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साथी शून्यक \(5-2\sqrt{6}\) होगा, योग (10) और गुणनफल (25-24=1) है। परीक्षा में संयुग्मी लेकर बहुपद बनाएं। / The companion zero is \(5-2\sqrt{6}\), with sum (10) and product (25-24=1). In exams form the polynomial using the conjugate.
हमें पहचान का उपयोग करें: \((a-b)^2=a^2+b^2-2ab)\). यहाँ \(a=\sqrt{7},\; b=\sqrt{3}\) होने पर \(x^2=(\sqrt{7}-\sqrt{3})^2=7+3-2\sqrt{21}=10-2\sqrt{21}\)। विकल्प B (\(10+2\sqrt{21}\)) आम त्रुटि है जहाँ क्रॉस-टर्म का चिन्ह उल्टा लिया गया है। परीक्षा टिप: पहचान लिखकर सीधे वर्ग करें और क्रॉस-टर्म का चिन्ह ध्यान से देखें। / Use the identity \((a-b)^2=a^2+b^2-2ab)\). With \(a=\sqrt{7},\; b=\sqrt{3}\) we get \(x^2=(\sqrt{7}-\sqrt{3})^2=7+3-2\sqrt{21}=10-2\sqrt{21}\). Option B (\(10+2\sqrt{21}\)) is the typical sign-error from treating the cross term as positive. Exam tip: always expand using the identity and check the sign of the \(2ab\) term.
कार्यान्वयन:
\(2+\sqrt{3}\)2 = 22 + \(\sqrt{3}\)2 + 2\cdot2\cdot\sqrt{3} = 4 + 3 + 4\sqrt{3} = 7 + 4\sqrt{3}. इसलिए \(2+\sqrt{3}\) का वर्ग दिया हुआ बहुपद है।
क्यों अन्य विकल्प गलत हैं (संक्षेप में):
- \(3+\sqrt{2}\)2 = 9 + 2 + 6\sqrt{2} = 11 + 6\sqrt{2} (मर्करीय भाग अलग)।
- \(\sqrt{7}+2\)2 = 7 + 4 + 4\sqrt{7} = 11 + 4\sqrt{7} \(\sqrt{7} वाले पद हैं\)।
- \(\sqrt{3}+1\)2 = 3 + 1 + 2\sqrt{3} = 4 + 2\sqrt{3} (मध्य पद छोटा है)।
परीक्षा-बिंदु: बाएँ और दाएँ पद के गुणनफल के लिए मध्य पद 2ab पर ध्यान दें — इससे स्वतः पता चल जाता है कि कौन सा जोड़ सही है। / Verification:
i) \(2+\sqrt{3}\)2 = 22 + \(\sqrt{3}\)2 + 2\cdot2\cdot\sqrt{3} = 4 + 3 + 4\sqrt{3} = 7 + 4\sqrt{3}. Hence \(2+\sqrt{3}\) is the required number.
Why the others fail (brief):
- \(3+\sqrt{2}\)2 = 9 + 2 + 6\sqrt{2} = 11 + 6\sqrt{2}, not matching the given form.
- \(\sqrt{7}+2\)2 = 7 + 4 + 4\sqrt{7} = 11 + 4\sqrt{7}, contains \sqrt{7} terms.
- \(\sqrt{3}+1\)2 = 3 + 1 + 2\sqrt{3} = 4 + 2\sqrt{3}, middle term 2\sqrt{3} is too small.
Exam tip: compute the middle term 2ab to match the coefficient of the surd; that quickly eliminates wrong choices.
