Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\( -\sqrt{2}\approx-1.414\), इसलिए (-1.35) उसके और (-1.3) के बीच है। ऋणात्मक अंतराल में क्रम सावधानी से पढ़ें। / \( -\sqrt{2}\approx-1.414\), so (-1.35) lies between it and (-1.3). Read order carefully in negative intervals.
क्योंकि \(6^2=36\) और \(7^2=49\), इसलिए \( \sqrt{45}\) लगभग (6.7) है। निकटतम पूर्ण वर्गों से अनुमान लगाएँ। / Since \(6^2=36\) and \(7^2=49\), \( \sqrt{45}\) is about (6.7). Estimate using nearby perfect squares.
\(\pi\approx3.14\) और \(\sqrt{10}\approx3.16\), इसलिए \(\pi<\sqrt{10}\)। निकट अपरिमेयों की तुलना में अच्छे अनुमान उपयोगी होते हैं। / \(\pi\approx3.14\) and \(\sqrt{10}\approx3.16\), so \(\pi<\sqrt{10}\). Good approximations help compare close irrationals.
\(2^2=4\) और \(3^2=9\), इसलिए \(\sqrt{7}\) संख्या रेखा पर (2) और (3) के बीच होगा। परीक्षा में पहले वर्गों की तुलना करें। / Since \(2^2=4\) and \(3^2=9\), \(\sqrt{7}\) lies between (2) and (3). In exams, compare squares first.
\(\sqrt{3}\approx1.73\), इसलिए \(1-\sqrt{3}\approx-0.73\) है। यह (-1) और (0) के बीच है। / \(\sqrt{3}\approx1.73\), so \(1-\sqrt{3}\approx-0.73\). It lies between (-1) and (0).
\(\sqrt{2}\approx1.41\), इसलिए \(-1.5<-\sqrt{2}<-1.3\) है। ऋणात्मक संख्याओं में अधिक बाईं संख्या छोटी होती है। / \(\sqrt{2}\approx1.41\), so \(-1.5<-\sqrt{2}<-1.3\). For negative numbers, the farther left number is smaller.
\(\sqrt{11}\) (3) और (4) के बीच है इसलिए \(-\sqrt{11}\) (-4) और (-3) के बीच होगा। ऋणात्मक चिन्ह दिशा बदल देता है। / \(\sqrt{11}\) lies between (3) and (4), so \(-\sqrt{11}\) lies between (-4) and (-3). The negative sign changes the side.
\(\sqrt{3}\approx1.73\) है और (1.8), (1.73) तथा (2) के बीच है। अनुमान से बीच की संख्या चुनें। / \(\sqrt{3}\approx1.73\), and (1.8) lies between (1.73) and (2). Use estimation to choose the middle value.
\(\sqrt{5}\approx2.24\), इसलिए \(2+\sqrt{5}\approx4.24\) है। यह (4) और (5) के बीच आता है। / \(\sqrt{5}\approx2.24\), so \(2+\sqrt{5}\approx4.24\). It lies between (4) and (5).
\(\frac{4}{3}\approx1.33\), \(\sqrt{2}\approx1.41\), इसलिए क्रम \(\frac{4}{3}<\sqrt{2}<1.5\) है। तुलना के लिए अनुमान लगाएं। / \(\frac{4}{3}\approx1.33\) and \(\sqrt{2}\approx1.41\), so the order is \(\frac{4}{3}<\sqrt{2}<1.5\). Estimate values for comparison.
क्योंकि \(5^2<26<6^2\), इसलिए \(\sqrt{26}\) (5) और (6) के बीच होगा। पास के पूर्ण वर्ग देखें। / Since \(5^2<26<6^2\), \(\sqrt{26}\) lies between (5) and (6). Check nearby perfect squares.
\(\sqrt{3}\) लगभग (1.732) है इसलिए (1.7) सबसे पास है। अनुमान के लिए \(\sqrt{3}\) को (1) और (2) के बीच रखें। / \(\sqrt{3}\) is about (1.732), so (1.7) is closest. For estimation place \(\sqrt{3}\) between (1) and (2).
\(\sqrt{2}\) लगभग (1.41) है इसलिए \(2-\sqrt{2}\) लगभग (0.59) होगा। यह (0) और (1) के बीच है। / \(\sqrt{2}\) is about (1.41), so \(2-\sqrt{2}\) is about (0.59). It lies between (0) and (1).
\(\sqrt{2}\) लगभग (1.41) है इसलिए \(1+\sqrt{2}\) लगभग (2.41) होगा। यह (2) और (3) के बीच है। / \(\sqrt{2}\) is about (1.41), so \(1+\sqrt{2}\) is about (2.41). It lies between (2) and (3).
B. यह (2) और (3) के बीच है/It is between (2) and (3)
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(2^2<7<3^2\), इसलिए \(\sqrt{7}\), (2) और (3) के बीच होगा। \(\sqrt{7}\) को (7) समझना सामान्य गलती है। / Since \(2^2<7<3^2\), \(\sqrt{7}\) lies between (2) and (3). Taking \(\sqrt{7}\) as (7) is a common mistake.
