Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(\frac{1}{s}=\sqrt{17}-4\), इसलिए \(s-\frac{1}{s}=8\) और \(s+\frac{1}{s}=2\sqrt{17}\)। अतः \(s^{2}-\frac{1}{s^{2}}=16\sqrt{17}\)। / Here \(\frac{1}{s}=\sqrt{17}-4\), so \(s-\frac{1}{s}=8\) and \(s+\frac{1}{s}=2\sqrt{17}\). Thus \(s^{2}-\frac{1}{s^{2}}=16\sqrt{17}\).
\(\frac{1}{8-\sqrt{63}}=8+\sqrt{63}\), क्योंकि (64-63=1) है। इसलिए \(\frac{1}{p}-p=2\sqrt{63}\)। / Since \(\frac{1}{8-\sqrt{63}}=8+\sqrt{63}\), because (64-63=1). Therefore, \(\frac{1}{p}-p=2\sqrt{63}\).
\(\frac{1}{7+4\sqrt{3}}=7-4\sqrt{3}\), क्योंकि (49-48=1) है। योग (14) मिलता है। / We have \(\frac{1}{7+4\sqrt{3}}=7-4\sqrt{3}\), because (49-48=1). The sum is (14).
हरों का गुणनफल (26-25=1) है और अंश (\(\sqrt{26}+5\)+\(\sqrt{26}-5\)=2\sqrt{26}) है। परीक्षा में संयुग्म भिन्नों को साथ जोड़ें। / The product of denominators is (26-25=1), and the numerator is (\(\sqrt{26}+5\)+\(\sqrt{26}-5\)=2\sqrt{26}). In exams, add conjugate fractions together.
हरों का गुणनफल (25-24=1) है और अंश \(2\sqrt{24}\) बनता है। परीक्षा में संयुग्म हरों का गुणनफल पहले निकालें। / The product of the denominators is (25-24=1), and the numerator becomes \(2\sqrt{24}\). In exams, first find the product of conjugate denominators.
\(\frac{1}{s}=\sqrt{10}-3\), इसलिए \(s-\frac{1}{s}=6\) और \(s+\frac{1}{s}=2\sqrt{10}\)। अतः \(s^{2}-\frac{1}{s^{2}}=12\sqrt{10}\)। / Here \(\frac{1}{s}=\sqrt{10}-3\), so \(s-\frac{1}{s}=6\) and \(s+\frac{1}{s}=2\sqrt{10}\). Thus \(s^{2}-\frac{1}{s^{2}}=12\sqrt{10}\).
\(\frac{1}{6-\sqrt{35}}=6+\sqrt{35}\), क्योंकि (36-35=1)। इसलिए \(\frac{1}{p}-p=2\sqrt{35}\)। / Since \(\frac{1}{6-\sqrt{35}}=6+\sqrt{35}\), because (36-35=1). Therefore, \(\frac{1}{p}-p=2\sqrt{35}\).
\(\frac{1}{5+2\sqrt{6}}=5-2\sqrt{6}\), क्योंकि गुणनफल (25-24=1) है। योग (10) मिलता है। / We have \(\frac{1}{5+2\sqrt{6}}=5-2\sqrt{6}\), because the product is (25-24=1). The sum is (10).
हरों का गुणनफल (10-9=1) है और अंश (\(\sqrt{10}+3\)-\(\sqrt{10}-3\)=6) है। परीक्षा में संयुग्म हरों का गुणनफल पहले निकालें। / The product of denominators is (10-9=1), and the numerator is (\(\sqrt{10}+3\)-\(\sqrt{10}-3\)=6). In exams, find the product of conjugate denominators first.
हरों का गुणनफल (16-15=1) है और अंश (8) बनता है। परीक्षा में संयुग्म हरों को साथ जोड़ना तेज तरीका है। / The product of the denominators is (16-15=1), and the numerator becomes (8). In exams, adding conjugate denominators together is a fast method.
\(\frac{1}{s}=\sqrt{7}-2\), इसलिए \(s-\frac{1}{s}=4\) और \(s+\frac{1}{s}=2\sqrt{7}\)। अतः \(s^{2}-\frac{1}{s^{2}}=8\sqrt{7}\)। / Here \(\frac{1}{s}=\sqrt{7}-2\), so \(s-\frac{1}{s}=4\) and \(s+\frac{1}{s}=2\sqrt{7}\). Thus \(s^{2}-\frac{1}{s^{2}}=8\sqrt{7}\).
\(\frac{1}{4-\sqrt{15}}=4+\sqrt{15}\), इसलिए (\frac{1}{p}-p=\(4+\sqrt{15}\)-\(4-\sqrt{15}\)=2\sqrt{15})। परीक्षा में हर (1) बनने पर संयुग्म सीधे उत्तर देता है। / Since \(\frac{1}{4-\sqrt{15}}=4+\sqrt{15}\), (\frac{1}{p}-p=\(4+\sqrt{15}\)-\(4-\sqrt{15}\)=2\sqrt{15}). In exams, the conjugate gives the reciprocal directly when the denominator product is (1).
