Squaring gives \(5+2\sqrt{6}\) so \(\sqrt{6}\) would be rational which is false.
Step 3
Exam Tip
Do not decide the sum of two different irrational numbers without reasoning. चरण 1: मान लें \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) परिमेय है। चरण 2: वर्ग करने पर \(5+2\sqrt{6}\) परिमेय होना चाहिए इसलिए \(\sqrt{6}\) परिमेय मिलेगा जो गलत है। चरण 3: दो अलग अपरिमेय संख्याओं के योग को सीधे परिमेय या अपरिमेय न मानें।
The square root of a positive integer is rational only when the integer is a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
For example \(\sqrt{25}=5\).
Step 3
Exam Tip
The square root of a prime number is usually irrational. चरण 1: धनात्मक पूर्णांक का वर्गमूल परिमेय तभी होता है जब वह पूर्ण वर्ग हो। चरण 2: जैसे \(\sqrt{25}=5\) परिमेय है। चरण 3: अभाज्य संख्या का वर्गमूल सामान्यतः अपरिमेय होता है।
\(\sqrt{2}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}\) and \(\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Do not choose the answer before simplifying square roots. चरण 1: सरल करें \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)। चरण 2: \(\sqrt{2}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}\) है और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूलों को सरल किए बिना उत्तर जल्दी न चुनें।
If \(a\sqrt{3}\) were rational then \(\sqrt{3}\) would also become rational which is false.
Step 3
Exam Tip
In exams always check the special case of multiplication by zero. चरण 1: (a) परिमेय और शून्य नहीं है। चरण 2: यदि \(a\sqrt{3}\) परिमेय मान लें तो \(\sqrt{3}\) भी परिमेय मिलेगा जो गलत है। चरण 3: परीक्षा में शून्य से गुणा वाले विशेष मामले को अलग याद रखें।
In cube-type questions, finding \(x+\frac{1}{x}\) first is the easier method. चरण 1: (\(\sqrt{6}+\sqrt{5}\)\(\sqrt{6}-\sqrt{5}\)=1), इसलिए \(\frac{1}{x}=\sqrt{6}-\sqrt{5}\)। चरण 2: \(x+\frac{1}{x}=2\sqrt{6}\), अतः (x-3+\frac{1}{x-3}=\(2\sqrt{6}\)3-3\(2\sqrt{6}\)=42\sqrt{6})। चरण 3: घन वाले प्रश्नों में पहले \(x+\frac{1}{x}\) निकालना आसान तरीका है।
\(a-b=2\sqrt{2}\) and \(a+b=2\sqrt{6}\), so the product is \(4\sqrt{12}=8\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
Identities make the solution quicker and cleaner. चरण 1: (a-2-b-2=(a-b)(a+b)) लगाएँ। चरण 2: \(a-b=2\sqrt{2}\) और \(a+b=2\sqrt{6}\), इसलिए गुणन \(4\sqrt{12}=8\sqrt{3}\) है। चरण 3: पहचान सूत्र से हल तेज और साफ होता है।
Multiply by \(\sqrt{10}+\sqrt{6}\) to rationalize the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
The numerator becomes (\(\sqrt{10}+\sqrt{6}\)2=16+2\sqrt{60}) and the denominator is (10-6=4), so the value is \(4+\sqrt{15}\).
Step 3
Exam Tip
In conjugate fractions, clear the denominator first. चरण 1: हर को परिमेय बनाने के लिए \(\sqrt{10}+\sqrt{6}\) से गुणा करें। चरण 2: ऊपर (\(\sqrt{10}+\sqrt{6}\)2=16+2\sqrt{60}) और नीचे (10-6=4) मिलता है, इसलिए मान \(4+\sqrt{15}\) है। चरण 3: संयुग्मी वाले भिन्नों में हर को पहले साफ करें।
First observe the common structure and take \(a=\sqrt{7}+\sqrt{5}\) and \(b=\sqrt{7}-\sqrt{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}\). Here \(a^2+b^2=24\) and (ab=2), so (x=12).
Step 3
Exam Tip
For fractions with conjugate surds, use substitution instead of expanding everything directly. चरण 1: पहले दोनों भिन्नों का साझा रूप देखें और \(a=\sqrt{7}+\sqrt{5}\) तथा \(b=\sqrt{7}-\sqrt{5}\) मानें। चरण 2: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}\) होगा। यहाँ \(a^2+b^2=24\) और (ab=2) इसलिए (x=12) है। चरण 3: संयुग्मी मूलों वाले भिन्नों में सीधे लंबा प्रसार करने के बजाय (a) और (b) रखकर हल करें।
\(\sqrt{11}\) is about (3.316), and \(2\sqrt{3}\) is about (3.464).
