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\(\sqrt[3]{343}=7\), \(\sqrt[3]{a^{15}}=a^{5}\), और \(\sqrt[3]{b^{12}}=b^{4}\)। परीक्षा में घनमूल में घातों को (3) से भाग दें। / We have \(\sqrt[3]{343}=7\), \(\sqrt[3]{a^{15}}=a^{5}\), and \(\sqrt[3]{b^{12}}=b^{4}\). In exams, divide exponents by (3) under a cube root.
\(\sqrt[3]{216}=6\), \(\sqrt[3]{a^{12}}=a^{4}\), और \(\sqrt[3]{b^{9}}=b^{3}\)। परीक्षा में घनमूल में घातों को (3) से भाग दें। / We have \(\sqrt[3]{216}=6\), \(\sqrt[3]{a^{12}}=a^{4}\), and \(\sqrt[3]{b^{9}}=b^{3}\). In exams, divide exponents by (3) under a cube root.
\(\sqrt[3]{125}=5\), \(\sqrt[3]{a^{9}}=a^{3}\), और \(\sqrt[3]{b^{6}}=b^{2}\)। परीक्षा में घनमूल में घातों को (3) से भाग दें। / We have \(\sqrt[3]{125}=5\), \(\sqrt[3]{a^{9}}=a^{3}\), and \(\sqrt[3]{b^{6}}=b^{2}\). In exams, divide exponents by (3) under a cube root.
\(\sqrt[3]{64}=4\) और \(\sqrt[3]{x^{6}}=x^{2}\), इसलिए उत्तर \(4x^{2}\) है। परीक्षा में घनमूल में घात को (3) से भाग दें। / Since \(\sqrt[3]{64}=4\) and \(\sqrt[3]{x^{6}}=x^{2}\), the answer is \(4x^{2}\). In exams, divide the exponent by (3) for cube roots.
यदि \(z=\sqrt[3]{9}\) है तो \(z^3=(\sqrt[3]{9})^3=9\) मिलता है। 9 एक पूर्णांक है और सभी पूर्णांकों को परिमेय माना जाता है (9=9/1)। इसलिए \(z^3\) परिमेय संख्या है। विकल्प B गलत है क्योंकि 9 अपरिमेय नहीं है; विकल्प C गलत है क्योंकि 9 एक वास्तविक संख्या है, अवास्तविक नहीं; विकल्प D गलत है क्योंकि 9 किसी बहुपद समीकरण (जैसे \(x-9=0\)) का मूल है, अतः यह ट्रांसेंडेंट नहीं बल्कि बीजीय (algebraic) संख्या है। परीक्षा-टिप: किसी घात या मूल का घन निकालकर सरल रूप में बदलें — अक्सर घात और मूल से प्राप्त संख्याएँ सीधे परिमेय/अपरिमेय की श्रेणी में आ जाती हैं। / Since \(z=\sqrt[3]{9}\), we have \(z^3=(\sqrt[3]{9})^3=9\). The number 9 is an integer and therefore rational (9 = 9/1). Thus \(z^3\) is rational. Option B is wrong because 9 is not irrational; C is wrong because 9 is a real number (not non‑real); D is wrong because 9 is algebraic (it satisfies \(x-9=0\)), so it is not transcendental. Exam tip: simplify powers and roots first — often the result is an obvious integer or rational number after simplification.
\(\sqrt[3]{216}=6\) और \(\sqrt[3]{125}=5\) क्योंकि 216 और 125 पूर्ण घन हैं \(6^3=216, 5^3=125\)। अतः योग \(6+5=11\) होता है। विकल्प D को कुछ विद्यार्थी गलती से लेते हैं जब वह घनों का योग लेकर उसका बंहक निकालते हैं (\(\sqrt[3]{216+125}=\sqrt[3]{341}\) ) — यह अलग प्रक्रिया है और इसका मान लगभग 6.99 होगा, इसलिए वह गलत है। परिक्षण-टिप: पूर्ण घन पहचाने और पहले प्रत्येक का घनमूल निकालकर फिर जोड़ें। / \(\sqrt[3]{216}=6\) and \(\sqrt[3]{125}=5\) because 216 and 125 are perfect cubes \(6^3=216, 5^3=125\). Therefore the sum is \(6+5=11\). Option D arises if one mistakenly takes the cube root after adding (\(\sqrt[3]{216+125}=\sqrt[3]{341}\) ), which is not the same; its value is about 6.99. Exam tip: identify perfect cubes first, take each cube root, then perform the required arithmetic—don’t swap root and sum operations.