गुणा करते समय यह जोड़े संयुग्म (conjugates) हैं। \(ab=(\sqrt{11}+\sqrt{5})(\sqrt{11}-\sqrt{5})=(\sqrt{11})^2-(\sqrt{5})^2=11-5=6\)। सबसे भ्रमित करने वाला विकल्प \(\sqrt{55}\) है — यह \(\sqrt{11}\cdot\sqrt{5}\) का मान है, परन्तु संयुग्मों का गुणन अलग रूप देता है \(a^2-b^2\)। विकल्प \(16\) गलत है क्योंकि वह सीधे जोड़ \(11+5\) होगा, और \(2\sqrt{55}\) भी अनुचित द्विगुणित गुणन का गलत रिजल्ट है। परीक्षा-सुझाव: संयुग्म जोड़े आते ही तुरंत \(a^2-b^2\) उपयोग करें — इससे जड़ें हटकर सरल संख्या मिल जाती है। / These are conjugate terms. \(ab=(\sqrt{11}+\sqrt{5})(\sqrt{11}-\sqrt{5})=(\sqrt{11})^2-(\sqrt{5})^2=11-5=6\). A common wrong choice is \(\sqrt{55}\), which equals \(\sqrt{11}\cdot\sqrt{5}\) but is not the product of the conjugates. Option 16 arises from adding 11 and 5 (not correct for multiplication), and \(2\sqrt{55}\) is an incorrect doubled product. Exam tip: recognize conjugates and apply the difference-of-squares identity \(a^2-b^2\) to remove radicals quickly.
x-2 को वर्ग करने पर x-2 = \(\sqrt{6}+\sqrt{2}\)2 = 6 + 2 + 2\sqrt{12} = 8 + 2\times 2\sqrt{3} = 8 + 4\sqrt{3}। विकल्प B \(8+2\sqrt{3}\) सबसे नजदीकी भ्रामक विकल्प है — यह \sqrt{12} के सरलकरण \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) में लगे गुणक 2 को गायब करने जैसी सामान्य गलती है। परीक्षा टिप: हमेशा (a+b)2 = a-2+2ab+b-2 लगाकर और अंदर के रैडिकल्स को पूरी तरह सरल करें। / Expand the square: x-2 = \(\sqrt{6}+\sqrt{2}\)2 = 6 + 2 + 2\sqrt{12} = 8 + 2\times 2\sqrt{3} = 8 + 4\sqrt{3}. Option B \(8+2\sqrt{3}\) is a common error caused by not fully simplifying \sqrt{12} \(since \sqrt{12}=2\sqrt{3}, the cross-term becomes 4\sqrt{3}, not 2\sqrt{3}\). Exam tip: apply (a+b)2 = a-2+2ab+b-2 and simplify radicals fully before choosing the answer.
A. \(8+2\sqrt{15}\), अपरिमेय/\(8+2\sqrt{15}\), irrational
Explanation
Simple Explanation
\(x^2=5+3+2\sqrt{15}=8+2\sqrt{15}\), इसलिए यह अपरिमेय है। परीक्षा में ((a+b)2) का प्रयोग सावधानी से करें। / \(x^2=5+3+2\sqrt{15}=8+2\sqrt{15}\), so it is irrational. In exams use ((a+b)2) carefully.
यह दो संयोगीय (conjugate) भाव हैं। गुणन से हम अंतर-वर्ग का नियम प्रयोग करते हैं: \(xy=(\sqrt{6})^2-(\sqrt{2})^2=6-2=4\)। विकल्प C (\(2\sqrt{12}\)) को सरल करने पर \(4\sqrt{3}\) मिलता है जो 4 के बराबर नहीं है, और B तथा D भी गलत हैं क्योंकि उन्होंने अंतर-वर्ग का नियम लागू नहीं किया। परीक्षा टिप: ऐसे जोड़-जोड़ वाले द्विपद के गुणन में सीधे \(a^2-b^2\) सूत्र इस्तेमाल करें। / x and y are conjugates. Use the difference of squares: \(xy=(\sqrt{6})^2-(\sqrt{2})^2=6-2=4\). Option C simplifies to \(2\sqrt{12}=4\sqrt{3}\), which is not 4; options B and D result from incorrect operations (e.g., adding squares or mis-distributing). Exam tip: for expressions of the form \(a+b\) and \(a-b\), immediately apply \( (a+b)(a-b)=a^2-b^2\).
