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irrational-expression se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
\( \sqrt{15}+\frac{1}{8}\approx3.998 \), इसलिए (3.95) इससे बड़ा नहीं है। ऐसी स्थिति में कोई दिया विकल्प शर्त पूरी नहीं करता। / \( \sqrt{15}+\frac{1}{8}\approx3.998 \), so (3.95) is not greater than it. In this case no listed value satisfies the condition.
\( \sqrt{8}+\frac{1}{10}\approx2.928 \) है। इसलिए (2.90) नहीं बल्कि कोई भी दिया मान शर्त पूरी नहीं करता। / \( \sqrt{8}+\frac{1}{10}\approx2.928 \). Therefore (2.90) does not satisfy it and no given value satisfies the condition.
\( \sqrt{6}\approx2.449 \) और \( \frac{1}{3}\approx0.333 \), इसलिए योग लगभग (2.782) है। मिश्रित मानों में पहले अनुमान लगाएँ। / \( \sqrt{6}\approx2.449 \) and \( \frac{1}{3}\approx0.333 \), so the sum is about (2.782). For mixed values, estimate first.
\( \sqrt{3}+\frac{1}{4}\approx1.982 \) है। इसलिए (1.99) इससे बड़ा और (2) से छोटा है। / \( \sqrt{3}+\frac{1}{4}\approx1.982 \). Therefore (1.99) is greater than it and less than (2).
क्योंकि \( \sqrt{5}\approx2.236\), इसलिए \( \sqrt{5}+\frac{1}{2}\approx2.736\)। अनुमान लगाकर अंतराल जल्दी पहचानें। / Since \( \sqrt{5}\approx2.236\), \( \sqrt{5}+\frac{1}{2}\approx2.736\). Use estimation to identify the interval quickly.
क्योंकि \(2<\sqrt{5}<3\), इसलिए \(1<-1+\sqrt{5}<2\)। स्थिर संख्या जोड़ने या घटाने पर पूरी असमानता बदलें। / Since \(2<\sqrt{5}<3\), \(1<-1+\sqrt{5}<2\). When adding or subtracting a constant, adjust the whole inequality.
क्योंकि \(1<\sqrt{2}<2\), इसलिए \(4<3+\sqrt{2}<5\)। जोड़ करने पर अंतराल भी उतना ही खिसकता है। / Since \(1<\sqrt{2}<2\), \(4<3+\sqrt{2}<5\). Adding a number shifts the interval by that amount.
क्योंकि \(1<\sqrt{3}<2\), इसलिए \(0<2-\sqrt{3}<1\)। घटाव में असमानता की दिशा सावधानी से देखें। / Since \(1<\sqrt{3}<2\), \(0<2-\sqrt{3}<1\). Be careful with inequalities when subtracting.
समान (x) पद कट जाते हैं और मान \(2\sqrt{2}\) बचता है। परीक्षा में बीजीय सरलीकरण में संख्या के प्रकार से भ्रमित न हों। / The like (x) terms cancel and the value left is \(2\sqrt{2}\). In exams do not be confused by the type of number during algebraic simplification.
पहला चरण: वर्ग करके हटाएँ। \(x^2=(\sqrt{2}+\sqrt{5})^2=2+5+2\sqrt{10}=7+2\sqrt{10}\). इसलिए \(x^2-7=2\sqrt{10}\). अब फिर से वर्ग करने पर \((x^2-7)^2=4\cdot10=40\), अर्थात् \(x^4-14x^2+49=40\) से \(x^4-14x^2+9=0\) मिलता है। अत:, विकल्प B सही है। विकल्प C (\(x^2-7=0\)) गलत है क्योंकि इससे \(2\sqrt{10}=0\) आना चाहिए जो असत्य है; विकल्प A और D के मध्य- पद का चिन्ह एवं मान गलत हैं। परीक्षा टिप: घने रैडिकल वाले पदों के लिए पहले वर्ग लें ताकि एक रैडिकल हटे, फिर आवश्यक होने पर दोबारा वर्ग करें; बहु-मानों के लिये समकक्ष रूपों (conjugates) पर विचार करें। / Remove radicals by squaring. Compute \(x^2=(\sqrt{2}+\sqrt{5})^2=2+5+2\sqrt{10}=7+2\sqrt{10}\), so \(x^2-7=2\sqrt{10}\). Squaring again gives \((x^2-7)^2=40\), hence \(x^4-14x^2+49=40\) and therefore \(x^4-14x^2+9=0\). Thus option B is correct. Option C is wrong because it would force \(2\sqrt{10}=0\). Options A and D have incorrect signs/coefficients. Exam tip: for nested radicals square to eliminate them stepwise; using conjugates also helps find the minimal polynomial over Q.
