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\(\sqrt{2}\) को \(\frac{p}{q}\) के रूप में नहीं लिखा जा सकता। परीक्षा में पूर्ण वर्ग न होने वाली जड़ पहचानें। / \(\sqrt{2}\) cannot be written as \(\frac{p}{q}\). In exams identify roots of non perfect squares.
\(\frac{5}{8}\) दो पूर्णांकों का अनुपात है। परिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) रूप में लिखा जाता है। / \(\frac{5}{8}\) is a ratio of two integers. A rational number can be written as \(\frac{p}{q}\).
वास्तविक संख्याओं में परिमेय और अपरिमेय दोनों शामिल होते हैं। संख्या रेखा पर इन्हीं का स्थान होता है। / Real numbers include both rational and irrational numbers. These are placed on the number line.
अनावर्ती और अनंत दशमलव अपरिमेय होता है। परीक्षा में आवर्ती पैटर्न जरूर देखें। / A non terminating non repeating decimal is irrational. In exams always check the repeating pattern.
\(\sqrt{49}=7\) है और (7) परिमेय है। पूर्ण वर्ग की जड़ परिमेय होती है। / \(\sqrt{49}=7\) and (7) is rational. The square root of a perfect square is rational.
(11) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \(\sqrt{11}\) अपरिमेय है। ऐसी जड़ों को सरल रूप में पहचानें। / (11) is not a perfect square so \(\sqrt{11}\) is irrational. Identify such roots in simplest form.
A. जिसे \(\frac{p}{q}\) रूप में लिखा जा सके जहाँ \(q\neq0\)/It can be written as \(\frac{p}{q}\) where \(q\neq0\)
Explanation
Simple Explanation
परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखी जाती है। हर बार \(q\neq0\) याद रखें। / A rational number is written as a ratio of two integers. Always remember \(q\neq0\).
A. अनंत और अनावर्ती/Non terminating and non repeating
Explanation
Simple Explanation
अपरिमेय संख्या का दशमलव न खत्म होता है और न दोहराता है। यही सबसे आसान पहचान है। / The decimal of an irrational number neither ends nor repeats. This is the easiest identification.
\(\pi\) का दशमलव अनंत और अनावर्ती है। इसलिए यह अपरिमेय संख्या है। / The decimal expansion of \(\pi\) is non terminating and non repeating. So it is irrational.
\(0=\frac{0}{1}\) लिखा जा सकता है इसलिए यह परिमेय है। यह वास्तविक संख्या भी है। / (0) can be written as \(\frac{0}{1}\) so it is rational. It is also a real number.
परिमेय (2) में अपरिमेय \(\sqrt{3}\) जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय होता है। परीक्षा में ऐसे योग को परिमेय न मानें। / Adding irrational \(\sqrt{3}\) to rational (2) gives an irrational number. Do not treat such sums as rational.
समान पदों को जोड़ने पर \(2\sqrt{2}\) मिलता है। इसे \(\sqrt{4}\) लिखना गलत है। / Adding like terms gives \(2\sqrt{2}\). Writing it as \(\sqrt{4}\) is wrong.
\(\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}\) है। पूर्ण वर्ग को जड़ से बाहर निकालें। / \(\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}\). Take the perfect square outside the root.
कक्षा 10 के वास्तविक संख्याओं में ऋणात्मक संख्या की वर्गमूल वास्तविक नहीं मानी जाती। ध्यान दें \(\sqrt{7}\) वास्तविक अपरिमेय है। / In Class 10 real numbers the square root of a negative number is not real. Note that \(\sqrt{7}\) is real irrational.
(1.25) सांत दशमलव है और इसे \(\frac{5}{4}\) लिखा जा सकता है। सांत दशमलव परिमेय होते हैं। / (1.25) is terminating and can be written as \(\frac{5}{4}\). Terminating decimals are rational.
(45) बार-बार दोहर रहा है इसलिए यह आवर्ती दशमलव है। आवर्ती दशमलव परिमेय होता है। / The block (45) repeats so it is a repeating decimal. A repeating decimal is rational.
A. \(\sqrt{64}\) परिमेय है और \(\sqrt{65}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{64}\) is rational and \(\sqrt{65}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
(64) पूर्ण वर्ग है लेकिन (65) नहीं है। इसलिए उनकी वर्गमूल की प्रकृति अलग है। / (64) is a perfect square but (65) is not. So their square roots are of different types.
A. जब (a) कोई भी परिमेय संख्या हो/When (a) is any rational number
Explanation
Simple Explanation
परिमेय में अपरिमेय जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय रहता है। यह आसान गुण अक्सर MCQ में आता है। / Adding a rational number to an irrational number gives an irrational result. This simple property often appears in MCQs.
\(\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt{3}\) है। जड़ के अंदर पूर्ण वर्ग खोजें। / \(\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt{3}\). Look for a perfect square inside the root.
ऋणात्मक जड़ वाले विकल्प वास्तविक नहीं हैं। (-3), (0) और \(\sqrt{2}\) सभी वास्तविक हैं। / Options with square roots of negatives are not real. (-3), (0), and \(\sqrt{2}\) are all real.
\(\sqrt{7}\) अपरिमेय है और उसका ऋण भी अपरिमेय होता है। ऋण चिह्न संख्या को वास्तविक होने से नहीं रोकता। / \(\sqrt{7}\) is irrational and its negative is also irrational. The negative sign does not stop it from being real.
गैर शून्य परिमेय संख्या से अपरिमेय को गुणा करने पर परिणाम अपरिमेय होता है। यहाँ \(3\neq0\) है। / Multiplying an irrational by a non zero rational gives an irrational result. Here \(3\neq0\).
