Therefore \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) is its reciprocal.
Step 3
Exam Tip
In reciprocals, keep the order and sign of the conjugate carefully. चरण 1: (\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)\(\sqrt{3}-\sqrt{2}\)=3-2=1)। चरण 2: इसलिए \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) इसका व्युत्क्रम है। चरण 3: व्युत्क्रम में संयुग्मी का क्रम और चिह्न सावधानी से रखें।
Its reciprocal \(\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}\) is also irrational.
Step 3
Exam Tip
Do not assume the reciprocal of a non-zero irrational surd is rational. चरण 1: \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) अपरिमेय है। चरण 2: इसका व्युत्क्रम \(\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}\) भी अपरिमेय है। चरण 3: अशून्य अपरिमेय मूल के व्युत्क्रम को परिमेय मानने की गलती न करें।
If \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) were rational then its reciprocal \(\sqrt{3}\) would be rational.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{3}\) is irrational so the given number is irrational.
Step 3
Exam Tip
A denominator with an irrational radical does not make the value rational automatically. चरण 1: यदि \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) परिमेय हो तो उसका व्युत्क्रम \(\sqrt{3}\) भी परिमेय होगा। चरण 2: \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है इसलिए दी गई संख्या भी अपरिमेय है। चरण 3: अपरिमेय हर देखकर उसे अपने आप परिमेय न मानें।
Dividing by a non-zero rational number is the same as multiplying by its reciprocal.
Step 2
Why this answer is correct
An irrational number multiplied by a non-zero rational number remains irrational.
Step 3
Exam Tip
Convert division questions into multiplication for easier reasoning. चरण 1: शून्य रहित परिमेय से भाग देना उसी के व्युत्क्रम से गुणा करना है। चरण 2: अपरिमेय संख्या को शून्य रहित परिमेय से गुणा करने पर अपरिमेय संख्या मिलती है। चरण 3: भाग के प्रश्नों को गुणा में बदलकर सोचें।
In cube-type questions, finding \(x+\frac{1}{x}\) first is the easier method. चरण 1: (\(\sqrt{6}+\sqrt{5}\)\(\sqrt{6}-\sqrt{5}\)=1), इसलिए \(\frac{1}{x}=\sqrt{6}-\sqrt{5}\)। चरण 2: \(x+\frac{1}{x}=2\sqrt{6}\), अतः (x-3+\frac{1}{x-3}=\(2\sqrt{6}\)3-3\(2\sqrt{6}\)=42\sqrt{6})। चरण 3: घन वाले प्रश्नों में पहले \(x+\frac{1}{x}\) निकालना आसान तरीका है।
When conjugates multiply to (1), the reciprocal is immediate. चरण 1: \(\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\sqrt{5}+2\), क्योंकि (\(\sqrt{5}-2\)\(\sqrt{5}+2\)=1)। चरण 2: इसलिए (x+\frac{1}{x}=\(\sqrt{5}-2\)+\(\sqrt{5}+2\)=2\sqrt{5})। चरण 3: जहाँ संयुग्मी गुणन (1) दे, वहाँ व्युत्क्रम तुरंत मिल जाता है।
Therefore \(5+\sqrt{24}\) is the reciprocal of \(5-\sqrt{24}\).
Step 3
Exam Tip
If conjugates multiply to (1), the reciprocal is directly the conjugate. चरण 1: (\(5-\sqrt{24}\)\(5+\sqrt{24}\)=25-24=1)। चरण 2: इसलिए \(5+\sqrt{24}\), \(5-\sqrt{24}\) का व्युत्क्रम है। चरण 3: यदि संयुग्मी गुणन (1) दे, तो व्युत्क्रम सीधे संयुग्मी होता है।
Using the identity \(x^2+\frac{1}{x^2}=10\), we get \(x^4-10x^2+1=0\).
Step 3
Exam Tip
In such questions, recognize the relation between (x) and its conjugate reciprocal. चरण 1: \(x^2=5+2\sqrt{6}\) है। चरण 2: \(x^2+\frac{1}{x^2}=10\) की पहचान से \(x^4-10x^2+1=0\) मिलता है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में (x) और उसके संयुग्मी व्युत्क्रम का संबंध पहचानें।
Its reciprocal is \(3-\sqrt{8}\), because (\(3+\sqrt{8}\)\(3-\sqrt{8}\)=1). Hence the sum is (6), which is rational.
Step 3
Exam Tip
When conjugates multiply to (1), the reciprocal is easy to identify. चरण 1: \(3+\sqrt{8}=3+2\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 2: इसका व्युत्क्रम \(3-\sqrt{8}\) है, क्योंकि (\(3+\sqrt{8}\)\(3-\sqrt{8}\)=1)। इसलिए योग (6) परिमेय है। चरण 3: जिन संयुग्मियों का गुणन (1) हो, वहाँ व्युत्क्रम तुरंत मिल सकता है।
Hence \(x+\frac{1}{x}=4\), so \(x^2+\frac{1}{x^2}=4^2-2=14\).
Step 3
Exam Tip
Finding \(x+\frac{1}{x}\) first saves long calculation. चरण 1: \(\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}\) होता है। चरण 2: इसलिए \(x+\frac{1}{x}=4\), अतः (x-2+\frac{1}{x-2}=(4)2-2=14)। चरण 3: पहले \(x+\frac{1}{x}\) निकालना लंबी गणना बचाता है।
Recognizing the conjugate reciprocal saves long calculation. चरण 1: \(\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}\) होता है। चरण 2: (x+\frac{1}{x}=\(2+\sqrt{3}\)+\(2-\sqrt{3}\)=4)। चरण 3: संयुग्मी व्युत्क्रम को पहचानने से लंबी गणना बचती है।
The conjugate of \(\sqrt{3}+\sqrt{2}\) is \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
The denominator becomes (3-2=1), so \(\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}\).
Step 3
Exam Tip
When the difference of the squared surds is (1), the result becomes very simple. चरण 1: \(\sqrt{3}+\sqrt{2}\) का संयुग्मी \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) है। चरण 2: हर (3-2=1) बनता है, इसलिए \(\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}\)। चरण 3: जिन दो मूलों के वर्गों का अंतर (1) हो, वहाँ उत्तर बहुत सरल आता है।
If \(\frac{1}{x}\) is rational and non-zero, then its reciprocal is also rational.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore (x) is rational, not irrational.
Step 3
Exam Tip
In reciprocal questions, always check the non-zero condition. चरण 1: यदि \(\frac{1}{x}\) परिमेय है और शून्य नहीं है, तो उसका व्युत्क्रम भी परिमेय होगा। चरण 2: इसलिए (x) परिमेय होगा, अपरिमेय नहीं। चरण 3: व्युत्क्रम वाले प्रश्नों में शून्य की शर्त जरूर देखें।
Dividing by a non-zero rational number is the same as multiplying by its reciprocal.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{1}{r}\) is also a non-zero rational number, so \(\frac{x}{r}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
In division questions, always check that the denominator is not zero. चरण 1: अशून्य परिमेय संख्या से भाग देना उसी के व्युत्क्रम से गुणा करने जैसा है। चरण 2: \(\frac{1}{r}\) भी अशून्य परिमेय है, इसलिए \(\frac{x}{r}\) अपरिमेय रहेगा। चरण 3: भाग वाले प्रश्न में हर के शून्य न होने की शर्त जरूर देखें।
