यदि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) सबसे सरल रूप में माना जाए, तो \(p^2=2q^2\) से पहले कौन सा निष्कर्ष लेना चाहिए?
If \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) is assumed in lowest form, what should be concluded first from \(p^2=2q^2\)?
#sqrt2 proof
#irrationality
#real numbers
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (q) सम है / (q) is even
B \(p^2\) सम है / \(p^2\) is even
C (p=q)
D (q=2p)
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Correct Answer
B. \(p^2\) सम है / \(p^2\) is even
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) में दाईं ओर (2) का गुणन है। / In \(p^2=2q^2\), the right side has a factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए सबसे पहले \(p^2\) को सम कहा जाता है, फिर (p) सम निकाला जाता है। / So first we say \(p^2\) is even, then conclude (p) is even.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में निष्कर्षों का क्रम सही रखना जरूरी है। / Keep the order of conclusions correct in the proof.
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\(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\) लिखा गया है। यदि (a) और (b) सहअभाज्य हैं, तो प्रमाण में विरोधाभास कब बनेगा?
Assume \(\sqrt{3}\) is rational and \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\). If (a) and (b) are coprime, when will a contradiction occur in the proof?
#sqrt3 proof
#coprime
#contradiction
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A जब (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य मिलें / When both (a) and (b) are found divisible by (3)
B जब (a) और (b) दोनों पूर्णांक हों / When both (a) and (b) are integers
C जब \(b\neq 0\) हो / When \(b\neq 0\)
D जब \(\sqrt{3}\) धनात्मक हो / When \(\sqrt{3}\) is positive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. जब (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य मिलें / When both (a) and (b) are found divisible by (3)
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होता। / Coprime numbers have no common factor other than (1).
Step 2
Why this answer is correct
यदि दोनों (3) से विभाज्य मिलें, तो साझा गुणनखंड (3) होगा। / If both are divisible by (3), the common factor is (3).
Step 3
Exam Tip
यही विरोधाभास \(\sqrt{3}\) को अपरिमेय सिद्ध करता है। / This contradiction proves \(\sqrt{3}\) irrational.
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यदि \(\sqrt{5}=\frac{m}{n}\) मानकर वर्ग करने पर \(m^2=5n^2\) मिला, तो (m) के लिए सही अगला रूप कौन सा है?
If assuming \(\sqrt{5}=\frac{m}{n}\) and squaring gives \(m^2=5n^2\), what is the correct next form for (m)?
#sqrt5 proof
#prime divisibility
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (m=2k)
B (m=3k)
C (m=5k)
D (m=n)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
\(m^2=5n^2\) से \(m^2\) (5) से विभाज्य है। / From \(m^2=5n^2\), \(m^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(5) अभाज्य है, इसलिए (m) भी (5) से विभाज्य होगा। / Since (5) is prime, (m) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (m=5k) लिखना सही अगला कदम है। / Therefore (m=5k) is the correct next step.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (p=2r) रखने पर \(p^2=2q^2\) किस रूप में बदलेगा?
In the proof of \(\sqrt{2}\), if (p=2r), how does \(p^2=2q^2\) change?
#sqrt2 proof
#substitution
#algebra
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(2r^2=2q^2\)
B \(4r^2=2q^2\)
C \(p^2=4q^2\)
D \(r^2=q^2\)
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Correct Answer
B. \(4r^2=2q^2\)
Step 1
Concept
(p=2r) है, इसलिए (p-2 =(2r)2 =4r-2 )। / Since (p=2r), (p-2 =(2r)2 =4r-2 ).
Step 2
Why this answer is correct
इसे \(p^2=2q^2\) में रखने पर \(4r^2=2q^2\) मिलता है। / Substituting in \(p^2=2q^2\) gives \(4r^2=2q^2\).
Step 3
Exam Tip
गुणांक का वर्ग करना न भूलें। / Do not forget to square the coefficient.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (a=3t) रखने पर \(a^2=3b^2\) से \(b^2\) का कौन सा रूप मिलेगा?
In the proof of \(\sqrt{3}\), after putting (a=3t), which form of \(b^2\) follows from \(a^2=3b^2\)?
#sqrt3 proof
#substitution
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(b^2=3t^2\)
B \(b^2=9t^2\)
C \(b^2=t^2\)
D \(b^2=6t^2\)
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Correct Answer
A. \(b^2=3t^2\)
Step 1
Concept
(a=3t) रखने पर \(a^2=9t^2\) होगा। / If (a=3t), then \(a^2=9t^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(9t^2=3b^2\) से दोनों ओर (3) से भाग करने पर \(b^2=3t^2\) मिलेगा। / From \(9t^2=3b^2\), divide by (3) to get \(b^2=3t^2\).
Step 3
Exam Tip
भाग करने के चरण में जल्दबाजी न करें। / Do not rush the division step.
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कौन सा कथन \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में गलत कदम है?
Which statement is a wrong step in the proof of irrationality of \(\sqrt{2}\)?
#common mistake
#sqrt2 proof
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है / From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even
B \(p^2\) सम है, इसलिए (p) सम है / Since \(p^2\) is even, (p) is even
C (p=2r) रखने पर \(p^2=4r^2\) / If (p=2r), then \(p^2=4r^2\)
D \(p^2=2q^2\) से सीधे (p=2q) / From \(p^2=2q^2\), directly (p=2q)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
D. \(p^2=2q^2\) से सीधे (p=2q) / From \(p^2=2q^2\), directly (p=2q)
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) से \(p^2\) के सम होने का निष्कर्ष निकलता है। / From \(p^2=2q^2\), we conclude \(p^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
इससे (p) सम है, लेकिन सीधे (p=2q) नहीं लिख सकते। / This gives (p) even, but not directly (p=2q).
Step 3
Exam Tip
सही रूप (p=2r) होता है, जहां (r) पूर्णांक है। / The correct form is (p=2r), where (r) is an integer.
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यदि (r) अभाज्य है और \(r\mid x^2\), तो अपरिमेयता के प्रमाणों में कौन सा नियम प्रयोग किया जाता है?
If (r) is prime and \(r\mid x^2\), which rule is used in irrationality proofs?
#prime divisibility
#proof rule
#class 10
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? Hint Small clue
A \(r\mid x\)
B \(x\mid r\)
C \(x=r^2\)
D (r=x+1)
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Correct Answer
A. \(r\mid x\)
Step 1
Concept
अभाज्य गुणनखंड वर्ग में जोड़े के रूप में आते हैं। / Prime factors in a square occur in pairs.
Step 2
Why this answer is correct
यदि अभाज्य (r), \(x^2\) को विभाजित करता है, तो (x) को भी विभाजित करेगा। / If prime (r) divides \(x^2\), then it also divides (x).
