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हर को परिमेय बनाने के लिए \(\sqrt{10}+\sqrt{6}\) से गुणा करें। / Multiply by \(\sqrt{10}+\sqrt{6}\) to rationalize the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
ऊपर (\(\sqrt{10}+\sqrt{6}\)2=16+2\sqrt{60}) और नीचे (10-6=4) मिलता है, इसलिए मान \(4+\sqrt{15}\) है। / The numerator becomes (\(\sqrt{10}+\sqrt{6}\)2=16+2\sqrt{60}) and the denominator is (10-6=4), so the value is \(4+\sqrt{15}\).
Step 3
Exam Tip
संयुग्मी वाले भिन्नों में हर को पहले साफ करें। / In conjugate fractions, clear the denominator first.
(x) और (y) संयुग्मी रूप में हैं। / (x) and (y) are conjugates.
Step 2
Why this answer is correct
(\(\sqrt{5}+\sqrt{2}\)2+\(\sqrt{5}-\sqrt{2}\)2) में बीच के अपरिमेय पद कट जाते हैं और मान (2(5+2)=14) मिलता है। / In (\(\sqrt{5}+\sqrt{2}\)2+\(\sqrt{5}-\sqrt{2}\)2), the middle irrational terms cancel and the value is (2(5+2)=14).
Step 3
Exam Tip
दो संयुग्मी वर्गों का योग लेते समय बीच वाले पद नहीं बचते। / When adding squares of conjugates, the middle terms vanish.
C. असांत अनावर्ती अपरिमेय/Non-terminating non-recurring irrational
Step 1
Concept
यह दशमलव समाप्त नहीं होता। / This decimal does not terminate.
Step 2
Why this answer is correct
इसमें शून्यों की संख्या बदलती रहती है, इसलिए कोई निश्चित आवर्ती समूह नहीं बनता। / The number of zeros keeps changing, so no fixed repeating block is formed.
Step 3
Exam Tip
असांत और अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। / A non-terminating non-recurring decimal is irrational.
(a-2-b-2=(a-b)(a+b)) लगाएँ। / Use (a-2-b-2=(a-b)(a+b)).
Step 2
Why this answer is correct
\(a-b=2\sqrt{2}\) और \(a+b=2\sqrt{6}\), इसलिए गुणन \(4\sqrt{12}=8\sqrt{3}\) है। / \(a-b=2\sqrt{2}\) and \(a+b=2\sqrt{6}\), so the product is \(4\sqrt{12}=8\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
पहचान सूत्र से हल तेज और साफ होता है। / Identities make the solution quicker and cleaner.
\(3+\sqrt{8}=3+2\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / \(3+\sqrt{8}=3+2\sqrt{2}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
इसका व्युत्क्रम \(3-\sqrt{8}\) है, क्योंकि (\(3+\sqrt{8}\)\(3-\sqrt{8}\)=1)। इसलिए योग (6) परिमेय है। / Its reciprocal is \(3-\sqrt{8}\), because (\(3+\sqrt{8}\)\(3-\sqrt{8}\)=1). Hence the sum is (6), which is rational.
Step 3
Exam Tip
जिन संयुग्मियों का गुणन (1) हो, वहाँ व्युत्क्रम तुरंत मिल सकता है। / When conjugates multiply to (1), the reciprocal is easy to identify.
\(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)। / \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\).
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\), और \(\sqrt{128}=8\sqrt{2}\)। / \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\), and \(\sqrt{128}=8\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
योग ((1+2+4+8)\sqrt{2}=15\sqrt{2}) है। / The sum is ((1+2+4+8)\sqrt{2}=15\sqrt{2}).
Step 3
Exam Tip
गुणनखंडों में पूर्ण वर्गों का क्रम पहचानें। / Recognize the pattern of perfect-square factors.
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य निकलते हैं/Both (p) and (q) turn out divisible by (5)
Step 1
Concept
\(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) मानकर वर्ग करने से \(p^2=5q^2\) मिलता है। / Assuming \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) and squaring gives \(p^2=5q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (p) और फिर (q) दोनों (5) से विभाज्य निकलते हैं, जो सहअभाज्य होने के विरुद्ध है। / This makes both (p) and (q) divisible by (5), contradicting that they are coprime.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में साझा गुणनखंड मिलना ही मुख्य विरोध है। / Finding a common factor is the key contradiction in the proof.
A. \(\sqrt{12}\) और \(\sqrt{3}\)/\(\sqrt{12}\) and \(\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) और \(\sqrt{3}\) दोनों अपरिमेय हैं। / \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\sqrt{3}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
उनका गुणन \(\sqrt{36}=6\) परिमेय है, और योग \(3\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / Their product is \(\sqrt{36}=6\), which is rational, and their sum is \(3\sqrt{3}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
योग और गुणन की प्रकृति अलग-अलग जाँचें। / Check the nature of the sum and product separately.
