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rational-coefficients MCQ Questions for Class 10

rational-coefficients se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.

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Practice Questions

7 questions tagged with rational-coefficients.

Question 1/7 Expert Mathematics Polynomials Irrational numbers and real numbers Class 10 Level 25

किस विकल्प में परिमेय गुणांकों वाला द्विघात बहुपद बन सकता है?

Which option can form a quadratic polynomial with rational coefficients?

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Correct Answer

A. शून्यक \(6+\sqrt{5}\) और \(6-\sqrt{5}\)Zeroes \(6+\sqrt{5}\) and \(6-\sqrt{5}\)

Explanation

Simple Explanation

परिमेय गुणांकों में अपरिमेय भाग संयुग्मी जोड़े में आता है। केवल \(6+\sqrt{5}\) और \(6-\sqrt{5}\) का योग और गुणनफल दोनों परिमेय हैं। / With rational coefficients, irrational parts occur in conjugate pairs. Only \(6+\sqrt{5}\) and \(6-\sqrt{5}\) have both rational sum and rational product.

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Question 2/7 Expert Mathematics Polynomials Irrational numbers and real numbers Class 10 Level 25

यदि किसी परिमेय गुणांकों वाले द्विघात बहुपद का एक शून्यक \(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\) है, तो दूसरा शून्यक क्या होगा?

If one zero of a quadratic polynomial with rational coefficients is \(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\), what will be the other zero?

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Correct Answer

A. \(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\)

Explanation

Simple Explanation

परिमेय गुणांकों में अपरिमेय भाग का संयुग्मी भी शून्यक होता है। इसलिए \(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\) दूसरा शून्यक है। / With rational coefficients, the conjugate of the irrational part is also a zero. Hence \(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\) is the other zero.

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Question 3/7 Expert Mathematics Polynomials Irrational numbers and real numbers Class 10 Level 25

यदि \(2+\sqrt{13}\) परिमेय गुणांकों वाले द्विघात बहुपद का एक शून्यक है, तो उस बहुपद में (x) का गुणांक किस रूप में हो सकता है?

If \(2+\sqrt{13}\) is one zero of a quadratic polynomial with rational coefficients, what can the coefficient of (x) be?

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Correct Answer

A. (-4)

Explanation

Simple Explanation

दूसरा शून्यक \(2-\sqrt{13}\) होगा, इसलिए योग (4) है। एकक बहुपद में (x) का गुणांक (-4) होगा। / The other zero will be \(2-\sqrt{13}\), so the sum is (4). In a monic polynomial, the coefficient of (x) will be (-4).

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Question 4/7 Hard Mathematics Polynomials Irrational numbers and real numbers Class 10 Level 27

कौन सा कथन हमेशा सही है यदि द्विघात बहुपद के परिमेय गुणांक और एक शून्यक \(\sqrt{13}\) है?

Which statement is always true if a quadratic polynomial has rational coefficients and one zero is \(\sqrt{13}\)?

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Correct Answer

A. दूसरा शून्यक \(-\sqrt{13}\) होगाThe other zero will be \(-\sqrt{13}\)

Explanation

Simple Explanation

परिमेय गुणांकों के लिए \(\sqrt{13}\) का संयुग्मी \(-\sqrt{13}\) भी आता है, जब रैखिक गुणांक परिमेय हो। यह नियम \(a+\sqrt{b}\) और \(a-\sqrt{b}\) पर आधारित है। / For rational coefficients, the conjugate \(-\sqrt{13}\) of \(\sqrt{13}\) also appears when the linear coefficient is rational. This follows from \(a+\sqrt{b}\) and \(a-\sqrt{b}\).

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Question 5/7 Hard Mathematics Polynomials Irrational numbers and real numbers Class 10 Level 27

कौन सा युग्म परिमेय गुणांकों वाले किसी द्विघात बहुपद के अपरिमेय शून्यकों का संभव युग्म है?

Which pair can be irrational zeroes of a quadratic polynomial with rational coefficients?

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Correct Answer

A. \(4+\sqrt{6}\) और \(4-\sqrt{6}\)\(4+\sqrt{6}\) and \(4-\sqrt{6}\)

Explanation

Simple Explanation

परिमेय गुणांकों के लिए \(a+\sqrt{b}\) का संयुग्मी \(a-\sqrt{b}\) साथ आता है। इसलिए पहला युग्म सही है। / For rational coefficients, the conjugate \(a-\sqrt{b}\) accompanies \(a+\sqrt{b}\). Hence the first pair is correct.

