If \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) were rational then its reciprocal \(\sqrt{3}\) would be rational.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{3}\) is irrational so the given number is irrational.
Step 3
Exam Tip
A denominator with an irrational radical does not make the value rational automatically. चरण 1: यदि \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) परिमेय हो तो उसका व्युत्क्रम \(\sqrt{3}\) भी परिमेय होगा। चरण 2: \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है इसलिए दी गई संख्या भी अपरिमेय है। चरण 3: अपरिमेय हर देखकर उसे अपने आप परिमेय न मानें।
When conjugates multiply to (1), the reciprocal is immediate. चरण 1: \(\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\sqrt{5}+2\), क्योंकि (\(\sqrt{5}-2\)\(\sqrt{5}+2\)=1)। चरण 2: इसलिए (x+\frac{1}{x}=\(\sqrt{5}-2\)+\(\sqrt{5}+2\)=2\sqrt{5})। चरण 3: जहाँ संयुग्मी गुणन (1) दे, वहाँ व्युत्क्रम तुरंत मिल जाता है।
Therefore \(5+\sqrt{24}\) is the reciprocal of \(5-\sqrt{24}\).
Step 3
Exam Tip
If conjugates multiply to (1), the reciprocal is directly the conjugate. चरण 1: (\(5-\sqrt{24}\)\(5+\sqrt{24}\)=25-24=1)। चरण 2: इसलिए \(5+\sqrt{24}\), \(5-\sqrt{24}\) का व्युत्क्रम है। चरण 3: यदि संयुग्मी गुणन (1) दे, तो व्युत्क्रम सीधे संयुग्मी होता है।
Its reciprocal is \(3-\sqrt{8}\), because (\(3+\sqrt{8}\)\(3-\sqrt{8}\)=1). Hence the sum is (6), which is rational.
Step 3
Exam Tip
When conjugates multiply to (1), the reciprocal is easy to identify. चरण 1: \(3+\sqrt{8}=3+2\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 2: इसका व्युत्क्रम \(3-\sqrt{8}\) है, क्योंकि (\(3+\sqrt{8}\)\(3-\sqrt{8}\)=1)। इसलिए योग (6) परिमेय है। चरण 3: जिन संयुग्मियों का गुणन (1) हो, वहाँ व्युत्क्रम तुरंत मिल सकता है।
Recognizing the conjugate reciprocal saves long calculation. चरण 1: \(\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}\) होता है। चरण 2: (x+\frac{1}{x}=\(2+\sqrt{3}\)+\(2-\sqrt{3}\)=4)। चरण 3: संयुग्मी व्युत्क्रम को पहचानने से लंबी गणना बचती है।
Its reciprocal \(\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}\) is also irrational.
Step 3
Exam Tip
Do not assume the reciprocal of a non-zero irrational surd is rational. चरण 1: \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) अपरिमेय है। चरण 2: इसका व्युत्क्रम \(\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}\) भी अपरिमेय है। चरण 3: अशून्य अपरिमेय मूल के व्युत्क्रम को परिमेय मानने की गलती न करें।
If \(\frac{1}{x}\) is rational and non-zero, then its reciprocal is also rational.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore (x) is rational, not irrational.
Step 3
Exam Tip
In reciprocal questions, always check the non-zero condition. चरण 1: यदि \(\frac{1}{x}\) परिमेय है और शून्य नहीं है, तो उसका व्युत्क्रम भी परिमेय होगा। चरण 2: इसलिए (x) परिमेय होगा, अपरिमेय नहीं। चरण 3: व्युत्क्रम वाले प्रश्नों में शून्य की शर्त जरूर देखें।
