Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
परिमेय गुणांकों में \(a+\sqrt{b}\) के साथ \(a-\sqrt{b}\) भी शून्यक होता है। परीक्षा में संयुग्मी शून्यक तुरंत पहचानें। / With rational coefficients \(a+\sqrt{b}\) is accompanied by \(a-\sqrt{b}\). In exams identify conjugate zeroes quickly.
साथी शून्यक \(2-\sqrt{3}\) होगा, इसलिए गुणनखंड (x-\(2-\sqrt{3}\)) है। परीक्षा में शून्यक और गुणनखंड का संबंध \(x-\alpha\) याद रखें। / The companion zero is \(2-\sqrt{3}\), so the factor is (x-\(2-\sqrt{3}\)). In exams remember the relation between a zero and factor as \(x-\alpha\).
\(\sqrt{11}=0+\sqrt{11}\) का संयुग्मी \(-\sqrt{11}\) है। परीक्षा में (a=0) वाला संयुग्मी भी पहचानें। / The conjugate of \(\sqrt{11}=0+\sqrt{11}\) is \(-\sqrt{11}\). In exams also identify the case (a=0).
योग (2) और गुणनफल (1-6=-5) है, इसलिए बहुपद \(x^2-2x-5\) है। परीक्षा में गुणनफल में \(a^2-b^2\) लगाएं। / The sum is (2) and the product is (1-6=-5), so the polynomial is \(x^2-2x-5\). In exams use \(a^2-b^2\) for the product.
स्थिर पद गुणनफल है और (\(4+\sqrt{11}\)\(4-\sqrt{11}\)=16-11=5)। संयुग्मी गुणनफल में बीच का अपरिमेय भाग हट जाता है। / The constant term is the product, and (\(4+\sqrt{11}\)\(4-\sqrt{11}\)=16-11=5). In conjugate products, the irrational middle part cancels.
दो शून्यकों का योग = \(5+\sqrt{2}\)+\(5-\sqrt{2}\) = 10 और गुणनफल = \(5+\sqrt{2}\)\(5-\sqrt{2}\) = 52-\(\sqrt{2}\)2 = 25-2 = 23। एक प्रमुख गुणाांक 1 वाला द्विघात बहुपद शून्यकों α और β के लिए x-2 - (α+β)x + αβ होता है। इसलिए बहुपद x-2 - 10x + 23 है। निकटतम विचलित विकल्प C \(x^2 - 10x + 27\) केवल गुणनफल में त्रुटि करता है (27 के बजाय 23 होना चाहिए); विकल्प B और D में योग के संकेत गलत हैं। परीक्षा-सुझाव: जब शून्यक एक-दूसरे के समापवर्तक (conjugates) हों तो गुणनफल और योग सहज रूप से क्रमशः a-2-b-2 और 2a जैसे रूपों से मिलते हैं—इन्हें सीधा लागू करें। / Sum of zeros = \(5+\sqrt{2}\)+\(5-\sqrt{2}\) = 10 and product = \(5+\sqrt{2}\)\(5-\sqrt{2}\) = 52-\(\sqrt{2}\)2 = 25-2 = 23. For a monic quadratic with zeros α and β the polynomial is x-2 - (α+β)x + αβ. Hence the polynomial is x-2 - 10x + 23. The closest distractor C \(x^2 - 10x + 27\) only miscalculates the product; B and D have the wrong sign for the sum-term. Exam tip: conjugate irrational zeros give rational coefficients—use sum and product formulas directly to form the polynomial.
दूसरा शून्यक \(6+2\sqrt{5}\) होगा। योग (12) और गुणनफल (36-20=16), इसलिए बहुपद \(x^2-12x+16\) है। / The other zero is \(6+2\sqrt{5}\). The sum is (12) and product is (36-20=16), so the polynomial is \(x^2-12x+16\).
