A. शून्यक \(6+\sqrt{5}\) और \(6-\sqrt{5}\)/Zeroes \(6+\sqrt{5}\) and \(6-\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
With rational coefficients, irrational parts occur in conjugate pairs. Only \(6+\sqrt{5}\) and \(6-\sqrt{5}\) have both rational sum and rational product.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. शून्यक \(6+\sqrt{5}\) और \(6-\sqrt{5}\) / Zeroes \(6+\sqrt{5}\) and \(6-\sqrt{5}\). With rational coefficients, irrational parts occur in conjugate pairs. Only \(6+\sqrt{5}\) and \(6-\sqrt{5}\) have both rational sum and rational product.
Step 3
Exam Tip
परिमेय गुणांकों में अपरिमेय भाग संयुग्मी जोड़े में आता है। केवल \(6+\sqrt{5}\) और \(6-\sqrt{5}\) का योग और गुणनफल दोनों परिमेय हैं।
With rational coefficients, the conjugate of the irrational part is also a zero. Hence \(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\) is the other zero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\). With rational coefficients, the conjugate of the irrational part is also a zero. Hence \(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\) is the other zero.
Step 3
Exam Tip
परिमेय गुणांकों में अपरिमेय भाग का संयुग्मी भी शून्यक होता है। इसलिए \(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\) दूसरा शून्यक है।
A. दूसरा शून्यक \(-\sqrt{13}\) होगा/The other zero will be \(-\sqrt{13}\)
Step 1
Concept
For rational coefficients, the conjugate \(-\sqrt{13}\) of \(\sqrt{13}\) also appears when the linear coefficient is rational. This follows from \(a+\sqrt{b}\) and \(a-\sqrt{b}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दूसरा शून्यक \(-\sqrt{13}\) होगा / The other zero will be \(-\sqrt{13}\). For rational coefficients, the conjugate \(-\sqrt{13}\) of \(\sqrt{13}\) also appears when the linear coefficient is rational. This follows from \(a+\sqrt{b}\) and \(a-\sqrt{b}\).
Step 3
Exam Tip
परिमेय गुणांकों के लिए \(\sqrt{13}\) का संयुग्मी \(-\sqrt{13}\) भी आता है, जब रैखिक गुणांक परिमेय हो। यह नियम \(a+\sqrt{b}\) और \(a-\sqrt{b}\) पर आधारित है।
A. \(4+\sqrt{6}\) और \(4-\sqrt{6}\)/\(4+\sqrt{6}\) and \(4-\sqrt{6}\)
Step 1
Concept
For rational coefficients, the conjugate \(a-\sqrt{b}\) accompanies \(a+\sqrt{b}\). Hence the first pair is correct.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(4+\sqrt{6}\) और \(4-\sqrt{6}\) / \(4+\sqrt{6}\) and \(4-\sqrt{6}\). For rational coefficients, the conjugate \(a-\sqrt{b}\) accompanies \(a+\sqrt{b}\). Hence the first pair is correct.
Step 3
Exam Tip
परिमेय गुणांकों के लिए \(a+\sqrt{b}\) का संयुग्मी \(a-\sqrt{b}\) साथ आता है। इसलिए पहला युग्म सही है।
The coefficient of (x) is (-6) in the first polynomial and (9) in the second, so the sum is (3). Add coefficients of like powers only.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (3). The coefficient of (x) is (-6) in the first polynomial and (9) in the second, so the sum is (3). Add coefficients of like powers only.
Step 3
Exam Tip
पहले बहुपद में (x) का गुणांक (-6) और दूसरे में (9) है, योग (3) है। समान घात के गुणांक ही जोड़ें।
The coefficient of (x) is (-2) in the first polynomial and (4) in the second, so the sum is (2). Add coefficients of like powers only.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (2). The coefficient of (x) is (-2) in the first polynomial and (4) in the second, so the sum is (2). Add coefficients of like powers only.
Step 3
Exam Tip
पहले बहुपद में (x) का गुणांक (-2) और दूसरे में (4) है, योग (2) है। समान घात के गुणांक ही जोड़ें।
B. एक गुणांक अपरिमेय है/One coefficient is irrational
Step 1
Concept
The constant term \(-\sqrt{2}\) is irrational, while the other coefficients are rational. Check coefficient type before applying root rules.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. एक गुणांक अपरिमेय है / One coefficient is irrational. The constant term \(-\sqrt{2}\) is irrational, while the other coefficients are rational. Check coefficient type before applying root rules.
Step 3
Exam Tip
स्थिर पद \(-\sqrt{2}\) अपरिमेय है, जबकि बाकी गुणांक परिमेय हैं। शून्यक नियम लागू करने से पहले गुणांकों का प्रकार देखें।
B. कम से कम एक गुणांक अपरिमेय होगा/At least one coefficient will be irrational
Step 1
Concept
The sum \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is irrational, so the coefficient of (x) in the monic polynomial is irrational. For rational coefficients, such zeroes must occur as conjugates.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. कम से कम एक गुणांक अपरिमेय होगा / At least one coefficient will be irrational. The sum \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is irrational, so the coefficient of (x) in the monic polynomial is irrational. For rational coefficients, such zeroes must occur as conjugates.
Step 3
Exam Tip
योग \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) अपरिमेय है, इसलिए एकक बहुपद में (x) का गुणांक अपरिमेय होगा। परिमेय गुणांक के लिए ऐसे शून्यक संयुग्मी रूप में होने चाहिए।
A. गुणांक कणों की संख्या बदलते हैं पदार्थ की पहचान नहीं/Coefficients change number of particles not identity
Step 1
Concept
Subscripts show the composition of a substance.
