conjugate-roots se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
16 questions tagged with conjugate-roots.
A. \(x^2-10x+4\)
दूसरा शून्यक \(5-\sqrt{21}\) होगा। योग (10) और गुणनफल (25-21=4) से बहुपद \(x^2-10x+4\) बनता है। / The other zero will be \(5-\sqrt{21}\). Sum (10) and product (25-21=4) give the polynomial \(x^2-10x+4\).
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A. (5)
गुणनफल \(k^2-5=20\) से \(k^2=25\) और धनात्मक (k=5) है। परीक्षा में गुणनफल से अज्ञात निकालें। / From the product \(k^2-5=20\) we get \(k^2=25\) and positive (k=5). In exams find the unknown from the product.
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If the zeroes of (p(x)=x-2-6x+k) are \(3+\sqrt{2}\) and \(3-\sqrt{2}\), what is the value of (k)?
A. (7)
गुणनफल (\(3+\sqrt{2}\)\(3-\sqrt{2}\)=9-2=7) है, इसलिए (k=7) होगा। परीक्षा में स्थिर पद को शून्यकों के गुणनफल से जोड़ें। / The product (\(3+\sqrt{2}\)\(3-\sqrt{2}\)=9-2=7), so (k=7). In exams connect the constant term with the product of zeroes.
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If the zeroes of (p(x)=x-2-2kx+9) are \(k+\sqrt{7}\) and \(k-\sqrt{7}\), what is the value of (k)?
A. (4)
गुणनफल \(k^2-7=9\) से \(k^2=16\) मिलता है और दिए रूप में (k=4) उपयुक्त है। परीक्षा में गुणनफल से अज्ञात निकालें। / From the product \(k^2-7=9\), we get \(k^2=16\), and (k=4) fits the given form. In exams use the product to find the unknown.
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A. \(2-\sqrt{7}\)
परिमेय गुणांकों में \(a+\sqrt{b}\) के साथ \(a-\sqrt{b}\) भी शून्यक आता है। परीक्षा में संयुग्मी शून्यकों को तुरंत पहचानें। / With rational coefficients, \(a+\sqrt{b}\) is accompanied by \(a-\sqrt{b}\). In exams identify conjugate zeroes quickly.
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A. \(3+\sqrt{5}\)
परिमेय गुणांकों में अपरिमेय शून्यक सामान्यतः संयुग्मी रूप में आते हैं। इसलिए \(3-\sqrt{5}\) का साथी शून्यक \(3+\sqrt{5}\) होगा। / For rational coefficients, irrational zeroes usually occur in conjugate pairs. Hence the companion zero of \(3-\sqrt{5}\) is \(3+\sqrt{5}\).
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Which polynomial has rational coefficients and zeroes \(1+\sqrt{2}\) and \(1-\sqrt{2}\)?
A. \(x^2-2x-1\)
योग (2) और गुणनफल (1-2=-1), इसलिए बहुपद \(x^2-2x-1\) है। परीक्षा में चिन्हों को ठीक रखें। / The sum is (2) and the product is (1-2=-1), so the polynomial is \(x^2-2x-1\). Keep signs correct in exams.
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If \(2+\sqrt{3}\) is a zero of the polynomial \(x^2-4x+1\), what is the other zero?
A. \(2-\sqrt{3}\)
परिमेय गुणांकों वाले द्विघात में \(a+\sqrt{b}\) के साथ \(a-\sqrt{b}\) भी शून्यक होता है। परीक्षा में संयुग्मी मूल का नियम उपयोगी है। / For a quadratic with rational coefficients, if \(a+\sqrt{b}\) is a zero then \(a-\sqrt{b}\) is also a zero. The conjugate-root rule is useful in exams.