Step 2
Why this answer is correct
(3.4) lies between them.
Step 3
Exam Tip
For close values, estimating to two decimal places is helpful. चरण 1: \(\sqrt{11}\) लगभग (3.316) है और \(2\sqrt{3}\) लगभग (3.464) है। चरण 2: (3.4) इन दोनों के बीच है। चरण 3: निकट मानों की तुलना में दो दशमलव तक अनुमान काफी मदद करता है।
Its reciprocal \(\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}\) is also irrational.
Step 3
Exam Tip
Do not assume the reciprocal of a non-zero irrational surd is rational. चरण 1: \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) अपरिमेय है। चरण 2: इसका व्युत्क्रम \(\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}\) भी अपरिमेय है। चरण 3: अशून्य अपरिमेय मूल के व्युत्क्रम को परिमेय मानने की गलती न करें।
Question 41/80ExpertMathematicsChapter 1: Real Numbers5: Irrational numbersClass 10Level 13
यदि (a) और (b) धनात्मक पूर्णांक हैं तथा \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\) परिमेय है, जबकि (a) पूर्ण वर्ग नहीं है, तो (b) के बारे में कौन-सा निष्कर्ष निश्चित रूप से सही हो सकता है?
Since (a) is not a perfect square, \(\sqrt{a}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
A sum of two positive square roots could become rational only if irrational parts cancel, but both terms are positive here.
Step 3
Exam Tip
Without opposite signs, irrational surd parts remain in the sum. चरण 1: (a) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{a}\) अपरिमेय है। चरण 2: दो धनात्मक वर्गमूलों का योग परिमेय तभी हो सकता है जब अपरिमेय भाग कटे, पर यहाँ दोनों पद धनात्मक हैं इसलिए कटना संभव नहीं है। चरण 3: धनात्मक मूलों के योग में विपरीत चिह्न न होने पर अपरिमेय भाग बचता है।
A. \(12\sqrt{2}\), अपरिमेय/\(12\sqrt{2}\), irrational
Step 1
Concept
Use ((a+b)2-(a-b)2=4ab).
Step 2
Why this answer is correct
Here (a=3) and \(b=\sqrt{2}\), so \(A=4\times3\times\sqrt{2}=12\sqrt{2}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
In such questions, use the identity instead of expanding both squares fully. चरण 1: ((a+b)2-(a-b)2=4ab) का प्रयोग करें। चरण 2: यहाँ (a=3) और \(b=\sqrt{2}\) हैं, इसलिए \(A=4\times3\times\sqrt{2}=12\sqrt{2}\), जो अपरिमेय है। चरण 3: ऐसे प्रश्न में दोनों वर्गों को पूरा फैलाने के बजाय पहचान वाला सूत्र लगाएँ।
Since (m) is not a perfect square, \(\sqrt{m}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
(4) is rational, and adding it to an irrational number gives an irrational number.
Step 3
Exam Tip
Connect the non-perfect-square condition directly with the nature of the square root. चरण 1: (m) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{m}\) अपरिमेय है। चरण 2: (4) परिमेय है, और अपरिमेय में परिमेय जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय होता है। चरण 3: पूर्ण वर्ग न होने की जानकारी को सीधे वर्गमूल की प्रकृति से जोड़ें।
\(\sqrt{3}\) is about (1.732), and \(2\sqrt{3}\) is about (3.464).
Step 2
Why this answer is correct
(2) lies between these two values.
Step 3
Exam Tip
For comparison, you may use estimation or squaring. चरण 1: \(\sqrt{3}\) लगभग (1.732) है और \(2\sqrt{3}\) लगभग (3.464) है। चरण 2: (2) इन दोनों के बीच आता है। चरण 3: तुलना में अनुमान या वर्ग दोनों तरीकों का उपयोग कर सकते हैं।
\(3\sqrt{7}\) is irrational, and subtracting a rational number keeps it irrational.
