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हर को \(2+\sqrt{3}\) से गुणा करने पर हर (4-3=1) हो जाता है। परीक्षा में conjugate से numerator और denominator दोनों को गुणा करें। / Multiplying by \(2+\sqrt{3}\) makes the denominator (4-3=1). In exams, multiply both numerator and denominator by the conjugate.
A. \(\frac{1}{5+\sqrt{2}}\) के लिए \(5-\sqrt{2}\)/For \(\frac{1}{5+\sqrt{2}}\) use \(5-\sqrt{2}\)
Explanation
Simple Explanation
\(5+\sqrt{2}\) का संयुग्मी \(5-\sqrt{2}\) है। परीक्षा में बीच का चिन्ह बदलना ही संयुग्मी बनाने की मुख्य बात है। / The conjugate of \(5+\sqrt{2}\) is \(5-\sqrt{2}\). In exams changing the middle sign is the key idea of a conjugate.
उलटा लेने के लिए हर और हर के चीन को संवत्सरित (rationalize) करना होता है। \(\frac{1}{x}=\frac{1}{4-\sqrt{15}}\) को गुणा-भाग करके उसके सह-आधार (conjugate) \(4+\sqrt{15}\) से गुणा करें: \(\frac{1}{4-\sqrt{15}}=\frac{4+\sqrt{15}}{(4-\sqrt{15})(4+\sqrt{15})}=\frac{4+\sqrt{15}}{4^2-(\sqrt{15})^2}=\frac{4+\sqrt{15}}{16-15}=4+\sqrt{15}\). इसलिए सही उत्तर \(4+\sqrt{15}\) है। विकल्प C इसलिए गलत है क्योंकि वहाँ हर के हर में गलती से हर का हर जोड़कर \(16+15=31\) कर दिया गया — सही तरीका है घटाव \(a^2-b^2\)। विकल्प B मूल संख्या ही है, अंतरण नहीं। परीक्षात्मक टिप: द्विघात-रूप में राशियों का व्युत्क्रम लेने के लिए संयोगिक सह-आधार से गुणा करें और हर को \(a^2-b^2\) से सरल करें। / Take reciprocal by rationalizing denominator using the conjugate. \(\dfrac{1}{4-\sqrt{15}}=\dfrac{4+\sqrt{15}}{(4-\sqrt{15})(4+\sqrt{15})}=\dfrac{4+\sqrt{15}}{4^2-(\sqrt{15})^2}=\dfrac{4+\sqrt{15}}{16-15}=4+\sqrt{15}\). Thus the reciprocal is \(4+\sqrt{15}\). Option C is a common arithmetic error where someone adds squares to get \(31\) (i.e. uses \(16+15\)) instead of using the difference \(a^2-b^2\). Option B is just the original number, not its reciprocal. Exam tip: multiply numerator and denominator by the conjugate and use \(a^2-b^2\) to simplify quickly.
हर का संयुग्मी \(\sqrt{7}-\sqrt{6}\) है और हर (7-6=1) बनता है। परीक्षा में अंतर (1) होने पर उत्तर सरल हो जाता है। / The conjugate of the denominator is \(\sqrt{7}-\sqrt{6}\), and the denominator becomes (7-6=1). In exams the answer simplifies when the difference is (1).
\(\frac{1}{\sqrt{5}-2}\times\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2}=\frac{\sqrt{5}+2}{5-4}=\sqrt{5}+2\) है। परीक्षा में हर का परिमेयकरण करें। / \(\frac{1}{\sqrt{5}-2}\times\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2}=\frac{\sqrt{5}+2}{5-4}=\sqrt{5}+2\). Rationalise the denominator in exams.
क्योंकि (\(3+\sqrt{8}\)\(3-\sqrt{8}\)=9-8=1), इसलिए व्युत्क्रम \(3-\sqrt{8}\) है। परीक्षा में गुणनफल (1) होने पर व्युत्क्रम तुरंत मिल जाता है। / Because (\(3+\sqrt{8}\)\(3-\sqrt{8}\)=9-8=1), the reciprocal is \(3-\sqrt{8}\). If the product is (1), the reciprocal is immediate.
शून्यकों का योग (2) है, इसलिए दूसरा शून्यक (2-\(1+\sqrt{3}\)=1-\sqrt{3}) है। परिमेय गुणांकों में संयुग्मी भी मिलता है। / The sum of zeroes is (2), so the other zero is (2-\(1+\sqrt{3}\)=1-\sqrt{3}). With rational coefficients, the conjugate also appears.
(\alpha\beta=\(\sqrt{3}+1\)\(\sqrt{3}-1\)=3-1=2) है। संयुग्मी गुणनफल से अपरिमेय भाग कट जाता है। / (\alpha\beta=\(\sqrt{3}+1\)\(\sqrt{3}-1\)=3-1=2). The irrational part cancels in conjugate multiplication.