A. \(3\sqrt{2}\), अपरिमेय/\(3\sqrt{2}\), irrational
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt{2}\) इसलिए \(a=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\). \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है और किसी गैर‑शून्य परिमेय संख्या (जैसे 3) से गुणा करने पर संख्या अपरिमेय रहती है, अतः \(3\sqrt{2}\) अपरिमेय है। विकल्प (D) \(2\sqrt{2}\) गलत है क्योंकि वह गलत जोड़ से मिला हुआ परिणाम है; विकल्प (C) और (B) भी गलत हैं क्योंकि अलग‑अलग घातमूलों को सीधे जोड़कर \(\sqrt{10}\) या 10 नहीं बना सकते। परीक्षा टिप: समान प्रकार के घातमूल (like radicals) पहले पहचानें और फिर जोड़ें। / Since \(\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt{2}\), we have \(a=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\). Because \(\sqrt{2}\) is irrational and multiplying an irrational number by a nonzero rational (like 3) yields an irrational number, \(3\sqrt{2}\) is irrational. Option D (\(2\sqrt{2}\)) is the nearest distractor but is a wrong simplification; options C and B are incorrect because you cannot combine different radicals by placing them under one square root (\(\sqrt{2}+\sqrt{8}\neq\sqrt{10}\)) or obtain 10 by simple addition. Exam tip: always combine like radicals first and do not try to add under a single radical unless algebraically valid.
\(x^2=11\) है, इसलिए \(x^4=(x^2)^2=11^2=121\). अतः \(x^4-121=121-121=0\). विकल्प C (121) केवल \(x^4\) का मान है — प्रश्न में उससे 121 घट रहा है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-सुझाव: उच्च घातों को पहले \(x^2\) जैसा छोटा घात बनाकर सरल करें और फिर घटाव-जोड़ करें। / Since \(x^2=11\), we have \(x^4=(x^2)^2=11^2=121\). Therefore \(x^4-121=121-121=0\). Option C (121) is the value of \(x^4\) alone; the expression subtracts 121, so it cancels to 0. Exam tip: reduce higher powers stepwise (use \(x^2\) first) before substituting and simplifying.
\(\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1\), इसलिए योग \(2\sqrt{2}\) है। परीक्षा में हर का परिमेयकरण तेज तरीका है। / \(\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1\), so the sum is \(2\sqrt{2}\). Rationalising the denominator is a quick exam method.
मूल विचार: \(p(\sqrt{7}+1)= (\sqrt{7}+1)^2-7\) को स्पष्ट रूप से विस्तार करके हल करें। विस्तार करने पर \((\sqrt{7}+1)^2=(\sqrt{7})^2+2\cdot\sqrt{7}\cdot1+1^2=7+2\sqrt{7}+1\)। अब इससे 7 घटाने पर बचता है \(7+2\sqrt{7}+1-7=1+2\sqrt{7}\)। इसलिए सही उत्तर \(1+2\sqrt{7}\) है। निकटवर्ती धारणाएँ: विकल्प B (\(8+2\sqrt{7}\)) तब बनता है जब आप \((\sqrt{7}+1)^2\) तो सही पाते हैं पर बाद में \(-7\) घटाना भूल जाते हैं। विकल्प C (\(1\)) तब आता है जब द्वितीय पद \(2\sqrt{7}\) को नज़रअंदाज़ कर दिया जाए। विकल्प D (\(7+2\sqrt{7}\)) गलत है क्योंकि यह \((\sqrt{7}+1)^2\) से 1 घटाने जैसी त्रुटि दिखाती है। परीक्षा टिप: हमेशा \((a+b)^2\) को विस्तार कर के, सभी पदों को जोड़ें/घटाएँ — सटीक सरलीकरण सबसे जरूरी है। / Core idea: compute \(p(\sqrt{7}+1)=(\sqrt{7}+1)^2-7\) by expanding. \((\sqrt{7}+1)^2=(\sqrt{7})^2+2\cdot\sqrt{7}\cdot1+1^2=7+2\sqrt{7}+1\). Subtracting 7 gives \(7+2\sqrt{7}+1-7=1+2\sqrt{7}\). Thus the correct value is \(1+2\sqrt{7}\). Closest distractor: option B (\(8+2\sqrt{7}\)) arises from forgetting to subtract the final \(7\). Option C (\(1\)) ignores the surd term \(2\sqrt{7}\). Option D (\(7+2\sqrt{7}\)) reflects a mis-evaluation of the constant terms. Exam tip: always expand \((a+b)^2\) carefully and simplify each term step by step to avoid dropping surd or constant terms.