Step 2
Why this answer is correct
Changing them changes the substance.
Step 3
Exam Tip
Changing coefficients changes only the number of particles. चरण 1: छोटे अंक पदार्थ की रचना बताते हैं। चरण 2: उन्हें बदलने से पदार्थ बदल जाता है। चरण 3: गुणांक बदलने से केवल संख्या बदलती है।
A. गुणांक पदार्थ की मात्रा बदलते हैं पहचान नहीं/Coefficients change amount not identity
Step 1
Concept
Subscripts show the composition of a substance.
Step 2
Why this answer is correct
Coefficients show only the number of molecules or units.
Step 3
Exam Tip
Therefore changing coefficients is the correct method for balancing. चरण 1: छोटे अंक पदार्थ की रचना बताते हैं। चरण 2: गुणांक केवल अणुओं या कणों की संख्या बताते हैं। चरण 3: इसलिए संतुलन में गुणांक बदलना सही विधि है।
A. क्योंकि सूत्र बदलने से पदार्थ बदल जाता है/Because changing formulae changes the substance
Step 1
Concept
Chemical formulae show the correct composition of substances.
Step 2
Why this answer is correct
Changing a formula changes the identity of the substance.
Step 3
Exam Tip
Changing only coefficients is the correct way to balance. चरण 1: रासायनिक सूत्र पदार्थ की सही संरचना बताते हैं। चरण 2: सूत्र बदलने से पदार्थ की पहचान बदल जाती है। चरण 3: संतुलन के लिए केवल गुणांक बदलना सही तरीका है।
A. रासायनिक सूत्रों के आगे/Before chemical formulae
Step 1
Concept
Formulae are not changed for balancing.
Step 2
Why this answer is correct
Coefficients are placed before formulae.
Step 3
Exam Tip
They show the number of molecules or units. चरण 1: संतुलन के लिए सूत्र नहीं बदले जाते। चरण 2: सूत्रों के आगे गुणांक लगाए जाते हैं। चरण 3: गुणांक अणुओं या इकाइयों की संख्या बताते हैं।
A. परमाणुओं की संख्या संतुलित करने में/To balance the number of atoms
Step 1
Concept
Coefficients are written before chemical formulae.
Step 2
Why this answer is correct
They show the number of molecules or units.
Step 3
Exam Tip
During balancing coefficients are changed not formulae. चरण 1: गुणांक रासायनिक सूत्रों के आगे लिखे जाते हैं। चरण 2: ये अणुओं या इकाइयों की संख्या बताते हैं। चरण 3: समीकरण संतुलित करने में गुणांक बदले जाते हैं सूत्र नहीं।
The other zero will be \(6-\sqrt{19}\), and the product is (36-19=17). In exams connect the constant term with the product of zeroes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (17). The other zero will be \(6-\sqrt{19}\), and the product is (36-19=17). In exams connect the constant term with the product of zeroes.
Step 3
Exam Tip
दूसरा शून्यक \(6-\sqrt{19}\) होगा और गुणनफल (36-19=17) है। परीक्षा में स्थिर पद को शून्यकों के गुणनफल से जोड़ें।
With rational coefficients \(a+\sqrt{b}\) is accompanied by \(a-\sqrt{b}\). In exams identify conjugate zeroes quickly.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(4-\sqrt{11}\). With rational coefficients \(a+\sqrt{b}\) is accompanied by \(a-\sqrt{b}\). In exams identify conjugate zeroes quickly.
Step 3
Exam Tip
परिमेय गुणांकों में \(a+\sqrt{b}\) के साथ \(a-\sqrt{b}\) भी शून्यक होता है। परीक्षा में संयुग्मी शून्यक तुरंत पहचानें।
The companion zero is \(5-2\sqrt{6}\), with sum (10) and product (25-24=1). In exams form the polynomial using the conjugate.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x^2-10x+1\). The companion zero is \(5-2\sqrt{6}\), with sum (10) and product (25-24=1). In exams form the polynomial using the conjugate.
Step 3
Exam Tip
साथी शून्यक \(5-2\sqrt{6}\) होगा, योग (10) और गुणनफल (25-24=1) है। परीक्षा में संयुग्मी लेकर बहुपद बनाएं।
The sum is (12) and the product is (36-11=25), so the polynomial is \(x^2-12x+25\). In exams write the standard form correctly.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x^2-12x+25\). The sum is (12) and the product is (36-11=25), so the polynomial is \(x^2-12x+25\). In exams write the standard form correctly.
Step 3
Exam Tip
योग (12) और गुणनफल (36-11=25) है, इसलिए बहुपद \(x^2-12x+25\) है। परीक्षा में मानक रूप ठीक से लिखें।
The companion zero is \(2-\sqrt{3}\), so the factor is (x-\(2-\sqrt{3}\)). In exams remember the relation between a zero and factor as \(x-\alpha\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x-\(2-\sqrt{3}\)). The companion zero is \(2-\sqrt{3}\), so the factor is (x-\(2-\sqrt{3}\)). In exams remember the relation between a zero and factor as \(x-\alpha\).
Step 3
Exam Tip
साथी शून्यक \(2-\sqrt{3}\) होगा, इसलिए गुणनखंड (x-\(2-\sqrt{3}\)) है। परीक्षा में शून्यक और गुणनखंड का संबंध \(x-\alpha\) याद रखें।
With rational coefficients, \(a+\sqrt{b}\) is accompanied by \(a-\sqrt{b}\). In exams identify conjugate zeroes quickly.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2-\sqrt{7}\). With rational coefficients, \(a+\sqrt{b}\) is accompanied by \(a-\sqrt{b}\). In exams identify conjugate zeroes quickly.
