Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
गुणनखंड प्रमेय से (p(3)=0), इसलिए (27-45+3a+12=0) और (a=2)। परीक्षा में दिए गए गुणनखंड से मूल तुरंत रखिए। / By the factor theorem (p(3)=0), so (27-45+3a+12=0) and (a=2). In exams, substitute the zero from the given factor directly.
(p(-3)=-27+27+12-12=0), इसलिए (x+3) गुणनखंड है। (x+a) के लिए (x=-a) रखकर जाँचें। / (p(-3)=-27+27+12-12=0), so (x+3) is a factor. For (x+a), test (x=-a).
गुणनखंड प्रमेय से (p(2)=0), इसलिए (8+4k-8-4=0) और (k=1)। परीक्षा में पहले दिए गए मूल को सीधे रखिए। / By factor theorem (p(2)=0), so (8+4k-8-4=0) and (k=1). In exams, substitute the given zero directly.
(x+1) गुणनखंड होने पर (p(-1)=0) होगा। (-2+k+5+2=0) से (k=-5) नहीं बल्कि (k=-5) मिलता है। / If (x+1) is a factor, then (p(-1)=0). From (-2+k+5+2=0), we get (k=-5).
यदि किसी बहुपद का मूल \(r\) है, तो गुणनखंड प्रमेय के अनुसार \((x-r)\) उसका गुणनखंड होता है। यहाँ \(r=7\), इसलिए निश्चित गुणनखंड \((x-7)\) है। \((x+7)\) होने पर मूल \(-7\) होता। परीक्षा-युक्ति: दिए गए मूल को \(x-r\) में सीधे रखें। / By the factor theorem, if \(r\) is a root of a polynomial, then \((x-r)\) is its factor. Here, \(r=7\), so the required factor is \((x-7)\). The factor \((x+7)\) would correspond to the root \(-7\). Exam tip: substitute the given root directly into the form \(x-r\).
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, यदि \(x-9\) बहुपद का गुणनखंड है, तो \(x-9=0\) रखने पर \(x=9\) प्राप्त होता है। इसलिए 9 निश्चित मूल है। ध्यान रखें: \(x-a\) से मूल \(a\) होता है, जबकि \(x+a\) से मूल \(-a\) होता है। / By the factor theorem, if \(x-9\) is a factor, then setting the factor equal to zero gives \(x-9=0\), so \(x=9\). Hence, 9 is certainly a root. Exam tip: a factor of the form \(x-a\) gives the root \(a\), whereas \(x+a\) gives the root \(-a\).
यदि \(x+5\) किसी बहुपद का गुणनखंड है तो गुणनखंड को शून्य के बराबर रखकर मूल पाया जाता है: \(x+5=0\) से \(x=-5\) मिलता है। इसीलिए निश्चित मूल \(-5\) है। विकल्प A (5) गलत है क्योंकि \(x+5=0\) से +5 नहीं मिलता — यह साइन में उलटा होगा। विकल्प C (0) गलत है क्योंकि यदि 0 मूल होता तो बहुपद में \(x\) गुणनखंड होना चाहिए। विकल्प D \(\left(\frac{1}{5}\right)\) गलत है क्योंकि यह तब मिलता यदि गुणनखंड \(x-\tfrac{1}{5}\) दिया होता। परीक्षा टिप: किसी भी रूप में दिए गए गुणनखंड को शून्य के बराबर रखकर सीधा मूल मिल जाता है। / If \(x+5\) is a factor, set the factor equal to zero: \(x+5=0\) gives \(x=-5\). Hence the certain root is \(-5\). Option A (5) is incorrect because the sign is reversed; solving \(x+5=0\) does not give +5. Option C (0) would only be correct if the factor were \(x\). Option D (\(\tfrac{1}{5}\)) would arise from a factor \(x-\tfrac{1}{5}\), not \(x+5\). Exam tip: always equate the linear factor to zero to find its root quickly.
