Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
शून्यकों का योग \((2+\sqrt{10})+(2-\sqrt{10})=4\) और गुणनफल \((2+\sqrt{10})(2-\sqrt{10})=2^2-(\sqrt{10})^2=4-10=-6\) है। एक प्रमुखांकन \(1\) वाले द्विघात का सामान्य रूप \(x^2-(\text{योग})x+\text{गुणनफल}\) होता है, अतः बहुपद \(x^2-4x-6\) होगा। निकटवर्ती भ्रामक विकल्पों में से \(x^2-4x+6\) गलत है क्योंकि इसका स्थिर पद +6 है न कि -6; \(x^2+4x-6\) गलत है क्योंकि इसका गुणनफल सही पर योग का चिह्न उलटा है; \(x^2-2x-10\) में न तो योग न ही गुणनफल मेल खाते हैं। परीक्षा-सुझाव: शून्यकों का योग और गुणनफल पहले निकालें और तुरंत \(x^2-(\text{sum})x+\text{product}\) लगाएँ। / The sum of zeros is \((2+\sqrt{10})+(2-\sqrt{10})=4\) and the product is \((2+\sqrt{10})(2-\sqrt{10})=4-10=-6\). For a monic quadratic the polynomial is \(x^2-(\text{sum})x+\text{product}\), so \(x^2-4x-6\) is correct. Closest distractors fail because: \(x^2-4x+6\) has the wrong constant term (+6 instead of -6), \(x^2+4x-6\) has the wrong sign for the linear term, and \(x^2-2x-10\) has neither sum nor product matching. Exam tip: compute sum and product first and form \(x^2-({\text{sum}})x+{\text{product}}\).
योग (12) और गुणनफल (36-11=25) है, इसलिए बहुपद \(x^2-12x+25\) है। परीक्षा में मानक रूप ठीक से लिखें। / The sum is (12) and the product is (36-11=25), so the polynomial is \(x^2-12x+25\). In exams write the standard form correctly.
योग (2) और गुणनफल (1-6=-5) है, इसलिए बहुपद \(x^2-2x-5\) है। परीक्षा में गुणनफल में \(a^2-b^2\) लगाएं। / The sum is (2) and the product is (1-6=-5), so the polynomial is \(x^2-2x-5\). In exams use \(a^2-b^2\) for the product.
योग (6) और गुणनफल (7) है, इसलिए बहुपद \(x^2-6x+7\) है। \(परीक्षा में (x^2-(\)योग)x+गुणनफल) प्रयोग करें। \(/ The sum is (6) and the product is (7), so the polynomial is (x^2-6x+7). In exams use (x^2-(\)sum)x+product).
दो मूल मान लें: \\(
\\alpha=\\frac{3+\\sqrt{5}}{2},\\quad \\\beta=\\frac{3-\\sqrt{5}}{2}
\\).\n\nयोग: \\(
\\alpha+\\beta=\\frac{3+\\sqrt{5}}{2}+\\frac{3-\\sqrt{5}}{2}=3
\\).\nगुणनफल: \\(
\\alpha\\beta=\\frac{(3+\\sqrt{5})(3-\\sqrt{5})}{4}=\\frac{9-5}{4}=1
\\).\nएकक द्विघात बहुपद सामान्य रूप से \\(
x^2-(\\text{योग})x+(\\text{गुणनफल})
\\) होता है, अतः बहुपद \\(
x^2-3x+1
\\) होगा।\n\nसबसे निकटवर्ती भ्रम (\\(x^2-3x-1\\)) केवल स्थायी पद का चिह्न गलत रखता है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-सुझाव: जड़ों का योग और गुणनफल तुरंत निकाल कर \(x^2-(\text{sum})x+(\text{product})\) लिखें। / Let the roots be \\(
\\alpha=\\frac{3+\\sqrt{5}}{2},\\quad \\\beta=\\frac{3-\\sqrt{5}}{2}
\\).\n\nSum: \\(
\\alpha+\\beta=\\frac{3+\\sqrt{5}}{2}+\\frac{3-\\sqrt{5}}{2}=3
\\).\nProduct: \\(
\\alpha\\beta=\\frac{(3+\\sqrt{5})(3-\\sqrt{5})}{4}=\\frac{9-5}{4}=1
\\).\nA monic quadratic with these roots is \\(
x^2-(\text{sum})x+(\text{product})=x^2-3x+1
\\).\nThe closest distractor \\(x^2-3x-1\\) only has the constant term sign wrong, so it is incorrect. Exam tip: use the relation \\(x^2-(r_1+r_2)x+r_1r_2\\) immediately when roots are given.