Step 3
Exam Tip
परिमेय गुणांकों में \(a+\sqrt{b}\) के साथ \(a-\sqrt{b}\) भी शून्यक आता है। परीक्षा में संयुग्मी शून्यकों को तुरंत पहचानें।
For rational coefficients, irrational zeroes usually occur in conjugate pairs. Hence the companion zero of \(3-\sqrt{5}\) is \(3+\sqrt{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(3+\sqrt{5}\). For rational coefficients, irrational zeroes usually occur in conjugate pairs. Hence the companion zero of \(3-\sqrt{5}\) is \(3+\sqrt{5}\).
Step 3
Exam Tip
परिमेय गुणांकों में अपरिमेय शून्यक सामान्यतः संयुग्मी रूप में आते हैं। इसलिए \(3-\sqrt{5}\) का साथी शून्यक \(3+\sqrt{5}\) होगा।
For \(x^2-8x+3\), (D=64-12=52), positive and not a perfect square. The other options give equal rational, non-real, or rational zeroes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x^2-8x+3\). For \(x^2-8x+3\), (D=64-12=52), positive and not a perfect square. The other options give equal rational, non-real, or rational zeroes.
Step 3
Exam Tip
\(x^2-8x+3\) के लिए (D=64-12=52), जो धनात्मक अपूर्ण वर्ग है। बाकी विकल्पों में शून्यक समान परिमेय, अवास्तविक या परिमेय हैं।
With rational coefficients, the conjugate of an irrational zero is also a zero. So \(2-\sqrt{3}\) will be the other zero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2-\sqrt{3}\). With rational coefficients, the conjugate of an irrational zero is also a zero. So \(2-\sqrt{3}\) will be the other zero.
Step 3
Exam Tip
परिमेय गुणांकों में अपरिमेय शून्यक का संयुग्मी भी शून्यक होता है। इसलिए \(2-\sqrt{3}\) दूसरा शून्यक होगा।
The other zero is \(6+2\sqrt{5}\). The sum is (12) and product is (36-20=16), so the polynomial is \(x^2-12x+16\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x^2-12x+16\). The other zero is \(6+2\sqrt{5}\). The sum is (12) and product is (36-20=16), so the polynomial is \(x^2-12x+16\).
Step 3
Exam Tip
दूसरा शून्यक \(6+2\sqrt{5}\) होगा। योग (12) और गुणनफल (36-20=16), इसलिए बहुपद \(x^2-12x+16\) है।
For a quadratic with rational coefficients, \(a-\sqrt{b}\) accompanies \(a+\sqrt{b}\). Remember this as the conjugate-zero rule.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(3-\sqrt{5}\). For a quadratic with rational coefficients, \(a-\sqrt{b}\) accompanies \(a+\sqrt{b}\). Remember this as the conjugate-zero rule.
Step 3
Exam Tip
परिमेय गुणांकों वाले द्विघात में \(a+\sqrt{b}\) के साथ \(a-\sqrt{b}\) भी शून्यक होता है। परीक्षा में इसे संयुग्मी शून्यक नियम की तरह याद रखें।
If \(q\ne0\), then \(q\sqrt{5}\) is irrational and the sum cannot be rational. In exams check the possibility of a zero coefficient.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (q=0). If \(q\ne0\), then \(q\sqrt{5}\) is irrational and the sum cannot be rational. In exams check the possibility of a zero coefficient.
Step 3
Exam Tip
यदि \(q\ne0\), तो \(q\sqrt{5}\) अपरिमेय होगा और योग परिमेय नहीं हो सकता। परीक्षा में शून्य गुणांक की संभावना देखें।
\(0.04\overline{6}\) has a fixed repeating digit, so it is rational but not terminating. A decimal is terminating only when zeros continue after some point.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(0.04\overline{6}\). \(0.04\overline{6}\) has a fixed repeating digit, so it is rational but not terminating. A decimal is terminating only when zeros continue after some point.
Step 3
Exam Tip
\(0.04\overline{6}\) में स्थिर आवर्ती अंक है इसलिए यह परिमेय है पर सांत नहीं है। अंत में केवल शून्य आने पर ही सांत दशमलव माना जाता है।
In \(0.58\overline{23}\), the block (23) repeats regularly, so it is rational. A fixed repeating block is a strong sign of rationality.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(0.58\overline{23}\). In \(0.58\overline{23}\), the block (23) repeats regularly, so it is rational. A fixed repeating block is a strong sign of rationality.
Step 3
Exam Tip
\(0.58\overline{23}\) में (23) स्थिर रूप से दोहरता है, इसलिए यह परिमेय है। स्थिर आवर्ती खंड परिमेयता का मजबूत संकेत है।
\(0.\overline{625}\) is a fixed recurring decimal, so it is rational but not terminating. A decimal is terminating only when zeros continue after some point.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(0.\overline{625}\). \(0.\overline{625}\) is a fixed recurring decimal, so it is rational but not terminating. A decimal is terminating only when zeros continue after some point.
Step 3
Exam Tip
\(0.\overline{625}\) स्थिर आवर्ती दशमलव है, इसलिए परिमेय है पर सांत नहीं है। अंत में केवल शून्य होने पर ही दशमलव सांत माना जाता है।
B. यह सांत दशमलव के बराबर है/It is equal to a terminating decimal
Step 1
Concept
In \(5.27000\ldots\), only zeros occur after a point.
