Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(p(1)=a+b+c) और (p(-1)=a-b+c) हैं, घटाने पर (2b=0) मिलता है। परीक्षा में सममित मानों पर जोड़-घटाव जल्दी करें। / (p(1)=a+b+c) and (p(-1)=a-b+c); subtracting gives (2b=0). In exams, use addition or subtraction for symmetric inputs.
गुणनखंड प्रमेय से (p(2)=0), इसलिए (8+4k-8-4=0) और (k=1)। परीक्षा में पहले दिए गए मूल को सीधे रखिए। / By factor theorem (p(2)=0), so (8+4k-8-4=0) and (k=1). In exams, substitute the given zero directly.
शेष प्रमेय से (p(-1)=0), इसलिए (-2-5-m+6=0) और (m=-1) नहीं, सही समीकरण (-1-m=0) देता है (m=-1)। / By remainder theorem (p(-1)=0), so (-2-5-m+6=0), giving (-1-m=0) and (m=-1). Always check signs carefully.
सबसे बड़ी घात \(x^4\) है, इसलिए घात (4) है। शून्य गुणांक वाले पदों को घात तय करने में नहीं गिनते। / The highest power is \(x^4\), so the degree is (4). Terms with zero coefficients do not affect the degree.
(p(2)=12-14+5=3) और (p(1)=3-7+5=1), इसलिए अंतर (2) है। यहाँ सही विकल्प (2) होना चाहिए था, इसलिए गणना से विकल्प मिलाइए। / (p(2)=12-14+5=3) and (p(1)=3-7+5=1), so the difference is (2). Match every option after calculation to avoid traps.
द्विघात होने के लिए \(x^3\) का गुणांक (0) होना चाहिए और \(x^2\) का गुणांक अशून्य है। घात पहचानते समय प्रमुख पद पर ध्यान दें। / For it to be quadratic, the coefficient of \(x^3\) must be (0), while the coefficient of \(x^2\) is non-zero. Focus on the leading non-zero term.
घात (2) से अधिक न हो इसके लिए \(x^4\) का गुणांक (0) चाहिए, अतः (m-2=0)। उच्चतम पद हटाकर ही घात घटती है। / To make the degree not more than (2), the coefficient of \(x^4\) must be (0), so (m-2=0). Degree reduces only when the highest term vanishes.
यह ((x-1)3) है, इसलिए (x=1) पर मान (0) है। पहचान सूत्र देखकर समय बचाइए। / It is ((x-1)3), so at (x=1) the value is (0). Recognizing identities saves time.
(x-2-9=(x-3)(x+3)), इसलिए शून्यक (3) और (-3) हैं। वर्गों के अंतर को तुरंत पहचानें। / (x-2-9=(x-3)(x+3)), so the zeroes are (3) and (-3). Identify difference of squares quickly.
A. दो समान शून्यक (-3,-3)/Two equal zeroes (-3,-3)
Explanation
Simple Explanation
(x-2+6x+9=(x+3)2), इसलिए शून्यक (-3) दो बार आता है। पूर्ण वर्ग त्रिपद समान शून्यक देता है। / (x-2+6x+9=(x+3)2), so (-3) occurs twice. A perfect square trinomial gives equal zeroes.
द्विघात \(ax^2+bx+c\) में शून्यकों का योग \(-\frac{b}{a}\) होता है। यहाँ \(-\frac{-7}{2}=\frac{7}{2}\) है। / For \(ax^2+bx+c\), the sum of zeroes is \(-\frac{b}{a}\). Here \(-\frac{-7}{2}=\frac{7}{2}\).
द्विघात \(ax^2+bx+c\) में शून्यकों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(\frac{-8}{5}=-\frac{8}{5}\) है। / For \(ax^2+bx+c\), the product of zeroes is \(\frac{c}{a}\). Here \(\frac{-8}{5}=-\frac{8}{5}\).
शून्यक (2) और (5) होने पर बहुपद ((x-2)(x-5)=x-2-7x+10) है। मोनिक बहुपद में \(x^2\) का गुणांक (1) होता है। / With zeroes (2) and (5), the polynomial is ((x-2)(x-5)=x-2-7x+10). A monic polynomial has leading coefficient (1).
\(मोनिक द्विघात (x^2-(\)योग)x+गुणनफल) होता है। इसलिए (x-2-(-4)x+7=x-2+4x+7) है। \(/ A monic quadratic is (x^2-(\)sum)x+product\(). Hence (x^2-(-4)x+7=x^2+4x+7).\)
शून्यकों का योग (3+k) है और बहुपद से योग (k+2) है, अतः (3+k=k+2) असंभव है। इसलिए दिए गए विकल्पों में कोई नहीं होना चाहिए, यह अवधारणा जाँचने वाला जाल है। / The sum of zeroes is (3+k), while the polynomial gives sum (k+2), so (3+k=k+2) is impossible. This is a conceptual trap.