\(\sqrt{2}\) को गैर शून्य परिमेय (2) से भाग देने पर संख्या अपरिमेय रहती है। ऐसी अभिव्यक्तियों में जड़ की प्रकृति देखें। / Dividing \(\sqrt{2}\) by non zero rational (2) keeps it irrational. Check the nature of the root in such expressions.
(\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) परिमेय है लेकिन \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) अपरिमेय है। इसलिए हमेशा एक जैसा नियम नहीं है। / (\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) is rational but \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is irrational. So there is no fixed always rule.
\(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\) परिमेय है लेकिन \(\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}\) अपरिमेय है। इसलिए हमेशा एक जैसा नहीं होता। / \(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\) is rational but \(\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}\) is irrational. So it is not always one type.
(9) गिनती की संख्या है और \(9=\frac{9}{1}\) भी है। इसलिए यह प्राकृतिक और परिमेय दोनों है। / (9) is a counting number and \(9=\frac{9}{1}\). So it is both natural and rational.
(\(\sqrt{3}\)2=3) है जो परिमेय है। अपरिमेय संख्या का वर्ग कभी-कभी परिमेय हो सकता है। / (\(\sqrt{3}\)2=3) which is rational. The square of an irrational number can sometimes be rational.
\(\sqrt{6}\) अपरिमेय है इसलिए इसे \(\frac{p}{q}\) रूप में नहीं लिख सकते। बाकी संख्याएँ परिमेय हैं। / \(\sqrt{6}\) is irrational so it cannot be written as \(\frac{p}{q}\). The other numbers are rational.
(4.125) कुछ अंकों के बाद समाप्त हो जाता है। सांत दशमलव हमेशा परिमेय होता है। / (4.125) ends after a finite number of digits. A terminating decimal is always rational.
\(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) और \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) है। जोड़ने पर \(5\sqrt{5}\) मिलता है। / \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) and \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\). Adding gives \(5\sqrt{5}\).
संख्या रेखा पर सभी वास्तविक संख्याएँ दर्शाई जा सकती हैं। इसमें परिमेय और अपरिमेय दोनों आते हैं। / All real numbers can be represented on the number line. This includes both rational and irrational numbers.
\(\sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=3\sqrt{3}\) है। सबसे बड़े पूर्ण वर्ग गुणनखंड को निकालें। / \(\sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=3\sqrt{3}\). Take out the greatest perfect square factor.
अनंत आवर्ती दशमलव परिमेय होता है। अनंत देखकर तुरंत अपरिमेय न मानें। / A non terminating repeating decimal is rational. Do not call it irrational just because it is non terminating.
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) इसलिए योग \(3\sqrt{2}\) है। पहले सरल करें फिर समान पद जोड़ें। / \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) so the sum is \(3\sqrt{2}\). Simplify first and then add like terms.
\(\frac{1}{7}\) परिमेय है और इसका दशमलव आवर्ती होता है। परिमेय संख्याएँ सांत या आवर्ती दशमलव देती हैं। / \(\frac{1}{7}\) is rational and its decimal is repeating. Rational numbers give terminating or repeating decimals.
A. प्रत्येक अपरिमेय संख्या वास्तविक होती है/Every irrational number is real
Explanation
Simple Explanation
अपरिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याओं का भाग हैं। लेकिन सभी वास्तविक संख्याएँ अपरिमेय नहीं होतीं। / Irrational numbers are a part of real numbers. But all real numbers are not irrational.
(\(\sqrt{2}\)2=2) और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। यह एक महत्वपूर्ण मूल उदाहरण है। / (\(\sqrt{2}\)2=2) and \(\sqrt{2}\) is irrational. This is an important basic example.
परिमेय (7) से अपरिमेय \(\sqrt{2}\) घटाने पर परिणाम अपरिमेय होता है। संकेत बदलने से गुण नहीं बदलता। / Subtracting irrational \(\sqrt{2}\) from rational (7) gives an irrational number. Changing the sign does not change this property.
A. \(\sqrt{n}\) अपरिमेय होगी/\(\sqrt{n}\) will be irrational
Explanation
Simple Explanation
धनात्मक पूर्णांक (n) पूर्ण वर्ग न हो तो \(\sqrt{n}\) अपरिमेय होती है। यह आसान परीक्षा नियम है। / If positive integer (n) is not a perfect square then \(\sqrt{n}\) is irrational. This is an easy exam rule.
\(\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=5\sqrt{2}\) है। जड़ के अंदर सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग खोजें। / \(\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=5\sqrt{2}\). Find the greatest perfect square inside the root.
(5) गैर शून्य परिमेय है इसलिए \(5\sqrt{3}\) अपरिमेय है। ध्यान रखें (0) से गुणा करने पर परिणाम (0) होता है। / (5) is a non zero rational number so \(5\sqrt{3}\) is irrational. Remember multiplication by (0) gives (0).
\(x-2=\sqrt{5}\) है जो अपरिमेय है। ऐसे प्रश्नों में पहले अभिव्यक्ति को सरल करें। / \(x-2=\sqrt{5}\), which is irrational. In such questions simplify the expression first.
(0.2020020002...) में कोई स्थायी दोहराव नहीं है। अनंत और अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। / (0.2020020002...) has no fixed repetition. A non terminating and non repeating decimal is irrational.
\(\sqrt{98}=\sqrt{49\times2}=7\sqrt{2}\) है। पूर्ण वर्ग (49) को जड़ से बाहर निकालें। / \(\sqrt{98}=\sqrt{49\times2}=7\sqrt{2}\). Take the perfect square (49) outside the root.
A. वह परिमेय संख्या होती है/It is a rational number
Explanation
Simple Explanation
सांत दशमलव को \(\frac{p}{q}\) रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए वह परिमेय और वास्तविक होता है। / A terminating decimal can be written in \(\frac{p}{q}\) form. So it is rational and real.