दो शून्यकों का योग है \((3+\sqrt{5})+(3-\sqrt{5})=3+3+\sqrt{5}-\sqrt{5}=6\)। संयुग्मी अपरिमेयों में वर्गमूल भाग एक दूसरे को रद्द कर देता है, इसलिए केवल परिमेय भागों का योग बचता है। नज़दीकी भ्रम (विकल्प D = 10) तब हो सकता है जब छात्र वर्गमूल भागों को गलत तरीके से जोड़कर या दोगुना करके गणना कर लें; वस्तुतः गुणनफल \((3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})=9-5=4\) होता है, जो अलग बात है। परीक्षा-सुझाव: संयुग्मी रूपों में हमेशा पहले परिमेय भागों को जोड़ें — वर्गमूल भाग आपस में कट जाते हैं। / Compute the sum: \((3+\sqrt{5})+(3-\sqrt{5})=3+3+\sqrt{5}-\sqrt{5}=6\). For conjugate irrational roots the radical parts cancel, leaving the sum of the rational parts. A common wrong choice (option D = 10) results from incorrectly adding or double-counting the radical terms; note that the product of the roots is \((3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})=9-5=4\), which is a different quantity. Exam tip: When roots are conjugates, add the rational parts first — the square-root terms cancel out.
(p\(\sqrt{2}\)=2-5\sqrt{2}+6=8-5\sqrt{2}), जो अपरिमेय है। परीक्षा में पहले प्रतिस्थापन करें फिर वर्गमूल को सरल करें। / (p\(\sqrt{2}\)=2-5\sqrt{2}+6=8-5\sqrt{2}), which is irrational. In exams substitute first and then simplify the radical.
यदि (x) परिमेय होता तो \(\sqrt{2}+x\) अपरिमेय होता। इसलिए (x) अपरिमेय होना चाहिए; परीक्षा में परिमेय और अपरिमेय के योग का नियम याद रखें। / If (x) were rational then \(\sqrt{2}+x\) would be irrational. So (x) must be irrational; remember the sum rule for rational and irrational numbers.
p(x)=x-2-18 के शून्यक x=�03\sqrt{2} और x=-3\sqrt{2} हैं। किसी द्विघात आव्यूह ax-2+bx+c के शून्यकों \\(\alpha,\beta\\) के लिए \\(\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}\\) और \\(\alpha\beta=\dfrac{c}{a}\\) होता है। यहाँ a=1, b=0, c=-18 अतः योग 0 और गुणनफल -18 होगा। सबसे नज़दीकी भ्रम (विकल्प B) तब होता है जब केवल \\(|\sqrt{18}|\\) को गुणा कर सकारात्मक 18 मान लिया जाए — परंतु चिह्नों का ध्यान रखना आवश्यक है। परीक्षा टिप: द्विघात में सीधे \\(-b/a\\) और \\(c/a\\) लागू कर लें। / The roots are \(3\sqrt{2}\) and \(-3\sqrt{2}\). For a quadratic \(ax^2+bx+c\) the sum of roots is \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\) and the product is \(\alpha\beta=\frac{c}{a}\). Here \(a=1, b=0, c=-18\), so sum = 0 and product = -18. The closest distractor (option B) mistakes the sign by treating the product as \(\sqrt{18}\cdot\sqrt{18}=18\) while ignoring that the roots have opposite signs. Exam tip: memorise and use \(-b/a\) and \(c/a\) to get sum and product quickly without finding the roots explicitly.