Step 3
Exam Tip
यही नियम \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में काम आता है। / This rule is used in the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\).
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (m=5k) रखने पर \(m^2=5n^2\) से कौन सा समीकरण बनेगा?
In the proof of \(\sqrt{5}\), after putting (m=5k), which equation follows from \(m^2=5n^2\)?
#sqrt5 proof
#algebra error
#class 10
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? Hint Small clue
A \(5k^2=5n^2\)
B \(25k^2=5n^2\)
C \(10k^2=5n^2\)
D \(k^2=5n^2\)
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Correct Answer
B. \(25k^2=5n^2\)
Step 1
Concept
(m=5k) रखने पर \(m^2=25k^2\) होगा। / If (m=5k), then \(m^2=25k^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(m^2=5n^2\) में \(25k^2=5n^2\) मिलेगा। / So \(m^2=5n^2\) becomes \(25k^2=5n^2\).
Step 3
Exam Tip
((5k)2 ) को \(5k^2\) लिखना गलती है। / Writing ((5k)2 ) as \(5k^2\) is a mistake.
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\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों में सहअभाज्य मानने की भूमिका क्या है?
What is the role of assuming coprime numbers in the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#coprime
#contradiction
#irrationality proof
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A साझा गुणनखंड मिलने पर विरोधाभास दिखाना / To show contradiction when a common factor is found
B वर्गमूल का दशमलव निकालना / To find the decimal of the square root
C हर को शून्य बनाना / To make the denominator zero
D संख्या को पूर्ण वर्ग बनाना / To make the number a perfect square
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. साझा गुणनखंड मिलने पर विरोधाभास दिखाना / To show contradiction when a common factor is found
Step 1
Concept
परिमेय संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जाता है। / A rational number is written as a fraction in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम भिन्न में अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। / In lowest form, numerator and denominator are coprime.
Step 3
Exam Tip
बाद में साझा गुणनखंड मिलना इसी शर्त से विरोधाभास बनाता है। / Later, a common factor contradicts this condition.
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यदि \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानने पर \(a^2=3b^2\) मिला, तो (a) और (b) के बारे में अंत में क्या दिखाना होता है?
If assuming \(\sqrt{3}\) rational gives \(a^2=3b^2\), what must be shown about (a) and (b) at the end?
#sqrt3 proof
#common factor
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
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A दोनों (2) से विभाज्य हैं / Both are divisible by (2)
B दोनों (3) से विभाज्य हैं / Both are divisible by (3)
C दोनों (5) से विभाज्य हैं / Both are divisible by (5)
D दोनों शून्य हैं / Both are zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. दोनों (3) से विभाज्य हैं / Both are divisible by (3)
Step 1
Concept
\(a^2=3b^2\) से (a) (3) से विभाज्य निकलता है। / From \(a^2=3b^2\), (a) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
फिर (a=3k) रखने पर (b) भी (3) से विभाज्य मिलता है। / Then substituting (a=3k) shows (b) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
दोनों में (3) साझा होना विरोधाभास है। / Common factor (3) gives the contradiction.
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\(\sqrt{5}\) की सिद्धि में \(n^2=5k^2\) मिलने के बाद कौन सा तर्क सही है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), after getting \(n^2=5k^2\), which reasoning is correct?
#sqrt5 proof
#prime rule
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(n^2\) (5) से विभाज्य है, इसलिए (n) (5) से विभाज्य है / \(n^2\) is divisible by (5), so (n) is divisible by (5)
B \(n^2\) (5) से विभाज्य है, इसलिए (n=1) / \(n^2\) is divisible by (5), so (n=1)
C \(n^2=5k^2\) से \(n=5k^2\) / From \(n^2=5k^2\), \(n=5k^2\)
D \(n^2=5k^2\) से (k=0) / From \(n^2=5k^2\), (k=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(n^2\) (5) से विभाज्य है, इसलिए (n) (5) से विभाज्य है / \(n^2\) is divisible by (5), so (n) is divisible by (5)
Step 1
Concept
\(n^2=5k^2\) में दाईं ओर (5) गुणनखंड है। / In \(n^2=5k^2\), the right side has factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(n^2\) (5) से विभाज्य है और अभाज्य नियम से (n) भी (5) से विभाज्य होगा। / So \(n^2\) is divisible by (5), and by the prime rule (n) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
वर्ग से मूल संख्या पर सही नियम लगाएं। / Apply the correct rule from square to original number.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) की सिद्धि का सही संक्षिप्त ढांचा देता है?
Which option gives the correct short structure of the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 proof
#proof structure
#class 10
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? Hint Small clue
A परिमेय मानें, वर्ग करें, दोनों सम पाएं, सहअभाज्य से विरोधाभास / Assume rational, square, find both even, contradict coprime
B वर्ग करें, दशमलव निकालें, उत्तर याद करें / Square, find decimal, memorize answer
C पूर्ण वर्ग मानें, हर शून्य करें, निष्कर्ष लें / Assume perfect square, make denominator zero, conclude
D परिमेय मानें, (p=q) लिखें, प्रमाण पूरा करें / Assume rational, write (p=q), finish proof
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. परिमेय मानें, वर्ग करें, दोनों सम पाएं, सहअभाज्य से विरोधाभास / Assume rational, square, find both even, contradict coprime
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) लिखते हैं। / Assume \(\sqrt{2}\) rational and write it as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने पर दोनों (p) और (q) सम निकलते हैं। / Squaring leads to both (p) and (q) being even.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम होना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास देता है। / Both even contradict the coprime condition.
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यदि \(\sqrt{2}\) परिमेय होता, तो \(\frac{p}{q}\) के सरलतम रूप में (p) और (q) दोनों सम मिलने से क्या निष्कर्ष निकलेगा?
If \(\sqrt{2}\) were rational, what conclusion follows if both (p) and (q) are found even in lowest form \(\frac{p}{q}\)?
#lowest form
#sqrt2
#contradiction
#class 10
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? Hint Small clue
A सरलतम रूप की मान्यता टूटती है / The lowest form assumption breaks
B भिन्न और सरल नहीं हो सकती / The fraction cannot be reduced further
C \(\sqrt{2}=2\) सिद्ध होता है / \(\sqrt{2}=2\) is proved
D (p) और (q) सहअभाज्य ही रहेंगे / (p) and (q) remain coprime
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. सरलतम रूप की मान्यता टूटती है / The lowest form assumption breaks
Step 1
Concept
सरलतम रूप में अंश और हर में साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। / In lowest form, numerator and denominator should not have a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों सम मिलने पर (2) साझा गुणनखंड है। / If both are even, (2) is a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सरलतम रूप की मान्यता टूटती है और विरोधाभास मिलता है। / Therefore the lowest-form assumption breaks and gives a contradiction.
