A. समकोण त्रिभुज की भुजाएं (1) और (1) लेकर कर्ण बनाना/Make a right triangle with legs (1) and (1) and use the hypotenuse
Step 1
Concept
\(1^2+1^2=2\).
Step 2
Why this answer is correct
So the hypotenuse of that right triangle is \(\sqrt{2}\).
Step 3
Exam Tip
The Pythagoras theorem helps locate irrational numbers on a number line. चरण 1: \(1^2+1^2=2\) होता है। चरण 2: इसलिए ऐसे समकोण त्रिभुज का कर्ण \(\sqrt{2}\) होगा। चरण 3: संख्या रेखा पर अपरिमेय संख्या रखने में पाइथागोरस प्रमेय उपयोगी है।
Hence \(1<\sqrt{2}<2\) and \(\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
To locate an irrational number compare squares. चरण 1: (1<2<4) है। चरण 2: इसलिए \(1<\sqrt{2}<2\) और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 3: अपरिमेय संख्या को स्थान देने के लिए वर्ग करके तुलना करें।
(5) and (8) lie between (4) and (9) and are not perfect squares. Therefore \(\sqrt{5}\) and \(\sqrt{8}\) are irrational numbers between (2) and (3).
Step 3
Exam Tip
Non-perfect squares between two square numbers give such pairs. चरण 1: \(2=\sqrt{4}\) और \(3=\sqrt{9}\) हैं। चरण 2: (5) और (8) दोनों (4) और (9) के बीच हैं तथा पूर्ण वर्ग नहीं हैं। इसलिए \(\sqrt{5}\) और \(\sqrt{8}\) दोनों अपरिमेय हैं और (2) से (3) के बीच हैं। चरण 3: बीच के अपूर्ण वर्गों से ऐसे युग्म बनते हैं।
\(\sqrt{11}\) is about (3.316), and \(2\sqrt{3}\) is about (3.464).
Step 2
Why this answer is correct
(3.4) lies between them.
Step 3
Exam Tip
For close values, estimating to two decimal places is helpful. चरण 1: \(\sqrt{11}\) लगभग (3.316) है और \(2\sqrt{3}\) लगभग (3.464) है। चरण 2: (3.4) इन दोनों के बीच है। चरण 3: निकट मानों की तुलना में दो दशमलव तक अनुमान काफी मदद करता है।
\(\sqrt{3}\) is about (1.732), so it lies between (1) and (2).
Step 2
Why this answer is correct
Since (3>2), \(\sqrt{3}>\sqrt{2}\).
Step 3
Exam Tip
For positive square roots, compare the numbers inside the roots. चरण 1: \(\sqrt{3}\) लगभग (1.732) है, इसलिए यह (1) और (2) के बीच है। चरण 2: (3>2), इसलिए \(\sqrt{3}>\sqrt{2}\)। चरण 3: धनात्मक वर्गमूलों की तुलना में अंदर की संख्याओं की तुलना कर सकते हैं।
\(\sqrt{2}\) is irrational, and dividing by non-zero rational (2) keeps it irrational.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) is about (0.707), so it lies between (0) and (1).
Step 3
Exam Tip
Check both the interval condition and the nature of the number. चरण 1: \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है और अशून्य परिमेय (2) से भाग देने पर अपरिमेयता बनी रहती है। चरण 2: \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) लगभग (0.707) है, इसलिए यह (0) और (1) के बीच है। चरण 3: अंतराल और संख्या की प्रकृति दोनों शर्तें साथ-साथ जाँचें।
\(\sqrt{3}\) is about (1.732), and \(2\sqrt{3}\) is about (3.464).
Step 2
Why this answer is correct
(2) lies between these two values.
Step 3
Exam Tip
For comparison, you may use estimation or squaring. चरण 1: \(\sqrt{3}\) लगभग (1.732) है और \(2\sqrt{3}\) लगभग (3.464) है। चरण 2: (2) इन दोनों के बीच आता है। चरण 3: तुलना में अनुमान या वर्ग दोनों तरीकों का उपयोग कर सकते हैं।
(17), (20), and (24) lie between (16) and (25), but (26) is greater than (25).
Step 3
Exam Tip
For positive square roots, comparing squares is easier. चरण 1: \(4=\sqrt{16}\) और \(5=\sqrt{25}\) हैं। चरण 2: (17), (20) और (24) (16) और (25) के बीच हैं, पर (26) (25) से बड़ा है। चरण 3: धनात्मक वर्गमूलों की तुलना में वर्गों की तुलना आसान होती है।
(10) is not a perfect square and (9<10<16), so \(\sqrt{10}\) is an irrational number between (3) and (4).
Step 3
Exam Tip
A non-perfect square between two square numbers helps find an irrational number between two integers. चरण 1: \(3=\sqrt{9}\) और \(4=\sqrt{16}\) हैं। चरण 2: (10) पूर्ण वर्ग नहीं है और (9<10<16), इसलिए \(\sqrt{10}\) (3) और (4) के बीच अपरिमेय संख्या है। चरण 3: दो पूर्णांकों के बीच अपरिमेय खोजने में बीच का अपूर्ण वर्ग उपयोगी होता है।