किसी द्विघात बहुपद \(ax^2+bx+c\) के शून्यकों का योग \(-b/a\) और गुणनफल \(c/a\) होता है। यहाँ \(a=1,\; b=-(3+\sqrt{2}),\; c=3\sqrt{2}\)। अतः शून्यकों का योग \(3+\sqrt{2}\) और गुणनफल \(3\sqrt{2}\) आता है। यह योग और गुणनफल केवल शून्यकों 3 और \(\sqrt{2}\) के साथ मेल खाते हैं, इसलिए शून्यक \(3\) तथा \(\sqrt{2}\) होंगे। निकटतम भ्रमित विकल्प \((3+\sqrt{2},0)\) गलत है क्योंकि उसका गुणनफल 0 होगा, जो \(3\sqrt{2}\) से मेल नहीं खाता। परीक्षा टिप: तुरंत योग और गुणनफल निकालकर संभावित युग्मों की जाँच करें या सीधे \((x-3)(x-\sqrt{2})\) के रूप में फैक्टर करके सत्यापित करें। / For a quadratic \(ax^2+bx+c\), the sum of roots is \(-b/a\) and the product is \(c/a\). Here \(a=1,\; b=-(3+\sqrt{2}),\; c=3\sqrt{2}\). So sum = \(3+\sqrt{2}\) and product = \(3\sqrt{2}\). These match the pair 3 and \(\sqrt{2}\), hence the zeros are 3 and \(\sqrt{2}\). The closest distractor \((3+\sqrt{2},0)\) is wrong because its product would be 0, not \(3\sqrt{2}\). Exam tip: verify roots quickly by checking sum and product or by factoring to \((x-3)(x-\sqrt{2})\).
\(\alpha+\beta=10\) और \(\alpha\beta=25-6=19\), इसलिए \(\alpha^2+\beta^2=100-38=62\)। पहचान (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) उपयोग करें। / \(\alpha+\beta=10\) and \(\alpha\beta=25-6=19\), so \(\alpha^2+\beta^2=100-38=62\). Use (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta).
A. दोनों अपरिमेय वास्तविक संख्याएँ/Both irrational real numbers
Explanation
Simple Explanation
क्वाड्रेटिक के लिए डिस्क्रिमिनेंट \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1, b=-7, c=5\) इसलिए \(D=(-7)^2-4\cdot1\cdot5=49-20=29\)। \(D>0\) है परन्तु \(29\) पूर्ण वर्ग नहीं है, अतः दो भिन्न वास्तविक शून्यक होंगे जो अपरिमेय होंगे (रूट्स \((7\pm\sqrt{29})/2\))। विकल्प B गलत है क्योंकि पूर्ण वर्ग नहीं होने पर शून्यक परिमेय नहीं होते; विकल्प D गलत है क्योंकि दोनों शून्यक के भागफल में समान irrationals आते हैं, अतः दोनों अपरिमेय ही होंगे। परीक्षा-सुझाव: किसी भी द्वघात समीकरण के शून्यकों के प्रकार के लिए पहले हमेशा डिस्क्रिमिनेंट की जाँच करें और देखें कि वह पूर्ण वर्ग है या नहीं। / For a quadratic, the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here \(a=1, b=-7, c=5\), so \(D=(-7)^2-4\cdot1\cdot5=49-20=29\). Since \(D>0\) and \(29\) is not a perfect square, the equation has two distinct real irrational roots: \((7\pm\sqrt{29})/2\). Option B is incorrect because a non-perfect-square discriminant does not yield rational roots; option D is incorrect because both roots contain \(\sqrt{29}\) and are therefore both irrational. Exam tip: compute the discriminant first — if positive and not a perfect square, expect two irrational real roots.
दोनों शून्यक का योग \((4+\sqrt{7})+(4-\sqrt{7})=8\) है और गुणनफल \((4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7})=16-7=9\) है. मोनिक द्विघात \(x^2+px+q\) में शून्यकों का योग \(-p\) होता है और गुणनफल \(q\) होता है. अतः \(-p=8\Rightarrow p=-8\) और \(q=9\). इसलिए विकल्प A सही है. विकल्प B गलत है क्योंकि वहाँ \(p\) का संकेत उल्टा दिया गया है; विकल्प C और D गलत हैं क्योंकि उनका गुणनफल \(q\) सही नहीं है. परीक्षा-सूत्र: मोनिक द्विघात के लिए "शून्यकों का योग = -p" और "गुणनफल = q" यानि सीधे \((x-\alpha)(x-\beta)\) का विस्तार करें. / The sum of the roots is \((4+\sqrt{7})+(4-\sqrt{7})=8\) and their product is \((4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7})=16-7=9\). For the monic quadratic \(x^2+px+q\), sum of roots = \(-p\) and product = \(q\). So \(-p=8\) gives \(p=-8\) and \(q=9\). Hence A is correct. Option B flips the sign of p, while C and D have the wrong product q. Exam tip: use sum = -p and product = q or expand \((x-\alpha)(x-\beta)\) to find coefficients quickly.