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कौन सा कथन \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में सही है लेकिन \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में मुख्य रूप से नहीं आता?
Which statement is correct in the proof of \(\sqrt{3}\) but is not the main step in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt3 proof
#comparison
#class 10
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A यदि \(p^2\) (3) से विभाज्य है, तो (p) (3) से विभाज्य है / If \(p^2\) is divisible by (3), then (p) is divisible by (3)
B यदि \(p^2\) सम है, तो (p) सम है / If \(p^2\) is even, then (p) is even
C यदि (p=2k), तो \(p^2=4k^2\) / If (p=2k), then \(p^2=4k^2\)
D दोनों (p) और (q) सम हैं / Both (p) and (q) are even
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यदि \(p^2\) (3) से विभाज्य है, तो (p) (3) से विभाज्य है / If \(p^2\) is divisible by (3), then (p) is divisible by (3)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (3) का गुणनखंड काम करता है। / In the proof of \(\sqrt{3}\), factor (3) is used.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(p^2\) (3) से विभाज्य होने पर (p) (3) से विभाज्य कहा जाता है। / So if \(p^2\) is divisible by (3), (p) is divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
हर प्रमाण में संबंधित संख्या का गुणनखंड पहचानें। / Identify the relevant factor in each proof.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (5) के अभाज्य होने की भूमिका को सही बताता है?
Which option correctly tells the role of (5) being prime in the proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#prime number
#class 10
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A इससे \(p^2\) (5) से विभाज्य होने पर (p) (5) से विभाज्य मिलता है / It lets us conclude that if \(p^2\) is divisible by (5), then (p) is divisible by (5)
B इससे \(\sqrt{5}=5\) हो जाता है / It makes \(\sqrt{5}=5\)
C इससे (q=0) हो जाता है / It makes (q=0)
D इससे (5) पूर्ण वर्ग बन जाता है / It makes (5) a perfect square
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. इससे \(p^2\) (5) से विभाज्य होने पर (p) (5) से विभाज्य मिलता है / It lets us conclude that if \(p^2\) is divisible by (5), then (p) is divisible by (5)
Step 1
Concept
अभाज्य संख्या का गुणनखंड वर्ग में आने पर मूल संख्या में भी आता है। / If a prime factor divides a square, it also divides the original number.
Step 2
Why this answer is correct
(5) अभाज्य है, इसलिए \(p^2\) (5) से विभाज्य होने पर (p) (5) से विभाज्य होगा। / Since (5) is prime, \(p^2\) divisible by (5) implies (p) divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
यही प्रमाण का मुख्य तर्क है। / This is the main logic of the proof.
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\(\sqrt{3}\) को परिमेय मानने पर \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) लिखा गया। यदि (p) और (q) में साझा गुणनखंड (3) मिल जाए, तो कौन सी मान्यता गलत सिद्ध होती है?
After assuming \(\sqrt{3}\) rational, \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) is written. If common factor (3) is found in (p) and (q), which assumption is proved false?
#sqrt3 proof
#assumption
#contradiction
#class 10
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A \(\sqrt{3}\) परिमेय है / \(\sqrt{3}\) is rational
B \(q\neq 0\)
C (3) अभाज्य है / (3) is prime
D (p) और (q) पूर्णांक हैं / (p) and (q) are integers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\sqrt{3}\) परिमेय है / \(\sqrt{3}\) is rational
Step 1
Concept
परिमेय मानकर (p) और (q) को सहअभाज्य माना गया था। / After assuming rationality, (p) and (q) were taken coprime.
Step 2
Why this answer is correct
साझा गुणनखंड (3) मिलना इस मान्यता को असंभव बनाता है। / Finding common factor (3) makes this assumption impossible.
Step 3
Exam Tip
इसलिए मूल परिमेय मान्यता गलत और \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / So the rational assumption is false and \(\sqrt{3}\) is irrational.
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यदि (p) और (q) सहअभाज्य हैं, तो निम्न में से कौन सी स्थिति असंभव है?
If (p) and (q) are coprime, which of the following situations is impossible?
#coprime
#common factor
#real numbers
#class 10
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A (p) और (q) दोनों पूर्णांक हैं / Both (p) and (q) are integers
B \(q\neq 0\)
C (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हैं / Both (p) and (q) are divisible by (5)
D (p) धनात्मक हो सकता है / (p) may be positive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हैं / Both (p) and (q) are divisible by (5)
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं में साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं होता। / Coprime numbers have no common factor other than (1).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों (5) से विभाज्य होने पर (5) साझा गुणनखंड होगा। / If both are divisible by (5), (5) is a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह सहअभाज्य होने के विरुद्ध है। / Therefore this is impossible for coprime numbers.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में यदि (q) भी सम सिद्ध हो जाए, तो (p) और (q) के बारे में कौन सा निष्कर्ष बनेगा?
In proving \(\sqrt{2}\), if (q) is also proved even, what conclusion follows about (p) and (q)?
#sqrt2 proof
#even
#coprime
#class 10
50 50-50 2 wrong hide
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? Hint Small clue
A दोनों में (2) साझा गुणनखंड है / Both have (2) as a common factor
B दोनों में (3) साझा गुणनखंड है / Both have (3) as a common factor
C दोनों बराबर हैं / Both are equal
D दोनों शून्य हैं / Both are zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. दोनों में (2) साझा गुणनखंड है / Both have (2) as a common factor
Step 1
Concept
पहले (p) सम सिद्ध होता है। / First (p) is proved even.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (q) भी सम सिद्ध हो जाए, तो दोनों (2) से विभाज्य होंगे। / If (q) is also proved even, both are divisible by (2).
Step 3
Exam Tip
साझा गुणनखंड (2) सहअभाज्य शर्त को तोड़ता है। / Common factor (2) breaks the coprime condition.
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कौन सा कथन \(\sqrt{5}\) की सिद्धि के क्रम को सही बताता है?
Which statement gives the correct order of the proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#proof order
#class 10
50 50-50 2 wrong hide
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A मानें \(\sqrt{5}\) परिमेय है, \(p^2=5q^2\) पाएं, (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाएं / Assume \(\sqrt{5}\) rational, get \(p^2=5q^2\), show both (p) and (q) divisible by (5)
B मानें \(\sqrt{5}=5\), फिर (p=q) लिखें / Assume \(\sqrt{5}=5\), then write (p=q)
C पहले (q=0) मानें, फिर वर्ग करें / First assume (q=0), then square
D दशमलव मान लिखकर प्रमाण पूरा करें / Write decimal value and finish proof
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. मानें \(\sqrt{5}\) परिमेय है, \(p^2=5q^2\) पाएं, (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाएं / Assume \(\sqrt{5}\) rational, get \(p^2=5q^2\), show both (p) and (q) divisible by (5)
Step 1
Concept
प्रमाण परिमेय मान्यता से शुरू होता है। / The proof starts with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने पर \(p^2=5q^2\) मिलता है। / Squaring gives \(p^2=5q^2\).
