिए \(x=\frac{10\pm2}{2}\) मिलता है। परीक्षा में (-b) का चिन्ह सही रखें। / Here (D=(-10)2-4(1)(24)=4), so \(x=\frac{10\pm2}{2}\). In exams, keep the sign of (-b) correct.
