Therefore \(5+\sqrt{24}\) is the reciprocal of \(5-\sqrt{24}\).
Step 3
Exam Tip
If conjugates multiply to (1), the reciprocal is directly the conjugate. चरण 1: (\(5-\sqrt{24}\)\(5+\sqrt{24}\)=25-24=1)। चरण 2: इसलिए \(5+\sqrt{24}\), \(5-\sqrt{24}\) का व्युत्क्रम है। चरण 3: यदि संयुग्मी गुणन (1) दे, तो व्युत्क्रम सीधे संयुग्मी होता है।
The conjugate of the denominator is \(\sqrt{5}-\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
The denominator becomes (5-2=3), so the form is \(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}\).
Step 3
Exam Tip
For a sum of two surds, the conjugate changes the sign between them. चरण 1: हर का संयुग्मी \(\sqrt{5}-\sqrt{2}\) है। चरण 2: हर (5-2=3) बनता है, इसलिए रूप \(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}\) है। चरण 3: दो मूलों के योग में संयुग्मी का चिह्न बदलता है।
Its reciprocal is \(3-\sqrt{8}\), because (\(3+\sqrt{8}\)\(3-\sqrt{8}\)=1). Hence the sum is (6), which is rational.
Step 3
Exam Tip
When conjugates multiply to (1), the reciprocal is easy to identify. चरण 1: \(3+\sqrt{8}=3+2\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 2: इसका व्युत्क्रम \(3-\sqrt{8}\) है, क्योंकि (\(3+\sqrt{8}\)\(3-\sqrt{8}\)=1)। इसलिए योग (6) परिमेय है। चरण 3: जिन संयुग्मियों का गुणन (1) हो, वहाँ व्युत्क्रम तुरंत मिल सकता है।
In (\(\sqrt{5}+\sqrt{2}\)2+\(\sqrt{5}-\sqrt{2}\)2), the middle irrational terms cancel and the value is (2(5+2)=14).
Step 3
Exam Tip
When adding squares of conjugates, the middle terms vanish. चरण 1: (x) और (y) संयुग्मी रूप में हैं। चरण 2: (\(\sqrt{5}+\sqrt{2}\)2+\(\sqrt{5}-\sqrt{2}\)2) में बीच के अपरिमेय पद कट जाते हैं और मान (2(5+2)=14) मिलता है। चरण 3: दो संयुग्मी वर्गों का योग लेते समय बीच वाले पद नहीं बचते।
Multiply by \(\sqrt{10}+\sqrt{6}\) to rationalize the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
The numerator becomes (\(\sqrt{10}+\sqrt{6}\)2=16+2\sqrt{60}) and the denominator is (10-6=4), so the value is \(4+\sqrt{15}\).
Step 3
Exam Tip
In conjugate fractions, clear the denominator first. चरण 1: हर को परिमेय बनाने के लिए \(\sqrt{10}+\sqrt{6}\) से गुणा करें। चरण 2: ऊपर (\(\sqrt{10}+\sqrt{6}\)2=16+2\sqrt{60}) और नीचे (10-6=4) मिलता है, इसलिए मान \(4+\sqrt{15}\) है। चरण 3: संयुग्मी वाले भिन्नों में हर को पहले साफ करें।
First observe the common structure and take \(a=\sqrt{7}+\sqrt{5}\) and \(b=\sqrt{7}-\sqrt{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}\). Here \(a^2+b^2=24\) and (ab=2), so (x=12).
Step 3
Exam Tip
For fractions with conjugate surds, use substitution instead of expanding everything directly. चरण 1: पहले दोनों भिन्नों का साझा रूप देखें और \(a=\sqrt{7}+\sqrt{5}\) तथा \(b=\sqrt{7}-\sqrt{5}\) मानें। चरण 2: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}\) होगा। यहाँ \(a^2+b^2=24\) और (ab=2) इसलिए (x=12) है। चरण 3: संयुग्मी मूलों वाले भिन्नों में सीधे लंबा प्रसार करने के बजाय (a) और (b) रखकर हल करें।
View the product as (\(\sqrt{5}+\sqrt{2}\)\(\sqrt{5}-\sqrt{2}\)).
Step 2
Why this answer is correct
It gives (5-2=3).
Step 3
Exam Tip
You can rearrange the order of addition to recognize a conjugate form. चरण 1: गुणन को (\(\sqrt{5}+\sqrt{2}\)\(\sqrt{5}-\sqrt{2}\)) की तरह देखें। चरण 2: यह (5-2=3) देता है। चरण 3: जोड़ के क्रम को बदलकर संयुग्मी रूप पहचान सकते हैं।
Multiplying conjugate surds often removes the irrational part. चरण 1: यह ((u+v)(u-v)) के रूप में है। चरण 2: मान (11-3=8) आता है, जो परिमेय है। चरण 3: संयुग्मी पदों का गुणन अक्सर अपरिमेय भाग हटा देता है।
View (ab) as (\(\sqrt{3}+\sqrt{2}\)\(\sqrt{3}-\sqrt{2}\)).
Step 2
Why this answer is correct
This equals (\(\sqrt{3}\)2-\(\sqrt{2}\)2=3-2=1).
Step 3
Exam Tip
Since addition order does not change the sum, recognize the conjugate form. चरण 1: (ab=\(\sqrt{3}+\sqrt{2}\)\(\sqrt{3}-\sqrt{2}\)) के रूप में देखा जा सकता है। चरण 2: यह (\(\sqrt{3}\)2-\(\sqrt{2}\)2=3-2=1) है। चरण 3: क्रम बदलने से योग नहीं बदलता, इसलिए संयुग्मी रूप पहचानें।
Use the difference of squares in the denominator when multiplying by a conjugate. चरण 1: हर का संयुग्मी \(2-\sqrt{5}\) है। चरण 2: (\frac{3}{2+\sqrt{5}}\times\frac{2-\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}}=\frac{3\(2-\sqrt{5}\)}{4-5}=3\(\sqrt{5}-2\))। चरण 3: संयुग्मी से गुणा करते समय हर में अंतर के वर्ग का प्रयोग करें।
In conjugate multiplication, the middle irrational terms cancel. चरण 1: यह संयुग्मी संख्याओं का गुणन है। चरण 2: (ab=52-\(\sqrt{7}\)2=25-7=18)। चरण 3: संयुग्मी गुणन में बीच के अपरिमेय पद कट जाते हैं।
(ab=\(\sqrt{3}\)2-22=3-4=-1), which is rational and negative.
Step 3
Exam Tip
In conjugate multiplication, the middle irrational terms cancel. चरण 1: (a) और (b) संयुग्मी रूप में हैं। चरण 2: (ab=\(\sqrt{3}\)2-22=3-4=-1), जो परिमेय और ऋणात्मक है। चरण 3: संयुग्मी गुणन में बीच के अपरिमेय पद कट जाते हैं।