Step 2
Why this answer is correct
So it equals (5.27) and is a terminating decimal.
Step 3
Exam Tip
Continuing zeros at the end still represent a terminating value. चरण 1: \(5.27000\ldots\) में कुछ स्थानों के बाद केवल शून्य आते हैं। चरण 2: इसलिए यह (5.27) के बराबर है और सांत दशमलव है। चरण 3: अंत में शून्य चलते रहें तो भी मान सांत ही माना जाता है।
\(0.\overline{018}\) has a repeating block, so it is rational.
Step 2
Why this answer is correct
It does not end, so it is not a terminating decimal. The other options are either terminating or irrational.
Step 3
Exam Tip
Recurring decimals are rational. चरण 1: \(0.\overline{018}\) में अंकों की पुनरावृत्ति है, इसलिए यह परिमेय है। चरण 2: यह समाप्त नहीं होता, इसलिए सांत दशमलव नहीं है। बाकी सांत हैं या अपरिमेय हैं। चरण 3: आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं।
A rational number has either a terminating decimal or a non-terminating recurring decimal.
Step 2
Why this answer is correct
\(2.01001000100001\ldots\) has no fixed repeating block. So it cannot be rational.
Step 3
Exam Tip
Decide by checking repetition, not merely by seeing a long decimal. चरण 1: परिमेय संख्या का दशमलव या तो सांत होता है या असांत आवर्ती। चरण 2: \(2.01001000100001\ldots\) में कोई स्थिर आवर्ती खंड नहीं है। इसलिए यह परिमेय नहीं हो सकता। चरण 3: लंबा दशमलव देखकर नहीं, पुनरावृत्ति देखकर निर्णय लें।
\(0.\overline{25}\) has a repeating block, so it is rational.
Step 2
Why this answer is correct
It is not terminating because the decimal does not end. \(\sqrt{2}\) and \(\pi\) are irrational.
Step 3
Exam Tip
Rational numbers can be terminating or non-terminating recurring. चरण 1: \(0.\overline{25}\) में अंकों की पुनरावृत्ति है, इसलिए यह परिमेय है। चरण 2: यह सांत नहीं है क्योंकि दशमलव कभी समाप्त नहीं होता। \(\sqrt{2}\) और \(\pi\) अपरिमेय हैं। चरण 3: परिमेय संख्या सांत या असांत आवर्ती दोनों हो सकती है।
\(\frac{27}{99}=\frac{3}{11}\), so the reduced denominator is (11).
Step 3
Exam Tip
First form a denominator with (9)'s according to the repeating block, then reduce. चरण 1: \(0.\overline{27}=\frac{27}{99}\) है। चरण 2: \(\frac{27}{99}=\frac{3}{11}\), इसलिए सरलतम हर (11) है। चरण 3: आवर्ती अंकों की संख्या के अनुसार पहले (9) वाला हर बनाइए, फिर सरल कीजिए।
A. सांत होगा और अधिकतम (3) दशमलव स्थान होंगे/It will terminate and have at most (3) decimal places
Step 1
Concept
In lowest form, the denominator contains only powers of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
So the decimal expansion is terminating. The number of decimal places can be up to the larger exponent, (3).
Step 3
Exam Tip
In exams, always reduce the fraction first. चरण 1: सरलतम रूप में हर केवल (2) और (5) के घातों से बना है। चरण 2: इसलिए दशमलव प्रसार सांत होगा। दशमलव स्थानों की संख्या (2) और (5) की घातों में बड़ी घात, यानी (3), तक हो सकती है। चरण 3: परीक्षा में पहले भिन्न को सरलतम रूप में लिखना न भूलें।
A rational number has a terminating decimal only when the denominator in lowest form has prime factors only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
Here the denominator also contains (7), so the decimal will not terminate, but since the number is rational, it will repeat.
Step 3
Exam Tip
In exams, always reduce the fraction first and then check the prime factors of the denominator. चरण 1: परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार तभी सांत होता है जब सरलतम रूप में हर के अभाज्य गुणनखंड केवल (2) और (5) हों। चरण 2: यहां हर में (7) भी है, इसलिए दशमलव प्रसार सांत नहीं होगा, पर परिमेय संख्या होने के कारण वह आवर्ती होगा। चरण 3: परीक्षा में पहले भिन्न को सरलतम रूप में जांचें, फिर हर के अभाज्य गुणनखंड देखें।
The reduced denominator contains (11), so the decimal will not terminate.
Step 3
Exam Tip
Since it is a rational fraction, it gives a non-terminating recurring decimal. चरण 1: \(22=2\times11\) है। चरण 2: सरलतम हर में (11) बचता है, इसलिए दशमलव समाप्त नहीं होगा। चरण 3: परिमेय भिन्न होने के कारण यह असमाप्त आवर्ती दशमलव देगी।
A rational number can be written as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
Its decimal expansion either terminates or has a fixed repetition.
Step 3
Exam Tip
A non-terminating non-recurring decimal is not rational. चरण 1: परिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जा सकता है। चरण 2: इसका दशमलव या तो समाप्त होता है या निश्चित दोहराव देता है। चरण 3: असमाप्त अनावर्ती दशमलव परिमेय संख्या का नहीं होता।
It contains only the prime factor (2), so the decimal expansion terminates.