हर का संयुग्मी \(5+\sqrt{6}\) है और हर (25-6=19) बनता है। इसलिए पहला विकल्प सही है। / The conjugate of the denominator is \(5+\sqrt{6}\), and the denominator becomes (25-6=19). Hence the first option is correct.
दो द्विघात सदिशों का गुणन अंतर वर्ग के सूत्र से किया जा सकता है: \((\sqrt{7}+\sqrt{2})(\sqrt{7}-\sqrt{2})= (\sqrt{7})^2-(\sqrt{2})^2=7-2=5\)। इसलिए सही उत्तर 5 है। निकटभ्रांत उत्तर \(9\) इसलिए गलत है क्योंकि \(9\) \(7+2\) का योग है — यह कटौरे का वर्गों का योग है, न कि दोनोन का गुणन। \(\sqrt{14}\) गलत है क्योंकि \(\sqrt{7}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{14}\) सही है पर वह केवल व्यक्तिगत गुणन के लिए है, पूरे अभिव्यंजक के गुणन के लिए नहीं। परीक्षा सुझाव: संगत जोड़-घटाव में कॉन्जुगेट ढूँढें और सीधे अंतर-चौकोर \(x^2-y^2\) का उपयोग करें; इससे शीघ्र और शुद्ध उत्तर मिलता है। / Multiply the conjugates using the difference of squares: \((\sqrt{7}+\sqrt{2})(\sqrt{7}-\sqrt{2})=(\sqrt{7})^2-(\sqrt{2})^2=7-2=5\). Hence the value is 5. The closest distractor 9 is wrong because it is the sum \(7+2\), i.e. sums of squares, not the product of conjugates. \(\sqrt{14}\) is incorrect since \(\sqrt{7}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{14}\) holds for the product of the individual radicals, but not for the product of the summed expressions. \(9+2\sqrt{14}\) is the expansion of \((\sqrt{7}+\sqrt{2})^2\), not the product with its conjugate. Exam tip: spot conjugate pairs and apply \(x^2-y^2\) to avoid extra algebraic expansion.
हर के संयुग्मी से गुणा करने पर हर (1) बनता है। अंश (\(\sqrt{3}+\sqrt{2}\)2=5+2\sqrt{6}) है। / Multiplying by the conjugate makes the denominator (1). The numerator is (\(\sqrt{3}+\sqrt{2}\)2=5+2\sqrt{6}).
(x) का संयुग्मी \(2-\sqrt{3}\) है और योग (4), गुणनफल (1) है। इसलिए समीकरण \(x^2-4x+1=0\) है। / The conjugate is \(2-\sqrt{3}\), with sum (4) and product (1). Hence the equation is \(x^2-4x+1=0\).
संयुग्मी से गुणा करने पर हर (5-2=3) हो जाता है। इसलिए परिमेय हर वाला रूप \(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}\) है। / Multiplying by the conjugate makes the denominator (5-2=3). So the rationalized form is \(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}\).
अंतर वर्ग सूत्र से मान (13-12=1) है। संयुग्मी जोड़े का गुणन अक्सर परिमेय देता है। / By difference of squares the value is (13-12=1). Product of conjugate pairs often gives a rational number.
पहला कदम हर का परिमेय रूप निकालना है। \(\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\) को अभिन्न करने के लिए ऊपरी और निचले भाग को उसके सहगुणक \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) से गुणा करें:
\(\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}\).
अब जोड़ें: \(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{2}=2\sqrt{3}\). इसलिए सरल रूप \(2\sqrt{3}\) है।
निकटभ्रामक विकल्पों की जाँच: विकल्प C वही \(r\) है (यह केवल पहला सदस्य है), विकल्प D वास्तव में \(1/r\) है और विकल्प B गलत जोड़-ग्रामित मान है। परीक्षात्मक सुझाव: हर बार जब हर में सार्थक वर्गमूल हों तो सहगुणक से गुणा कर निचले भाग को परिमेय बनाइए। / Rationalize the denominator to find the reciprocal.
\(\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}\).
Add to \(r\): \(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{2}=2\sqrt{3}\). Hence the simplified result is \(2\sqrt{3}\).
Why other options are wrong: option C is just \(r\) (not the sum), option D equals \(1/r\), and option B is an incorrect arithmetic result. Exam tip: use conjugates to rationalize denominators whenever square roots appear in the denominator.
पहला गुणनफल (25-6=19) है और \(\sqrt{24}=2\sqrt{6}\) अपरिमेय है। परिमेय और अपरिमेय का योग अपरिमेय होता है। / The first product is (25-6=19) and \(\sqrt{24}=2\sqrt{6}\) is irrational. A rational plus an irrational is irrational.
