Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
दूसरा शून्यक \(6-\sqrt{19}\) होगा और गुणनफल (36-19=17) है। परीक्षा में स्थिर पद को शून्यकों के गुणनफल से जोड़ें। / The other zero will be \(6-\sqrt{19}\), and the product is (36-19=17). In exams connect the constant term with the product of zeroes.
विविक्तकर (196-152=44) है और \(\sqrt{44}\) अपरिमेय है। इसलिए शून्यक वास्तविक अपरिमेय हैं। / The discriminant is (196-152=44) and \(\sqrt{44}\) is irrational. Hence the zeroes are real irrational.
योग (12) और गुणनफल (36-11=25) है, इसलिए बहुपद \(x^2-12x+25\) है। परीक्षा में मानक रूप ठीक से लिखें। / The sum is (12) and the product is (36-11=25), so the polynomial is \(x^2-12x+25\). In exams write the standard form correctly.
विविक्तकर (100-92=8) है और \(\sqrt{8}\) अपरिमेय है, इसलिए शून्यक वास्तविक अपरिमेय हैं। परीक्षा में विविक्तकर का वर्गमूल देखें। / The discriminant is (100-92=8), and \(\sqrt{8}\) is irrational, so the zeroes are real irrational. In exams check the square root of the discriminant.
परिमेय गुणांकों में \(a+\sqrt{b}\) के साथ \(a-\sqrt{b}\) भी शून्यक आता है। परीक्षा में संयुग्मी शून्यकों को तुरंत पहचानें। / With rational coefficients, \(a+\sqrt{b}\) is accompanied by \(a-\sqrt{b}\). In exams identify conjugate zeroes quickly.
परिमेय गुणांकों में अपरिमेय शून्यक सामान्यतः संयुग्मी रूप में आते हैं। इसलिए \(3-\sqrt{5}\) का साथी शून्यक \(3+\sqrt{5}\) होगा। / For rational coefficients, irrational zeroes usually occur in conjugate pairs. Hence the companion zero of \(3-\sqrt{5}\) is \(3+\sqrt{5}\).
विविक्तकर (100-76=24) है, इसलिए शून्यक \(\frac{10\pm\sqrt{24}}{2}=5\pm\sqrt{6}\) हैं। परीक्षा में \(\sqrt{24}=2\sqrt{6}\) सरल करें। / The discriminant is (100-76=24), so the zeroes are \(\frac{10\pm\sqrt{24}}{2}=5\pm\sqrt{6}\). Simplify \(\sqrt{24}=2\sqrt{6}\) in exams.
योग (4) और गुणनफल (4-6=-2) है, इसलिए बहुपद \(x^2-4x-2\) है। परीक्षा में \(x^2-Sx+P\) सूत्र याद रखें। / The sum is (4) and the product is (4-6=-2), so the polynomial is \(x^2-4x-2\). Remember the formula \(x^2-Sx+P\).
परिमेय गुणांकों वाले द्विघात में \(a+\sqrt{b}\) के साथ \(a-\sqrt{b}\) भी शून्यक होता है। परीक्षा में संयुग्मी मूल का नियम उपयोगी है। / For a quadratic with rational coefficients, if \(a+\sqrt{b}\) is a zero then \(a-\sqrt{b}\) is also a zero. The conjugate-root rule is useful in exams.
सामान्य गुणनखंड हटाने पर \(x^2-6x+7\) मिलता है और (D=36-28=8)। (D) धनात्मक अपूर्ण वर्ग है, इसलिए शून्यक वास्तविक अपरिमेय हैं। / After removing the common factor, we get \(x^2-6x+7\), and (D=36-28=8). Since (D) is positive and not a perfect square, the zeroes are real irrational.