Step 3
Exam Tip
अंत में दोनों में (5) साझा गुणनखंड दिखाकर विरोधाभास बनाया जाता है। / Finally, a common factor (5) in both gives the contradiction.
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यदि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) और (p), (q) सहअभाज्य हैं, तो (p) और (q) दोनों सम सिद्ध होना किससे टकराता है?
If \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) and (p), (q) are coprime, proving both (p) and (q) even contradicts what?
#sqrt2 contradiction
#coprime
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (p) और (q) के सहअभाज्य होने से / The coprime nature of (p) and (q)
B \(q\neq 0\) से / \(q\neq 0\)
C \(\sqrt{2}\) के धनात्मक होने से / The positivity of \(\sqrt{2}\)
D (p) और (q) के पूर्णांक होने से / (p) and (q) being integers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p) और (q) के सहअभाज्य होने से / The coprime nature of (p) and (q)
Step 1
Concept
सहअभाज्य होने का अर्थ है कि साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं है। / Coprime means there is no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों सम होने पर (2) साझा गुणनखंड होगा। / If both are even, (2) is a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह सीधे सहअभाज्य होने से टकराता है। / Therefore it directly contradicts their being coprime.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (a=3k) लिखने का सही कारण है?
Which option gives the correct reason for writing (a=3k) in the proof of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#reasoning
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि \(a^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है / Because \(a^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
B क्योंकि (a=3) है / Because (a=3)
C क्योंकि \(\sqrt{3}=3\) है / Because \(\sqrt{3}=3\)
D क्योंकि (b=3k) पहले से है / Because (b=3k) already
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Correct Answer
A. क्योंकि \(a^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है / Because \(a^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
Step 1
Concept
\(a^2=3b^2\) से \(a^2\) (3) से विभाज्य है। / From \(a^2=3b^2\), \(a^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(3) अभाज्य है, इसलिए (a) भी (3) से विभाज्य होगा। / Since (3) is prime, (a) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (a=3k) लिखना उचित है। / Therefore writing (a=3k) is valid.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में सामान्य अंतिम विचार है?
Which option is the common final idea in the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#common proof idea
#irrationality
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलना / Finding a common factor in numerator and denominator of a lowest-form fraction
B वर्गमूल को दशमलव में बदलना / Converting the square root to decimal
C हर को शून्य सिद्ध करना / Proving denominator zero
D संख्या को पूर्ण वर्ग मानना / Assuming the number is a perfect square
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Correct Answer
A. सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलना / Finding a common factor in numerator and denominator of a lowest-form fraction
Step 1
Concept
तीनों में संख्या को परिमेय मानकर सरलतम भिन्न लिखते हैं। / In all three, the number is assumed rational and written in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
अंत में अंश और हर में (2), (3), या (5) साझा गुणनखंड मिलता है। / At the end, numerator and denominator share (2), (3), or (5).
Step 3
Exam Tip
यही सामान्य विरोधाभास है। / This is the common contradiction.
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कौन सा कथन \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में सही है?
Which statement is correct in the proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#correct statement
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (5) पूर्ण वर्ग है, इसलिए \(\sqrt{5}\) परिमेय है / (5) is a perfect square, so \(\sqrt{5}\) is rational
B \(p^2=5q^2\) से (p) (5) से विभाज्य है / From \(p^2=5q^2\), (p) is divisible by (5)
C \(p^2=5q^2\) से (p=5q) सीधे मिलता है / From \(p^2=5q^2\), directly (p=5q)
D \(\sqrt{5}=25\)
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Correct Answer
B. \(p^2=5q^2\) से (p) (5) से विभाज्य है / From \(p^2=5q^2\), (p) is divisible by (5)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। / From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(5) अभाज्य है, इसलिए (p) भी (5) से विभाज्य होगा। / Since (5) is prime, (p) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
सीधे (p=5q) लिखना सही नहीं है। / Directly writing (p=5q) is not correct.
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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में (p=3r) और (q=3s) मिलना क्या दिखाता है?
In the proof of \(\sqrt{3}\), what does getting (p=3r) and (q=3s) show?
#sqrt3 proof
#common factor
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (p) और (q) में (3) साझा गुणनखंड है / (p) and (q) have (3) as a common factor
B (p) और (q) दोनों शून्य हैं / Both (p) and (q) are zero
C \(\sqrt{3}\) परिमेय है / \(\sqrt{3}\) is rational
D (p=q) है / (p=q)
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Correct Answer
A. (p) और (q) में (3) साझा गुणनखंड है / (p) and (q) have (3) as a common factor
Step 1
Concept
(p=3r) से (p) (3) से विभाज्य है। / (p=3r) means (p) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(q=3s) से (q) भी (3) से विभाज्य है। / (q=3s) means (q) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
दोनों में (3) साझा गुणनखंड है, इसलिए सहअभाज्य शर्त टूटती है। / Both have common factor (3), so the coprime condition breaks.
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यदि \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानने से अंत में (q=2s) मिले, तो प्रमाण में यह क्यों महत्वपूर्ण है?
If assuming \(\sqrt{2}\) rational finally gives (q=2s), why is this important in the proof?
#sqrt2 proof
#q even
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
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A क्योंकि इससे (q) सम सिद्ध होता है और (p) पहले ही सम था / Because it proves (q) even and (p) was already even
B क्योंकि इससे (q=0) सिद्ध होता है / Because it proves (q=0)
C क्योंकि इससे \(\sqrt{2}=2\) सिद्ध होता है / Because it proves \(\sqrt{2}=2\)
D क्योंकि इससे (p=q) सिद्ध होता है / Because it proves (p=q)
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Correct Answer
A. क्योंकि इससे (q) सम सिद्ध होता है और (p) पहले ही सम था / Because it proves (q) even and (p) was already even
Step 1
Concept
प्रमाण में पहले (p) सम सिद्ध किया जाता है। / First (p) is proved even in the proof.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (q=2s) मिल गया, तो (q) भी सम है। / If (q=2s), then (q) is also even.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम होने से (2) साझा गुणनखंड मिलता है और विरोधाभास बनता है। / Both even gives common factor (2) and creates a contradiction.
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कौन सा कथन \(p^2=5q^2\) से सीधे सही है?
Which statement is directly correct from \(p^2=5q^2\)?