Step 3
Exam Tip
In exams, always factorise the denominator first. चरण 1: सरलतम रूप में हर \(8=2^3\) है। चरण 2: हर में केवल (2) का गुणनखंड है, इसलिए दशमलव प्रसार समाप्त होगा। चरण 3: परीक्षा में पहले हर का अभाज्य गुणनखंडन अवश्य देखिए।
In \(0.135135135\ldots\), the block (135) repeats.
Step 2
Why this answer is correct
A recurring decimal is rational, but it does not terminate.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: If a non-terminating decimal has a regular repeated block, treat it as rational. चरण 1: \(0.135135135\ldots\) में (135) का समूह बार-बार आ रहा है। चरण 2: आवर्ती दशमलव परिमेय होता है, लेकिन यह समाप्त नहीं होता। चरण 3: परीक्षा सुझाव: असमाप्त दशमलव में नियमित दोहराव हो तो उसे परिमेय मानें।
A rational number has a decimal that either terminates or recurs.
Step 2
Why this answer is correct
Non-terminating non-recurring decimal expansion is not possible for a rational number.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: This difference helps identify rational and irrational numbers. चरण 1: परिमेय संख्या का दशमलव समाप्त या आवर्ती होता है। चरण 2: असमाप्त अनावर्ती दशमलव परिमेय संख्या के लिए संभव नहीं है। चरण 3: परीक्षा सुझाव: यह अंतर परिमेय और अपरिमेय संख्या को पहचानने में मदद करता है।
Exam tip: Do not only see that a decimal is long; check whether a fixed pattern repeats. चरण 1: \(0.727272\ldots\) में (72) का समूह बार-बार आ रहा है। चरण 2: बार-बार आने वाला दशमलव परिमेय होता है। चरण 3: परीक्षा सुझाव: केवल लंबा दशमलव नहीं, दोहराव का नियम पहचानें।
A. या तो समाप्त या असमाप्त आवर्ती/Either terminating or non-terminating recurring
Step 1
Concept
A rational number can be written as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
Its decimal either terminates or repeats a block of digits.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: Non-terminating non-recurring decimals are linked with irrational numbers. चरण 1: परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखी जा सकती है। चरण 2: इसका दशमलव या तो समाप्त होता है या कोई अंक समूह बार-बार आता है। चरण 3: परीक्षा सुझाव: असमाप्त अनावर्ती दशमलव अपरिमेय संख्या से जुड़ा होता है।
(4.125) has a finite number of digits after the decimal point.
Step 2
Why this answer is correct
Every terminating decimal can be written as a fraction, so it is rational.
Step 3
Exam Tip
Identifying a terminating decimal is an easy way to identify rationality. चरण 1: (4.125) में दशमलव के बाद सीमित अंक हैं। चरण 2: हर समाप्त दशमलव को भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए यह परिमेय है। चरण 3: समाप्त दशमलव पहचानना परिमेयता की आसान पहचान है।
A rational number has either a terminating decimal or a non-terminating recurring decimal.
Step 2
Why this answer is correct
So if it does not terminate, some digit or block will repeat.
Step 3
Exam Tip
Do not call a rational number non-terminating non-recurring. चरण 1: परिमेय संख्या का दशमलव या तो समाप्त होता है या असमाप्त आवर्ती होता है। चरण 2: इसलिए यदि वह समाप्त नहीं है, तो उसमें कोई अंक या समूह दोहराएगा। चरण 3: परिमेय संख्या को असमाप्त अनावर्ती नहीं मानना चाहिए।
The negative sign does not change the type of decimal expansion.
Step 2
Why this answer is correct
\(28=2^2\times7\), so the factor (7) makes the decimal non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
Check the denominator in lowest form, not the sign. चरण 1: ऋण चिह्न दशमलव के प्रकार को नहीं बदलता। चरण 2: \(28=2^2\times7\), इसलिए भाजक में (7) होने से दशमलव असमाप्त आवर्ती होगा। चरण 3: चिन्ह नहीं, सरल रूप का भाजक देखें।
A recurring decimal is rational, but it is not terminating.
Step 3
Exam Tip
A non-terminating rational decimal always has a fixed repeat. चरण 1: \(0.\overline{12}\) में (12) बार-बार दोहरता है। चरण 2: आवर्ती दशमलव परिमेय होता है, लेकिन यह समाप्त नहीं है। चरण 3: परिमेय असमाप्त दशमलव में निश्चित आवृत्ति जरूर होती है।
The negative sign in \(-\frac{17}{200}\) only makes the value negative.
Step 2
Why this answer is correct
Since \(200=2^3\times5^2\), the denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates.
Step 3
Exam Tip
To decide the decimal type, check the denominator in lowest form, not the negative sign. चरण 1: \(-\frac{17}{200}\) में ऋण चिह्न केवल मान को ऋणात्मक बनाता है। चरण 2: \(200=2^3\times5^2\) है, इसलिए भाजक में केवल (2) और (5) हैं और दशमलव समाप्त होगा। चरण 3: प्रकार तय करते समय ऋण चिह्न को नहीं, सरल रूप के भाजक को देखें।
The denominator has only the prime factor (2), so the decimal expansion terminates.
Step 3
Exam Tip
In exams, first check the prime factors of the simplified denominator. चरण 1: \(8=2^3\) है। चरण 2: भाजक में केवल (2) का गुणनखंड है, इसलिए दशमलव विस्तार समाप्त होगा। चरण 3: परीक्षा में पहले भिन्न को सरल रूप में देखकर भाजक के गुणनखंड जांचें।
A. परिमेय संख्या का वर्गमूल तभी परिमेय होना जरूरी है जब वह उपयुक्त पूर्ण वर्ग रूप में हो/The square root of a rational number is necessarily rational only when it is in a suitable perfect-square form
Step 1
Concept
(5) is rational, but it is not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
If it is not a perfect square, its square root need not be rational.