A. योग (2a) और गुणनफल \(a^2-5\) हैं/Sum is (2a) and product is \(a^2-5\)
Explanation
Simple Explanation
(\(a+\sqrt{5}\)+\(a-\sqrt{5}\)=2a) और (\(a+\sqrt{5}\)\(a-\sqrt{5}\)=a-2-5)। यही बहुपद से मेल खाता है। / (\(a+\sqrt{5}\)+\(a-\sqrt{5}\)=2a) and (\(a+\sqrt{5}\)\(a-\sqrt{5}\)=a-2-5). These match the polynomial.
दो शून्यकों का योग है \((1+\sqrt{2})+(1-\sqrt{2})=2\) और गुणनफल है \((1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})=1-2=-1\)। एक एकाई-अगुणाकार द्विघात बहुपद जिसका शून्यक \(\alpha\) और \(\beta\) हों, होता है \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\)। इसलिए बहुपद है \(x^2-2x-1\)। नज़दीकी विचलन \(x^2+2x-1\) का योग \(-2\) देता है (इसलिए उसकी जड़ें \(-1\pm\sqrt{2}\) होंगी), और \(x^2-2x+1=(x-1)^2\) तथा \(x^2+x-2\) का योग-गुणनफल मूल स्थितियों से पृथक हैं। परीक्षा-सुझाव: जब द्विघात बनाना हो तो पहले जड़ों का योग और गुणनफल शीघ्र निकालें और फ़ॉर्मूला \(x^2-(\text{sum})x+(\text{product})\) प्रयोग करें। / The sum of the roots is \((1+\sqrt{2})+(1-\sqrt{2})=2\) and the product is \((1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})=1-2=-1\). For a monic quadratic with roots \(\alpha\) and \(\beta\) the polynomial is \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\). Thus the required polynomial is \(x^2-2x-1\). Closest distractor \(x^2+2x-1\) has sum \(-2\) (roots \(-1\pm\sqrt{2}\)), so it does not match; \(x^2-2x+1=(x-1)^2\) has a double root 1, and \(x^2+x-2\) has different sum/product. Exam tip: compute sum and product of given roots first, then plug into \(x^2-(\text{sum})x+(\text{product})\).
दो शून्यकों के योग से श्रेणीसंबंधी गुणधर्म लागू होते हैं। यहाँ योग = \((2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=4\) और गुणनफल = \((2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=4-3=1\)। एक मानक मोनिक द्विघात बहुपद है \(x^2-(\text{योग})x+\text{गुणनफल}\)। अतः बहुपद \(x^2-4x+1\) होगा। विकल्प B में साइन की गलती है (\(+4x\) होना चाहिए नहीं), अन्य विकल्पों का योग और गुणनफल दिए गए मूल्यों से मेल नहीं खाते। परीक्षा टिप: जब द्विघात के शून्यक दिए हों तो सीधे योग और गुणनफल निकालकर \(x^2-(\text{sum})x+\text{product}\) लिखें और एक बार किसी एक शून्यक को बहुपद में परख लें। / Use the relation for a monic quadratic: if roots are r1 and r2, polynomial is \(x^2-(r1+r2)x+(r1r2)\). Here sum = \((2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=4\) and product = \((2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=4-3=1\). Thus the polynomial is \(x^2-4x+1\). Option B is wrong due to the wrong sign on the linear term (+4x instead of -4x); options C and D have different sum/product values. Exam tip: compute sum and product first and then form \(x^2-(\text{sum})x+\text{product}\); verify by substituting one root.
परिमेय गुणांकों वाले द्विघात में \(a+\sqrt{b}\) के साथ \(a-\sqrt{b}\) भी शून्यक होता है। परीक्षा में इसे संयुग्मी शून्यक नियम की तरह याद रखें। / For a quadratic with rational coefficients, \(a-\sqrt{b}\) accompanies \(a+\sqrt{b}\). Remember this as the conjugate-zero rule.