A. वे \(a+\sqrt{7}\) और \(a-\sqrt{7}\) हैं/They are \(a+\sqrt{7}\) and \(a-\sqrt{7}\)
Explanation
Simple Explanation
(p(x)=(x-a)2-7), इसलिए \(x=a\pm\sqrt{7}\) है। पूर्ण वर्ग रूप पहचानना कठिन प्रश्नों में समय बचाता है। / (p(x)=(x-a)2-7), so \(x=a\pm\sqrt{7}\). Recognizing a perfect-square form saves time in hard questions.
A. शून्यक \(a+\sqrt{b}\) और \(a-\sqrt{b}\) हैं, दोनों वास्तविक अपरिमेय हो सकते हैं/Zeroes are \(a+\sqrt{b}\) and \(a-\sqrt{b}\), both can be real irrational
Explanation
Simple Explanation
बहुपद ((x-a)2-b) के बराबर है, इसलिए \(x=a\pm\sqrt{b}\) है। जब (b) पूर्ण वर्ग नहीं है तो \(\sqrt{b}\) अपरिमेय होता है। / The polynomial equals ((x-a)2-b), so \(x=a\pm\sqrt{b}\). When (b) is not a perfect square, \(\sqrt{b}\) is irrational.
\(x^2-4x+1\) में योग (4) है और (D=16-4=12) से शून्यक अपरिमेय हैं। परिमेय योग का अर्थ परिमेय शून्यक होना नहीं है। / In \(x^2-4x+1\), the sum is (4) and (D=16-4=12), so the zeroes are irrational. A rational sum does not mean rational zeroes.
(x)-अक्ष पर (p(x)=0), इसलिए \(x^2-5=0\) से \(x=\pm\sqrt{5}\) है। ग्राफ में (x)-कट शून्यक होते हैं। / On the (x)-axis, (p(x)=0), so \(x^2-5=0\) gives \(x=\pm\sqrt{5}\). The (x)-intercepts are the zeroes.
A. दो भिन्न अपरिमेय वास्तविक शून्यक/Two distinct irrational real zeroes
Explanation
Simple Explanation
विविक्तकर (D=36-16=20) है, इसलिए शून्यक \(3\pm\sqrt{5}\) हैं। (D) पूर्ण वर्ग न हो तो वास्तविक शून्यक अपरिमेय हो सकते हैं। / The discriminant is (D=36-16=20), so the zeroes are \(3\pm\sqrt{5}\). If (D) is not a perfect square, real zeroes can be irrational.
(r=2) पर (D=16-8=8) है। यह धनात्मक और अपूर्ण वर्ग है, इसलिए शून्यक वास्तविक और अपरिमेय हैं। / For (r=2), (D=16-8=8). It is positive and not a perfect square, so the zeroes are real and irrational.
A. \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{3}\)/\(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{3}\)
Explanation
Simple Explanation
योग \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) और गुणनफल \(\sqrt{6}\) विकल्प \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\) से मिलते हैं। इसलिए वही शून्यक हैं। / The sum \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) and product \(\sqrt{6}\) match the option \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\). Hence those are the zeroes.
दो शून्यक दिए होने पर हम द्विघात बहुपद मान सकते हैं। अग्रगुणांक 1 (monic) होने पर स्थिर पद शून्यकों के गुणनफल के बराबर होता है। गणना: \((2\sqrt{2})(3\sqrt{2})=2\times3\times(\sqrt{2}\times\sqrt{2})=6\times2=12\)。 विकल्प C (\(6\sqrt{2}\)) गलत है क्योंकि वहाँ \(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\) को शामिल नहीं किया गया। परीक्षा टिप: सामान्यतः एक मोनिक (leading coefficient = 1) डिग्री \(n\) बहुपद का स्थिर पद = \((-1)^n\)×(सभी शून्यकों का गुणनफल) होता है; द्विघात के लिए यह सीधे शून्यकों का गुणनफल है। / With two zeros we treat the polynomial as a quadratic. For a monic polynomial (leading coefficient 1) the constant term equals the product of the zeros. Compute: \((2\sqrt{2})(3\sqrt{2})=2\cdot3\cdot(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2})=6\cdot2=12\). Option C (\(6\sqrt{2}\)) is a common mistake where the factor \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2\) was not applied. Exam tip: For a monic polynomial of degree \(n\), the constant term = \((-1)^n\) times the product of the roots; for quadratics this equals the product directly.