शून्यकों का योग (2+(-1)=1) है और योग \(-\frac{b}{a}\) होता है। इसलिए \(\frac{b}{a}=-1\) है। / The sum of zeroes is (2+(-1)=1), and it equals \(-\frac{b}{a}\). Therefore \(\frac{b}{a}=-1\).
(p(2)=8-16+2+6=0), इसलिए (2) शून्यक है। विकल्पों में छोटे पूर्णांकों को पहले जाँचें। / (p(2)=8-16+2+6=0), so (2) is a zero. Test small integer options first.
(x-3-6x-2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3)) है। गुणनखंडों से शून्यक सीधे मिलते हैं। / (x-3-6x-2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3)). Zeroes are read directly from the factors.
(p(-3)=-27+27+12-12=0), इसलिए (x+3) गुणनखंड है। (x+a) के लिए (x=-a) रखकर जाँचें। / (p(-3)=-27+27+12-12=0), so (x+3) is a factor. For (x+a), test (x=-a).
A. समान वास्तविक शून्यक \(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\)/Equal real zeroes \(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
(4x-2-12x+9=(2x-3)2), इसलिए समान शून्यक \(\frac{3}{2}\) हैं। पूर्ण वर्ग रूप समान शून्यक बताता है। / (4x-2-12x+9=(2x-3)2), so the equal zeroes are \(\frac{3}{2}\). A perfect square form indicates equal zeroes.
योग (-1) है, इसलिए (p=1), और गुणनफल (-20) है, इसलिए (q=-20)। अतः (p+q=-19) है। / The sum is (-1), so (p=1), and the product is (-20), so (q=-20). Hence (p+q=-19).
शून्यकों का योग (2(k+1)) है, इसलिए (2(k+1)=10) और (k=4)। सूत्र लगाते समय ऋण चिह्न संभालें। / The sum of zeroes is (2(k+1)), so (2(k+1)=10) and (k=4). Handle the negative sign carefully in the formula.
योग \(-\frac{m-1}{3}\) है, इसे (0) रखने पर (m-1=0) मिलता है। शून्य योग में (x) का गुणांक (0) हो जाता है। / The sum is \(-\frac{m-1}{3}\); setting it to (0) gives (m-1=0). When the sum is zero, the coefficient of (x) becomes zero.
गुणनफल \(\frac{4}{k}\) है, इसलिए \(\frac{4}{k}=2\) और (k=2)। गुणनफल में स्थिर पद को प्रमुख गुणांक से भाग देते हैं। / The product is \(\frac{4}{k}\), so \(\frac{4}{k}=2\) and (k=2). Product equals constant term divided by leading coefficient.
यदि शून्यक \(\alpha,\beta\) हैं, तो \(\alpha+\beta=8\) और \(\alpha\beta=15\)। (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta=64-30=34)। / If the zeroes are \(\alpha,\beta\), then \(\alpha+\beta=8\) and \(\alpha\beta=15\). (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta=64-30=34).
\(\alpha+\beta=\frac{9}{2}\) और \(\alpha\beta=2\) हैं। इसलिए \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{9}{4}\)। / \(\alpha+\beta=\frac{9}{2}\) and \(\alpha\beta=2\). Hence \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{9}{4}\).
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=25-24=1)। इस पहचान से शून्यक निकाले बिना उत्तर मिल जाता है। / (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=25-24=1). This identity avoids finding the zeroes separately.
नए शून्यकों का योग \(\alpha+\beta+2=8\) और गुणनफल \(\alpha\beta+\alpha+\beta+1=15\) है। अतः बहुपद \(x^2-8x+15\) है। / The new sum is \(\alpha+\beta+2=8\) and product is \(\alpha\beta+\alpha+\beta+1=15\). Thus the polynomial is \(x^2-8x+15\).
शून्यक (-2,0,3) हैं, इसलिए बहुपद (x(x+2)(x-3)=x-3-x-2-6x) है। (x)-अक्ष काटने के बिंदु शून्यक बताते हैं। / The zeroes are (-2,0,3), so the polynomial is (x(x+2)(x-3)=x-3-x-2-6x). Intersections with the (x)-axis give zeroes.
A. इसकी घात परिभाषित नहीं होती/Its degree is not defined
Explanation
Simple Explanation
शून्य बहुपद में कोई अशून्य पद नहीं होता, इसलिए उसकी घात परिभाषित नहीं होती। स्थिर अशून्य बहुपद की घात (0) होती है। / The zero polynomial has no non-zero term, so its degree is not defined. A non-zero constant polynomial has degree (0).
स्थिर बहुपद में चर का पद नहीं होता, इसलिए (7) स्थिर बहुपद है। अशून्य स्थिर बहुपद की घात (0) होती है। / A constant polynomial has no variable term, so (7) is a constant polynomial. A non-zero constant polynomial has degree (0).
