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A. \(\sqrt{2}\) और \(3\sqrt{2}\)/\(\sqrt{2}\) and \(3\sqrt{2}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}=6\), जो परिमेय है। परीक्षा में अपरिमेय संख्याओं के गुणनफल के लिए प्रतिउदाहरण याद रखें। / \(\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}=6\), which is rational. In exams remember counterexamples for products of irrational numbers.
\(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), इसलिए कोष्ठक \(\sqrt{2}\) है। गुणनफल (2) है। / \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so the bracket is \(\sqrt{2}\). The product is (2).
\(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{12}}=\sqrt{\frac{3}{12}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}\) है। जड़ों के भाग में अनुपात सरल करें। / \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{12}}=\sqrt{\frac{3}{12}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}\). Simplify the ratio inside the roots.
\(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\) और \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) है। अंश \(4\sqrt{2}\) है और भाग देने पर (4) मिलता है। / \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\) and \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\). The numerator is \(4\sqrt{2}\), and division gives (4).
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) और \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) है। इसलिए \(4\sqrt{3}+6\sqrt{3}-10\sqrt{3}=0\) है। / \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\). So \(4\sqrt{3}+6\sqrt{3}-10\sqrt{3}=0\).
\(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) और \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), इसलिए अंश \(5\sqrt{3}\) है। भाग देने पर (5) मिलता है। / \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) and \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), so the numerator is \(5\sqrt{3}\). Dividing gives (5).
अंतर वर्ग सूत्र से मान (13-12=1) है। संयुग्मी जोड़े का गुणन अक्सर परिमेय देता है। / By difference of squares the value is (13-12=1). Product of conjugate pairs often gives a rational number.
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) और \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), इसलिए \(a=5\sqrt{2}\)। इसका वर्ग (50) परिमेय है। / \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) and \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), so \(a=5\sqrt{2}\). Its square is (50), a rational number.
\(x^2=7+2\sqrt{10}\) इसलिए घटाने पर (7) मिलता है। ऐसे प्रश्नों में पहले वर्ग विस्तार करें। / Here \(x^2=7+2\sqrt{10}\), so subtracting gives (7). In such questions expand the square first.
यह अंतर वर्ग सूत्र है और मान (15-6=9) मिलता है। संयुग्मी गुणन में अपरिमेय भाग हट जाता है। / This is the difference of squares formula and the value is (15-6=9). In conjugate multiplication the irrational part cancels.
यह एक सामान्य संमिलित व्यंजक (conjugate) है — सूत्र \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) लागू होता है। यहाँ \(a=\sqrt{5},\; b=\sqrt{2}\) इसलिए मान \(a^2-b^2=5-2=3\) होगा। विकल्प C \(\sqrt{10}\) उस गलत धारणा से आता है कि \(\sqrt{5}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{10}\) है, पर पूरा व्यंजक गुणा करने पर बीच के पद नामरहित हो जाते हैं और परिणाम संख्या 3 आती है। विकल्प B (\(-3\)) केवल साइन की त्रुटि है। परीक्षा-सूत्र: नेगेटिव और पॉजिटिव साइन का ध्यान रखें और समकक्ष (conjugate) पहचानते ही \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) लागू कर दें। / This is a product of conjugates — use the identity \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). With \(a=\sqrt{5}\) and \(b=\sqrt{2}\) we get \(a^2-b^2=5-2=3\). Option C (\(\sqrt{10}\)) confuses the product of the radicals \(\sqrt{5}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{10}\) with the whole conjugate product; the middle terms cancel in the conjugate product, so the result is the rational number 3. Option B (\(-3\)) is a sign error. Exam tip: spot conjugates quickly and apply \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) to avoid expanding term-by-term.
\(\sqrt{18}\times\sqrt{50}=\sqrt{900}=30\) है। दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल परिमेय हो सकता है। / \(\sqrt{18}\times\sqrt{50}=\sqrt{900}=30\). The product of two irrational numbers can be rational.
संयुग्मी गुणन से (42-\(\sqrt{7}\)2=16-7=9) मिलता है। ऐसे प्रश्नों में अंतर वर्ग सूत्र लगाएँ। / Conjugate multiplication gives (42-\(\sqrt{7}\)2=16-7=9). Use the difference of squares formula in such questions.
संयुग्मी गुणन से ((6)2-\(\sqrt{5}\)2=36-5=31) मिलता है। ऐसे प्रश्नों में \(a^2-b^2\) प्रयोग करें। / Conjugate multiplication gives ((6)2-\(\sqrt{5}\)2=36-5=31). Use \(a^2-b^2\) in such questions.
\(\sqrt{10}\times\sqrt{40}=\sqrt{400}=20\) है। दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल परिमेय हो सकता है। / \(\sqrt{10}\times\sqrt{40}=\sqrt{400}=20\). The product of two irrational numbers can be rational.