क्योंकि \(3^2<10<4^2\), इसलिए \(\sqrt{10}\), (3) और (4) के बीच होगा। वर्गमूल की स्थिति के लिए पास के पूर्ण वर्ग देखें। / Since \(3^2<10<4^2\), \(\sqrt{10}\) lies between (3) and (4). Use nearby perfect squares to locate roots.
क्योंकि (4<5<9), इसलिए \(\sqrt{5}\), (2) और (3) के बीच होगा। वर्गों की तुलना से वर्गमूल की स्थिति मिलती है। / Since (4<5<9), \(\sqrt{5}\) lies between (2) and (3). Comparing squares helps locate square roots.
क्योंकि \(1^2=1\) और \(2^2=4\), इसलिए \(\sqrt{3}\) (1) और (2) के बीच है। परीक्षा में वर्गमूल को पूर्ण वर्गों से घेरें। / Since \(1^2=1\) and \(2^2=4\), \(\sqrt{3}\) lies between (1) and (2). In exams, bracket square roots using perfect squares.
क्योंकि \(4^2=16\) और \(5^2=25\), इसलिए \(\sqrt{20}\) (4) और (5) के बीच है। परीक्षा में नजदीकी पूर्ण वर्ग खोजें। / Since \(4^2=16\) and \(5^2=25\), \(\sqrt{20}\) lies between (4) and (5). In exams, find nearby perfect squares.
क्योंकि \(2^2<5<3^2\), इसलिए \(\sqrt{5}\), (2) और (3) के बीच होगा। वर्गों से वर्गमूल की स्थिति जल्दी मिलती है। / Since \(2^2<5<3^2\), \(\sqrt{5}\) lies between (2) and (3). Use squares to locate square roots quickly.
\(\sqrt{8}\) (2) और (3) के बीच है, इसलिए \(-\sqrt{8}\) (-3) और (-2) के बीच होगा। ऋण चिह्न दिशा बदल देता है। / \(\sqrt{8}\) lies between (2) and (3), so \(-\sqrt{8}\) lies between (-3) and (-2). The negative sign changes the direction.
क्योंकि \(2^2=4\) और \(3^2=9\), इसलिए \(\sqrt{5}\) (2) और (3) के बीच है। निकटतम पूर्ण वर्ग देखें। / Since \(2^2=4\) and \(3^2=9\), \(\sqrt{5}\) lies between (2) and (3). Look at the nearest perfect squares.
दूसरा शून्यक \(5-\sqrt{21}\) होगा। योग (10) और गुणनफल (25-21=4) से बहुपद \(x^2-10x+4\) बनता है। / The other zero will be \(5-\sqrt{21}\). Sum (10) and product (25-21=4) give the polynomial \(x^2-10x+4\).
(\alpha\beta=25-\(2\sqrt{6}\)2=25-24=1) है। परीक्षा में संयुग्मी गुणन में वर्ग सही करें। / (\alpha\beta=25-\(2\sqrt{6}\)2=25-24=1). In exams square terms correctly in conjugate multiplication.
अपवादगत रूप से \((a-b)^2=a^2+b^2-2ab\) का प्रयोग करें। यहाँ \(a=\sqrt{11}\), \(b=\sqrt{2}\) तो \(x^2=(\sqrt{11})^2+(\sqrt{2})^2-2\cdot\sqrt{11}\cdot\sqrt{2}=11+2-2\sqrt{22}=13-2\sqrt{22}\). विकल्प B में मध्य पद का संकेत उल्टा है; विकल्प C में स्थायी पद गलत है (13 के बजाय 9); विकल्प D में गुणन गलत रूप से किया गया है. परीक्षा टिप: कटौती करते समय मध्य पद \(-2ab\) का संकेत और गुणन कर रैडिकैंड्स (\(\sqrt{11}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{22}\)) अवश्य जाँचें। / Use the identity \((a-b)^2=a^2+b^2-2ab\). With \(a=\sqrt{11}\) and \(b=\sqrt{2}\), we get \(x^2=(\sqrt{11})^2+(\sqrt{2})^2-2\sqrt{11}\sqrt{2}=11+2-2\sqrt{22}=13-2\sqrt{22}\). Option B has the sign of the middle term wrong; option C has the constant term incorrect; option D incorrectly multiplies the terms. Exam tip: always expand using \((a-b)^2\) and simplify \(\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}\) carefully.
\(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\), \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) और \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) है। इसलिए मान \(6\sqrt{3}\) है। / \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\), \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) and \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\). Hence the value is \(6\sqrt{3}\).