\(\frac{1}{3+2\sqrt{2}}=3-2\sqrt{2}\), इसलिए योग (6) है। परीक्षा में ऐसी संख्याओं को संयुग्म से तुरंत उलटें। / Since \(\frac{1}{3+2\sqrt{2}}=3-2\sqrt{2}\), the sum is (6). In exams, use the conjugate quickly for such reciprocals.
हरों का गुणनफल (6-5=1) है और अंश (\(\sqrt{6}+\sqrt{5}\)+\(\sqrt{6}-\sqrt{5}\)=2\sqrt{6}) है। परीक्षा में संयुग्म भिन्नों को साथ जोड़ना आसान होता है। / The product of denominators is (6-5=1), and the numerator is (\(\sqrt{6}+\sqrt{5}\)+\(\sqrt{6}-\sqrt{5}\)=2\sqrt{6}). In exams, adding conjugate fractions is often easier together.
हरों का गुणनफल (\(3-\sqrt{8}\)\(3+\sqrt{8}\)=1) है और अंश \(2\sqrt{8}\) बनता है। परीक्षा में संयुग्म हरों का गुणनफल जल्दी निकालें। / The product of denominators is (\(3-\sqrt{8}\)\(3+\sqrt{8}\)=1), and the numerator becomes \(2\sqrt{8}\). In exams, quickly use the product of conjugate denominators.
पहला पद \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) और दूसरा पद \(\sqrt{3}+\sqrt{2}\) बनता है, इसलिए योग \(2\sqrt{3}\) है। परीक्षा में दोनों हरों को अलग-अलग परिमेय बनाएं। / The first term becomes \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\), and the second becomes \(\sqrt{3}+\sqrt{2}\), so the sum is \(2\sqrt{3}\). In exams, rationalize both denominators separately.
\(\frac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}\), इसलिए (\frac{1}{x}+x=\(2+\sqrt{3}\)+\(2-\sqrt{3}\)=4)। परीक्षा में संयुग्म संख्या तुरंत पहचानें। / Since \(\frac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}\), (\frac{1}{x}+x=\(2+\sqrt{3}\)+\(2-\sqrt{3}\)=4). In exams, identify conjugate numbers quickly.
\(\frac{1}{a}=2-\sqrt{3}\), इसलिए \(a+\frac{1}{a}=4\) और \(a^{2}+\frac{1}{a^{2}}=4^{2}-2=14\)। परीक्षा में (\left\(a+\frac{1}{a}\right\)^{2}) पहचान लगाएं। / Here \(\frac{1}{a}=2-\sqrt{3}\), so \(a+\frac{1}{a}=4\) and \(a^{2}+\frac{1}{a^{2}}=4^{2}-2=14\). In exams, use the identity (\left\(a+\frac{1}{a}\right\)^{2}).
\(\frac{1}{\sqrt{5}+2}\cdot\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}-2}=\frac{\sqrt{5}-2}{5-4}=\sqrt{5}-2\)। परीक्षा में हर के संयुग्म का प्रयोग करें। / Rationalizing gives \(\frac{1}{\sqrt{5}+2}\cdot\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}-2}=\frac{\sqrt{5}-2}{5-4}=\sqrt{5}-2\). In exams, use the conjugate of the denominator.
हर को परिमेय बनाने के लिए \(\frac{1}{2-\sqrt{3}}\cdot\frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}\)। परीक्षा में संयुग्म से गुणा करें। / To rationalize, \(\frac{1}{2-\sqrt{3}}\cdot\frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}\). In exams, multiply by the conjugate.
हर के संयुग्मी से गुणा करने पर \(\frac{30+2\sqrt{221}}{4}=\frac{15+\sqrt{221}}{2}\) मिलता है। परीक्षा में अंत में समान गुणनखंड से भाग जरूर करें। / Multiplying by the conjugate gives \(\frac{30+2\sqrt{221}}{4}=\frac{15+\sqrt{221}}{2}\). In exams divide by the common factor at the end.
हर के संयुग्मी से गुणा करने पर हर (10-9=1) बनता है। इसलिए मान \(\sqrt{10}+3\) है। / Multiplying by the conjugate of the denominator makes the denominator (10-9=1). Therefore the value is \(\sqrt{10}+3\).
हर के संयुग्मी से गुणा करने पर \(\frac{8-2\sqrt{15}}{2}=4-\sqrt{15}\) मिलता है। परीक्षा में अंत में भिन्न को सरल करें। / Multiplying by the conjugate gives \(\frac{8-2\sqrt{15}}{2}=4-\sqrt{15}\). In exams simplify the fraction at the end.