यदि दो शून्यक \(3+\sqrt{2}\) और \(3-\sqrt{2}\) हों तो उनका योग \((3+\sqrt{2})+(3-\sqrt{2})=6\) तथा गुणनफल \((3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})=9-2=7\) होगा। किसी द्विघात का मानक एकल-घटक रूप है \(x^2-(\text{योग})x+(\text{गुणनफल})\) इसलिए मनोनित बहुपद होगा \(x^2-6x+7\)。नजदीकी भ्रामक विकल्प \(x^2-6x+11\) (विकल्प D) में रैखिक गुणक सही है पर स्थिर पद गलत है — यहाँ स्थिर पद 11 है जबकि वास्तविक गुणनफल 7 होना चाहिए। परीक्षात्मक सूचक: सम और गुणनफल तुरंत निकालकर \(x-(\alpha)\)(x-\(\beta\)) का विस्तार कर लें ताकि त्रुटि की संभावना कम रहे। / For zeros \(3+\sqrt{2}\) and \(3-\sqrt{2}\) the sum is \((3+\sqrt{2})+(3-\sqrt{2})=6\) and the product is \((3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})=9-2=7\). A monic quadratic with these zeros is \(x^2-(\text{sum})x+(\text{product})=x^2-6x+7\). The closest distractor \(x^2-6x+11\) (option D) has the same linear coefficient but the constant term (product) is incorrect. Exam tip: form \((x-(3+\sqrt{2}))(x-(3-\sqrt{2}))\) and expand — this avoids sign mistakes.
दो शून्यकों का योग = \(5+\sqrt{2}\)+\(5-\sqrt{2}\) = 10 और गुणनफल = \(5+\sqrt{2}\)\(5-\sqrt{2}\) = 52-\(\sqrt{2}\)2 = 25-2 = 23। एक प्रमुख गुणाांक 1 वाला द्विघात बहुपद शून्यकों α और β के लिए x-2 - (α+β)x + αβ होता है। इसलिए बहुपद x-2 - 10x + 23 है। निकटतम विचलित विकल्प C \(x^2 - 10x + 27\) केवल गुणनफल में त्रुटि करता है (27 के बजाय 23 होना चाहिए); विकल्प B और D में योग के संकेत गलत हैं। परीक्षा-सुझाव: जब शून्यक एक-दूसरे के समापवर्तक (conjugates) हों तो गुणनफल और योग सहज रूप से क्रमशः a-2-b-2 और 2a जैसे रूपों से मिलते हैं—इन्हें सीधा लागू करें। / Sum of zeros = \(5+\sqrt{2}\)+\(5-\sqrt{2}\) = 10 and product = \(5+\sqrt{2}\)\(5-\sqrt{2}\) = 52-\(\sqrt{2}\)2 = 25-2 = 23. For a monic quadratic with zeros α and β the polynomial is x-2 - (α+β)x + αβ. Hence the polynomial is x-2 - 10x + 23. The closest distractor C \(x^2 - 10x + 27\) only miscalculates the product; B and D have the wrong sign for the sum-term. Exam tip: conjugate irrational zeros give rational coefficients—use sum and product formulas directly to form the polynomial.
दूसरा शून्यक \(6+2\sqrt{5}\) होगा। योग (12) और गुणनफल (36-20=16), इसलिए बहुपद \(x^2-12x+16\) है। / The other zero is \(6+2\sqrt{5}\). The sum is (12) and product is (36-20=16), so the polynomial is \(x^2-12x+16\).
मानक रूप में किसी एकवर्ती (monic) द्विघात का रूप \(x^2-Sx+P\) होता है जहाँ \(S\) शून्यकों का योग और \(P\) उनका गुणनफल होता है। यहाँ \(S=5\sqrt{2}\) और \(P=12\) हैं, अतः बहुपद \(x^2-5\sqrt{2}x+12\) होगा। विकल्प B में अलग साइन \(+5\sqrt{2}\) होने से उस बहुपद के शून्यकों का योग \(-5\sqrt{2}\) होगा — इसलिए गलत। विकल्प C और D दोनों में दी गई संख्याएँ (योग या गुणनफल) दी गई शर्तों से मेल नहीं खातीं; इसलिए वे भी गलत हैं। परीक्षा-सुझाव: मोनिक द्विघात के लिए सीधे \(x^2-(\text{sum})x+(\text{product})\) का प्रयोग करें और चिन्हों (signs) का ध्यान रखें। / For a monic quadratic the relation is \(x^2-Sx+P\), where \(S\) is the sum of the roots and \(P\) their product. With \(S=5\sqrt{2}\) and \(P=12\) the polynomial is \(x^2-5\sqrt{2}x+12\). Option B has the wrong sign on the linear term; for \(x^2+5\sqrt{2}x+12\) the sum of roots would be \(-5\sqrt{2}\), not \(+5\sqrt{2}\). Options C and D do not match the given sum and product either. Exam tip: Use \(x^2-(\text{sum})x+(\text{product})\) for monic quadratics and double-check signs of coefficients.