20 कोई पूर्ण घन (perfect cube) नहीं है। सामान्य तर्क: यदि किसी पूर्ण संख्या n का घनमूल परिमेय रूप \(\frac{p}{q}\) (सरल भिन्न) होता है तो \(p^3=nq^3\) के कारण q=1 होगा, अतः घनमूल पूर्णांक होना चाहिए। इसलिए यदि n पूर्ण घन नहीं है तो उसका घनमूल परिमेय नहीं हो सकता — अर्थात् अपरिमेय होगा। इसलिए \(\sqrt[3]{20}\) अपरिमेय है। निकटतम भ्रमक विकल्प 4 गलत है क्योंकि \(4^3=64\) और 33=27, अतः \(\sqrt[3]{20}\) लगभग 2.714 है, कोई पूर्णांक नहीं। परीक्षा सलाह: किसी संख्या का घनमूल जाँचना हो तो आस-पास के पूर्ण घनों (1, 8, 27, 64, ...) से तुलना करें। / 20 is not a perfect cube. More formally, if the cube root of an integer n were rational and equal to \(\frac{p}{q}\) in lowest terms, then \(p^3=nq^3\) forces q=1, so the cube root would be an integer. Hence a non–perfect cube has an irrational cube root. Therefore \(\sqrt[3]{20}\) is irrational. The nearby distractor 4 is wrong because \(4^3=64\) (and \(3^3=27\)), so \(\sqrt[3]{20}\approx2.714\) and is not an integer. Exam tip: To test cube roots quickly, check whether the number is one of the perfect cubes 1, 8, 27, 64, ...
\(\sqrt[3]{343}=7\) क्योंकि 343 एक पूर्ण घन है (\(7^3=343\)) और उसका घनमूल एक पूर्णांक है। किसी भी पूर्णांक को परिमेय माना जाता है क्योंकि उसे भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है (उदा. \(7=7/1\))। विकल्प B (अपरिमेय) गलत है क्योंकि अपरिमेय संख्याएँ गैर‑समाप्त और गैर‑आवर्ती दशमलव रूप में होती हैं, पर यहाँ परिणाम 7 एक समापवर्त्य पूर्णांक है। विकल्प C (अवास्तविक) गलत है क्योंकि 7 वास्तविक संख्या है। विकल्प D गलत है क्योंकि 7 का दशमलव रूप समाप्त (7.0) है, न कि अनंत अनावर्ती। परीक्षा-सूत्र: किसी घनमूल को परखने के लिए देखें कि अंदर का अंक किसी पूर्ण घन का गुणा है या नहीं — अगर हाँ, तो घनमूल एक पूर्णांक (परिमेय) होगा। / \(\sqrt[3]{343}=7\) since 343 is a perfect cube (\(7^3=343\)) and its cube root is an integer. Every integer is rational (e.g. \(7=7/1\)). Option B (irrational) is incorrect because irrational numbers are non‑terminating, non‑repeating decimals, unlike 7 which is a terminating integer. Option C (non‑real) is incorrect because 7 is a real number. Option D is incorrect because 7 has a terminating decimal representation (7.0), not a non‑terminating non‑repeating decimal. Exam tip: first check if the radicand is a perfect power corresponding to the root; if it is, the root is an integer (hence rational).
\(\sqrt[3]{216}=6\) क्योंकि \(216=6^3\)। 6 एक पूर्णांक है और सभी पूर्णांक परिमेय होते हैं (उन्हें p/q के रूप में लिखा जा सकता है)। विकल्प B और D गलत हैं क्योंकि ये अपरिमेय संख्याओं का वर्णन करते हैं (अपरिमेय संख्या वे होती हैं जिनका दशमलव विकास अनंत और अनावर्ती होता है)। विकल्प C गलत है क्योंकि अवास्तविक संख्याएँ (जैसे कल्पनिक भाग वाले संख्या) वास्तविक रेखा पर नहीं आतीं; यहाँ परिणाम वास्तविक और परिमेय है। परीक्षा टिप: किसी घनमूल का मान निकालते समय पहले देखें कि संख्या पूर्ण घन है या नहीं—यदि हाँ तो घनमूल एक पूर्णांक होगा। / \(\sqrt[3]{216}=6\) because \(216=6^3\). Since 6 is an integer, it is a rational number (can be written as p/q). Options B and D are descriptions of irrational numbers (whose decimal expansion is non-terminating and non-repeating), so they are wrong. Option C is incorrect because non-real numbers have an imaginary component; here the cube root is a real rational number. Exam tip: when finding a cube root, first check whether the number is a perfect cube — if so, the cube root is an integer.
