(\(\sqrt{6}+\sqrt{2}\)\(\sqrt{6}-\sqrt{2}\)=6-2=4), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Identifying conjugates helps remove radicals quickly. चरण 1: पहला विकल्प संयुग्मी पदों का गुणनफल है। चरण 2: (\(\sqrt{6}+\sqrt{2}\)\(\sqrt{6}-\sqrt{2}\)=6-2=4), जो परिमेय है। चरण 3: संयुग्मी पद पहचानने से वर्गमूल जल्दी हट जाते हैं।
\(\sqrt{3}\sqrt{12}=\sqrt{36}=6\), so the sum is (10).
Step 3
Exam Tip
In products combine radicals and check for perfect squares. चरण 1: \(\sqrt{2}\sqrt{8}=\sqrt{16}=4\)। चरण 2: \(\sqrt{3}\sqrt{12}=\sqrt{36}=6\) इसलिए योग (10) है। चरण 3: गुणनफल में वर्गमूलों को मिलाकर पूर्ण वर्ग देखें।
In the sum of squares of conjugates, irrational terms cancel. चरण 1: (x) और (y) संयुग्मी हैं। चरण 2: (x-2+y-2=2\(4^2+15\)=2(31)=62)। चरण 3: संयुग्मी वर्गों के योग में अपरिमेय पद कट जाते हैं।
Write \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
The numerator is \(5\sqrt{3}\), so \(\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=5\).
Step 3
Exam Tip
Combine like surds before division. चरण 1: \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) और \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) लिखें। चरण 2: ऊपर का योग \(5\sqrt{3}\) है, इसलिए \(\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=5\)। चरण 3: भाग से पहले समान मूल वाले पदों को जोड़ें।
Write \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) and \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{5}+2\sqrt{5}-3\sqrt{5}=0\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Terms that look irrational may cancel to give a rational result. चरण 1: \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) और \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) लिखें। चरण 2: \(\sqrt{5}+2\sqrt{5}-3\sqrt{5}=0\), जो परिमेय है। चरण 3: अपरिमेय दिखने वाले पद कटकर परिमेय उत्तर दे सकते हैं।
\(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) and \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
The numerator becomes \(5\sqrt{5}\), so \(\frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=5\).
Step 3
Exam Tip
Before division, convert the numerator surds into like terms. चरण 1: \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) और \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) हैं। चरण 2: ऊपर का योग \(5\sqrt{5}\) है, इसलिए \(\frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=5\)। चरण 3: भाग से पहले ऊपर के मूलों को समान रूप में बदलें।
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so (x) and \(y=-2\sqrt{2}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is \(2\sqrt{2}-2\sqrt{2}=0\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Opposite irrational terms can give a rational sum. चरण 1: \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), इसलिए (x) और \(y=-2\sqrt{2}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका योग \(2\sqrt{2}-2\sqrt{2}=0\), जो परिमेय है। चरण 3: विपरीत अपरिमेय पदों के योग से परिमेय उत्तर मिल सकता है।
In division, simplifying the radicals together is a quick method. चरण 1: \(\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{27}{3}}\) लिखा जा सकता है। चरण 2: यह \(\sqrt{9}=3\) है, जो परिमेय है। चरण 3: भाग में मूलों को एक साथ सरल करना जल्दी तरीका है।
B. \(\sqrt{12}\) और \(\sqrt{3}\)/\(\sqrt{12}\) and \(\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\sqrt{3}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=\sqrt{4}=2\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