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A. \(4b\)
अगर शून्यक \(a+\sqrt{b}\) और \(a-\sqrt{b}\) हैं तो बहुपद का सम \(2a\) और गुणनफल \(a^{2}-b\) होगा। एकक द्विघात बहुपद लिखेगा \(x^{2}-2ax+(a^{2}-b)\)। इसका विविक्तकर \(\Delta=(2a)^{2}-4\cdot1\cdot(a^{2}-b)=4a^{2}-4a^{2}+4b=4b\) आता है, इसलिए सही उत्तर \(4b\) है। निकटवर्ती विचलन: विकल्प D में \(4(a^{2}-b)=4a^{2}-4b\) है, जो सामान्य रूप से \(4b\) से अलग है; विकल्प C और B स्पष्ट रूप से गलत हैं (C ने ऋणात्मक भाग को नज़रअंदाज़ किया, B केवल तब सही होगा जब \(b=0\))। परीक्षा-सुझाव: जड़ों का योग और गुणनफल सीधे ले कर बहुपद बनाएं और तुरंत \(\Delta=b^{2}-4ac\) के बजाय समीकरण के गुणांक पर लागू कर निकालें। / With roots \(a+\sqrt{b}\) and \(a-\sqrt{b}\), the sum of roots is \(2a\) and the product is \(a^{2}-b\). The monic quadratic is \(x^{2}-2ax+(a^{2}-b)\). Its discriminant is \(\Delta=(2a)^{2}-4\cdot1\cdot(a^{2}-b)=4a^{2}-4a^{2}+4b=4b\), so \(4b\) is correct. Closest distractor D equals \(4(a^{2}-b)=4a^{2}-4b\), which is generally different from \(4b\); option C ignores the subtraction in the product and B would only hold if \(b=0\). Exam tip: use sum and product of roots to form the quadratic quickly, then compute \(\Delta\) from its coefficients.
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If the zeroes of \(x^2+px+q\) are \(7+2\sqrt{3}\) and \(7-2\sqrt{3}\), what is the value of \(p+q\)?
A. 23
दो अनमिश्रित परस्पर योगिका शून्यकों के लिए योग और गुणनफल सरल हैं: शून्यकों का योग \( (7+2\sqrt{3})+(7-2\sqrt{3})=14\) और गुणनफल \((7+2\sqrt{3})(7-2\sqrt{3})=7^2-(2\sqrt{3})^2=49-12=37\). सामान्य रूप \(x^2+px+q\) में शून्यकों का योग \(-p\) और गुणनफल \(q\) होता है। अतः \(p=-14\) और \(q=37\), इसलिए \(p+q=37-14=23\)। नज़दीकी विचलन: विकल्प (37) केवल गुणनफल \(q\) है, पर प्रश्न \(p+q\) पूछ रहा है। विकल्प (49) तब गलत होगा जब \((2\sqrt{3})^2\) घटाना भूल जाएँ। परीक्षा-सूत्र: मोनिक द्विघात के लिए शून्यकों का योग = \(-p\), गुणनफल = \(q\); तेजी से \(p+q=q-\text{(sum of roots)}\) लिखें। / For conjugate irrational roots the sum and product are easy: sum = \((7+2\sqrt{3})+(7-2\sqrt{3})=14\), product = \((7+2\sqrt{3})(7-2\sqrt{3})=49-(2\sqrt{3})^2=49-12=37\). For the monic quadratic \(x^2+px+q\), sum of roots = \(-p\) and product = \(q\). Hence \(p=-14\), \(q=37\) and \(p+q=37-14=23\). Closest distractor explanation: 37 is just the product \(q\), not \(p+q\); 49 would be wrong if one forgets to subtract \((2\sqrt{3})^2\). Exam tip: For a monic quadratic use sum = \(-p\), product = \(q\); compute \(p+q\) as \(q-\text{(sum of roots)}\) for speed.
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Which of the following polynomials has zeros \(3+\sqrt{2}\) and \(3-\sqrt{2}\)?
A. \(x^2-6x+7\)
यदि दो शून्यक \(3+\sqrt{2}\) और \(3-\sqrt{2}\) हों तो उनका योग \((3+\sqrt{2})+(3-\sqrt{2})=6\) तथा गुणनफल \((3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})=9-2=7\) होगा। किसी द्विघात का मानक एकल-घटक रूप है \(x^2-(\text{योग})x+(\text{गुणनफल})\) इसलिए मनोनित बहुपद होगा \(x^2-6x+7\)。नजदीकी भ्रामक विकल्प \(x^2-6x+11\) (विकल्प D) में रैखिक गुणक सही है पर स्थिर पद गलत है — यहाँ स्थिर पद 11 है जबकि वास्तविक गुणनफल 7 होना चाहिए। परीक्षात्मक सूचक: सम और गुणनफल तुरंत निकालकर \(x-(\alpha)\)(x-\(\beta\)) का विस्तार कर लें ताकि त्रुटि की संभावना कम रहे। / For zeros \(3+\sqrt{2}\) and \(3-\sqrt{2}\) the sum is \((3+\sqrt{2})+(3-\sqrt{2})=6\) and the product is \((3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})=9-2=7\). A monic quadratic with these zeros is \(x^2-(\text{sum})x+(\text{product})=x^2-6x+7\). The closest distractor \(x^2-6x+11\) (option D) has the same linear coefficient but the constant term (product) is incorrect. Exam tip: form \((x-(3+\sqrt{2}))(x-(3-\sqrt{2}))\) and expand — this avoids sign mistakes.