A. यह अपरिमेय संख्या है/It is an irrational number
Explanation
Simple Explanation
यदि \(\sqrt[3]{12}\) कोई परिमेय संख्या होती तो इसे सरल भिन्न \(\dfrac{p}{q}\) (जहाँ p और q परस्पर अभिन्न) के रूप में लिखा जा सकता है; घन करने पर \(p^3=12q^3\) मिलता है। यह अर्थ देता है कि \(p^3\) के अभाज्य घातांकों में 2 और 3 की शक्तियाँ उस रूप में हों जिसे 12 की गुणांकों \(2^2·3^1\) से मेल खा सकें — परन्तु किसी पूर्ण घन के अभाज्य घातांश तीन के गुणज होने चाहिए। चूँकि 12 का अभाज्य घातांश (2:2, 3:1) तीन के गुणज नहीं हैं, विरोधाभास होता है। इसलिए \(\sqrt[3]{12}\) अपरिमेय है। सबसे नज़दीकी विखंडक जैसे 3 या 4 गलत हैं क्योंकि \(3^3=27\) और \(4^3=64\) जो 12 नहीं है; तथा terminating दशमलव केवल परिमेय संख्याएँ होती हैं। परीक्षा-टिप: घनमूल के परिमेय होने की जाँच के लिए पहले देखें कि अंदर का अंक पूर्ण घन है या नहीं; अभाज्य घटकों के घातों पर ध्यान दें। / If \(\sqrt[3]{12}\) were rational it could be written as a reduced fraction \(\dfrac{p}{q}\) with integers p,q; cubing gives \(p^3=12q^3\). That forces the prime exponents in \(p^3\) to match those of 12q-3, so the exponents of primes coming from 12 must be multiples of 3. But 12=22·31 has exponents 2 and 1, which are not multiples of 3, a contradiction. Hence \(\sqrt[3]{12}\) is irrational. Distractors fail: 3 and 4 are wrong because 33=27 and 43=64 (not 12); a terminating decimal would be rational. Exam tip: first check whether the radicand is a perfect cube; use prime-power exponents to test rationality of integer roots.
\(\sqrt[3]{125}=5\) जो एक पूर्णांक है और इसे \(5=5/1\) के रूप में लिखा जा सकता है; अतः यह परिमेय संख्या है। किसी पूर्ण घन की घनमूल हमेशा पूर्णांक (यदि घन सही पूर्णांक है) और इसलिए परिमेय होती है। निकट भ्रामक विकल्प B (अपरिमेय) त्रुटिपूर्ण है क्योंकि अपरिमेय संख्याएँ गैर-समाप्त और अनावर्ती दशमलव रूप देती हैं, परन्तु यहाँ संख्या 5 समाप्त दशमलव है। विकल्प C गलत है क्योंकि 5 व्यावहारिक रूप से वास्तविक संख्या भी है। विकल्प D भी गलत है क्योंकि "अनावर्ती दशमलव" सामान्यतः अपरिमेय संख्याओं का गुण है, जबकि 5 का दशमलव रूप समाप्त है। परीक्षा सुझाव: किसी घनमूल को जाँचना हो तो पहले देखें कि क्या रैडिकैंड (यहाँ 125) एक पूर्ण घन है। / \(\sqrt[3]{125}=5\), which is an integer and can be written as \(5=5/1\); therefore it is a rational number. The cube root of a perfect cube is an integer (hence rational). The closest distractor B (irrational) is incorrect because irrational numbers have non‑terminating, non‑repeating decimal expansions, whereas 5 is a terminating decimal. C is wrong because the number is real, not non‑real. D is incorrect because a "non‑repeating decimal" typically describes irrationals, but 5 has a terminating decimal. Exam tip: first check whether the radicand is a perfect power—if so, the root will be an integer (rational).