Step 3
Exam Tip
A non-zero rational multiple of a surd remains irrational. चरण 1: \(3x-2=3\sqrt{7}-2\) है। चरण 2: \(3\sqrt{7}\) अपरिमेय है और उसमें से परिमेय संख्या घटाने पर परिणाम अपरिमेय रहता है। चरण 3: अशून्य परिमेय गुणक से गुणा करने पर मूल की अपरिमेयता बनी रहती है।
Multiplying by the conjugate removes the radical from the denominator. चरण 1: \(\frac{1}{2-\sqrt{3}}\) में हर का संयुग्मी \(2+\sqrt{3}\) है। चरण 2: \(\frac{1}{2-\sqrt{3}}\times\frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}\)। चरण 3: हर में संयुग्मी से गुणा करने पर मूल हट जाता है।
\(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) and \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{5}+3\sqrt{5}-2\sqrt{5}=2\sqrt{5}\).
Step 3
Exam Tip
In questions with many radicals, first convert all terms to like surds when possible. चरण 1: \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) और \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)। चरण 2: \(\sqrt{5}+3\sqrt{5}-2\sqrt{5}=2\sqrt{5}\)। चरण 3: कई मूलों वाले प्रश्न में पहले सभी पदों को समान मूल में बदलें।
\(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\) and \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
The difference is \(7\sqrt{2}-5\sqrt{2}=2\sqrt{2}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
For like surds, subtract only the coefficients. चरण 1: \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\) और \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\)। चरण 2: अंतर \(7\sqrt{2}-5\sqrt{2}=2\sqrt{2}\), जो अपरिमेय है। चरण 3: समान मूल वाले पदों में केवल गुणांक घटाएँ।
B. \(\sqrt{72}\) अपरिमेय है क्योंकि (72) पूर्ण वर्ग नहीं है/\(\sqrt{72}\) is irrational because (72) is not a perfect square
Step 1
Concept
The square root of a positive integer is rational only when the integer is a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
(72) is not a perfect square, so \(\sqrt{72}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Being even does not make a square root rational. चरण 1: धनात्मक पूर्णांक का वर्गमूल परिमेय तभी होता है जब वह पूर्ण वर्ग हो। चरण 2: (72) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{72}\) अपरिमेय है। चरण 3: सम संख्या होना वर्गमूल को परिमेय नहीं बनाता।
\(1.01001000100001\ldots\) is non-terminating and has no fixed repeating block.
Step 3
Exam Tip
To identify an irrational decimal, check both non-termination and non-repetition. चरण 1: सांत और आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। चरण 2: \(1.01001000100001\ldots\) असांत है और इसमें कोई स्थिर आवर्तन नहीं है। चरण 3: अपरिमेय दशमलव पहचानने के लिए असांत और अनावर्ती दोनों बातें देखें।
A. \(4\sqrt{2}\), अपरिमेय/\(4\sqrt{2}\), irrational
Step 1
Concept
\(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{2}+\sqrt{18}=\sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
For like surds, add only the outside coefficients. चरण 1: \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) होता है। चरण 2: \(\sqrt{2}+\sqrt{18}=\sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2}\), जो अपरिमेय है। चरण 3: समान मूल वाले पदों में केवल बाहर के गुणांक जोड़ें।
Dividing by a non-zero rational number is the same as multiplying by its reciprocal.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{1}{r}\) is also a non-zero rational number, so \(\frac{x}{r}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
In division questions, always check that the denominator is not zero. चरण 1: अशून्य परिमेय संख्या से भाग देना उसी के व्युत्क्रम से गुणा करने जैसा है। चरण 2: \(\frac{1}{r}\) भी अशून्य परिमेय है, इसलिए \(\frac{x}{r}\) अपरिमेय रहेगा। चरण 3: भाग वाले प्रश्न में हर के शून्य न होने की शर्त जरूर देखें।
A non-terminating decimal can still be rational if it is recurring.
Step 2
Why this answer is correct
In \(0.37373737\ldots\), the block (37) repeats, so it is rational.
Step 3
Exam Tip
Do not call a decimal irrational just because it is non-terminating; check for a repeating block. चरण 1: असांत दशमलव परिमेय भी हो सकता है, यदि उसमें आवर्तन हो। चरण 2: \(0.37373737\ldots\) में (37) बार-बार आ रहा है, इसलिए यह परिमेय है। चरण 3: असांत देखकर तुरंत अपरिमेय न मानें; आवर्ती भाग को ध्यान से पहचानें।
A. \(3\sqrt{11}\), अपरिमेय/\(3\sqrt{11}\), irrational
Step 1
Concept
\(\sqrt{44}=\sqrt{4\times11}=2\sqrt{11}\).