गुणांक \(\sqrt{5}\) और \(-\frac{2}{3}\) वास्तविक संख्याएँ हैं और सबसे बड़ी घात (3) है। इसलिए यह घन बहुपद है। / The coefficients \(\sqrt{5}\) and \(-\frac{2}{3}\) are real numbers and the highest power is (3). Hence it is a cubic polynomial.
रेखीय बहुपद की घात (1) होती है, इसलिए (5x-9) रेखीय है। प्रमुख गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए। / A linear polynomial has degree (1), so (5x-9) is linear. Its leading coefficient must be non-zero.
(ax+b=0) रखने पर \(x=-\frac{b}{a}\) मिलता है। रेखीय बहुपद में केवल एक शून्यक होता है। / Putting (ax+b=0) gives \(x=-\frac{b}{a}\). A linear polynomial has exactly one zero.
(4x-12=0) से (x=3) मिलता है। शून्यक वह मान है जहाँ बहुपद का मान (0) हो। / From (4x-12=0), we get (x=3). A zero is the value where the polynomial becomes (0).
A. हर पद में (x) गुणनखंड है/Every term has factor (x)
Explanation
Simple Explanation
(p(x)=x\(7x^2-2\)), इसलिए (x=0) पर मान (0) होता है। यदि हर पद में (x) हो, तो (0) शून्यक होता है। / (p(x)=x\(7x^2-2\)), so at (x=0) the value is (0). If every term has (x), then (0) is a zero.
वास्तविक (x) के लिए \(x^2\geq0\), इसलिए \(x^2+1>0\) रहता है। अतः इसका कोई वास्तविक शून्यक नहीं है। / For real (x), \(x^2\geq0\), so \(x^2+1>0\). Hence it has no real zero.
शून्यकों से बहुपद ((x+1)(x-4)=x-2-3x-4) बनता है। चिन्ह बदलते समय सावधानी रखें। / The polynomial is ((x+1)(x-4)=x-2-3x-4). Be careful with signs while forming factors.
A. कोई भी अशून्य वास्तविक संख्या/Any non-zero real number
Explanation
Simple Explanation
योग (a) और गुणनफल (a) दोनों समान हैं। इसलिए \(a\neq0\) के लिए हर अशून्य (a) काम करता है। / The sum is (a) and the product is also (a). Therefore every non-zero (a) works.
बराबर शून्यकों के लिए विविक्तकर (0) होता है, अतः \(k^2-4\cdot2\cdot8=0\)। इसलिए \(k^2=64\) है। / For equal zeroes, the discriminant is (0), so \(k^2-4\cdot2\cdot8=0\). Hence \(k^2=64\).
शून्यक (t) और (2t) मानें, तो \(2t^2=16\) से \(t=2\sqrt{2}\) है। योग \(6\sqrt{2}\) है, इसलिए \(-k=6\sqrt{2}\) और \(k=-6\sqrt{2}\)। / Let the zeroes be (t) and (2t), then \(2t^2=16\) gives \(t=2\sqrt{2}\). The sum is \(6\sqrt{2}\), so \(-k=6\sqrt{2}\) and \(k=-6\sqrt{2}\).
शून्यकों का गुणनफल (-18) है। एक शून्यक (3) है, इसलिए दूसरा \(-18\div3=-6\) है। / The product of zeroes is (-18). Since one zero is (3), the other is \(-18\div3=-6\).
(p(-3)=-27+21+6=0), इसलिए (x+3) वास्तव में गुणनखंड है। सही जाँच में यह प्रश्न विकल्प-त्रुटि दिखाता है, इसलिए हर विकल्प को (p(a)) से जाँचें। / (p(-3)=-27+21+6=0), so (x+3) is actually a factor. This reveals an option error, so check each option using (p(a)).
(x-4-1=\(x^2-1\)\(x^2+1\)) है। \(x^2+1\) के वास्तविक शून्यक नहीं हैं, इसलिए अतिरिक्त वास्तविक शून्यक (0) हैं। / (x-4-1=\(x^2-1\)\(x^2+1\)). Since \(x^2+1\) has no real zeroes, there are (0) extra real zeroes.
(x-2-2x+2=(x-1)2+1), जो हर वास्तविक (x) के लिए धनात्मक है। इसलिए इसका कोई वास्तविक शून्यक नहीं है। / (x-2-2x+2=(x-1)2+1), which is positive for every real (x). Hence it has no real zeroes.
(p(x)) के शून्यक (2) और (5) हैं, इसलिए (p(x+1)=0) के लिए (x+1=2) या (x+1=5)। अतः (q(x)) के शून्यक (1) और (4) हैं। / The zeroes of (p(x)) are (2) and (5), so for (p(x+1)=0), (x+1=2) or (x+1=5). Hence the zeroes of (q(x)) are (1) and (4).