16 का गुणनखंड रूप 16 = 24 है; किसी संख्या की घनमूल पूर्ण घन तभी होगी जब उसके प्राइम फैक्टर के सभी घात 3 के गुणज हों। चूँकि 4, 3 का गुणज नहीं है, इसलिए \(\sqrt[3]{16}\) पूर्ण घन नहीं है और अतः अपरिमेय है। विकल्प B और C गलत हैं क्योंकि 43 = 64 और 83 = 512; विकल्प D गलत है क्योंकि अपरिमेय संख्या दशमलव रूप में न तो समाप्त होती है न आवर्ती रूप से सरल होती है। परीक्षा-सूत्र: किसी भी n का kवां मूल जाँचने के लिए उसके प्राइम फैक्टरों के घातों को देखें — सभी घात k के गुणज हों तो ही पूर्ण k-वाँ घन होगा। / Prime factorization gives 16 = 24. A number is a perfect cube only if every prime exponent is a multiple of 3. Since 4 is not divisible by 3, \(\sqrt[3]{16}\) is not a perfect cube and therefore is irrational. Options B and C are incorrect because 43 = 64 and 83 = 512, not 16. Option D is wrong because an irrational number cannot be expressed as a terminating decimal. Exam tip: to test whether \(\sqrt[k]{N}\) is rational, factor N and check if every prime exponent is divisible by k.
\(\sqrt[3]{64}=4\) है क्योंकि 64 एक पूर्ण घन (\(4^3\)) है। 4 एक पूर्णांक है और सभी पूर्णांक परिमेय होते हैं (इन्हें भाज्य/हर के रूप में लिखा जा सकता है, जैसे \(4=4/1\))। विकल्प (B) गलत है क्योंकि अपरिमेय संख्याएँ अनिश्चित और अनावर्ती दशमलव होती हैं; परन्तु 4 एक समाप्त दशमलव (या घूर्णन में नहीं) है। विकल्प (D) भी गलत है: "अनावर्ती दशमलव" से अभिप्राय अपरिमेय है, पर 4 एक समाप्त दशमलव है। विकल्प (C) गलत है क्योंकि अवास्तविक संख्याएँ कल्पनिक घटक रखती हैं और यहाँ मान वास्तविक है। परीक्षण युक्ति: घनमूल निकालते समय देखें कि क्या संख्या किसी पूर्ण घन (1, 8, 27, 64, ...) में से है—यदि हाँ, तो परिणामी मान पूर्णांक और परिमेय होगा। / \(\sqrt[3]{64}=4\) because 64 is a perfect cube (\(4^3\)). The result 4 is an integer, and every integer is rational (can be written as a fraction, e.g. \(4=4/1\)). Option B is incorrect since irrational numbers have non-terminating, non-repeating decimals, which does not apply to 4. Option D is incorrect because a non-repeating decimal implies irrationality, whereas 4 is a terminating decimal. Option C is wrong because non-real numbers involve imaginary parts; \(\sqrt[3]{64}\) is a real number. Exam tip: when evaluating nth roots, first check whether the radicand is a perfect power—if it is, the root is an integer (hence rational).
(9) पूर्ण घन नहीं है इसलिए \(\sqrt[3]{9}\) अपरिमेय है। घनमूल में पूर्ण घन पहचानना जरूरी है। / (9) is not a perfect cube so \(\sqrt[3]{9}\) is irrational. Identifying perfect cubes is important in cube roots.
\(\sqrt[3]{27}=3\) क्योंकि \(3^3=27\)। 3 एक पूर्णांक है और सभी पूर्णांक परिमेय होते हैं (उन्हें एक भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है, जैसे \(3=3/1\))। विकल्प B गलत है क्योंकि अपरिमेय संख्या का दशमलव रूप अनन्त और गैर-आवर्ती होता है — यहाँ संख्या संपूर्ण और परिमेय है। विकल्प C गलत है क्योंकि अवास्तविक (complex non-real) संख्याएँ वास्तविक रेखा पर नहीं आतीं; यहाँ परिणाम वास्तविक और पूर्णांक है। विकल्प D भी गलत है क्योंकि यह विकल्प अनंत और गैर‑दोहराने वाले दशमलव का ब्योरा देता है, जबकि यहाँ दशमलव नहीं बल्कि एक समाप्त पूर्णांक है। परीक्षा सुझाव: घनमूल लेते समय पहले चेक करें कि क्या दी गई संख्या एक परफेक्ट क्यूब है; यदि हाँ तो घनमूल एक पूर्णांक और इसलिए परिमेय होगा। / \(\sqrt[3]{27}=3\) since \(3^3=27\). The result is an integer, and every integer is rational (can be written as a fraction, e.g. \(3=3/1\)). Option B is incorrect because irrational numbers cannot be expressed as a ratio of integers and have non-repeating, non-terminating decimals — that does not apply here. Option C is incorrect because the value is a real integer, not a non-real complex number. Option D is incorrect because the number is not a non-terminating non-repeating decimal but a terminating integer. Exam tip: first check if the radicand is a perfect power; the root of a perfect cube is an integer and hence rational.