दो मूल हैं \\(1+\sqrt{10}\\) और \\(1-\sqrt{10}\\). इनका योग = \\((1+\sqrt{10})+(1-\sqrt{10})=2\\) और गुणनफल = \\((1+\sqrt{10})(1-\sqrt{10})=1-10=-9\\). मोनिक द्विघात बहुपद जो इन मूलों को देता है वह \\( (x-(1+\sqrt{10}))(x-(1-\sqrt{10}))=x^2-(\text{sum})x+\text{product}=x^2-2x-9\\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि उसके लिए रैखिक पद का लक्षण उल्टा होगा (योग \\(-2\\) मानने पर मिलता)। परीक्षा-टिप: किसी भी दो मूल \\(r_1,r_2\\) के लिए मोनिक बहुपद सीधे \\( (x-r_1)(x-r_2)\\) से बनाएं। / Roots are \\(1+\sqrt{10}\\) and \\(1-\sqrt{10}\\). Their sum is \\((1+\sqrt{10})+(1-\sqrt{10})=2\\) and product is \\((1+\sqrt{10})(1-\sqrt{10})=1-10=-9\\). The monic quadratic with these roots is \\( (x-(1+\sqrt{10}))(x-(1-\sqrt{10}))=x^2-(\text{sum})x+\text{product}=x^2-2x-9\\). Option B is a common distractor because it has the wrong sign for the linear term (would correspond to sum \\(-2\\)). Exam tip: form the polynomial as \\( (x-r_1)(x-r_2)\\) or use sum and product relations \\(r_1+r_2=-\tfrac{b}{a},\;r_1r_2=\tfrac{c}{a}\\).
किसी द्विघातीय बहुपद \(ax^2+bx+c\) में शून्यकों का गुणनफल \(\dfrac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=1\) और \(c=\sqrt{2}\) हैं, अतः गुणनफल \(\dfrac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2}\) होगा। विकल्प B (\(-\sqrt{2}\)) नकारात्मक है — पर चूंकि दोनों \(a\) और \(c\) धनात्मक हैं, गुणनफल धनात्मक होना चाहिए। परीक्षा-सुझाव: पहले हमेशा \(a, b, c\) पहचानें और फिर \(\frac{c}{a}\) व \(-\frac{b}{a}\) का उपयोग करें। / For a quadratic \(ax^2+bx+c\), the product of the zeroes equals \(\frac{c}{a}\). Here \(a=1\) and \(c=\sqrt{2}\), so the product is \(\frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2}\). Option B (\(-\sqrt{2}\)) is wrong because the signs of \(a\) and \(c\) are both positive, giving a positive product. Exam tip: always identify \(a,b,c\) first and use \(\frac{c}{a}\) for the product and \(-\frac{b}{a}\) for the sum of roots.
यह द्विघात बहुपद एक पूर्ण वर्ग है क्योंकि \(p(x)=(x+\sqrt{3})^2\)। अल्जेब्रिक रूप से विवरण के द्वारा: गुणनफल कराने पर \((x+\sqrt{3})^2=x^2+2\sqrt{3}x+3\) मिलता है, इसलिए केवल शून्यक \(x=-\sqrt{3}\) है और वह द्वैत्य (दोहराया) है। डिस्क्रिमिनेंट से भी पुष्टि होती है: \(\Delta=b^2-4ac=(2\sqrt{3})^2-4\cdot1\cdot3=12-12=0\), अतः एक पुनरावृत्त वास्तविक शून्यक। सबसे नज़दीकी विकल्प \(\sqrt{3}\) गलत है क्योंकि संकेत उल्टा होना चाहिए। परीक्षा-सुझाव: डिस्क्रिमिनेंट \(\Delta=0\) होने पर तुरंत समझें कि बहुपद का शून्यक पुनरावृत्त होगा। / The quadratic is a perfect square: \(p(x)=(x+\sqrt{3})^2\). Expanding gives \((x+\sqrt{3})^2=x^2+2\sqrt{3}x+3\), so the only root is \(x=-\sqrt{3}\) with multiplicity two. Using the discriminant: \(\Delta=(2\sqrt{3})^2-4\cdot1\cdot3=12-12=0\), confirming a repeated real root. The closest distractor \(\sqrt{3}\) is wrong due to the sign. Exam tip: if \(\Delta=0\) or you can complete the square, expect a double root and compute \(-b/2a\).