उलटा लेने के लिए हर और हर के चीन को संवत्सरित (rationalize) करना होता है। \(\frac{1}{x}=\frac{1}{4-\sqrt{15}}\) को गुणा-भाग करके उसके सह-आधार (conjugate) \(4+\sqrt{15}\) से गुणा करें: \(\frac{1}{4-\sqrt{15}}=\frac{4+\sqrt{15}}{(4-\sqrt{15})(4+\sqrt{15})}=\frac{4+\sqrt{15}}{4^2-(\sqrt{15})^2}=\frac{4+\sqrt{15}}{16-15}=4+\sqrt{15}\). इसलिए सही उत्तर \(4+\sqrt{15}\) है। विकल्प C इसलिए गलत है क्योंकि वहाँ हर के हर में गलती से हर का हर जोड़कर \(16+15=31\) कर दिया गया — सही तरीका है घटाव \(a^2-b^2\)। विकल्प B मूल संख्या ही है, अंतरण नहीं। परीक्षात्मक टिप: द्विघात-रूप में राशियों का व्युत्क्रम लेने के लिए संयोगिक सह-आधार से गुणा करें और हर को \(a^2-b^2\) से सरल करें। / Take reciprocal by rationalizing denominator using the conjugate. \(\dfrac{1}{4-\sqrt{15}}=\dfrac{4+\sqrt{15}}{(4-\sqrt{15})(4+\sqrt{15})}=\dfrac{4+\sqrt{15}}{4^2-(\sqrt{15})^2}=\dfrac{4+\sqrt{15}}{16-15}=4+\sqrt{15}\). Thus the reciprocal is \(4+\sqrt{15}\). Option C is a common arithmetic error where someone adds squares to get \(31\) (i.e. uses \(16+15\)) instead of using the difference \(a^2-b^2\). Option B is just the original number, not its reciprocal. Exam tip: multiply numerator and denominator by the conjugate and use \(a^2-b^2\) to simplify quickly.
दो सांयुगिक (conjugates) का गुणन करने पर क्रॉस टर्म्स हट जाते हैं। यहाँ \(ab=(\sqrt{13}+\sqrt{6})(\sqrt{13}-\sqrt{6})= (\sqrt{13})^2-(\sqrt{6})^2=13-6=7\)। विकल्प B (19) को कभी-कभी संदेह से \(13+6\) समझ लिया जाता है; विकल्प C \(\sqrt{78}\) तब आता है जब कोई गलत तरीके से केवल अंतर्गत गुणा कर दे (\(\sqrt{13\cdot6}\)) और विकल्प D सिर्फ संकेत की गलती है। परीक्षा का सुझाव: सांयुगिक गुणन के लिए तुरंत \(a^2-b^2\) का प्रयोग याद रखें। / Multiply the conjugates: \(ab=(\sqrt{13}+\sqrt{6})(\sqrt{13}-\sqrt{6})=(\sqrt{13})^2-(\sqrt{6})^2=13-6=7\). Choice B (19) is the sum \(13+6\), not the product of conjugates; choice C (\(\sqrt{78}\)) arises from incorrectly taking \(\sqrt{13\cdot6}\); choice D is a sign error. Exam tip: recognise conjugates and apply \(a^2-b^2\) to remove radicals quickly.
मूल सिद्धांत: \((a+b)^2=a^2+b^2+2ab\)। यहाँ \(a=\sqrt{7},\; b=\sqrt{5}\)। इसलिए \(x^2=(\sqrt{7})^2+(\sqrt{5})^2+2\sqrt{7}\sqrt{5}=7+5+2\sqrt{35}=12+2\sqrt{35}\)। विकल्प B में क्रॉस पद का गुणांक गलत है (\(2\) के बजाय \(1\)), विकल्प C ने क्रॉस पद \(2ab\) पूरी तरह नज़रअंदाज़ कर दिया। परीक्षा युक्ति: द्विपद का वर्ग लेते समय हमेशा \(2ab\) लिखें और \(\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}\) का उपयोग करें। / Core concept: use \((a+b)^2=a^2+b^2+2ab\). With \(a=\sqrt{7},\; b=\sqrt{5}\) we get \(x^2=(\sqrt{7})^2+(\sqrt{5})^2+2\sqrt{7}\sqrt{5}=7+5+2\sqrt{35}=12+2\sqrt{35}\). Option B is a close distractor that uses the radical but with the wrong coefficient (misses the factor 2); option C omits the cross term entirely. Exam tip: always include the \(2ab\) term and simplify \(\sqrt{m}\sqrt{n}=\sqrt{mn}\).
क्योंकि (\(\sqrt{13}+\sqrt{12}\)\(\sqrt{13}-\sqrt{12}\)=1), इसलिए व्युत्क्रम \(\sqrt{13}-\sqrt{12}\) है। परीक्षा में (a-b=1) वाले संयुग्मी जल्दी पहचानें। / Since (\(\sqrt{13}+\sqrt{12}\)\(\sqrt{13}-\sqrt{12}\)=1), the reciprocal is \(\sqrt{13}-\sqrt{12}\). In exams quickly identify conjugates where (a-b=1).