\(मानक बहुपद (x^2-(\)योग)x+गुणनफल) होता है। इसलिए उत्तर \(x^2-2\sqrt{5}x+4\) है। \(/ A monic polynomial is (x^2-(\)sum)x+product\(). So the answer is (x^2-2\sqrt{5}x+4).\)
यदि दिए गए शून्य हों \,\alpha=\sqrt{2}+\sqrt{3} और \,\beta=\sqrt{2}-\sqrt{3}, तो उनका योग \(\alpha+\beta=2\sqrt{2}\) और गुणनफल \(\alpha\beta=(\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2=2-3=-1\) होगा। किसी द्विघात बहुपद के लिए रूप \(x^2-(\text{योग})x+\text{गुणनफल}\) है, अतः बहुपद \(x^2-2\sqrt{2}\,x-1\) बनेगा — विकल्प A। विकल्प B में रैखिक पद का चिह्न उल्टा है इसलिए योग गलत है; विकल्प C में रैखिक गुणांक \(2\sqrt{3}\) वास्तविक योग से मेल नहीं खाता; विकल्प D के शून्य ±\(\sqrt{5}\) होंगे, जो दिए गए नहीं हैं। परीक्षा-सुझाव: जब जड़ें अल्जेब्रिक रूप में दिए हों तो पहले उनका योग और गुणनफल निकालकर सीधे \(x^2-(\text{sum})x+\text{product}\) बनाने की आदत डालें। / Let the roots be \(\alpha=\sqrt{2}+\sqrt{3}\) and \(\beta=\sqrt{2}-\sqrt{3}\). Then \(\alpha+\beta=2\sqrt{2}\) and \(\alpha\beta=(\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2=2-3=-1\). For a quadratic with these roots use \(x^2-(\text{sum})x+\text{product}\), giving \(x^2-2\sqrt{2}\,x-1\) (option A). Option B has the wrong sign on the linear term, so its sum of roots would be \(-2\sqrt{2}\); option C uses \(2\sqrt{3}\) which does not match the actual sum; option D equals \(0\) at ±\(\sqrt{5}\), not the given irrational roots. Exam tip: compute sum and product of the given roots first — this directly yields the required quadratic polynomial.
दो शून्यकों का योग है \((1+\sqrt{2})+(1-\sqrt{2})=2\) और गुणनफल है \((1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})=1-2=-1\)। एक एकाई-अगुणाकार द्विघात बहुपद जिसका शून्यक \(\alpha\) और \(\beta\) हों, होता है \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\)। इसलिए बहुपद है \(x^2-2x-1\)। नज़दीकी विचलन \(x^2+2x-1\) का योग \(-2\) देता है (इसलिए उसकी जड़ें \(-1\pm\sqrt{2}\) होंगी), और \(x^2-2x+1=(x-1)^2\) तथा \(x^2+x-2\) का योग-गुणनफल मूल स्थितियों से पृथक हैं। परीक्षा-सुझाव: जब द्विघात बनाना हो तो पहले जड़ों का योग और गुणनफल शीघ्र निकालें और फ़ॉर्मूला \(x^2-(\text{sum})x+(\text{product})\) प्रयोग करें। / The sum of the roots is \((1+\sqrt{2})+(1-\sqrt{2})=2\) and the product is \((1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})=1-2=-1\). For a monic quadratic with roots \(\alpha\) and \(\beta\) the polynomial is \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\). Thus the required polynomial is \(x^2-2x-1\). Closest distractor \(x^2+2x-1\) has sum \(-2\) (roots \(-1\pm\sqrt{2}\)), so it does not match; \(x^2-2x+1=(x-1)^2\) has a double root 1, and \(x^2+x-2\) has different sum/product. Exam tip: compute sum and product of given roots first, then plug into \(x^2-(\text{sum})x+(\text{product})\).
दो शून्यकों के योग से श्रेणीसंबंधी गुणधर्म लागू होते हैं। यहाँ योग = \((2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=4\) और गुणनफल = \((2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=4-3=1\)। एक मानक मोनिक द्विघात बहुपद है \(x^2-(\text{योग})x+\text{गुणनफल}\)। अतः बहुपद \(x^2-4x+1\) होगा। विकल्प B में साइन की गलती है (\(+4x\) होना चाहिए नहीं), अन्य विकल्पों का योग और गुणनफल दिए गए मूल्यों से मेल नहीं खाते। परीक्षा टिप: जब द्विघात के शून्यक दिए हों तो सीधे योग और गुणनफल निकालकर \(x^2-(\text{sum})x+\text{product}\) लिखें और एक बार किसी एक शून्यक को बहुपद में परख लें। / Use the relation for a monic quadratic: if roots are r1 and r2, polynomial is \(x^2-(r1+r2)x+(r1r2)\). Here sum = \((2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=4\) and product = \((2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=4-3=1\). Thus the polynomial is \(x^2-4x+1\). Option B is wrong due to the wrong sign on the linear term (+4x instead of -4x); options C and D have different sum/product values. Exam tip: compute sum and product first and then form \(x^2-(\text{sum})x+\text{product}\); verify by substituting one root.