Step 2
Why this answer is correct
Hence \(x=\sqrt{11}+2\sqrt{11}=3\sqrt{11}\), and \(\sqrt{11}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
For like surds, add only the coefficients, not the numbers inside the roots. चरण 1: \(\sqrt{44}=\sqrt{4\times11}=2\sqrt{11}\) होता है। चरण 2: इसलिए \(x=\sqrt{11}+2\sqrt{11}=3\sqrt{11}\), और \(\sqrt{11}\) अपरिमेय है। चरण 3: समान मूल वाले पदों में केवल गुणांक जोड़ें, मूल के अंदर की संख्या नहीं।
A. \(3\sqrt{2}\), अपरिमेय/\(3\sqrt{2}\), irrational
Step 1
Concept
\(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{32}-\sqrt{2}=4\sqrt{2}-\sqrt{2}=3\sqrt{2}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
For like surds, subtract only the coefficients. चरण 1: \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\) है। चरण 2: \(\sqrt{32}-\sqrt{2}=4\sqrt{2}-\sqrt{2}=3\sqrt{2}\), जो अपरिमेय है। चरण 3: समान मूल वाले पदों में केवल गुणांक घटाएँ।
The sum of two irrational numbers can be rational.
Step 2
Why this answer is correct
For example, (\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0). Therefore, saying (a+b) is always irrational is false.
Step 3
Exam Tip
Be careful with universal statements about two irrational numbers. चरण 1: दो अपरिमेय संख्याओं का योग कभी परिमेय भी हो सकता है। चरण 2: उदाहरण (\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) है। इसलिए (a+b) हमेशा अपरिमेय कहना गलत है। चरण 3: दो अपरिमेय संख्याओं पर हमेशा वाले नियम बहुत सावधानी से लगाएँ।
\(0\times\sqrt{7}=0\), \(\sqrt{7}\times\sqrt{7}=7\), and \(\sqrt{28}\div\sqrt{7}=2\) are rational.
Step 2
Why this answer is correct
\(4\sqrt{7}\) is a non-zero rational multiple of an irrational number, so it is irrational.
Step 3
Exam Tip
Quickly identify multiplication by zero as rational. चरण 1: \(0\times\sqrt{7}=0\), \(\sqrt{7}\times\sqrt{7}=7\), और \(\sqrt{28}\div\sqrt{7}=2\) परिमेय हैं। चरण 2: \(4\sqrt{7}\) में अशून्य परिमेय गुणक और अपरिमेय मूल है, इसलिए यह अपरिमेय है। चरण 3: शून्य से गुणा वाले विकल्प को जल्दी परिमेय पहचानें।
B. यह \(2\sqrt{3}\) के बराबर है और अपरिमेय है/It is equal to \(2\sqrt{3}\) and irrational
Step 1
Concept
\(12=4\times3\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), and \(\sqrt{3}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
After simplification, if a non-square remains inside the root, the number stays irrational. चरण 1: \(12=4\times3\) है। चरण 2: \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), और \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। चरण 3: मूल को सरल करने के बाद भी अंदर पूर्ण वर्ग न बचे तो संख्या अपरिमेय रहती है।
\(2\sqrt{6}\) can be written as \(\sqrt{4}\sqrt{6}\).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore \(2\sqrt{6}=\sqrt{24}\).
Step 3
Exam Tip
When moving a coefficient inside a square root, square the coefficient. चरण 1: \(2\sqrt{6}=\sqrt{4}\sqrt{6}\) लिखा जा सकता है। चरण 2: इसलिए \(2\sqrt{6}=\sqrt{24}\) है। चरण 3: गुणांक को मूल के अंदर ले जाते समय उसका वर्ग अंदर जाता है।
A. \(\sqrt{7}\) परिमेय होगा/\(\sqrt{7}\) would be rational
Step 1
Concept
Assume \(2+\sqrt{7}\) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
Then (\sqrt{7}=\(2+\sqrt{7}\)-2) would be rational, but \(\sqrt{7}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In contradiction proofs, isolate the surd using rational operations. चरण 1: मान लें \(2+\sqrt{7}\) परिमेय है। चरण 2: तब (\sqrt{7}=\(2+\sqrt{7}\)-2) परिमेय होगा, जबकि \(\sqrt{7}\) अपरिमेय है। चरण 3: विरोध सिद्ध करने में ज्ञात परिमेय संख्या को घटाकर मूल को अलग करें।