#sqrt5 proof
#direct conclusion
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
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A \(p^2\) (5) से विभाज्य है / \(p^2\) is divisible by (5)
B \(q^2\) (5) से विभाज्य है / \(q^2\) is divisible by (5)
C (p=q)
D (q=5p)
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Correct Answer
A. \(p^2\) (5) से विभाज्य है / \(p^2\) is divisible by (5)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) में \(p^2\) \(5q^2\) के बराबर है। / In \(p^2=5q^2\), \(p^2\) equals \(5q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(p^2\) में (5) का गुणनखंड निश्चित है। / So \(p^2\) definitely has factor (5).
Step 3
Exam Tip
\(q^2\) की विभाज्यता बाद के चरण में आती है। / Divisibility of \(q^2\) comes in a later step.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) की सिद्धि में (p) और (q) के सहअभाज्य होने की शर्त का सही अर्थ देता है?
Which option gives the correct meaning of the coprime condition for (p) and (q) in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#coprime meaning
#sqrt2 proof
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (p) और (q) का साझा गुणनखंड केवल (1) है / The only common factor of (p) and (q) is (1)
B (p) और (q) दोनों सम हैं / Both (p) and (q) are even
C (p=q) है / (p=q)
D (p) और (q) दोनों (2) हैं / Both (p) and (q) are (2)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p) और (q) का साझा गुणनखंड केवल (1) है / The only common factor of (p) and (q) is (1)
Step 1
Concept
सहअभाज्य का अर्थ है कि दो संख्याओं में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड न हो। / Coprime means two numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए दोनों सम मिलना इस अर्थ को तोड़ता है। / So finding both even breaks this meaning.
Step 3
Exam Tip
परिभाषा साफ समझने से प्रमाण सरल होता है। / Understanding the definition makes the proof easier.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में कौन सा चरण वर्गमूल हटाने के लिए किया जाता है?
In the proof of \(\sqrt{3}\), which step is done to remove the square root?
#sqrt3 proof
#squaring
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A दोनों ओर वर्ग करना / Squaring both sides
B दोनों ओर (3) जोड़ना / Adding (3) to both sides
C दोनों ओर (q) घटाना / Subtracting (q) from both sides
D दोनों ओर शून्य से गुणा करना / Multiplying both sides by zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. दोनों ओर वर्ग करना / Squaring both sides
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) में वर्गमूल मौजूद है। / \(\sqrt{3}\) contains a square root.
Step 2
Why this answer is correct
उसे हटाने के लिए दोनों ओर वर्ग किया जाता है, जिससे \(3=\frac{p^2}{q^2}\) मिलता है। / To remove it, we square both sides and get \(3=\frac{p^2}{q^2}\).
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल हटाने के लिए सही बीजगणितीय क्रिया चुनें। / Choose the correct algebraic operation to remove the radical.
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यदि \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य सिद्ध होते हैं, तो इसका अर्थ क्या है?
If in the proof of \(\sqrt{5}\), both (p) and (q) are proved divisible by (5), what does it mean?
#sqrt5 proof
#lowest form
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं था / \(\frac{p}{q}\) was not in lowest form
B \(\frac{p}{q}\) अवश्य पूर्णांक है / \(\frac{p}{q}\) is necessarily an integer
C \(\sqrt{5}=5\)
D (q=0)
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Correct Answer
A. \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं था / \(\frac{p}{q}\) was not in lowest form
Step 1
Concept
दोनों (5) से विभाज्य होने पर भिन्न में साझा गुणनखंड (5) है। / If both are divisible by (5), the fraction has common factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसी भिन्न को और सरल किया जा सकता है। / Such a fraction can be reduced further.
Step 3
Exam Tip
यह सरलतम रूप मानने के विरुद्ध है। / This contradicts the assumption of lowest form.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में अंतर को सही दिखाता है?
Which option correctly shows a difference between the proofs of \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{5}\)?
#proof comparison
#sqrt2 sqrt5
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
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A \(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2) मिलता है, \(\sqrt{5}\) में साझा गुणनखंड (5) मिलता है / In \(\sqrt{2}\), common factor (2) is found; in \(\sqrt{5}\), common factor (5) is found
B दोनों में कोई साझा गुणनखंड नहीं मिलता / No common factor is found in either
C \(\sqrt{2}\) में (5), \(\sqrt{5}\) में (2) मिलता है / In \(\sqrt{2}\), (5) is found; in \(\sqrt{5}\), (2) is found
D दोनों में (q=0) मिलता है / In both, (q=0) is found
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2) मिलता है, \(\sqrt{5}\) में साझा गुणनखंड (5) मिलता है / In \(\sqrt{2}\), common factor (2) is found; in \(\sqrt{5}\), common factor (5) is found
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में संख्या (2) मुख्य गुणनखंड बनती है। / In the proof of \(\sqrt{2}\), (2) is the key factor.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में संख्या (5) मुख्य गुणनखंड बनती है। / In the proof of \(\sqrt{5}\), (5) is the key factor.
Step 3
Exam Tip
अलग-अलग प्रमाणों में मूल के अंदर की संख्या पर ध्यान दें। / Pay attention to the number under the root in each proof.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में समानता दिखाता है?
Which option shows a similarity between the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\)?
#sqrt3 sqrt5
#similarity
#prime rule
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A दोनों में अभाज्य गुणनखंड का नियम प्रयोग होता है / Both use the prime factor divisibility rule
B दोनों में केवल सम संख्या का नियम प्रयोग होता है / Both use only the even number rule
C दोनों में हर शून्य माना जाता है / In both, denominator is assumed zero
D दोनों में वर्गमूल को पूर्णांक मानते हैं / In both, the square root is assumed integer
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. दोनों में अभाज्य गुणनखंड का नियम प्रयोग होता है / Both use the prime factor divisibility rule
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) में (3) और \(\sqrt{5}\) में (5) अभाज्य हैं। / In \(\sqrt{3}\), (3) is prime; in \(\sqrt{5}\), (5) is prime.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों प्रमाणों में वर्ग से मूल संख्या पर विभाज्यता लाने का नियम उपयोग होता है। / Both proofs use divisibility from square to original number.
Step 3
Exam Tip
यही दोनों का मुख्य समान तर्क है। / This is their main common logic.
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एक छात्र \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में लिखता है कि \(p^2\) सम है इसलिए (p) सम है। यह कदम क्यों सही है?
A student writes in the proof of \(\sqrt{2}\) that \(p^2\) is even so (p) is even. Why is this step correct?