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Which polynomial has zeros \\(1+\sqrt{10}\\) and \\(1-\sqrt{10}\\)?
A. x-2-2x-9
दो मूल हैं \\(1+\sqrt{10}\\) और \\(1-\sqrt{10}\\). इनका योग = \\((1+\sqrt{10})+(1-\sqrt{10})=2\\) और गुणनफल = \\((1+\sqrt{10})(1-\sqrt{10})=1-10=-9\\). मोनिक द्विघात बहुपद जो इन मूलों को देता है वह \\( (x-(1+\sqrt{10}))(x-(1-\sqrt{10}))=x^2-(\text{sum})x+\text{product}=x^2-2x-9\\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि उसके लिए रैखिक पद का लक्षण उल्टा होगा (योग \\(-2\\) मानने पर मिलता)। परीक्षा-टिप: किसी भी दो मूल \\(r_1,r_2\\) के लिए मोनिक बहुपद सीधे \\( (x-r_1)(x-r_2)\\) से बनाएं। / Roots are \\(1+\sqrt{10}\\) and \\(1-\sqrt{10}\\). Their sum is \\((1+\sqrt{10})+(1-\sqrt{10})=2\\) and product is \\((1+\sqrt{10})(1-\sqrt{10})=1-10=-9\\). The monic quadratic with these roots is \\( (x-(1+\sqrt{10}))(x-(1-\sqrt{10}))=x^2-(\text{sum})x+\text{product}=x^2-2x-9\\). Option B is a common distractor because it has the wrong sign for the linear term (would correspond to sum \\(-2\\)). Exam tip: form the polynomial as \\( (x-r_1)(x-r_2)\\) or use sum and product relations \\(r_1+r_2=-\tfrac{b}{a},\;r_1r_2=\tfrac{c}{a}\\).
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A. 4
दोनों शून्यकों का योग और गुणनफल गुणांक से मिलते हैं। बहुपद \(x^2-6x+n\) में शून्यकों का योग \(-\frac{-6}{1}=6\) है और गुणनफल \(n\) है। दिए हुए शून्यक \(3+\sqrt{m}\) और \(3-\sqrt{m}\) का गुणनफल \((3+\sqrt{m})(3-\sqrt{m})=9-m\) होगा। यह गुणनफल \(n=5\) के बराबर है, अतः \(9-m=5\) से \(m=4\)। द्वितीय विकल्प (5) इसीलिए गलत है क्योंकि वह सीधे \(n\) को \(m\) समझ लेने की गलती होगी। परिक्षा युक्ति: द्विघात के लिए शून्यकों का योग और गुणनफल तुरंत याद रखें — यह समय बचाता है। / Use the relations between roots and coefficients for a quadratic. For \(x^2-6x+n\), sum of roots is \(-(-6)/1=6\) and product of roots is \(n\). For roots \(3+\sqrt{m}\) and \(3-\sqrt{m}\), the product is \((3+\sqrt{m})(3-\sqrt{m})=9-m\). Setting this equal to \(n=5\) gives \(9-m=5\), so \(m=4\). Option B (5) is a common distractor from confusing \(m\) with \(n\); option C (9) would give product zero, not 5. Exam tip: immediately write sum and product relations for quadratics to avoid unnecessary algebra.