A. दो भिन्न अपरिमेय वास्तविक शून्यक/Two distinct irrational real zeroes
Explanation
Simple Explanation
(D=36-28=8) है। (8) धनात्मक है पर पूर्ण वर्ग नहीं, इसलिए शून्यक वास्तविक और अपरिमेय हैं। / (D=36-28=8). It is positive but not a perfect square, so the zeroes are real and irrational.
B. जब (25-4c) धनात्मक हो पर पूर्ण वर्ग न हो/When (25-4c) is positive but not a perfect square
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक भिन्न शून्यकों के लिए (D>0) चाहिए। अपरिमेय शून्यकों के लिए (D) पूर्ण वर्ग नहीं होना चाहिए। / For real distinct zeroes, (D>0) is required. For irrational zeroes, (D) must not be a perfect square.
दिए गए द्विघात समीकरण में \(a=1,\ b=2,\ c=-1\)। द्विघात सूत्र अनुसार \(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) । यहाँ \(b^2-4ac=4-4(1)(-1)=4+4=8\) और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)। अतः \(x=\dfrac{-2\pm2\sqrt{2}}{2}=-1\pm\sqrt{2}\)। इसीलिए सही शून्यक \(-1+\sqrt{2}\) और \(-1-\sqrt{2}\) हैं। नजदीकी विकल्प \(1\pm\sqrt{2}\) गलत है क्योंकि संकेत का चूक (ब की सही बहुलता से नकारात्मक भाग) है; \(\sqrt{3}\) वाला विकल्प भी गलत है क्योंकि विचलन (discriminant) \(8\) से मेल नहीं खाता। परीक्षा टिप: पहले डिस्क्रिमिनेंट \(b^2-4ac\) की गणना कर के उसे सरल करें (जैसे \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)) इससे चिह्नों और भाग करने में त्रुटि कम होगी। / For the quadratic, \(a=1,\ b=2,\ c=-1\). Using the quadratic formula \(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\). Here \(b^2-4ac=4-4(1)(-1)=8\) and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\). Thus \(x=\dfrac{-2\pm2\sqrt{2}}{2}=-1\pm\sqrt{2}\). Therefore the zeroes are \(-1+\sqrt{2}\) and \(-1-\sqrt{2}\). The closest distractor \(1\pm\sqrt{2}\) is wrong due to an incorrect sign (the numerator should be \(-2\pm2\sqrt{2}\), not \(+2\pm2\sqrt{2}\)); the option with \(\sqrt{3}\) is wrong because the discriminant is not 3. Exam tip: compute and simplify the discriminant first (e.g. \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)) to avoid sign and simplification mistakes.
A. \(4+\sqrt{6}\) और \(4-\sqrt{6}\)/\(4+\sqrt{6}\) and \(4-\sqrt{6}\)
Explanation
Simple Explanation
सूत्र से शून्यक \(\frac{8\pm\sqrt{64-40}}{2}=4\pm\sqrt{6}\) हैं। पहले विविक्तकर सरल करें। / By the formula, the zeroes are \(\frac{8\pm\sqrt{64-40}}{2}=4\pm\sqrt{6}\). Simplify the discriminant first.
C. दो भिन्न अपरिमेय शून्यक/Two distinct irrational zeroes
Explanation
Simple Explanation
विविक्तकर (D=36-16=20) है और (20) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए शून्यक वास्तविक भिन्न और अपरिमेय हैं। / The discriminant is (D=36-16=20), and (20) is not a perfect square. So the zeroes are real, distinct, and irrational.