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Question 6/7 Hard Mathematics Polynomials Irrational numbers and real numbers Class 10 Level 26

निम्न में से किस बहुपद के गुणांक परिमेय हैं और उसके शून्यक अपरिमेय संयुग्मी हैं?

Which of the following polynomials has rational coefficients and irrational conjugate zeros?

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Correct Answer

A. \((x^2-6x+7)\)

Explanation

Simple Explanation

\((x^2-6x+7)\) के लिए विच्छेदक (discriminant) है \(D=b^2-4ac=36-28=8\)। \(D\) धनात्मक है पर पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए शून्यक \(3\pm\sqrt{2}\) होंगे — अपरिमेय और एक-दूसरे के संयुग्मी। गुणांक (1, −6, 7) सभी परिमेय हैं। नज़दीकी विकर्षक क्यों गलत हैं: \((x^2-\sqrt{2}x+1)\) में गुणांक परिमेय नहीं हैं (\(\sqrt{2}\) मौजूद है); \((x^2-4x+4)\) का discriminant 0 है — शून्यक पुनरावर्ती और परिमेय (2); \((x^2+1)\) का discriminant नकारात्मक है और शून्यक काल्पनिक (\(\pm i\)) हैं। परीक्षा-सुझाव: वर्गीय बहुपद के लिए पहले गुणांकों की परिमेयता जाँचें और फिर discriminant की जाँच करें — धनात्मक और पूर्ण वर्ग न होने पर अपरिमेय संयुग्मी शून्यक मिलते हैं। / For \((x^2-6x+7)\) the discriminant is \(D=b^2-4ac=36-28=8\). Since \(D>0\) and not a perfect square, the roots are \(3\pm\sqrt{2}\) — irrational and conjugate. The coefficients (1, −6, 7) are rational. Why other choices are wrong: \((x^2-\sqrt{2}x+1)\) has an irrational coefficient (so coefficients are not all rational); \((x^2-4x+4)\) has \(D=0\) giving a repeated rational root 2; \((x^2+1)\) has \(D<0\) giving purely imaginary roots. Exam tip: check coefficient rationality first, then compute the discriminant — irrational conjugate real roots occur when discriminant is positive but not a perfect square.

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Question 7/7 Hard Mathematics Polynomials Irrational numbers and real numbers Class 10 Level 28

यदि किसी द्विघात बहुपद के परिमेय गुणांक हों और उसका एक शून्यक \\(4+\sqrt{11}\\) हो, तो शून्यकों का योग क्या होगा?

If a quadratic polynomial has rational coefficients and one zero is \\(4+\sqrt{11}\\), what is the sum of its zeroes?

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Correct Answer

A. 8

Explanation

Simple Explanation

यदि बहुपद के गुणांक परिमेय हैं और एक शून्यक \\(4+\sqrt{11}\\) है, तो इसके सम्मिलित (conjugate) शून्यक \\(4-\sqrt{11}\\) होगा। इसलिए शून्यकों का योग \\((4+\sqrt{11})+(4-\sqrt{11})=8\\) है। विकल्प C (\\(2\sqrt{11}\\)) गलत है क्योंकि वर्गमूल वाले पद एक-दूसरे को रद्द कर देते हैं; विकल्प B और D अनुचित घटाना/त्रुटिपूर्ण सरलीकरण के परिणाम हैं। परीक्षा-सुझाव: परिमेय गुणांकों वाले बहुपद के लिए किसी भी अवकलनीय वर्गमूलात्मक शून्यक का सम्मिलित शून्यक भी होगा — इससे तुरंत जोड़ या गुणनफल पता किया जा सकता है। / With rational coefficients, an irrational root containing a square root has its conjugate as the other root. If one zero is \\(4+\sqrt{11}\\), the other is \\(4-\sqrt{11}\\). Their sum is \\((4+\sqrt{11})+(4-\sqrt{11})=8\\). Option C (\\(2\sqrt{11}\\)) mistakes combining the radicals instead of canceling them; options B and D come from incorrect arithmetic. Exam tip: use the conjugate-root property or Vieta’s formula (sum = \(-b/a\)) to find the sum quickly.

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