यदि मान लें \(\sqrt[3]{4}\) एक तर्कसंगत संख्या है और \(\sqrt[3]{4}=\dfrac{p}{q}\) (घनिष्ठ रूप से सरल भिन्न, gcd\((p,q)=1\)) हो। दोनों पक्षों का घन करने पर \(4q^{3}=p^{3}\) मिलता है। इससे स्पष्ट है कि \(p^{3}\) सम है इसलिए \(p\) सम होगा; मान लें \(p=2k\)। तब \(4q^{3}=8k^{3}\) और इसी से \(q^{3}=2k^{3}\) आता है, अतः \(q\) भी सम है। यह \(p\) और \(q\) के सह-प्रथम होने के विरोध में है। अतः प्रारम्भिक मान असत्य है और \(\sqrt[3]{4}\) अपरिमेय है। विकल्प B (2) गलत है क्योंकि \(2^{3}=8\), न कि 4; C और D भी स्पष्ट रूप से गलत हैं। परीक्षा टिप: किसी पूर्ण घन का परीक्षण करें — यदि अंदर का पूर्णांक पूर्ण घन न हो तो उसका घनमूल अपरिमेय होगा। / Assume \(\sqrt[3]{4}\) is rational: \(\sqrt[3]{4}=p/q\) in lowest terms (gcd\((p,q)=1\)). Cubing both sides gives \(4q^{3}=p^{3}\). Hence \(p^{3}\) is even so \(p\) is even; write \(p=2k\). Substituting yields \(4q^{3}=8k^{3}\) ⇒ \(q^{3}=2k^{3}\), so \(q\) is even too, contradicting gcd\((p,q)=1\). Therefore \(\sqrt[3]{4}\) is irrational. Option B (2) is incorrect because \(2^{3}=8\), not 4; C and D are also obviously wrong. Exam tip: for cube roots of integers, check whether the radicand is a perfect cube — if not, the cube root is irrational.
\(\sqrt[3]{8}=2\) क्योंकि 8 का घनमूल पूर्ण घन का पूरा भाग है। 2 एक पूर्णांक है और प्रत्येक पूर्णांक परिमेय होता है (उदा. \(2=\tfrac{2}{1}\))। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B गलत है क्योंकि अपरिमेय संख्याएँ गैर‑परिमेय, अनंत और असमाप्त दशमलव होती हैं, जबकि यहाँ संख्या 2 समाप्त दशमलव/पूर्णांक है। विकल्प C गलत है क्योंकि \(2\) वास्तविक संख्या है, आवास्तविक (complex-only) नहीं। विकल्प D गलत है क्योंकि यह संख्या समाप्त दशमलव (2.0) है न कि अनंत/असमाप्त दशमलव। परीक्षा संकेत: किसी भी समपूर्ण घन का घनमूल निकालते समय पहले जाँचें कि वह पूर्ण वर्ग/घन है — यदि हाँ और घनमूल पूर्णांक आए तो संख्या परिमेय होगी। / \(\sqrt[3]{8}=2\). Since 8 is a perfect cube, its cube root is an integer (2), and every integer is rational (for example \(2=\frac{2}{1}\)). Thus option A is correct. Option B is incorrect because irrational numbers are non‑terminating, non‑repeating decimals, which does not apply to 2. Option C is wrong because 2 is a real number (not a non‑real/complex‑only number). Option D is incorrect because 2 is a terminating decimal (2.0), not a non‑terminating decimal. Exam tip: first check if the radicand is a perfect power; a perfect cube gives an integer cube root which is rational.
घनमूल लेते समय हर अभाज्य घात को (3) से भाग देते हैं। / For cube root, divide each prime exponent by (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(9\div3=3\), \(6\div3=2\), और \(3\div3=1\), इसलिए घनमूल \(2^3\times3^2\times7\) है। / \(9\div3=3\), \(6\div3=2\), and \(3\div3=1\), so the cube root is \(2^3\times3^2\times7\).
Step 3
Exam Tip
पूर्ण घन में सभी घातें (3) की गुणज होती हैं। / In a perfect cube, all exponents are multiples of (3).
