Multiplying by the conjugate makes the denominator rational. चरण 1: हर को \(\sqrt{5}-1\) से गुणा करें। चरण 2: (\frac{2\(\sqrt{5}-1\)}{5-1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2})। चरण 3: संयुग्मी से गुणा करने पर हर परिमेय बन जाता है।
A. \(\frac{3\sqrt{2}}{2}\) और अपरिमेय/\(\frac{3\sqrt{2}}{2}\) and irrational
Step 1
Concept
\(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\) which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Rationalize the denominator before combining terms. चरण 1: \(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)। चरण 2: \(\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\) जो अपरिमेय है। चरण 3: जोड़ने से पहले हर को परिमेय बनाने की आदत रखें।
(\(\sqrt{3}+1\)\(\sqrt{3}-1\)=3-1=2) which is rational.
Step 3
Exam Tip
Product of conjugates often removes the radical. चरण 1: यह अंतर के वर्ग का रूप है। चरण 2: (\(\sqrt{3}+1\)\(\sqrt{3}-1\)=3-1=2) जो परिमेय है। चरण 3: संयुग्मी पदों का गुणनफल अक्सर वर्गमूल हटा देता है।
Do not forget to rationalize the denominator at the end. चरण 1: \(a-b=2\sqrt{2}\) और \(a+b=2\sqrt{3}\)। चरण 2: \(\frac{a-b}{a+b}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\)। चरण 3: अंत में हर को परिमेय बनाना न भूलें।
Therefore \(5+\sqrt{24}\) is the reciprocal of \(5-\sqrt{24}\).
Step 3
Exam Tip
If conjugates multiply to (1), the reciprocal is directly the conjugate. चरण 1: (\(5-\sqrt{24}\)\(5+\sqrt{24}\)=25-24=1)। चरण 2: इसलिए \(5+\sqrt{24}\), \(5-\sqrt{24}\) का व्युत्क्रम है। चरण 3: यदि संयुग्मी गुणन (1) दे, तो व्युत्क्रम सीधे संयुग्मी होता है।
The conjugate of the denominator is \(\sqrt{5}-\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
The denominator becomes (5-2=3), so the form is \(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}\).
Step 3
Exam Tip
For a sum of two surds, the conjugate changes the sign between them. चरण 1: हर का संयुग्मी \(\sqrt{5}-\sqrt{2}\) है। चरण 2: हर (5-2=3) बनता है, इसलिए रूप \(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}\) है। चरण 3: दो मूलों के योग में संयुग्मी का चिह्न बदलता है।
Hence \(x+\frac{1}{x}=4\), so \(x^2+\frac{1}{x^2}=4^2-2=14\).
Step 3
Exam Tip
Finding \(x+\frac{1}{x}\) first saves long calculation. चरण 1: \(\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}\) होता है। चरण 2: इसलिए \(x+\frac{1}{x}=4\), अतः (x-2+\frac{1}{x-2}=(4)2-2=14)। चरण 3: पहले \(x+\frac{1}{x}\) निकालना लंबी गणना बचाता है।
Multiply by \(\sqrt{10}+\sqrt{6}\) to rationalize the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
The numerator becomes (\(\sqrt{10}+\sqrt{6}\)2=16+2\sqrt{60}) and the denominator is (10-6=4), so the value is \(4+\sqrt{15}\).
Step 3
Exam Tip
In conjugate fractions, clear the denominator first. चरण 1: हर को परिमेय बनाने के लिए \(\sqrt{10}+\sqrt{6}\) से गुणा करें। चरण 2: ऊपर (\(\sqrt{10}+\sqrt{6}\)2=16+2\sqrt{60}) और नीचे (10-6=4) मिलता है, इसलिए मान \(4+\sqrt{15}\) है। चरण 3: संयुग्मी वाले भिन्नों में हर को पहले साफ करें।
First observe the common structure and take \(a=\sqrt{7}+\sqrt{5}\) and \(b=\sqrt{7}-\sqrt{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}\). Here \(a^2+b^2=24\) and (ab=2), so (x=12).
Step 3
Exam Tip
For fractions with conjugate surds, use substitution instead of expanding everything directly. चरण 1: पहले दोनों भिन्नों का साझा रूप देखें और \(a=\sqrt{7}+\sqrt{5}\) तथा \(b=\sqrt{7}-\sqrt{5}\) मानें। चरण 2: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}\) होगा। यहाँ \(a^2+b^2=24\) और (ab=2) इसलिए (x=12) है। चरण 3: संयुग्मी मूलों वाले भिन्नों में सीधे लंबा प्रसार करने के बजाय (a) और (b) रखकर हल करें।
Rationalize the denominator of \(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}\).