Step 3
Exam Tip
The proof of \(\sqrt{5}\) shows it is actually irrational. चरण 1: (5) परिमेय है, लेकिन पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: पूर्ण वर्ग न होने से उसका वर्गमूल परिमेय होना जरूरी नहीं। चरण 3: \(\sqrt{5}\) की सिद्धि बताती है कि वह वास्तव में अपरिमेय है।
A. परिमेय संख्या का वर्गमूल हमेशा परिमेय नहीं होता/The square root of a rational number is not always rational
Step 1
Concept
(5) is rational but not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
The square root of a non-perfect square need not be rational, and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Check a number and its square root separately. चरण 1: (5) परिमेय है लेकिन पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: अपूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय होना जरूरी नहीं और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 3: संख्या और उसके वर्गमूल का प्रकार अलग-अलग जांचें।
A. किसी परिमेय संख्या का वर्गमूल हमेशा परिमेय नहीं होता/The square root of a rational number is not always rational
Step 1
Concept
(5) is rational, but it is not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
The square root of a non-perfect square need not be rational, and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Check a number and its square root separately. चरण 1: (5) परिमेय है, लेकिन वह पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: पूर्ण वर्ग न होने पर उसका वर्गमूल परिमेय होना जरूरी नहीं और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 3: संख्या और उसके वर्गमूल के प्रकार को अलग-अलग जांचें।
A. जब (a) को दो पूर्ण वर्गों के अनुपात के रूप में लिखा जा सके/When (a) can be written as a ratio of two perfect squares
Step 1
Concept
The square root of a rational fraction is rational when both numerator and denominator can be perfect squares.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}\), so a ratio of two perfect squares is a safe condition.
Step 3
Exam Tip
Being positive or less than (1) does not guarantee a rational square root. चरण 1: किसी परिमेय भिन्न का वर्गमूल परिमेय तब होता है जब अंश और हर दोनों पूर्ण वर्ग बन सकें। चरण 2: जैसे \(\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}\), इसलिए दो पूर्ण वर्गों का अनुपात सुरक्षित स्थिति है। चरण 3: केवल धनात्मक या (1) से छोटा होना परिमेय वर्गमूल की गारंटी नहीं देता।
Adding a rational number cannot make an irrational number rational.
Step 2
Why this answer is correct
If (r+s) were rational, then (s=(r+s)-r) would be rational, which is a contradiction.
Step 3
Exam Tip
Such rules can also be checked by reverse reasoning. चरण 1: परिमेय संख्या जोड़ने से अपरिमेय संख्या परिमेय नहीं बनती। चरण 2: यदि (r+s) परिमेय मान लें, तो (s=(r+s)-r) परिमेय हो जाएगा, जो गलत है। चरण 3: ऐसे नियमों को उलटा सोचकर भी जांच सकते हैं।
Multiplying the whole equation by (20) gives \(16x^2-12+5x-10=60\). Therefore the standard form is \(16x^2+5x-82=0\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(16x^2+5x-74=0\). Multiplying the whole equation by (20) gives \(16x^2-12+5x-10=60\). Therefore the standard form is \(16x^2+5x-82=0\).
Step 3
Exam Tip
पूरे समीकरण को (20) से गुणा करने पर \(16x^2-12+5x-10=60\) मिलता है। इसलिए \(16x^2+5x-82=0\) नहीं बल्कि \(16x^2+5x-82=0\) मिलेगा।
Multiplying the whole equation by (12) gives \(9x^2+6-4x+20=72\). Therefore the standard form is \(9x^2-4x-46=0\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(9x^2-4x-42=0\). Multiplying the whole equation by (12) gives \(9x^2+6-4x+20=72\). Therefore the standard form is \(9x^2-4x-46=0\).
Step 3
Exam Tip
पूरे समीकरण को (12) से गुणा करने पर \(9x^2+6-4x+20=72\) मिलता है। इसलिए मानक रूप \(9x^2-4x-46=0\) नहीं बल्कि \(9x^2-4x-46=0\) होगा।
Multiplying the whole equation by (6) gives (3(x+1)2+2(x-3)2=60). Simplifying gives the correct form \(5x^2-6x-39=0\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(5x^2-6x-39=0\). Multiplying the whole equation by (6) gives (3(x+1)2+2(x-3)2=60). Simplifying gives the correct form \(5x^2-6x-39=0\).
Step 3
Exam Tip
पूरे समीकरण को (6) से गुणा करने पर (3(x+1)2+2(x-3)2=60) मिलता है। सरल करने पर \(5x^2-6x-39=0\) सही रूप है।
Multiplying the whole equation by (10) gives \(4x^2-2+5x+15=70\). Therefore the standard form is \(4x^2+5x-57=0\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(4x^2+5x-59=0\). Multiplying the whole equation by (10) gives \(4x^2-2+5x+15=70\). Therefore the standard form is \(4x^2+5x-57=0\).
Step 3
Exam Tip
पूरे समीकरण को (10) से गुणा करने पर \(4x^2-2+5x+15=70\) मिलता है। इसलिए \(4x^2+5x-57=0\) नहीं बल्कि \(4x^2+5x-57=0\) मिलेगा।
Multiplying the whole equation by (6) gives \(2x^2+2-3x+6=30\). Therefore the standard form is \(2x^2-3x-22=0\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2x^2-3x-22=0\). Multiplying the whole equation by (6) gives \(2x^2+2-3x+6=30\). Therefore the standard form is \(2x^2-3x-22=0\).