क्योंकि (\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)=1), इसलिए व्युत्क्रम \(2-\sqrt{3}\) है। संयुग्मी को पहचानना तेज तरीका है। / Since (\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)=1), the reciprocal is \(2-\sqrt{3}\). Recognizing conjugates is a fast method.
हर का संयुग्मी \(3-\sqrt{5}\) है और हर (9-5=4) बनता है। परिमेयकरण में संयुग्मी से गुणा करें। / The conjugate of the denominator is \(3-\sqrt{5}\) and the denominator becomes (9-5=4). Multiply by the conjugate to rationalize.
दोनों वर्ग जोड़ने पर जड़ वाले पद कट जाते हैं और (32) मिलता है। संयुग्मी संख्याओं में कटने वाले पद पहचानें। / On adding the two squares the radical terms cancel and the result is (32). Identify cancelling terms in conjugates.
संयुग्मी गुणन से (pq=72-\(\sqrt{11}\)2=49-11=38) मिलता है। ऐसे प्रश्नों में \(a^2-b^2\) लगाएँ। / Conjugate multiplication gives (pq=72-\(\sqrt{11}\)2=49-11=38). Use \(a^2-b^2\) in such questions.
यह अंतर वर्ग सूत्र है और मान (15-6=9) मिलता है। संयुग्मी गुणन में अपरिमेय भाग हट जाता है। / This is the difference of squares formula and the value is (15-6=9). In conjugate multiplication the irrational part cancels.
यह एक अंतर-घनफल (difference of squares) है: यदि a=\sqrt{10}, b=\sqrt{5} तो (a+b)(a-b)=a-2-b-2. यहाँ a-2=10 और b-2=5, अतः मान 10-5=5 होगा। विकल्प C \(\sqrt{50}\) भ्रमित कर सकता है क्योंकि \sqrt{50}=5\sqrt{2} जो 5 के बराबर नहीं है; विकल्प B (1) और D (15) भी गलत हैं — 1 संभवतः भागफल की गलती से आ सकता है और 15 जोड़ के परिणाम के समान है। परीक्षा टिप: ऐसे अभिव्यक्तियों में सीधे (a+b)(a-b)=a-2-b-2 पहचानें और फिर मात्र वर्गों की गणना करें। / This is a difference-of-squares: let a=\sqrt{10}, b=\sqrt{5}. Then (a+b)(a-b)=a-2-b-2. Here a-2=10 and b-2=5, so the value is 10-5=5. Option C \(\sqrt{50}\) is incorrect because \sqrt{50}=5\sqrt{2}, not 5; option B (1) and D (15) are also wrong — 1 could come from an erroneous division and 15 from adding 10 and 5. Exam tip: Recognise and apply (a+b)(a-b)=a-2-b-2 to simplify quickly without expanding radicals.
योग में जड़ वाले पद कटते हैं और गुणनफल (9-8=1) है। संयुग्मी संख्याओं में यह तरीका तेज है। / The radical terms cancel in the sum and the product is (9-8=1). This method is quick for conjugates.
गुणन के लिए समास \\( (a+b)(a-b)=a^2-b^2 )\\ का प्रयोग करें। यहाँ a=2 और b=\sqrt{5} है, अतः \\(\(2+\sqrt{5}\)\(2-\sqrt{5}\)=22-\(\sqrt{5}\)2=4-5=-1)\\। विकल्प B (1) तब गलत होगा जब साइन भूल जाएँ (4+5=9 और उसके बाद गलत सरलीकरण), और विकल्प D सीधे रूप में अपरिमेय भाग हटाने के बाद ही सही नहीं बैठता। परीक्षा टिप: किसी भी संयुग्म जोड़े का गुणन करते समय तुरंत \\(a^2-b^2)\\ की विधि याद रखें — इससे अपरिमेय भाग स्वतः हट जाता है। / Use the identity (a+b)(a-b)=a^2-b^2. Here a=2 and b=\sqrt{5}, so \(2+\sqrt{5}\)\(2-\sqrt{5}\)=22-\(\sqrt{5}\)2=4-5=-1. Option B (1) is a common sign-error distractor; option D \(4-\sqrt{5}\) still contains the irrational part and is not the simplified product. Exam tip: recognize conjugate pairs and apply a-2-b-2 to eliminate the surd quickly.