(180) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \(\sqrt{180}\) अपरिमेय है। परिमेय से अपरिमेय घटाने पर परिणाम अपरिमेय होता है। / (180) is not a perfect square so \(\sqrt{180}\) is irrational. Subtracting an irrational from a rational gives an irrational result.
(98) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \(\sqrt{98}\) अपरिमेय है। परिमेय संख्या (4) जोड़ने पर भी परिणाम अपरिमेय रहता है। / (98) is not a perfect square so \(\sqrt{98}\) is irrational. Adding rational (4) still gives an irrational result.
(45) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \(\sqrt{45}\) अपरिमेय है। परिमेय (2) जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय रहता है। / (45) is not a perfect square so \(\sqrt{45}\) is irrational. Adding rational (2) keeps it irrational.
(18) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \(\sqrt{18}\) अपरिमेय है। बाकी विकल्पों की जड़ परिमेय है। / (18) is not a perfect square so \(\sqrt{18}\) is irrational. The roots of the other options are rational.
(a=4) पर \(\sqrt{4}=2\) है। / For (a=4), \(\sqrt{4}=2\).
Step 2
Why this answer is correct
(b=18) पर \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), जो अपरिमेय है; इसलिए योग \(2+3\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / For (b=18), \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), which is irrational; so the sum \(2+3\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
यदि एक पद परिमेय और दूसरा अपरिमेय हो, तो योग अपरिमेय रहता है। / A rational plus an irrational remains irrational.
(2) परिमेय है। इसलिए \(2+\sqrt{n}\) अपरिमेय तभी होगा जब \(\sqrt{n}\) अपरिमेय हो। / (2) is rational. So \(2+\sqrt{n}\) is irrational when \(\sqrt{n}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
(40) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{40}\) अपरिमेय है। / (40) is not a perfect square, so \(\sqrt{40}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
दिए गए पूर्णांकों में पूर्ण वर्गों को पहले हटाएँ। / First eliminate perfect squares from the given integers.
(x-4=\(4+\sqrt{6}\)-4) है। / (x-4=\(4+\sqrt{6}\)-4).
Step 2
Why this answer is correct
सरल करने पर \(x-4=\sqrt{6}\), और (6) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{6}\) अपरिमेय है। / On simplifying, \(x-4=\sqrt{6}\), and since (6) is not a perfect square, \(\sqrt{6}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
व्यंजक में परिमेय पद कट जाए तो बचे हुए मूल की प्रकृति देखें। / When rational terms cancel, check the nature of the remaining radical.
पहले हर मूल को सरल करें। / Simplify each radical first.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), इसलिए \(\sqrt{75}-4\sqrt{3}=\sqrt{3}\), जो अपरिमेय है। / \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), so \(\sqrt{75}-4\sqrt{3}=\sqrt{3}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
जिन विकल्पों में समान पद पूरी तरह कट रहे हों, वे शून्य परिमेय दे सकते हैं। / Options where like terms cancel completely may give rational zero.
(\(\sqrt{2}\)2=2), \(\sqrt{2}\times\sqrt{8}=4\), और \(\sqrt{5}\times\sqrt{20}=10\) परिमेय हैं। / (\(\sqrt{2}\)2=2), \(\sqrt{2}\times\sqrt{8}=4\), and \(\sqrt{5}\times\sqrt{20}=10\) are rational.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{3}+\sqrt{12}=\sqrt{3}+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}\), जो अपरिमेय है। / \(\sqrt{3}+\sqrt{12}=3\sqrt{3}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
जोड़ और गुणन को अलग-अलग नियमों से समझें। / Treat addition and multiplication of surds differently.