सामान्य द्विघात बहुपद \(ax^2+bx+c\) में शून्यकों (zeros) का गुणनफल \(\dfrac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=1\) और \(c=-2\) है, अतः गुणनफल \(\dfrac{-2}{1}=-2\) होगा। विकल्प B (2) गलत है क्योंकि उसने संकेत उल्टा लिया है; विकल्प C (-1) और D (4) भी संख्यात्मक रूप से गलत हैं। परिक्षा युक्ति: क्वांटिटी सीधे \(c/a\) से निकालें और संकेत पर खास ध्यान दें। / For a quadratic \(ax^2+bx+c\) the product of the zeroes equals \(\dfrac{c}{a}\). Here \(a=1\) and \(c=-2\), so the product is \(\dfrac{-2}{1}=-2\). Option B (2) is incorrect due to wrong sign; options C (-1) and D (4) are numerically incorrect. Exam tip: remember product = \(c/a\) and always check the sign of \(c\).
(\alpha\beta=\(\sqrt{3}+1\)\(\sqrt{3}-1\)=3-1=2) है। संयुग्मी गुणनफल से अपरिमेय भाग कट जाता है। / (\alpha\beta=\(\sqrt{3}+1\)\(\sqrt{3}-1\)=3-1=2). The irrational part cancels in conjugate multiplication.
शून्यक \(x=\pm\sqrt{2}\) हैं और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। परीक्षा में वर्गमूल वाले शून्यकों को सरल करके जाँचें। / The zeroes are \(x=\pm\sqrt{2}\), and \(\sqrt{2}\) is irrational. In exams, simplify square-root zeroes before deciding the type.
विकल्प A सही है। क्योंकि \(x^2=(\sqrt{7}+\sqrt{3})^2=7+3+2\sqrt{7}\sqrt{3}=10+2\sqrt{21}\)। अतः \(x^2-10=2\sqrt{21}\)। विकल्प B (0) गलत है — यह तब सही होता यदि क्रॉस-टर्म \(2\sqrt{21}\) गायब हो जिसे अक्सर भूलकर नजरअंदाज किया जाता है। विकल्प D (\(\sqrt{21}\)) भी गलत है क्योंकि क्रॉस-टर्म का पूरा मान \(2\sqrt{21}\) है न कि उसका आधा। परीक्षा सुझाव: वर्ग बढ़ाने से पहले द्विपद को सही‑से फैलाइए और क्रॉस‑टर्म को मत भूलिए। / Option A is correct. Compute \(x^2=(\sqrt{7}+\sqrt{3})^2=7+3+2\sqrt{7}\sqrt{3}=10+2\sqrt{21}\), so \(x^2-10=2\sqrt{21}\). Option B (0) is wrong — that would follow only if the cross term \(2\sqrt{21}\) were omitted. Option D (\(\sqrt{21}\)) is incorrect because the cross term equals \(2\sqrt{21}\), not its half. Exam tip: expand the square using \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) and always include the cross term when surds are involved.