Step 3
Exam Tip
पूरे समीकरण को (6) से गुणा करने पर \(2x^2+2-3x+6=30\) मिलता है। इसलिए मानक रूप \(2x^2-3x-22=0\) है।
\(9=3^2\), so the reduced denominator contains the prime factor (3).
Step 2
Why this answer is correct
If a reduced denominator has a prime other than (2) and (5), the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
Break composite factors into primes first. चरण 1: \(9=3^2\), इसलिए सरलतम हर में (3) का गुणनखंड है। चरण 2: हर में (2) और (5) के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड हो तो दशमलव असांत आवर्ती होता है। चरण 3: संयुक्त संख्याओं को पहले अभाज्य रूप में तोड़ें।
C. हर में (2) और (5) के अलावा कम से कम एक अभाज्य गुणनखंड होगा/The denominator has at least one prime factor other than (2) and (5)
Step 1
Concept
A non-terminating decimal of a rational number is recurring.
Step 2
Why this answer is correct
This happens when the reduced denominator has at least one prime factor other than (2) and (5). So option (C) is correct.
Step 3
Exam Tip
(2) or (5) may also be present, but some other prime must remain. चरण 1: परिमेय संख्या का असांत दशमलव आवर्ती होता है। चरण 2: ऐसा तब होता है जब सरलतम हर में (2) और (5) के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड बचता है। इसलिए विकल्प (C) सही है। चरण 3: (2) या (5) साथ में हो सकते हैं, पर कोई अन्य गुणनखंड भी होगा।
For a purely recurring decimal, before reducing, the denominator has the same number of (9)'s. So it is (999999).
Step 3
Exam Tip
The number of repeating digits tells the number of (9)'s. चरण 1: आवर्ती भाग (142857) में (6) अंक हैं। चरण 2: पूर्ण आवर्ती दशमलव के लिए सरल करने से पहले हर में उतने ही (9) लिखे जाते हैं। इसलिए हर (999999) होगा। चरण 3: आवर्ती अंकों की संख्या सीधे (9) की संख्या बताती है।
The reduced denominator has only powers of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
The number of decimal places equals the larger exponent. Since (r>s), the larger exponent is (r).
Step 3
Exam Tip
Remember (\max(r,s)) for decimal places. चरण 1: सरलतम हर केवल (2) और (5) की घातों से बना है। चरण 2: दशमलव स्थानों की संख्या बड़ी घात के बराबर होती है। (r>s) होने पर बड़ी घात (r) है। चरण 3: दशमलव स्थान के लिए हमेशा (\max(r,s)) याद रखें।
Then \(100x=12.333\ldots\) and \(1000x=123.333\ldots\). Subtracting gives (900x=111), so \(x=\frac{111}{900}=\frac{37}{300}\).
Step 3
Exam Tip
Separate the non-repeating and repeating parts before multiplying. चरण 1: मान लें \(x=0.12333\ldots\)। चरण 2: \(100x=12.333\ldots\) और \(1000x=123.333\ldots\)। घटाने पर (900x=111), इसलिए \(x=\frac{111}{900}=\frac{37}{300}\)। चरण 3: सांत और आवर्ती भाग अलग-अलग देखकर गुणा करें।
A. ठीक (4) दशमलव स्थानों पर समाप्त होगा/It terminates exactly after (4) decimal places
Step 1
Concept
\(2^4\cdot 5^4=10^4\).
Step 2
Why this answer is correct
A reduced denominator of \(10^4\) gives a decimal terminating after (4) places. The numerator condition assures no hidden further reduction.
Step 3
Exam Tip
If the reduced denominator is \(10^k\), think of (k) decimal places. चरण 1: \(2^4\cdot 5^4=10^4\) है। चरण 2: सरलतम हर \(10^4\) होने से दशमलव (4) स्थानों पर समाप्त होगा। अंश (10) से विभाज्य नहीं होने की बात यह भरोसा देती है कि आगे और सरलता नहीं छिपी है। चरण 3: सरलतम हर \(10^k\) हो तो (k) दशमलव स्थान सोचें।
C. सरलतम हर (625) है/The reduced denominator is (625)
Step 1
Concept
\(0.00048=\frac{48}{100000}\).
Step 2
Why this answer is correct
Reducing gives \(\frac{48}{100000}=\frac{3}{625}\), and \(625=5^4\).
Step 3
Exam Tip
The number of decimal digits does not always give the final denominator; reduce first. चरण 1: \(0.00048=\frac{48}{100000}\) है। चरण 2: सरल करने पर \(\frac{48}{100000}=\frac{3}{625}\), और \(625=5^4\) है। चरण 3: दशमलव अंकों की संख्या सीधे अंतिम हर नहीं बताती; पहले भिन्न को सरल करें।
(0.75) is terminating, while \(0.\overline{3}\) and \(5.2\overline{4}\) are recurring.
Step 2
Why this answer is correct
\(2.10110111011110\ldots\) has no fixed repetition.
Step 3
Exam Tip
A non-terminating non-recurring decimal does not represent a rational number. चरण 1: (0.75) समाप्त दशमलव है और \(0.\overline{3}\), \(5.2\overline{4}\) आवर्ती हैं। चरण 2: \(2.10110111011110\ldots\) में निश्चित दोहराव नहीं दिखता। चरण 3: असमाप्त अनावर्ती दशमलव परिमेय संख्या नहीं दर्शाता।
B. असमाप्त आवर्ती होगा/It will be non-terminating recurring
Step 1
Concept
\(45=3^2\times5\).