यदि \(x-a\) गुणनखंड है तो गुणनखण्ड प्रमेय के अनुसार बहुपद में \(x=a\) रखने पर बहुपद का मान शून्य होता है। इसलिए \(a\) उस बहुपद का मूल (root या zero) है। विकल्प A (गुणांक) भ्रमित कर सकता है पर वह किसी पद का गुणा करने वाला स्थायी गुण है और यह बताता नहीं कि किसी विशेष मान पर बहुपद शून्य होगा। विकल्प D (अचर पद) भी अलग है — यह स्वतंत्र स्थिर पद होता है, जो स्वतः किसी खास \(x\) पर शून्य नहीं होने का संकेत नहीं देता। परीक्षा‑टिप: शीघ्र जाँच के लिए बहुपद में \(x=a\) रखकर मान निकालें; यदि परिणाम 0 आए तो \(x-a\) निश्चित रूप से गुणनखंड है। / By the factor theorem, if \(x-a\) is a factor then substituting \(x=a\) into the polynomial gives value 0. Hence \(a\) is a root (zero) of the polynomial. Option A (coefficient) is incorrect because a coefficient is the multiplier of a term and does not indicate a value that makes the polynomial zero. Option D (constant term) is a different concept — the term independent of \(x\). Exam tip: plug in \(x=a\); if the polynomial evaluates to 0, then \(x-a\) is a factor.
साथी शून्यक \(2-\sqrt{3}\) होगा, इसलिए गुणनखंड (x-\(2-\sqrt{3}\)) है। परीक्षा में शून्यक और गुणनखंड का संबंध \(x-\alpha\) याद रखें। / The companion zero is \(2-\sqrt{3}\), so the factor is (x-\(2-\sqrt{3}\)). In exams remember the relation between a zero and factor as \(x-\alpha\).
(x=0) या (x-5=0) से (x=0,5) मिलते हैं। टिप: गुणनफल शून्य हो तो कम से कम एक कारक शून्य होता है। / From (x=0) or (x-5=0), we get (x=0,5). Tip: if a product is zero, at least one factor is zero.
किसी संख्या \(a\) को बहुपद \(p(x)\) का शून्यक तभी कहा जाता है जब \(p(a)=0\)। यहाँ स्पष्ट रूप से दिया है कि \(p(5)\neq 0\), अतः \(5\) के स्थान पर बहुपद शून्य नहीं बन रहा — इसका अर्थ है \(5\) शून्यक नहीं है। विकल्प B गलत है क्योंकि शून्यक होने की शर्त \(p(5)=0\) है जो पूरी नहीं हुई। विकल्प C भी गलत है क्योंकि दोहरा (repeated) शून्यक होने के लिए पहले शर्त \(p(5)=0\) होनी चाहिए और गुणनखंड की गुणांक संरचना जाँची जाती है; यहाँ तो मूलतः शून्यक नहीं है। विकल्प D गलत है क्योंकि दिए गए मूल्य से निर्णय करना संभव और पर्याप्त है। परीक््षा टिप: किसी संख्या के शून्यक होने की जाँच करने के लिए सीधे उस संख्या को बहुपद में रखकर \(p(a)\) की गणना करें; यदि परिणाम शून्य है तो वही शून्यक है (Factor Theorem)। / A number \(a\) is a zero (root) of a polynomial \(p(x)\) exactly when \(p(a)=0\). Since we are given \(p(5)\neq 0\), substituting \(x=5\) does not make the polynomial zero, so 5 is not a zero. Option B is wrong because being a zero requires \(p(5)=0\). Option C is wrong because a repeated root requires first that \(p(5)=0\) and then multiplicity considerations; here it is not even a root. Option D is incorrect because the evaluation already provides sufficient information. Exam tip: to test whether a value is a root use direct substitution (or apply the Factor Theorem) — if the result is zero it is a root, otherwise it is not.
एक बहुपद का शून्यक वह \(x\)-मान होता है जिस पर \(p(x)=0\) होता है. यहाँ दिया है कि \(p(-3)=0\), अतः \(-3\) पर बहुपद का मान शून्य है, यानी \(-3\) शून्यक (root) है. निकटतम भ्रामक विकल्प \(3\) गलत है क्योंकि केवल \(-3\) के लिए ही मूल्य शून्य होने का दावा किया गया है; \(3\) के लिए ऐसा होना आवश्यक नहीं है। परिक्षा-सुझाव: किसी दिए हुए मान के लिए \(p(मान)\) निकालकर चेक करें — यदि परिणाम शून्य हो तो वही शून्यक है। / A zero (root) of a polynomial is an x-value for which \(p(x)=0\). Since \(p(-3)=0\) is given, \(-3\) is a root of the polynomial. The closest distractor, 3, is incorrect because the condition is satisfied only at \(-3\) as stated; there is no information that \(p(3)=0\). Exam tip: To identify a root, substitute the candidate value into \(p(x)\) — if the result is zero, it is a root.