Step 2
Why this answer is correct
The numerator becomes (\(\sqrt{6}+\sqrt{2}\)2=8+4\sqrt{3}), and the denominator is (6-2=4), so the value is \(2+\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
Multiplying by the conjugate is effective in such quotients. चरण 1: \(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}\) में हर को संयुग्मी से परिमेय करें। चरण 2: ऊपर (\(\sqrt{6}+\sqrt{2}\)2=8+4\sqrt{3}) और नीचे (6-2=4), इसलिए मान \(2+\sqrt{3}\) है। चरण 3: भाग में संयुग्मी से गुणा करना प्रभावी तरीका है।
When multiplying by the conjugate, the numerator may become a full square. चरण 1: हर को परिमेय बनाने के लिए \(2+\sqrt{3}\) से गुणा करें। चरण 2: (\frac{\(2+\sqrt{3}\)2}{4-3}=4+4\sqrt{3}+3=7+4\sqrt{3})। चरण 3: संयुग्मी से गुणा करते समय ऊपर भी पूरा वर्ग बनता है।
(x-\frac{2}{x}=\(\sqrt{5}+\sqrt{3}\)-\(\sqrt{5}-\sqrt{3}\)=2\sqrt{3}). चरण 1: \(\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}\) होता है। चरण 2: इसलिए \(\frac{2}{x}=\sqrt{5}-\sqrt{3}\)। चरण 3: (x-\frac{2}{x}=\(\sqrt{5}+\sqrt{3}\)-\(\sqrt{5}-\sqrt{3}\)=2\sqrt{3})।
Recognizing the conjugate reciprocal saves long calculation. चरण 1: \(\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}\) होता है। चरण 2: (x+\frac{1}{x}=\(2+\sqrt{3}\)+\(2-\sqrt{3}\)=4)। चरण 3: संयुग्मी व्युत्क्रम को पहचानने से लंबी गणना बचती है।
The conjugate of \(\sqrt{3}+\sqrt{2}\) is \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
The denominator becomes (3-2=1), so \(\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}\).
Step 3
Exam Tip
When the difference of the squared surds is (1), the result becomes very simple. चरण 1: \(\sqrt{3}+\sqrt{2}\) का संयुग्मी \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) है। चरण 2: हर (3-2=1) बनता है, इसलिए \(\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}\)। चरण 3: जिन दो मूलों के वर्गों का अंतर (1) हो, वहाँ उत्तर बहुत सरल आता है।
The conjugate of the denominator is \(\sqrt{6}+\sqrt{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
The denominator becomes (\(\sqrt{6}\)2-\(\sqrt{5}\)2=6-5=1).
Step 3
Exam Tip
When the denominator is a difference of two surds, multiply by its conjugate. चरण 1: हर का संयुग्मी \(\sqrt{6}+\sqrt{5}\) है। चरण 2: हर (\(\sqrt{6}\)2-\(\sqrt{5}\)2=6-5=1) बनता है। चरण 3: जब हर में दो मूलों का अंतर हो, तो संयुग्मी से गुणा करें।
Choosing the correct conjugate sign is very important. चरण 1: हर का संयुग्मी \(\sqrt{2}-1\) है। चरण 2: (\frac{2}{\sqrt{2}+1}\times\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}=\frac{2\(\sqrt{2}-1\)}{2-1}=2\sqrt{2}-2)। चरण 3: संयुग्मी का सही चिह्न चुनना बहुत जरूरी है।
Multiplying by the conjugate removes the radical from the denominator. चरण 1: \(\frac{1}{2-\sqrt{3}}\) में हर का संयुग्मी \(2+\sqrt{3}\) है। चरण 2: \(\frac{1}{2-\sqrt{3}}\times\frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}\)। चरण 3: हर में संयुग्मी से गुणा करने पर मूल हट जाता है।
Use the difference of squares in the denominator when multiplying by a conjugate. चरण 1: हर का संयुग्मी \(2-\sqrt{5}\) है। चरण 2: (\frac{3}{2+\sqrt{5}}\times\frac{2-\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}}=\frac{3\(2-\sqrt{5}\)}{4-5}=3\(\sqrt{5}-2\))। चरण 3: संयुग्मी से गुणा करते समय हर में अंतर के वर्ग का प्रयोग करें।
The denominator has \(\sqrt{5}\), which is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Rationalizing gives \(x=\frac{2\sqrt{5}}{5}\), a non-zero rational multiple of an irrational number.
Step 3
Exam Tip
Rationalizing the denominator often reveals the number type clearly. चरण 1: हर में \(\sqrt{5}\) है, जो अपरिमेय है। चरण 2: हर को परिमेय बनाने पर \(x=\frac{2\sqrt{5}}{5}\) मिलेगा, जो अशून्य परिमेय गुणक के साथ अपरिमेय है। चरण 3: हर परिमेय बनाने से संख्या की प्रकृति साफ दिखती है।
Rationalizing the denominator gives a cleaner exam answer. चरण 1: हर को परिमेय बनाने के लिए ऊपर और नीचे \(\sqrt{3}\) से गुणा करें। चरण 2: \(\frac{1}{\sqrt{3}}\times\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)। चरण 3: हर को मूल से मुक्त करना परीक्षा में साफ उत्तर देता है।