#even square
#logical reasoning
#sqrt2
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि विषम संख्या का वर्ग विषम होता है / Because the square of an odd number is odd
B क्योंकि हर संख्या सम होती है / Because every number is even
C क्योंकि (p=q) है / Because (p=q)
D क्योंकि (q=0) है / Because (q=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि विषम संख्या का वर्ग विषम होता है / Because the square of an odd number is odd
Step 1
Concept
यदि (p) विषम होता, तो \(p^2\) भी विषम होता। / If (p) were odd, then \(p^2\) would also be odd.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन \(p^2\) सम मिला है, इसलिए (p) विषम नहीं हो सकता। / But \(p^2\) is even, so (p) cannot be odd.
Step 3
Exam Tip
इस तरह (p) सम होना तय है। / Thus (p) must be even.
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यदि \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानने पर अंत में विरोधाभास मिलता है, तो सही निष्कर्ष कौन सा है?
If assuming \(\sqrt{5}\) rational finally gives a contradiction, which conclusion is correct?
#sqrt5 conclusion
#contradiction
#class 10
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? Hint Small clue
A \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{5}\) is irrational
B \(\sqrt{5}\) परिमेय है / \(\sqrt{5}\) is rational
C \(\sqrt{5}=5\)
D (5) पूर्ण वर्ग है / (5) is a perfect square
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{5}\) is irrational
Step 1
Concept
विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता ली जाती है। / In contradiction, the opposite assumption is taken.
Step 2
Why this answer is correct
यदि परिमेय मान्यता असंभव निकले, तो वह गलत है। / If the rational assumption becomes impossible, it is false.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय सिद्ध होता है। / Therefore \(\sqrt{5}\) is proved irrational.
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कौन सा कथन \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (b) के बारे में अंतिम निष्कर्ष को सही बताता है?
Which statement correctly tells the final conclusion about (b) in the proof of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#b divisibility
#class 10
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A (b) (3) से विभाज्य है / (b) is divisible by (3)
B (b) (2) से विभाज्य है / (b) is divisible by (2)
C (b=1) है / (b=1)
D (b) शून्य है / (b) is zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (b) (3) से विभाज्य है / (b) is divisible by (3)
Step 1
Concept
(a=3k) रखने के बाद \(b^2=3k^2\) मिलता है। / After substituting (a=3k), we get \(b^2=3k^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(b^2\) (3) से विभाज्य है। / Hence \(b^2\) is divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
अभाज्य नियम से (b) भी (3) से विभाज्य होगा। / By the prime rule, (b) is also divisible by (3).
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में (p) और (q) के दोनों सम होने पर भिन्न \(\frac{p}{q}\) के बारे में क्या कहा जा सकता है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), if both (p) and (q) are even, what can be said about the fraction \(\frac{p}{q}\)?
#sqrt2 proof
#fraction lowest form
#class 10
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A यह सरलतम रूप में नहीं है / It is not in lowest form
B यह अवश्य (1) है / It is necessarily (1)
C यह हर हाल में पूर्णांक है / It is always an integer
D यह शून्य है / It is zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह सरलतम रूप में नहीं है / It is not in lowest form
Step 1
Concept
दोनों सम होने का अर्थ है कि अंश और हर में (2) साझा गुणनखंड है। / Both even means numerator and denominator have common factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसी भिन्न को (2) से घटाया जा सकता है। / Such a fraction can be reduced by (2).
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह सरलतम रूप में नहीं हो सकती। / So it cannot be in lowest form.
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कौन सा कथन \(\sqrt{2}\) की सिद्धि में \(q\neq 0\) की जरूरत को सही बताता है?
Which statement correctly explains why \(q\neq 0\) is needed in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#denominator
#rational form
#sqrt2
#class 10
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A भिन्न \(\frac{p}{q}\) में हर शून्य नहीं हो सकता / The denominator in \(\frac{p}{q}\) cannot be zero
B (q) हमेशा (2) होना चाहिए / (q) must always be (2)
C (q) हमेशा सम होना चाहिए / (q) must always be even
D (q) अपरिमेय होना चाहिए / (q) must be irrational
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. भिन्न \(\frac{p}{q}\) में हर शून्य नहीं हो सकता / The denominator in \(\frac{p}{q}\) cannot be zero
Step 1
Concept
परिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जाता है। / A rational number is written as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
भिन्न का हर शून्य नहीं हो सकता। / The denominator of a fraction cannot be zero.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(q\neq 0\) लिखना आवश्यक है। / Therefore \(q\neq 0\) must be written.
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एक प्रमाण में \(p^2=3q^2\) मिला। यह किस वर्गमूल की अपरिमेयता सिद्धि से जुड़ा है?
In a proof, \(p^2=3q^2\) is obtained. This is related to the irrationality proof of which square root?
#identify proof
#sqrt3
#class 10
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? Hint Small clue
A \(\sqrt{2}\)
B \(\sqrt{3}\)
C \(\sqrt{5}\)
D \(\sqrt{9}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. \(\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\) मानने पर वर्ग करने से \(p^2=nq^2\) मिलता है। / Assuming \(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\) and squaring gives \(p^2=nq^2\).
Step 2
Why this answer is correct
यहां (n=3) है, इसलिए यह \(\sqrt{3}\) से जुड़ा है। / Here (n=3), so it relates to \(\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
समीकरण में गुणनखंड देखकर मूल संख्या पहचानें। / Identify the square root from the factor in the equation.
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एक प्रमाण में \(p^2=2q^2\) से (p=2r) और फिर (q=2s) मिला। यह कौन सा विरोधाभास देता है?
In a proof, from \(p^2=2q^2\), we get (p=2r) and then (q=2s). What contradiction does this give?
#sqrt2 contradiction
#proof reasoning
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (p) और (q) सहअभाज्य नहीं हैं / (p) and (q) are not coprime
B (p) और (q) पूर्णांक नहीं हैं / (p) and (q) are not integers
C \(\sqrt{2}\) ऋणात्मक है / \(\sqrt{2}\) is negative
D (q=0) है / (q=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p) और (q) सहअभाज्य नहीं हैं / (p) and (q) are not coprime
Step 1
Concept
(p=2r) और (q=2s) से दोनों (2) से विभाज्य हैं। / (p=2r) and (q=2s) mean both are divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए वे सहअभाज्य नहीं हो सकते। / So they cannot be coprime.
Step 3
Exam Tip
जबकि शुरुआत में उन्हें सहअभाज्य माना गया था, यही विरोधाभास है। / But they were assumed coprime at the start, which is the contradiction.
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\(\sqrt{5}\) की सिद्धि में \(p^2=5q^2\) से (p) (5) से विभाज्य मिला। अब (p=5k) रखने का उद्देश्य क्या है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), (p) is found divisible by (5) from \(p^2=5q^2\). What is the purpose of putting (p=5k)?