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A. 22
किसी द्विघात बहुपद \(ax^2+bx+c\) के लिए शून्यकों का योग \(-b/a\) और गुणनफल \(c/a\) होता है। यहाँ \(a=1, b=p, c=q\)। दिये गए शून्यक के योग से \((7+\sqrt{13})+(7-\sqrt{13})=14\) मिलता है, अतः \(-p=14\) से \(p=-14\)। गुणनफल \((7+\sqrt{13})(7-\sqrt{13})=49-13=36\) से \(q=36\)। अतः \(p+q=-14+36=22\)। ध्यान रखें: विकल्प \(49\) वही गलती दर्शाता है जहाँ केवल \(7^2\) लिया गया हो; विकल्प \(35\) कोई आंशिक गलत गणना दर्शाता है। परीक्षात्मक टिप: हमेशा सबसे पहले \(a,b,c\) पहचान कर शून्यकों का योग और गुणनफल के सूत्र लागू करें। / For a quadratic \(ax^2+bx+c\), the sum of zeros is \(-b/a\) and the product is \(c/a\). Here \(a=1, b=p, c=q\). The sum of the given zeros is \((7+\sqrt{13})+(7-\sqrt{13})=14\), so \(-p=14\) giving \(p=-14\). The product is \((7+\sqrt{13})(7-\sqrt{13})=49-13=36\), so \(q=36\). Therefore \(p+q=-14+36=22\). Note: \(49\) would be a mistake from taking only \(7^2\); \(35\) is a common arithmetic slip. Exam tip: identify \(a,b,c\) first and then use sum and product of roots formulas to avoid sign errors.
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A. 8
यदि बहुपद के गुणांक परिमेय हैं और एक शून्यक \\(4+\sqrt{11}\\) है, तो इसके सम्मिलित (conjugate) शून्यक \\(4-\sqrt{11}\\) होगा। इसलिए शून्यकों का योग \\((4+\sqrt{11})+(4-\sqrt{11})=8\\) है। विकल्प C (\\(2\sqrt{11}\\)) गलत है क्योंकि वर्गमूल वाले पद एक-दूसरे को रद्द कर देते हैं; विकल्प B और D अनुचित घटाना/त्रुटिपूर्ण सरलीकरण के परिणाम हैं। परीक्षा-सुझाव: परिमेय गुणांकों वाले बहुपद के लिए किसी भी अवकलनीय वर्गमूलात्मक शून्यक का सम्मिलित शून्यक भी होगा — इससे तुरंत जोड़ या गुणनफल पता किया जा सकता है। / With rational coefficients, an irrational root containing a square root has its conjugate as the other root. If one zero is \\(4+\sqrt{11}\\), the other is \\(4-\sqrt{11}\\). Their sum is \\((4+\sqrt{11})+(4-\sqrt{11})=8\\). Option C (\\(2\sqrt{11}\\)) mistakes combining the radicals instead of canceling them; options B and D come from incorrect arithmetic. Exam tip: use the conjugate-root property or Vieta’s formula (sum = \(-b/a\)) to find the sum quickly.
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For which value of k will \(p(x)=x^2-10x+k\) have zeros \(5+\sqrt{2}\) and \(5-\sqrt{2}\)?
A. 23
मोनिक द्विघात \(x^2-10x+k\) में शून्यकों का गुणनफल स्थिर पद \(k\) के बराबर होता है। दिए गए शून्यकों का गुणनफल है \((5+\sqrt{2})(5-\sqrt{2})=5^2-(\sqrt{2})^2=25-2=23\)। इसलिए \(k=23\)। निकटतम विकल्प \(25\) इसलिए गलत है क्योंकि वह केवल \(5^2\) है और वास्तविक गुणनफल से मेल नहीं खाता। परीक्षा-सुझाव: द्विघात \(ax^2+bx+c\) के लिए sum = \(-b/a\) और product = \(c/a\) हमेशा याद रखें; मोनिक (a=1) में उत्पाद सीधे \(c\) होता है। / For the monic quadratic \(x^2-10x+k\), the product of the zeros equals the constant term \(k\). Compute the product: \((5+\sqrt{2})(5-\sqrt{2})=5^2-(\sqrt{2})^2=25-2=23\). Hence \(k=23\). The nearby option 25 is incorrect because it is simply \(5^2\), not the actual product of the conjugate roots. Exam tip: remember for \(ax^2+bx+c\), sum of roots = \(-b/a\) and product = \(c/a\); for a monic quadratic product = constant term.
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