In quotients, check whether the value inside the root becomes a perfect square. चरण 1: \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) और \(\sqrt{3}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: \(\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=\sqrt{4}=2\), जो परिमेय है। चरण 3: भागफल में मूल के अंदर का भाग पूर्ण वर्ग बन रहा है या नहीं, यह देखें।
(x-\sqrt{3}=\(\sqrt{3}+2\)-\sqrt{3}=2), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Like irrational terms may cancel, so decide the nature only after simplifying. चरण 1: दिए गए (x) का मान रखें। चरण 2: (x-\sqrt{3}=\(\sqrt{3}+2\)-\sqrt{3}=2), जो परिमेय है। चरण 3: समान अपरिमेय पद कट सकते हैं, इसलिए सरल करने के बाद ही प्रकृति तय करें।
In conjugate multiplication, directly use the difference of squares. चरण 1: यह ((a-b)(a+b)=a-2-b-2) का रूप है। चरण 2: (\(\sqrt{13}\)2-\(\sqrt{5}\)2=13-5=8)। चरण 3: संयुग्म गुणन में वर्गों का अंतर सीधे लगाएं।
In multiplication, multiply the inside numbers and check for a perfect square. चरण 1: \(\sqrt{63}\times\sqrt{112}=\sqrt{7056}\)। चरण 2: \(\sqrt{7056}=84\), इसलिए परिणाम परिमेय है। चरण 3: गुणन में अंदर की संख्याओं को गुणा करके पूर्ण वर्ग जांचें।
\(\sqrt{17}\) and \(\sqrt{17}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their difference is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
The difference of equal irrational terms can be rational. चरण 1: \(\sqrt{17}\) और \(\sqrt{17}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका अंतर (0) है, जो परिमेय है। चरण 3: समान अपरिमेय पदों का अंतर परिमेय हो सकता है।
Using difference of squares, (\(\sqrt{5}\)2-32=5-9=-4).
Step 3
Exam Tip
Recognising conjugate form makes the calculation shorter. चरण 1: (ab=\(\sqrt{5}+3\)\(\sqrt{5}-3\)) है। चरण 2: वर्गों के अंतर से (\(\sqrt{5}\)2-32=5-9=-4)। चरण 3: संयुग्म रूप पहचानकर गणना छोटी हो जाती है।
In conjugate multiplication, directly use the difference of squares. चरण 1: यह ((a+b)(a-b)=a-2-b-2) का रूप है। चरण 2: (42-\(\sqrt{7}\)2=16-7=9)। चरण 3: संयुग्म गुणन में वर्गों का अंतर सीधे लगाएं।
\(\sqrt{11}\) and \(-\sqrt{11}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Opposite irrational terms can give a rational sum. चरण 1: \(\sqrt{11}\) और \(-\sqrt{11}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका योग (0) है, जो परिमेय है। चरण 3: विपरीत अपरिमेय पदों का योग परिमेय हो सकता है।
Multiplying a square root by itself gives the number inside.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{k}\times\sqrt{k}=k\), which is rational if (k) is an integer.
Step 3
Exam Tip
The square of an irrational square root can be rational. चरण 1: किसी वर्गमूल को उसी वर्गमूल से गुणा करने पर अंदर की संख्या मिलती है। चरण 2: \(\sqrt{k}\times\sqrt{k}=k\), जो पूर्णांक होने पर परिमेय होता है। चरण 3: अपरिमेय वर्गमूल का वर्ग परिमेय परिणाम दे सकता है।
In conjugate multiplication, directly use the difference of squares. चरण 1: यह ((a-b)(a+b)=a-2-b-2) का रूप है। चरण 2: (\(\sqrt{11}\)2-\(\sqrt{2}\)2=11-2=9)। चरण 3: संयुग्म गुणन में वर्गों का अंतर सीधे लगाएं।
In multiplication, multiply the inside numbers and check for a perfect square. चरण 1: \(\sqrt{48}\times\sqrt{75}=\sqrt{3600}\)। चरण 2: \(\sqrt{3600}=60\), इसलिए परिणाम परिमेय है। चरण 3: गुणन में अंदर की संख्याओं को गुणा करके पूर्ण वर्ग जांचें।
\(\sqrt{7}\) and \(\sqrt{7}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their difference is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
The difference of equal irrational terms can be rational. चरण 1: \(\sqrt{7}\) और \(\sqrt{7}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका अंतर (0) है, जो परिमेय है। चरण 3: समान अपरिमेय पदों का अंतर परिमेय हो सकता है।
Using difference of squares, (\(\sqrt{3}\)2-22=3-4=-1).