#sqrt5 proof
#p substitution
#class 10
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? Hint Small clue
A (q) को भी (5) से विभाज्य दिखाना / To show (q) is also divisible by (5)
B (p=q) दिखाना / To show (p=q)
C \(\sqrt{5}=5\) दिखाना / To show \(\sqrt{5}=5\)
D (q=0) दिखाना / To show (q=0)
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Correct Answer
A. (q) को भी (5) से विभाज्य दिखाना / To show (q) is also divisible by (5)
Step 1
Concept
पहले (p) में (5) का गुणनखंड मिला। / First (p) is found to have factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
(p=5k) को समीकरण में रखने से \(q^2=5k^2\) मिलता है। / Substituting (p=5k) in the equation gives \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
इससे (q) भी (5) से विभाज्य सिद्ध होता है। / This proves (q) is also divisible by (5).
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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में कौन सा कथन प्रमाण को अधूरा छोड़ देता है?
Which statement leaves the proof of \(\sqrt{3}\) incomplete?
#incomplete proof
#sqrt3
#class 10
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? Hint Small clue
A केवल \(p^2=3q^2\) लिखकर रुक जाना / Stopping after only writing \(p^2=3q^2\)
B (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य दिखाना / Showing both (p) and (q) divisible by (3)
C सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास लिखना / Writing contradiction with coprime condition
D अंत में \(\sqrt{3}\) अपरिमेय लिखना / Finally writing \(\sqrt{3}\) is irrational
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Correct Answer
A. केवल \(p^2=3q^2\) लिखकर रुक जाना / Stopping after only writing \(p^2=3q^2\)
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) प्रमाण का मध्य चरण है, अंतिम नहीं। / \(p^2=3q^2\) is a middle step, not the end.
Step 2
Why this answer is correct
इसके बाद (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य दिखाने होते हैं। / After this, both (p) and (q) must be shown divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास और निष्कर्ष लिखे बिना प्रमाण पूरा नहीं होता। / The proof is incomplete without contradiction and conclusion.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) की सिद्धि में परिमेय संख्या की परिभाषा का सही उपयोग है?
Which option is the correct use of the definition of rational number in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#rational definition
#sqrt2 proof
#class 10
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? Hint Small clue
A \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहां (p), (q) पूर्णांक हैं और \(q\neq 0\) / \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where (p), (q) are integers and \(q\neq 0\)
B \(\sqrt{2}=p+q\), जहां (p), (q) पूर्णांक हैं / \(\sqrt{2}=p+q\), where (p), (q) are integers
C \(\sqrt{2}=pq\), जहां (p), (q) धनात्मक हैं / \(\sqrt{2}=pq\), where (p), (q) are positive
D \(\sqrt{2}=0\)
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Correct Answer
A. \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहां (p), (q) पूर्णांक हैं और \(q\neq 0\) / \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where (p), (q) are integers and \(q\neq 0\)
Step 1
Concept
परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखी जाती है। / A rational number is written as a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
हर शून्य नहीं हो सकता, इसलिए \(q\neq 0\) जरूरी है। / The denominator cannot be zero, so \(q\neq 0\) is necessary.
Step 3
Exam Tip
सबसे सरल रूप में (p) और (q) सहअभाज्य भी लिए जाते हैं। / In lowest form, (p) and (q) are also taken coprime.
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यदि \(\sqrt{3}\) परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) लिखा गया है, तो \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लेने का क्या लाभ है?
If \(\sqrt{3}\) is assumed rational and written as \(\frac{p}{q}\), what is the benefit of taking \(\frac{p}{q}\) in lowest form?
#sqrt3 proof
#lowest form
#class 10
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A साझा गुणनखंड मिलने पर स्पष्ट विरोधाभास बनता है / A clear contradiction is formed when a common factor is found
B दशमलव मान तुरंत मिलता है / Decimal value is obtained immediately
C हर शून्य हो जाता है / Denominator becomes zero
D (p=q) सिद्ध हो जाता है / (p=q) is proved
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Correct Answer
A. साझा गुणनखंड मिलने पर स्पष्ट विरोधाभास बनता है / A clear contradiction is formed when a common factor is found
Step 1
Concept
सरलतम रूप में (p) और (q) सहअभाज्य होते हैं। / In lowest form, (p) and (q) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में जब दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं, तो यह बात असंभव हो जाती है। / When the proof shows both divisible by (3), this becomes impossible.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सरलतम रूप विरोधाभास दिखाने में मदद करता है। / Thus lowest form helps show contradiction.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (q) के (5) से विभाज्य होने तक सही रास्ता दिखाता है?
Which option shows the correct path to prove (q) divisible by (5) in the proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#step sequence
#class 10
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A \(p^2=5q^2\), (p=5k), \(25k^2=5q^2\), \(q^2=5k^2\)
B \(p^2=5q^2\), (p=5q), (q=5)
C \(p^2=5q^2\), (q=0)
D \(p^2=5q^2\), \(\sqrt{5}=5\)
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Correct Answer
A. \(p^2=5q^2\), (p=5k), \(25k^2=5q^2\), \(q^2=5k^2\)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) से (p) (5) से विभाज्य है, इसलिए (p=5k)। / From \(p^2=5q^2\), (p) is divisible by (5), so (p=5k).
Step 2
Why this answer is correct
रखने पर \(25k^2=5q^2\) और फिर \(q^2=5k^2\) मिलता है। / Substitution gives \(25k^2=5q^2\), then \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
इससे (q) भी (5) से विभाज्य सिद्ध होता है। / This proves (q) is also divisible by (5).
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कौन सा कथन \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (p=2k) रखने के बाद गलत सरलीकरण है?
Which statement is a wrong simplification after putting (p=2k) in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 proof
#wrong simplification
#class 10
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A \(p^2=4k^2\)
B \(4k^2=2q^2\)
C \(q^2=2k^2\)
D \(p^2=2k^2\)
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Correct Answer
D. \(p^2=2k^2\)
Step 1
Concept
(p=2k) है तो (p-2 =(2k)2 )। / If (p=2k), then (p-2 =(2k)2 ).
Step 2
Why this answer is correct
इसका सही मान \(4k^2\) है, \(2k^2\) नहीं। / Its correct value is \(4k^2\), not \(2k^2\).
Step 3
Exam Tip
वर्ग करते समय गुणांक का भी वर्ग करें। / Square the coefficient while squaring.
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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में \(p^2=3q^2\) से (p) (3) से विभाज्य है। यह किस नियम पर आधारित है?
In the proof of \(\sqrt{3}\), from \(p^2=3q^2\), (p) is divisible by (3). This is based on which rule?
