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\(\sqrt{15}\) में (15) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए यह अपरिमेय है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग पहचानना बहुत उपयोगी है। / \(\sqrt{15}\) is irrational because (15) is not a perfect square. Identifying perfect squares is very useful in exams.
यह दो पूर्णांकों का अनुपात है इसलिए परिमेय है। \(\frac{p}{q}\) रूप में \(q\neq0\) होना चाहिए। / It is a ratio of two integers so it is rational. In \(\frac{p}{q}\) form \(q\neq0\).
सांत दशमलव को भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए यह परिमेय संख्या होती है। / A terminating decimal can be written as a fraction. Hence it is a rational number.
इसमें (27) बार-बार दोहरता है इसलिए यह आवर्ती दशमलव है। हर आवर्ती दशमलव परिमेय होता है। / The block (27) repeats so it is a recurring decimal. Every recurring decimal is rational.
अनंत और अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। केवल अनंत देखकर निर्णय न लें। / A non terminating and non recurring decimal is irrational. Do not decide only by seeing it is infinite.
\(\sqrt{121}=11\) है और (11) परिमेय है। पूर्ण वर्ग की वर्गमूल परिमेय होती है। / \(\sqrt{121}=11\) and (11) is rational. The square root of a perfect square is rational.
(37) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \(\sqrt{37}\) अपरिमेय है। पूर्ण वर्गों की सूची याद रखें। / (37) is not a perfect square so \(\sqrt{37}\) is irrational. Remember the list of perfect squares.
पूर्णांक और सांत दशमलव परिमेय होते हैं। जिन विकल्पों में अपरिमेय जड़ या \(\pi\) है वे केवल परिमेय नहीं हैं। / Integers and terminating decimals are rational. Options containing irrational roots or \(\pi\) are not only rational.
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{7}\) और \(\pi\) सभी अपरिमेय हैं। पूर्ण वर्ग की जड़ और भिन्न को अलग पहचानें। / \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{7}\), and \(\pi\) are all irrational. Identify square roots of perfect squares and fractions separately.
A. इनमें परिमेय और अपरिमेय दोनों शामिल हैं/They include both rational and irrational numbers
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक संख्याएँ परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का बड़ा समुच्चय हैं। संख्या रेखा पर इन्हें दर्शाया जा सकता है। / Real numbers form the large set of rational and irrational numbers. They can be represented on the number line.
\(-8=\frac{-8}{1}\) लिखा जा सकता है इसलिए यह परिमेय है। हर पूर्णांक वास्तविक भी होता है। / (-8) can be written as \(\frac{-8}{1}\) so it is rational. Every integer is also real.
परिमेय संख्या (6) में अपरिमेय \(\sqrt{11}\) जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय रहता है। जड़ को पूर्ण वर्ग समझने की गलती न करें। / Adding irrational \(\sqrt{11}\) to rational (6) gives an irrational number. Do not mistake the root for a perfect square.
परिमेय से अपरिमेय घटाने पर परिणाम अपरिमेय होता है। \(\sqrt{6}\) अपरिमेय है क्योंकि (6) पूर्ण वर्ग नहीं है। / Subtracting an irrational number from a rational number gives an irrational result. \(\sqrt{6}\) is irrational because (6) is not a perfect square.
\(\sqrt{3}\times\sqrt{27}=\sqrt{81}=9\) है। दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल परिमेय भी हो सकता है। / \(\sqrt{3}\times\sqrt{27}=\sqrt{81}=9\). The product of two irrational numbers can be rational.
\(\sqrt{32}=\sqrt{16\times2}=4\sqrt{2}\) है। सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग बाहर निकालें। / \(\sqrt{32}=\sqrt{16\times2}=4\sqrt{2}\). Take out the greatest perfect square.
\(\sqrt{75}=\sqrt{25\times3}=5\sqrt{3}\) है। पूर्ण वर्ग गुणनखंड (25) को बाहर निकालें। / \(\sqrt{75}=\sqrt{25\times3}=5\sqrt{3}\). Take the perfect square factor (25) outside.
\(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\) और \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) है। समान पद जोड़ने पर \(6\sqrt{3}\) मिलता है। / \(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\) and \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\). Adding like terms gives \(6\sqrt{3}\).
\(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) और \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) है। अंतर \(\sqrt{5}\) है। / \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) and \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\). The difference is \(\sqrt{5}\).
\(\frac{5}{2}=2.5\) है जो (2) और (3) के बीच है और परिमेय है। भिन्न रूप परिमेयता बताता है। / \(\frac{5}{2}=2.5\), which lies between (2) and (3) and is rational. Fraction form shows rationality.
A. अनंत और अनावर्ती/Non terminating and non repeating
Explanation
Simple Explanation
इसमें दोहरने वाला निश्चित समूह नहीं है। इसलिए यह अनंत और अनावर्ती दशमलव है। / It has no fixed repeating block. So it is non terminating and non repeating.
(\(\sqrt{13}\)2=13) होता है। वर्ग और वर्गमूल एक-दूसरे को समाप्त कर देते हैं। / (\(\sqrt{13}\)2=13). Squaring and taking the square root cancel each other.
\(\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\) क्योंकि \(3=\sqrt{3}\times\sqrt{3}\)। जड़ वाले हर को सरल करने का अभ्यास करें। / \(\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\) because \(3=\sqrt{3}\times\sqrt{3}\). Practice simplifying denominators with roots.
किसी भी वास्तविक संख्या को (0) से गुणा करने पर (0) मिलता है। (0) परिमेय संख्या है। / Multiplying any real number by (0) gives (0). (0) is a rational number.