A. (x) अपरिमेय है और \(x^2\) परिमेय है/(x) is irrational and \(x^2\) is rational
Step 1
Concept
\(x=\sqrt{\frac{3}{2}}\) है, जो अपरिमेय है क्योंकि \(\frac{3}{2}\) परिमेय पूर्ण वर्ग नहीं है। / \(x=\sqrt{\frac{3}{2}}\), which is irrational because \(\frac{3}{2}\) is not a perfect square of a rational number.
Step 2
Why this answer is correct
\(x^2=\frac{3}{2}\), जो परिमेय है। / \(x^2=\frac{3}{2}\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
किसी अपरिमेय संख्या का वर्ग कभी-कभी परिमेय हो सकता है। / The square of an irrational number can sometimes be rational.
तीन पदों के वर्ग में अलग-अलग वर्गों के साथ दो-दो पदों के गुणन भी आते हैं। / In the square of three terms, pairwise products appear along with individual squares.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(a^2=10+2\sqrt{6}+2\sqrt{10}+2\sqrt{15}\) होगा। / Thus \(a^2=10+2\sqrt{6}+2\sqrt{10}+2\sqrt{15}\).
Step 3
Exam Tip
कई मूलों के योग का वर्ग करते समय सभी जोड़ीदार गुणन लिखें। / While squaring a sum of many surds, write all pairwise products.
\(x^2+\frac{1}{x^2}=10\) की पहचान से \(x^4-10x^2+1=0\) मिलता है। / Using the identity \(x^2+\frac{1}{x^2}=10\), we get \(x^4-10x^2+1=0\).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में (x) और उसके संयुग्मी व्युत्क्रम का संबंध पहचानें। / In such questions, recognize the relation between (x) and its conjugate reciprocal.
\(\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}\) होता है। / \(\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}\).
Step 2
Why this answer is correct
(a=6,b=15) पर (ab=90), जो पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{90}\) अपरिमेय है। / For (a=6,b=15), (ab=90), which is not a perfect square, so \(\sqrt{90}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
गुणन में अंदर का गुणनफल पूर्ण वर्ग है या नहीं, यह मुख्य जाँच है। / In multiplication, the key check is whether the product inside the root is a perfect square.
C. अशून्य परिमेय संख्या से अपरिमेय संख्या को गुणा करने पर परिणाम अपरिमेय होता है/Multiplying an irrational number by a non-zero rational number gives an irrational number
Step 1
Concept
अशून्य परिमेय गुणक अपरिमेयता को समाप्त नहीं करता। / A non-zero rational multiplier does not remove irrationality.
Step 2
Why this answer is correct
यदि परिणाम परिमेय मानें, तो अपरिमेय संख्या परिमेय बन जाएगी, जो विरोध है। / If the product were rational, the irrational number would become rational, a contradiction.
Step 3
Exam Tip
दो अपरिमेय संख्याओं वाले हमेशा वाले कथनों से सावधान रहें। / Be careful with universal statements about two irrational numbers.
सभी पद धनात्मक हैं और \(\sqrt{6}>0\)। / All terms are positive and \(\sqrt{6}>0\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{3}+\sqrt{6}\), \(\sqrt{3}\) से बड़ा है और \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) है; संख्यात्मक रूप से \(\sqrt{6}>\sqrt{3}\), इसलिए योग \(2\sqrt{3}\) से बड़ा है। / Since \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\sqrt{6}>\sqrt{3}\), the sum \(\sqrt{3}+\sqrt{6}\) is greater than \(2\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
तुलना में समान मूल में बदलना और धनात्मकता देखना मदद करता है। / For comparison, convert what you can and use positivity.
B. यह अपरिमेय है क्योंकि दशमलव असांत और अनावर्ती है/It is irrational because the decimal is non-terminating and non-recurring
Step 1
Concept
केवल एक अंक का बार-बार आना आवर्तन नहीं कहलाता, जब तक निश्चित समूह न दोहराए। / Reappearance of a digit alone is not recurrence unless a fixed block repeats.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ शून्यों की संख्या बदल रही है, इसलिए दशमलव अनावर्ती है। / Here the number of zeros changes, so the decimal is non-recurring.
Step 3
Exam Tip
असांत अनावर्ती दशमलव को अपरिमेय पहचानें। / Identify a non-terminating non-recurring decimal as irrational.
\(\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\sqrt{5}+2\), क्योंकि (\(\sqrt{5}-2\)\(\sqrt{5}+2\)=1)। / \(\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\sqrt{5}+2\), because (\(\sqrt{5}-2\)\(\sqrt{5}+2\)=1).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (x+\frac{1}{x}=\(\sqrt{5}-2\)+\(\sqrt{5}+2\)=2\sqrt{5})। / Hence (x+\frac{1}{x}=\(\sqrt{5}-2\)+\(\sqrt{5}+2\)=2\sqrt{5}).