यह एक सामान्य संमिलित व्यंजक (conjugate) है — सूत्र \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) लागू होता है। यहाँ \(a=\sqrt{5},\; b=\sqrt{2}\) इसलिए मान \(a^2-b^2=5-2=3\) होगा। विकल्प C \(\sqrt{10}\) उस गलत धारणा से आता है कि \(\sqrt{5}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{10}\) है, पर पूरा व्यंजक गुणा करने पर बीच के पद नामरहित हो जाते हैं और परिणाम संख्या 3 आती है। विकल्प B (\(-3\)) केवल साइन की त्रुटि है। परीक्षा-सूत्र: नेगेटिव और पॉजिटिव साइन का ध्यान रखें और समकक्ष (conjugate) पहचानते ही \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) लागू कर दें। / This is a product of conjugates — use the identity \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). With \(a=\sqrt{5}\) and \(b=\sqrt{2}\) we get \(a^2-b^2=5-2=3\). Option C (\(\sqrt{10}\)) confuses the product of the radicals \(\sqrt{5}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{10}\) with the whole conjugate product; the middle terms cancel in the conjugate product, so the result is the rational number 3. Option B (\(-3\)) is a sign error. Exam tip: spot conjugates quickly and apply \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) to avoid expanding term-by-term.
यह एक भिन्न-योग और भिन्न-घटक का गुणन है जहाँ पहचान \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) लागू होती है। यहाँ \(a=\sqrt{13},\; b=\sqrt{3}\), अतः मान \(13-3=10\) होगा। विकल्प C \(\sqrt{39}\) इस वजह से गलत है कि \(\sqrt{13}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{39}\) सही है, पर पूरा व्यंजक भिन्न-घनफल नहीं केवल दोनों मूलों का गुणन है। परीक्षा टिप: ऐसे देख कर तुरंत difference of squares पहचानें और वर्ग निकालकर घटा दें। / Use the identity \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\). With \(a=\sqrt{13}\) and \(b=\sqrt{3}\) we get \(13-3=10\), so the value is 10. Option C (\(\sqrt{39}\)) confuses the product of the individual square roots with the whole conjugate product; \(\sqrt{13}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{39}\) is not equal to \((\sqrt{13}-\sqrt{3})(\sqrt{13}+\sqrt{3})\). Exam tip: spot the conjugate pair and apply the difference-of-squares formula to simplify quickly.
संयुग्मी गुणन से (42-\(\sqrt{7}\)2=16-7=9) मिलता है। ऐसे प्रश्नों में अंतर वर्ग सूत्र लगाएँ। / Conjugate multiplication gives (42-\(\sqrt{7}\)2=16-7=9). Use the difference of squares formula in such questions.
योग में जड़ वाले पद कटते हैं और गुणनफल (4-3=1) है। संयुग्मी संख्याओं में यह तरीका तेज है। / The radical terms cancel in the sum and the product is (4-3=1). This method is quick for conjugates.
समतुल्य (conjugate) गुणन के रूप में \\(1+\sqrt{7})\(1-\sqrt{7}\)\\ को गुणा करने पर सूत्र \\(a+b)(a-b)=a^2-b^2\\ लागू होता है। यहाँ a=1 और b=\sqrt{7} है, अतः \\(1+\sqrt{7})\(1-\sqrt{7}\)=12-\(\sqrt{7}\)2=1-7=-6\\। विकल्प B (6) साइन की ग़लती है; विकल्प C (0) और D (-8) प्रारम्भिक गणना में त्रुटि को दर्शाते हैं। परीक्षा-सूचना: संयुग्मों के गुणन के लिए हमेशा \\(a+b)(a-b)=a^2-b^2\\ याद रखें। / Multiply as conjugates using the identity \\(a+b)(a-b)=a^2-b^2\\. With a=1 and b=\sqrt{7} we get \\(1+\sqrt{7})\(1-\sqrt{7}\)=12-\(\sqrt{7}\)2=1-7=-6\\. Option B (6) is a sign error; C (0) and D (-8) are results of arithmetic mistakes. Exam tip: for conjugate pairs use the difference of squares formula directly to avoid algebraic expansion errors.
यह एक सहगुणक जोड़ी है और सूत्र \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) लागू होता है। यहाँ \(a=\sqrt{11}\) और \(b=2\)। अतः मान \((\sqrt{11})^2-2^2=11-4=7\) होगा। विकल्प B (15) त्रुटि इसलिए कि कोई विद्यार्थी जोड़ कर \(11+4\) कर सकता है, पर यहाँ घटाव होता है। परीक्षा-सुझाव: सहगुणक पहचानते समय तुरंत \(a^2-b^2\) रूप पर ले आएं और ग़लत रूपांतर (जैसे वर्ग या जोड़) से सावधान रहें। / This is a product of conjugates; use the identity \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). With \(a=\sqrt{11}\) and \(b=2\), we get \((\sqrt{11})^2-2^2=11-4=7\). Option B (15) is a common mistake from adding 11 and 4 instead of subtracting. Exam tip: recognize conjugates quickly and apply \(a^2-b^2\) to avoid expanding unnecessarily.