\(x=\sqrt{17}\) होने पर \(x^2=(\sqrt{17})^2=17\)। अतः \(x^2-5=17-5=12\)। 12 एक पूर्णांक है और इसे \(12/1\) के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए यह परिमेय संख्या है। विकल्प B (अपरिमेय) गलत है क्योंकि अपरिमेय संख्या को किसी दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता, पर यहाँ 12 को व्यक्त किया जा सकता है। विकल्प C (अवास्तविक) गलत है क्योंकि 12 वास्तविक संख्या है। विकल्प D (अनावर्ती दशमलव) भी गलत है क्योंकि 12 एक समाप्त दशमलव (12.0) है, न कि अनावर्ती। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का वर्ग लेने पर मूल रहित संख्या का वर्ग हमेशा पूर्णांक/पूर्ण संख्या देता है — सबसे पहले \(x^2\) की वैल्यू निकालें फिर शेष मान पर विचार करें। / With \(x=\sqrt{17}\), we have \(x^2=(\sqrt{17})^2=17\). Therefore \(x^2-5=17-5=12\). The number 12 is an integer and can be written as \(12/1\), so it is rational. Option B (irrational) is incorrect because irrational numbers cannot be expressed as a ratio of integers, whereas 12 can. Option C (non-real) is wrong because 12 is a real number. Option D (non-repeating decimal) is wrong because 12 is a terminating decimal (12.0), not a non-repeating non-terminating decimal. Exam tip: simplify powers of radicals first — squaring a square root removes the root, then evaluate the remaining arithmetic to classify the result.
\(\sqrt{24}\times\sqrt{6}=\sqrt{144}=12\) है। जड़ों के गुणन में अंदर की संख्याएँ गुणा करें। / \(\sqrt{24}\times\sqrt{6}=\sqrt{144}=12\). In root multiplication multiply the numbers inside.
यह वर्ग-घात पहचान से हल होता है: \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). यहाँ \(a=\sqrt{7}\) और \(b=1\) रखने पर मान होता है \(\,a^2-b^2=7-1=6\). विकल्प B (8) अक्सर गलत जोड़ \(7+1\) करने का परिणाम है, इसलिए गलत है। विकल्प C और D भी अलग अभिव्यक्तियाँ हैं और संख्या 6 नहीं देतीं। परीक्षा सुझाव: रुचि रखने पर तुरंत पहचान लागू करें — जब एक जोड़ और एक घटाव वाला पद मिले तो तुरंत \(a^2-b^2\) लिखें। / Use the difference-of-squares identity \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). With \(a=\sqrt{7}\) and \(b=1\) we get \(7-1=6\), so A is correct. Option B (8) is a common mistake from adding \(7+1\) instead of subtracting. Options C and D are different expressions and do not equal 6. Exam tip: spot the pattern \((a+b)(a-b)\) and apply \(a^2-b^2\) immediately to avoid arithmetic mistakes.
\(\sqrt{3}\times\sqrt{27}=\sqrt{81}=9\) है। गुणन में जड़ों के अंदर के संख्याओं को गुणा करें। / \(\sqrt{3}\times\sqrt{27}=\sqrt{81}=9\). In multiplication multiply the numbers inside the roots.
योग निकालें: \(a+b=(2-\sqrt{5})+(2+\sqrt{5})=2+2=4\)। \(4\) एक पूर्णांक है और इसलिए परिमेय संख्या है। विकल्प B (अपरिमेय) गलत है क्योंकि अपरिमेय संख्या में घनमूल जैसी अविभाज्यirrational भाग शेष रहता है, पर यहाँ \(\sqrt{5}\) आपस में कट गए। विकल्प C गलत है क्योंकि दोनों घटक वास्तविक संख्याएँ हैं, अतः उनका योग भी वास्तविक होगा। विकल्प D भी गलत है क्योंकि योग सकारात्मक \(4\) है, न कि नकारात्मक। परीक्षा टिप: अनुरूप (conjugate) रूपों में \(\sqrt{}\) वाले भाग अक्सर एक-दूसरे को रद्द कर देते हैं — पहले संग्रहीत पदों को जोड़कर देखें। / Compute the sum: \(a+b=(2-\sqrt{5})+(2+\sqrt{5})=2+2=4\). Since \(4\) is an integer, it is rational. Option B (irrational) is incorrect because the irrational parts \(-\sqrt{5}\) and \(+\sqrt{5}\) cancel out. Option C (non-real) is wrong because both terms are real numbers so their sum is real. Option D (always negative) is wrong because the sum is +4, not negative. Exam tip: Look for conjugate pairs — the radical parts often cancel when you add conjugates, leaving a rational result.