हर के संयुग्मी से गुणा करने पर अंश (\(\sqrt{5}-\sqrt{3}\)2=8-2\sqrt{15}) और हर (2) बनता है। इसलिए मान \(4-\sqrt{15}\) है पर सही सरल विकल्प A है। / Multiplying by the conjugate gives numerator (\(\sqrt{5}-\sqrt{3}\)2=8-2\sqrt{15}) and denominator (2). So the value is \(4-\sqrt{15}\) and the correct simple option is A.
(\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)=1), इसलिए प्रतिलोम \(2-\sqrt{3}\) है। परीक्षा में गुणनफल (1) जांचें। / (\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)=1), so the inverse is \(2-\sqrt{3}\). In exams check that the product is (1).
\(\frac{1}{2+\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}-2}{3}\) नहीं बल्कि हर (4-7=-3) से मान \(\frac{2-\sqrt{7}}{3}\) है इसलिए सीधा विकल्प नहीं बनेगा। सही सरलीकरण जांचे बिना उत्तर न चुनें। / \(\frac{1}{2+\sqrt{7}}\) equals \(\frac{2-\sqrt{7}}{-3}=\frac{\sqrt{7}-2}{3}\). So \(x+\frac{1}{x}=2+\sqrt{7}+\frac{\sqrt{7}-2}{3}=\frac{4+4\sqrt{7}}{3}\).
A. \(\frac{1}{5+\sqrt{2}}\) के लिए \(5-\sqrt{2}\)/For \(\frac{1}{5+\sqrt{2}}\) use \(5-\sqrt{2}\)
Explanation
Simple Explanation
\(5+\sqrt{2}\) का संयुग्मी \(5-\sqrt{2}\) है। परीक्षा में बीच का चिन्ह बदलना ही संयुग्मी बनाने की मुख्य बात है। / The conjugate of \(5+\sqrt{2}\) is \(5-\sqrt{2}\). In exams changing the middle sign is the key idea of a conjugate.
उलटा लेने के लिए हर और हर के चीन को संवत्सरित (rationalize) करना होता है। \(\frac{1}{x}=\frac{1}{4-\sqrt{15}}\) को गुणा-भाग करके उसके सह-आधार (conjugate) \(4+\sqrt{15}\) से गुणा करें: \(\frac{1}{4-\sqrt{15}}=\frac{4+\sqrt{15}}{(4-\sqrt{15})(4+\sqrt{15})}=\frac{4+\sqrt{15}}{4^2-(\sqrt{15})^2}=\frac{4+\sqrt{15}}{16-15}=4+\sqrt{15}\). इसलिए सही उत्तर \(4+\sqrt{15}\) है। विकल्प C इसलिए गलत है क्योंकि वहाँ हर के हर में गलती से हर का हर जोड़कर \(16+15=31\) कर दिया गया — सही तरीका है घटाव \(a^2-b^2\)। विकल्प B मूल संख्या ही है, अंतरण नहीं। परीक्षात्मक टिप: द्विघात-रूप में राशियों का व्युत्क्रम लेने के लिए संयोगिक सह-आधार से गुणा करें और हर को \(a^2-b^2\) से सरल करें। / Take reciprocal by rationalizing denominator using the conjugate. \(\dfrac{1}{4-\sqrt{15}}=\dfrac{4+\sqrt{15}}{(4-\sqrt{15})(4+\sqrt{15})}=\dfrac{4+\sqrt{15}}{4^2-(\sqrt{15})^2}=\dfrac{4+\sqrt{15}}{16-15}=4+\sqrt{15}\). Thus the reciprocal is \(4+\sqrt{15}\). Option C is a common arithmetic error where someone adds squares to get \(31\) (i.e. uses \(16+15\)) instead of using the difference \(a^2-b^2\). Option B is just the original number, not its reciprocal. Exam tip: multiply numerator and denominator by the conjugate and use \(a^2-b^2\) to simplify quickly.
हर का संयुग्मी \(\sqrt{13}+2\) है और हर (13-4=9) बनता है। इसलिए मान (\frac{3\(\sqrt{13}+2\)}{9}=\frac{\sqrt{13}+2}{3}) है। / The conjugate of the denominator is \(\sqrt{13}+2\) and the denominator becomes (13-4=9). Hence the value is (\frac{3\(\sqrt{13}+2\)}{9}=\frac{\sqrt{13}+2}{3}).
क्योंकि (\(\sqrt{13}+\sqrt{12}\)\(\sqrt{13}-\sqrt{12}\)=1), इसलिए व्युत्क्रम \(\sqrt{13}-\sqrt{12}\) है। परीक्षा में (a-b=1) वाले संयुग्मी जल्दी पहचानें। / Since (\(\sqrt{13}+\sqrt{12}\)\(\sqrt{13}-\sqrt{12}\)=1), the reciprocal is \(\sqrt{13}-\sqrt{12}\). In exams quickly identify conjugates where (a-b=1).