Step 3
Exam Tip
Recognising conjugate form makes the calculation shorter. चरण 1: (ab=\(\sqrt{3}+2\)\(\sqrt{3}-2\)) है। चरण 2: वर्गों के अंतर से (\(\sqrt{3}\)2-22=3-4=-1)। चरण 3: संयुग्म रूप पहचानकर गणना छोटी हो जाती है।
In conjugate multiplication, directly use difference of squares. चरण 1: यह ((a+b)(a-b)=a-2-b-2) का रूप है। चरण 2: (32-\(\sqrt{5}\)2=9-5=4)। चरण 3: संयुग्म गुणन में वर्गों का अंतर सीधे लगाएं।
\(\sqrt{5}\) and \(-\sqrt{5}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Opposite irrational terms can give a rational sum. चरण 1: \(\sqrt{5}\) और \(-\sqrt{5}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका योग (0) है, जो परिमेय है। चरण 3: विपरीत अपरिमेय पदों का योग परिमेय हो सकता है।
(\(\sqrt{b}\)2=b), and if (b) is an integer, it is rational.
Step 3
Exam Tip
The square of an irrational square root can give a rational result. चरण 1: वर्गमूल का वर्ग करने पर अंदर की संख्या मिलती है। चरण 2: (\(\sqrt{b}\)2=b), और (b) पूर्णांक हो तो परिमेय होता है। चरण 3: अपरिमेय वर्गमूल का वर्ग परिमेय परिणाम दे सकता है।
In conjugate multiplication, directly use the difference of squares. चरण 1: यह ((a-b)(a+b)=a-2-b-2) का रूप है। चरण 2: (\(\sqrt{7}\)2-\(\sqrt{3}\)2=7-3=4)। चरण 3: संयुग्म गुणन में सीधे वर्गों का अंतर लगाएं।
When multiplying, multiply inside numbers and check for a perfect square. चरण 1: \(\sqrt{27}\times\sqrt{12}=\sqrt{324}\)। चरण 2: \(\sqrt{324}=18\), इसलिए परिणाम परिमेय है। चरण 3: गुणन करते समय अंदर की संख्याएँ गुणा करके पूर्ण वर्ग जांचें।
\(\sqrt{5}\) and \(\sqrt{5}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their difference is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
The difference of equal irrational terms can be rational. चरण 1: \(\sqrt{5}\) और \(\sqrt{5}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका अंतर (0) है, जो परिमेय है। चरण 3: समान अपरिमेय पदों का अंतर परिमेय परिणाम दे सकता है।
Using difference of squares, (\(\sqrt{2}\)2-12=2-1=1).
Step 3
Exam Tip
Learn to recognise conjugate forms like (a+b) and (a-b). चरण 1: (ab=\(\sqrt{2}+1\)\(\sqrt{2}-1\)) है। चरण 2: वर्गों के अंतर से (\(\sqrt{2}\)2-12=2-1=1)। चरण 3: (a+b) और (a-b) जैसे संयुग्म रूप पहचानना सीखें।
\(\sqrt{2}\) and \(-\sqrt{2}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Opposite irrational numbers can give a rational sum. चरण 1: \(\sqrt{2}\) और \(-\sqrt{2}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका योग (0) है, जो परिमेय संख्या है। चरण 3: विपरीत अपरिमेय संख्याएँ जोड़ने पर परिमेय परिणाम आ सकता है।
Multiplying a square root by itself gives the number inside.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{a}\times\sqrt{a}=a\), and if (a) is an integer, it is rational.
Step 3
Exam Tip
The square of an irrational number can be rational. चरण 1: किसी वर्गमूल को उसी वर्गमूल से गुणा करने पर अंदर की संख्या मिलती है। चरण 2: \(\sqrt{a}\times\sqrt{a}=a\), और (a) पूर्णांक हो तो परिमेय है। चरण 3: अपरिमेय संख्या का वर्ग कई बार परिमेय हो सकता है।