#sqrt3 proof
#prime divisibility rule
#class 10
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A यदि अभाज्य संख्या किसी वर्ग को विभाजित करे, तो वह मूल संख्या को भी विभाजित करती है / If a prime divides a square, it divides the original number
B यदि संख्या धनात्मक हो, तो वह पूर्ण वर्ग है / If a number is positive, it is a perfect square
C हर भिन्न परिमेय नहीं होती / Every fraction is not rational
D हर वर्गमूल पूर्णांक होता है / Every square root is an integer
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Correct Answer
A. यदि अभाज्य संख्या किसी वर्ग को विभाजित करे, तो वह मूल संख्या को भी विभाजित करती है / If a prime divides a square, it divides the original number
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) (3) से विभाज्य है। / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(3) अभाज्य है और अभाज्य विभाज्यता का नियम लागू होता है। / (3) is prime, so the prime divisibility rule applies.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (p) भी (3) से विभाज्य होगा। / Therefore (p) is also divisible by (3).
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किस स्थिति में \(\sqrt{2}\) की परिमेय मान्यता गलत सिद्ध हो जाती है?
In which situation is the rational assumption for \(\sqrt{2}\) proved false?
#sqrt2 proof
#false assumption
#class 10
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A जब सरलतम रूप के (p) और (q) दोनों सम सिद्ध हों / When (p) and (q) in lowest form are both proved even
B जब (p) और (q) पूर्णांक हों / When (p) and (q) are integers
C जब \(q\neq 0\) हो / When \(q\neq 0\)
D जब \(\sqrt{2}\) धनात्मक हो / When \(\sqrt{2}\) is positive
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Correct Answer
A. जब सरलतम रूप के (p) और (q) दोनों सम सिद्ध हों / When (p) and (q) in lowest form are both proved even
Step 1
Concept
सरलतम रूप में (p) और (q) सहअभाज्य होने चाहिए। / In lowest form, (p) and (q) should be coprime.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों सम सिद्ध होने पर दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा। / If both are proved even, both have common factor (2).
Step 3
Exam Tip
यह असंभव है, इसलिए परिमेय मान्यता गलत है। / This is impossible, so the rational assumption is false.
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एक विद्यार्थी ने लिखा कि \(\sqrt{5}\) परिमेय है क्योंकि (5) परिमेय है। इस तर्क में गलती क्या है?
A student wrote that \(\sqrt{5}\) is rational because (5) is rational. What is the mistake in this reasoning?
#sqrt5 misconception
#rational number
#class 10
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A किसी परिमेय संख्या का वर्गमूल हमेशा परिमेय नहीं होता / The square root of a rational number is not always rational
B हर परिमेय संख्या शून्य होती है / Every rational number is zero
C (5) परिमेय नहीं है / (5) is not rational
D \(\sqrt{5}=5\) होता है / \(\sqrt{5}=5\)
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Correct Answer
A. किसी परिमेय संख्या का वर्गमूल हमेशा परिमेय नहीं होता / The square root of a rational number is not always rational
Step 1
Concept
(5) परिमेय है, लेकिन वह पूर्ण वर्ग नहीं है। / (5) is rational, but it is not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
पूर्ण वर्ग न होने पर उसका वर्गमूल परिमेय होना जरूरी नहीं और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। / The square root of a non-perfect square need not be rational, and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
संख्या और उसके वर्गमूल के प्रकार को अलग-अलग जांचें। / Check a number and its square root separately.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{3}\) के प्रमाण का सही अंतिम निष्कर्ष और कारण दोनों देता है?
Which option gives both the correct final conclusion and reason in the proof of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 conclusion
#reasoning
#class 10
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A \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है क्योंकि परिमेय मानने पर (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं / \(\sqrt{3}\) is irrational because assuming rational makes both (p) and (q) divisible by (3)
B \(\sqrt{3}\) परिमेय है क्योंकि (3) पूर्णांक है / \(\sqrt{3}\) is rational because (3) is an integer
C \(\sqrt{3}=3\) क्योंकि वर्गमूल हट जाता है / \(\sqrt{3}=3\) because the radical disappears
D \(\sqrt{3}\) पूर्णांक है क्योंकि (3) अभाज्य है / \(\sqrt{3}\) is an integer because (3) is prime
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Correct Answer
A. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है क्योंकि परिमेय मानने पर (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं / \(\sqrt{3}\) is irrational because assuming rational makes both (p) and (q) divisible by (3)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) को परिमेय मानने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है। / Assuming \(\sqrt{3}\) rational gives \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। / This proves both (p) and (q) divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
यह सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास है, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / This contradicts coprime condition, so \(\sqrt{3}\) is irrational.
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कौन सा विकल्प तीनों प्रमाणों में गलत तरीका है?
Which option is a wrong method in all three proofs?
#common mistake
#irrationality proof
#class 10
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A वर्गमूल को अंदर की संख्या के बराबर मान लेना / Taking the square root equal to the number under it
B परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) लिखना / Assuming rational and writing \(\frac{p}{q}\)
C दोनों ओर वर्ग करना / Squaring both sides
D साझा गुणनखंड से विरोधाभास दिखाना / Showing contradiction using common factor
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Correct Answer
A. वर्गमूल को अंदर की संख्या के बराबर मान लेना / Taking the square root equal to the number under it
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) को क्रमशः (2), (3), और (5) के बराबर मानना गलत है। / Treating \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\) as (2), (3), and (5) is wrong.
Step 2
Why this answer is correct
सही विधि में परिमेय मानकर भिन्न रूप लेते हैं और वर्ग करते हैं। / The correct method assumes rationality, writes a fraction, and squares.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल को अंदर की संख्या के बराबर न लिखें। / Do not write a square root equal to the number under it.
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परीक्षा में \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), या \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय सबसे महत्वपूर्ण अंतिम पंक्ति कौन सी होगी?
In an exam, what is the most important final line while proving the irrationality of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), or \(\sqrt{5}\)?
#exam tip
#final conclusion
#proof writing
#class 10
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A यह हमारी परिमेय मान्यता के विरुद्ध है, अतः दी गई संख्या अपरिमेय है / This contradicts our rational assumption, hence the given number is irrational
B दशमलव मान लगभग पर्याप्त है / The approximate decimal value is enough
C अतः दी गई संख्या पूर्ण वर्ग है / Hence the given number is a perfect square
D अतः हर शून्य है / Hence the denominator is zero
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Correct Answer
A. यह हमारी परिमेय मान्यता के विरुद्ध है, अतः दी गई संख्या अपरिमेय है / This contradicts our rational assumption, hence the given number is irrational
Step 1
Concept
प्रमाण में परिमेय मान्यता लेकर शुरुआत करते हैं। / The proof starts with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
अंत में सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास मिलता है। / At the end, a contradiction appears with the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
अंतिम पंक्ति में विरोधाभास और अपरिमेयता का निष्कर्ष साफ लिखना चाहिए। / The final line should clearly state the contradiction and irrationality conclusion.
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