यदि हम \(\sqrt{6}+2\) का वर्ग लें तो \((\sqrt{6}+2)^2=6+4+4\sqrt{6}=10+4\sqrt{6}\)। क्योंकि \(\sqrt{96}=\sqrt{16\cdot6}=4\sqrt{6}\), अतः \((\sqrt{6}+2)^2=10+\sqrt{96}\) और इसलिए \(\sqrt{10+\sqrt{96}}=\sqrt{6}+2\)। विकल्प B गलत है क्योंकि \((2-\sqrt{6})^2=10-\sqrt{96}\) होगा (क्रॉस-टर्म का चिह्न विपरीत)। विकल्प C का वर्ग \((\sqrt{8}+\sqrt{2})^2=8+2+2\sqrt{16}=18\) है, जो मेल नहीं खाता। विकल्प D स्पष्ट रूप से बहुत बड़ा है और उसका वर्ग मूल अभिव्यक्ति से मेल नहीं खाता। परीक्षण सुझाव: अगर अंदर का सदिश रूप \(a+2\sqrt{b}+b\) जैसा दिखे तो उसे \(\sqrt{b}+\sqrt{a}\) के रूप में परखें — क्रॉस-टर्म से मिलान करें। / Square \(\sqrt{6}+2\): \((\sqrt{6}+2)^2=6+4+4\sqrt{6}=10+4\sqrt{6}\). Since \(\sqrt{96}=4\sqrt{6}\), we get \((\sqrt{6}+2)^2=10+\sqrt{96}\), so \(\sqrt{10+\sqrt{96}}=\sqrt{6}+2\). Option B gives the wrong sign in the cross-term (\((2-\sqrt{6})^2=10-\sqrt{96}\)). Option C squares to 18, not the given expression. Option D is not equal to the required simplified value. Exam tip: look for representation \(\sqrt{m}+\sqrt{n}\) so that \((\sqrt{m}+\sqrt{n})^2=m+n+2\sqrt{mn}\) matches the given form; match the cross-term to identify m and n.
वर्ग करने पर \(x^2=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2=3+2+2\sqrt{6}=5+2\sqrt{6}\) प्राप्त होता है। इसलिए \(x^2-5=2\sqrt{6}\)। विकल्प C (\(4\sqrt{6}\)) गलत है — वहाँ बीच के पद का गुणन त्रुटिपूर्ण रूप से दोगुना कर दिया गया है; विकल्प D गलत संकेत देता है; विकल्प B (0) भी असंगत है क्योंकि रैडिकल शून्य नहीं होते। परीक्षा सुझाव: दो परस्पर वर्गघटक का वर्ग लेते समय बीच का पद हमेशा \(2ab\) होता है — इसे याद रखें। / Square the sum: \(x^2=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2=3+2+2\sqrt{6}=5+2\sqrt{6}\). Hence \(x^2-5=2\sqrt{6}\). Option C (\(4\sqrt{6}\)) is wrong because the middle term was doubled again; option D has the wrong sign; option B (0) is inconsistent since the radicals do not cancel. Exam tip: when expanding \((a+b)^2\), remember the middle term is \(2ab\).
\(\sqrt{99}\) लगभग 9.949874... है और \(\sqrt{100}=10\) है। 9.98 इन दोनों के बीच आता है क्योंकि \(9.98^2=99.6004\), जो 99 और 100 के बीच है। 9.98 एक सीमित दशमलव है इसलिए परिमेय (rational) है (संभवतः \(\frac{998}{100}\) के रूप में)। निकटतम भ्रामक विकल्प: 9.8 का वर्ग 96.04 है (कम है), 10.1 का वर्ग 102.01 है (बड़ा है), और \(\sqrt{101}\) स्वयं परिमेय नहीं और 10 से बड़ा है। परीक्षात्मक सुझाव: किसी संख्या के वर्ग से जांचें — यदि \(x^2\) 99 और 100 के बीच है तो \(x\) दोनों के बीच है। / \(\sqrt{99}\) ≈ 9.949874... and \(\sqrt{100}=10\). 9.98 lies between them because \(9.98^2=99.6004\), which is between 99 and 100. A finite decimal like 9.98 is rational (e.g. \(\frac{998}{100}\)). Why other choices fail: 9.8 is below \(\sqrt{99}\) (\(9.8^2=96.04\)), 10.1 is above 10 (\(10.1^2=102.01\)), and \(\sqrt{101}\) is irrational and greater than 10. Exam tip: to test if a number x lies between \(\sqrt{a}\) and \(\sqrt{b}\), compare \(x^2\) with a and b — this avoids decimal rounding errors.