Step 2
Why this answer is correct
The denominator also has (3), so it is not made only of (2) and (5).
Step 3
Exam Tip
If any other prime remains in the reduced denominator, the decimal expansion is non-terminating recurring. चरण 1: \(45=3^2\times5\) है। चरण 2: हर में (3) भी है, इसलिए यह (2) और (5) तक सीमित नहीं है। चरण 3: सहअभाज्य रूप में हर में अन्य अभाज्य आने पर दशमलव असमाप्त आवर्ती होता है।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं, और कारण कथन को समझाता है/Both assertion and reason are true, and the reason explains the assertion
Step 1
Concept
In a recurring decimal, a fixed block of digits repeats.
Step 2
Why this answer is correct
Such a decimal can be converted into a fraction \(\frac{p}{q}\), so it is rational.
Step 3
Exam Tip
In assertion-reason questions, check whether the reason supports the assertion. चरण 1: आवर्ती दशमलव में अंकों का निश्चित समूह दोहरता है। चरण 2: ऐसे दशमलव को भिन्न \(\frac{p}{q}\) में बदला जा सकता है, इसलिए वह परिमेय है। चरण 3: कारण-प्रकार प्रश्नों में कारण का संबंध कथन से जरूर जांचें।
For three decimal places, start with denominator (1000). चरण 1: \(0.125=\frac{125}{1000}\) है। चरण 2: सरल करने पर \(\frac{125}{1000}=\frac{1}{8}\) मिलता है। चरण 3: तीन दशमलव स्थान हों तो पहले (1000) भाजक लें।
For a terminating decimal, the denominator must be made only from (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
So its form is \(2^m5^n\).
Step 3
Exam Tip
(m) or (n) may be zero, so only (2) or only (5) is also allowed. चरण 1: समाप्त दशमलव के लिए भाजक केवल (2) और (5) से बनना चाहिए। चरण 2: इसलिए उसका रूप \(2^m5^n\) होता है। चरण 3: (m) या (n) शून्य भी हो सकते हैं, इसलिए केवल (2) या केवल (5) भी चलेगा।
The decimal expansion of a rational number is either terminating or non-terminating recurring.
Step 2
Why this answer is correct
\(0.10100100010000\ldots\) has no fixed repeating block, so it is not rational.
Step 3
Exam Tip
Learn to distinguish recurring from non-recurring decimals. चरण 1: परिमेय संख्या का दशमलव या तो समाप्त होता है या असमाप्त आवर्ती होता है। चरण 2: \(0.10100100010000\ldots\) में कोई स्थायी आवृत्ति नहीं है, इसलिए यह परिमेय नहीं है। चरण 3: आवर्ती और अनावर्ती में अंतर पहचानना जरूरी है।
Write terminating decimals with denominators like (10,100,1000) first. चरण 1: \(0.75=\frac{75}{100}\) है। चरण 2: सरल करने पर \(\frac{75}{100}=\frac{3}{4}\) मिलता है। चरण 3: समाप्त दशमलव को पहले (10,100,1000) जैसे भाजक में लिखें।
If \(\frac{s}{r}\) were rational then \(s=r\cdot\frac{s}{r}\) would be rational which is false. In exams check the non-zero condition.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अपरिमेय / Irrational. If \(\frac{s}{r}\) were rational then \(s=r\cdot\frac{s}{r}\) would be rational which is false. In exams check the non-zero condition.
Step 3
Exam Tip
यदि \(\frac{s}{r}\) परिमेय हो तो \(s=r\cdot\frac{s}{r}\) परिमेय हो जाएगा जो गलत है। परीक्षा में शून्येतर शर्त जरूर देखें।
The rational square root of a positive integer is an integer only when it is a perfect square. In exams identifying perfect squares is important.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (m) पूर्ण वर्ग है / (m) is a perfect square. The rational square root of a positive integer is an integer only when it is a perfect square. In exams identifying perfect squares is important.
Step 3
Exam Tip
धनात्मक पूर्णांक का परिमेय वर्गमूल तभी पूर्णांक होता है जब वह पूर्ण वर्ग हो। परीक्षा में पूर्ण वर्ग पहचानना जरूरी है।
(\(\sqrt{28}\)\(\sqrt{7}\)=\sqrt{196}=14) which is rational. In exams keep multiplication and addition rules separate.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\(\sqrt{28}\)\(\sqrt{7}\)). (\(\sqrt{28}\)\(\sqrt{7}\)=\sqrt{196}=14) which is rational. In exams keep multiplication and addition rules separate.
Step 3
Exam Tip
(\(\sqrt{28}\)\(\sqrt{7}\)=\sqrt{196}=14) है जो परिमेय है। परीक्षा में गुणन और जोड़ के नियम अलग रखें।
A. \(\sqrt{2}\) और \(3\sqrt{2}\)/\(\sqrt{2}\) and \(3\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}=6\), which is rational. In exams remember counterexamples for products of irrational numbers.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{2}\) और \(3\sqrt{2}\) / \(\sqrt{2}\) and \(3\sqrt{2}\). \(\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}=6\), which is rational. In exams remember counterexamples for products of irrational numbers.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}=6\), जो परिमेय है। परीक्षा में अपरिमेय संख्याओं के गुणनफल के लिए प्रतिउदाहरण याद रखें।