(\sqrt{5}+\(-\sqrt{5}\)=0) है जो परिमेय है। इससे पता चलता है कि योग हमेशा अपरिमेय नहीं होता। / (\sqrt{5}+\(-\sqrt{5}\)=0), which is rational. This shows the sum is not always irrational.
\(\sqrt{2}\times\sqrt{5}=\sqrt{10}\) है जो अपरिमेय है। समान जड़ों का गुणन अक्सर परिमेय दे सकता है। / \(\sqrt{2}\times\sqrt{5}=\sqrt{10}\), which is irrational. Multiplying equal roots can often give a rational number.
\(\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}}=\frac{4}{5}\) है। यह परिमेय संख्या है। / \(\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}}=\frac{4}{5}\). This is a rational number.
\(\sqrt[3]{8}=2\) है जो परिमेय है। पूर्ण घन की घनमूल परिमेय होती है। / \(\sqrt[3]{8}=2\), which is rational. The cube root of a perfect cube is rational.
(4) पूर्ण घन नहीं है इसलिए \(\sqrt[3]{4}\) अपरिमेय है। घनमूल में पूर्ण घन पहचानें। / (4) is not a perfect cube so \(\sqrt[3]{4}\) is irrational. Identify perfect cubes in cube roots.
\(\sqrt{23}\) वास्तविक है लेकिन अपरिमेय है क्योंकि (23) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए यह परिमेय नहीं है। / \(\sqrt{23}\) is real but irrational because (23) is not a perfect square. So it is not rational.
\(\sqrt{18}\) अपरिमेय है और उसका ऋण भी वास्तविक अपरिमेय है। ऋण चिह्न परिमेयता नहीं बदलता। / \(\sqrt{18}\) is irrational and its negative is also real irrational. A negative sign does not change rationality.
\(\frac{3}{8}\) परिमेय है लेकिन पूर्ण संख्या नहीं है। पूर्ण संख्या \(0,1,2,\ldots\) होती हैं। / \(\frac{3}{8}\) is rational but not a whole number. Whole numbers are \(0,1,2,\ldots\).
A. प्राकृतिक संख्याएँ पूर्ण संख्याओं का भाग हैं और पूर्ण संख्याएँ पूर्णांकों का भाग हैं/Natural numbers are part of whole numbers and whole numbers are part of integers
Explanation
Simple Explanation
समुच्चयों में प्राकृतिक संख्याएँ पूर्ण संख्याओं के अंदर आती हैं। पूर्ण संख्याएँ पूर्णांकों के अंदर आती हैं। / In sets, natural numbers lie inside whole numbers. Whole numbers lie inside integers.
(0.125) सांत दशमलव है इसलिए परिमेय है। इसे \(\frac{1}{8}\) भी लिखा जा सकता है। / (0.125) is terminating so it is rational. It can also be written as \(\frac{1}{8}\).
(0.121212...) अनंत आवर्ती दशमलव है। अनंत आवर्ती दशमलव परिमेय होता है। / (0.121212...) is a non terminating recurring decimal. A non terminating recurring decimal is rational.
दो परिमेय संख्याओं का योग परिमेय होता है। इसे परिमेय संख्याओं की बंदता कहा जाता है। / The sum of two rational numbers is rational. This is called closure of rational numbers.
दो परिमेय संख्याओं का गुणनफल परिमेय होता है। लेकिन परिणाम हमेशा पूर्णांक नहीं होता। / The product of two rational numbers is rational. But the result is not always an integer.
\(\sqrt{28}=\sqrt{4\times7}=2\sqrt{7}\) है। पूर्ण वर्ग (4) बाहर आता है। / \(\sqrt{28}=\sqrt{4\times7}=2\sqrt{7}\). The perfect square (4) comes outside.
\(\sqrt{147}=\sqrt{49\times3}=7\sqrt{3}\) है। बड़े पूर्ण वर्ग को जड़ से बाहर निकालें। / \(\sqrt{147}=\sqrt{49\times3}=7\sqrt{3}\). Take the large perfect square outside the root.
\(-\frac{1}{2}\) (-1) और (0) के बीच है और परिमेय है। संख्या रेखा पर ऋणात्मक भिन्नों को ध्यान से रखें। / \(-\frac{1}{2}\) lies between (-1) and (0) and is rational. Place negative fractions carefully on the number line.
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) अपरिमेय है और इसका मान (0) और (1) के बीच है। जड़ वाला भाग इसे अपरिमेय बनाता है। / \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) is irrational and its value lies between (0) and (1). The root part makes it irrational.
धनात्मक पूर्णांक की वर्गमूल परिमेय तभी होती है जब संख्या पूर्ण वर्ग हो। यह MCQ में सीधा नियम है। / The square root of a positive integer is rational only when the number is a perfect square. This is a direct MCQ rule.
\(\sqrt{29}\) अपरिमेय है क्योंकि (29) पूर्ण वर्ग नहीं है। बाकी सभी परिमेय रूप में लिखे जा सकते हैं। / \(\sqrt{29}\) is irrational because (29) is not a perfect square. All others can be written in rational form.
\(\sqrt{80}=\sqrt{16\times5}=4\sqrt{5}\) है। जड़ के अंदर पूर्ण वर्ग गुणनखंड खोजें। / \(\sqrt{80}=\sqrt{16\times5}=4\sqrt{5}\). Look for a perfect square factor inside the root.
(\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) होता है। इससे याद रखें कि दो अपरिमेय संख्याओं का योग कभी-कभी परिमेय हो सकता है। / (\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0). Remember that the sum of two irrational numbers can sometimes be rational.