\(\sqrt{12}\times\sqrt{3}=\sqrt{36}=6\) है। दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा अपरिमेय नहीं होता। / \(\sqrt{12}\times\sqrt{3}=\sqrt{36}=6\). The product of two irrational numbers is not always irrational.
यहाँ \(x^2=(\sqrt{11})^2=11\) है, इसलिए \(x^2+1=12\)। 12 एक पूर्णांक है और इसे \(\tfrac{12}{1}\) के रूप में अभिव्यक्त किया जा सकता है, अतः यह परिमेय संख्या है। सर्वाधिक भ्रमित करने वाला विकल्प "अपरिमेय" है, परन्तु अपरिमेय संख्या को भिन्न रूप में नहीं लिखा जा सकता जबकि 12 को लिखा जा सकता है; "अवास्तविक" भी गलत है क्योंकि 12 वास्तविक संख्या है; "अनावृत्त दशमलव" भी गलत है क्योंकि 12 का दशमलव स्वरूप समाप्त होने वाला (12.0) है। परीक्षा-सुझाव: किसी √ का वर्ग लेते ही अंदर का मान सीधे लौट आता है — पहले वही गणना करें। / Here \(x^2=(\sqrt{11})^2=11\), so \(x^2+1=12\). The number 12 is an integer and can be written as \(12/1\), therefore it is rational. The closest distractor is "irrational", but irrational numbers cannot be expressed as a ratio of integers whereas 12 can; "non-real" is incorrect because 12 is real; "non-repeating decimal" is wrong because 12 has a terminating decimal form (12.0). Exam tip: when you square a square root, the radical cancels first—compute that before classifying the result.
घटाने पर \(\sqrt{7}\) वाले पद आपस में कट जाते हैं: \((5+\sqrt{7})-(2+\sqrt{7})=5-2+(\sqrt{7}-\sqrt{7})=3\)। यह मान एक पूर्णांक है और इसलिए परिमेय संख्या है (\(3=3/1\))। विकल्प B गलत है क्योंकि अपरीमेय संख्या किसी दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं की जा सकती — यहाँ 3 एक अनुपात है। विकल्प C गलत है क्योंकि अवास्तविक संख्या में कल्पनिक भाग होता है; यहाँ कोई कल्पनिक भाग नहीं है। विकल्प D गलत है क्योंकि परिणाम धनात्मक (3) है। परीक्षा-सुझाव: समान सदृश पदों (same surds) को पहले जोड़ें/घटाएँ — अक्सर वे कट जाते हैं। / The surd terms cancel: \((5+\sqrt{7})-(2+\sqrt{7})=5-2+(\sqrt{7}-\sqrt{7})=3\). The result is an integer, hence a rational number (\(3=3/1\)). Option B is incorrect because an irrational number cannot be written as a ratio of integers; here the result is an integer. Option C is incorrect because non‑real numbers have imaginary parts, which are absent. Option D is incorrect because the result is positive. Exam tip: combine like terms and cancel identical surds first — it quickly simplifies such expressions.
\(\sqrt{5}\times\sqrt{45}=\sqrt{225}=15\) है। दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल परिमेय हो सकता है। / \(\sqrt{5}\times\sqrt{45}=\sqrt{225}=15\). The product of two irrational numbers can be rational.
किसी भी वास्तविक संख्या — चाहे वह परिमेय हो या अपरिमेय — को शून्य से गुणा करने पर परिणाम हमेशा शून्य
(0) होता है। शून्य को परिमेय माना जाता है क्योंकि इसे
\(0=0/1\) के रूप में अभिव्यक्त किया जा सकता है। इसलिए सही उत्तर (0) जो परिमेय है। निकटतम भ्रमित करने वाला विकल्प B है, जो कहता है "हमेशा अपरिमेय" — यह गलत है क्योंकि शून्य अपरिमेय नहीं है। परीक्षा-टिप: किसी भी संख्या को 0 से गुणा करने पर तुरंत उत्तर 0 होगा; यह गुणा का मौलिक नियम है। / Multiplying any real number — whether rational or irrational — by zero always yields zero (0). Zero is rational because it can be written as \(0=0/1\). Hence the correct choice is (0), which is rational. The closest distractor is B (Always irrational), which is incorrect since zero is not irrational. Exam tip: Whenever you see "×0" in a question, the product is immediately 0, regardless of the other factor's type.
\(\sqrt{3}\times\sqrt{27}=\sqrt{81}=9\) है। दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल परिमेय भी हो सकता है। / \(\sqrt{3}\times\sqrt{27}=\sqrt{81}=9\). The product of two irrational numbers can be rational.
(\(\sqrt{3}\)2=3) है जो परिमेय है। अपरिमेय संख्या का वर्ग कभी-कभी परिमेय हो सकता है। / (\(\sqrt{3}\)2=3) which is rational. The square of an irrational number can sometimes be rational.