Step 3
Exam Tip
जहाँ संयुग्मी गुणन (1) दे, वहाँ व्युत्क्रम तुरंत मिल जाता है। / When conjugates multiply to (1), the reciprocal is immediate.
\(2=\sqrt{4}\) और \(3=\sqrt{9}\) हैं। / \(2=\sqrt{4}\) and \(3=\sqrt{9}\).
Step 2
Why this answer is correct
(5) और (8) दोनों (4) और (9) के बीच हैं तथा पूर्ण वर्ग नहीं हैं। इसलिए \(\sqrt{5}\) और \(\sqrt{8}\) दोनों अपरिमेय हैं और (2) से (3) के बीच हैं। / (5) and (8) lie between (4) and (9) and are not perfect squares. Therefore \(\sqrt{5}\) and \(\sqrt{8}\) are irrational numbers between (2) and (3).
Step 3
Exam Tip
बीच के अपूर्ण वर्गों से ऐसे युग्म बनते हैं। / Non-perfect squares between two square numbers give such pairs.
\(x-1=\sqrt{2}+\sqrt{3}\) है। / \(x-1=\sqrt{2}+\sqrt{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) अपरिमेय है, क्योंकि इसे परिमेय मानने पर वर्ग करने से \(\sqrt{6}\) परिमेय निकलने का विरोध आता है। / \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is irrational, because assuming it rational and squaring would force \(\sqrt{6}\) to be rational.
Step 3
Exam Tip
अलग-अलग मूलों का योग सावधानी से जाँचें। / Check sums of different surds carefully.
\(\sqrt{96}=4\sqrt{6}\), \(\sqrt{54}=3\sqrt{6}\), और \(\sqrt{24}=2\sqrt{6}\)। / \(\sqrt{96}=4\sqrt{6}\), \(\sqrt{54}=3\sqrt{6}\), and \(\sqrt{24}=2\sqrt{6}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(4\sqrt{6}-3\sqrt{6}+2\sqrt{6}=3\sqrt{6}\), इसलिए सही मान \(3\sqrt{6}\) है। / \(4\sqrt{6}-3\sqrt{6}+2\sqrt{6}=3\sqrt{6}\), so the correct value is \(3\sqrt{6}\).
Step 3
Exam Tip
विकल्प मिलाते समय अपनी सरल गणना से मिलान करें। / Match the options with your simplified result carefully.
\(\sqrt{5}\) कट जाता है और \(\sqrt{7}-\sqrt{3}\) बचता है, जो अपरिमेय है। / \(\sqrt{5}\) cancels and \(\sqrt{7}-\sqrt{3}\) remains, which is irrational.
Step 3
Exam Tip
समान पद कटने के बाद बचे हुए मूलों की प्रकृति देखें। / After like terms cancel, check the nature of the remaining surds.
A. दोनों अपरिमेय हैं और उनका गुणनफल परिमेय है/Both are irrational and their product is rational
Step 1
Concept
\(3+\sqrt{2}\) और \(3-\sqrt{2}\) दोनों में अपरिमेय भाग है, इसलिए दोनों अपरिमेय हैं। / \(3+\sqrt{2}\) and \(3-\sqrt{2}\) both contain an irrational part, so both are irrational.
Step 2
Why this answer is correct
उनका गुणनफल (9-2=7) परिमेय है। / Their product is (9-2=7), which is rational.
Step 3
Exam Tip
संयुग्मी अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल परिमेय हो सकता है। / Conjugate irrational numbers can have a rational product.
A. विभिन्न अपूर्ण वर्गों के मूल स्वतंत्र अपरिमेय भाग देते हैं/Roots of different non-perfect squares give independent irrational parts
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{6}\) अलग-अलग अपूर्ण वर्गों से जुड़े हैं। / \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{6}\) are linked to different non-perfect squares.
Step 2
Why this answer is correct
इनके अपरिमेय भाग सामान्य जोड़ से पूरी तरह नहीं कटते, इसलिए योग परिमेय नहीं बनता। / Their irrational parts do not cancel through ordinary addition, so the sum is not rational.
Step 3
Exam Tip
ऐसे दावों में गलत पहचान जैसे \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) से बचें। / Avoid false identities such as \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\).
\(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), और \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\)। / \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), and \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\).
A. \(42\sqrt{6}\), अपरिमेय/\(42\sqrt{6}\), irrational
Step 1
Concept
(\(\sqrt{6}+\sqrt{5}\)\(\sqrt{6}-\sqrt{5}\)=1), इसलिए \(\frac{1}{x}=\sqrt{6}-\sqrt{5}\)। / (\(\sqrt{6}+\sqrt{5}\)\(\sqrt{6}-\sqrt{5}\)=1), so \(\frac{1}{x}=\sqrt{6}-\sqrt{5}\).
