\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में कौन-सा कथन \(p^2\) से (p) तक सही ढंग से पहुँचाता है?
Which statement correctly moves from \(p^2\) to (p) in the proof for \(\sqrt{2}\)?
#real-numbers
#root2
#parity
#even-square
A यदि \(p^2\) सम है, तो (p) भी सम है / If \(p^2\) is even, then (p) is also even
B यदि \(p^2\) सम है, तो (p) विषम है / If \(p^2\) is even, then (p) is odd
C यदि \(p^2\) सम है, तो (p=1) / If \(p^2\) is even, then (p=1)
D यदि \(p^2\) सम है, तो (q=0) / If \(p^2\) is even, then (q=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यदि \(p^2\) सम है, तो (p) भी सम है / If \(p^2\) is even, then (p) is also even
Step 1
Concept
किसी विषम पूर्णांक का वर्ग विषम होता है। / The square of an odd integer is odd.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए यदि \(p^2\) सम है, तो (p) विषम नहीं हो सकता और (p) सम होगा। / So if \(p^2\) is even, (p) cannot be odd and must be even.
Step 3
Exam Tip
यह सम-विषम नियम प्रमाण में मुख्य कदम है। / This parity rule is a key step in the proof.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(q^2=2k^2\) मिलने के बाद कौन-सा निष्कर्ष प्रमाण को पूरा करने में मदद करता है?
In the proof for \(\sqrt{2}\), after getting \(q^2=2k^2\), which conclusion helps complete the proof?
#real-numbers
#root2
#even-square
#contradiction
A (q) सम है / (q) is even
B (q) विषम है / (q) is odd
C (q=1) है / (q=1)
D (q) अपरिमेय है / (q) is irrational
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (q) सम है / (q) is even
Step 1
Concept
\(q^2=2k^2\) बताता है कि \(q^2\) सम है। / \(q^2=2k^2\) shows that \(q^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग सम होने पर मूल पूर्णांक भी सम होता है, इसलिए (q) सम है। / If a square is even, the integer itself is even, so (q) is even.
Step 3
Exam Tip
अब (p) और (q) दोनों सम होने से विरोधाभास पूरा होता है। / Now both (p) and (q) are even, completing the contradiction.
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यदि \(2\mid q^2\), तो \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (q) पर क्या निष्कर्ष लिया जाता है?
If \(2\mid q^2\), what conclusion about (q) is taken in the proof for \(\sqrt{2}\)?
#real-numbers
#root2
#even-square
#final-step
A (q) सम है / (q) is even
B (q) विषम है / (q) is odd
C (q=1) है / (q=1)
D (q) अपरिमेय है / (q) is irrational
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (q) सम है / (q) is even
Step 1
Concept
\(2\mid q^2\) का अर्थ है कि \(q^2\) सम है। / \(2\mid q^2\) means \(q^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
यदि किसी पूर्णांक का वर्ग सम है, तो वह पूर्णांक भी सम होता है। / If the square of an integer is even, the integer is also even.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (q) सम है और विरोधाभास पूरा होता है। / Therefore (q) is even and the contradiction is completed.
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\(\sqrt{2}\) को परिमेय मानने पर \(2q^2=p^2\) लिखा गया। इस समीकरण का सही उपयोग क्या है?
After assuming \(\sqrt{2}\) rational, \(2q^2=p^2\) is written. What is the correct use of this equation?
#real-numbers
#root2
#equation-use
#even-square
A यह दिखाता है कि \(p^2\) सम है / It shows that \(p^2\) is even
B यह दिखाता है कि (q=0) है / It shows that (q=0)
C यह दिखाता है कि (p=q) है / It shows that (p=q)
D यह दिखाता है कि (p) विषम है / It shows that (p) is odd
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह दिखाता है कि \(p^2\) सम है / It shows that \(p^2\) is even
Step 1
Concept
\(2q^2\) स्पष्ट रूप से सम संख्या है। / \(2q^2\) is clearly even.
Step 2
Why this answer is correct
\(p^2=2q^2\) होने से \(p^2\) भी सम होगा। / Since \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is also even.
Step 3
Exam Tip
फिर सम वर्ग से सम आधार का निष्कर्ष लिया जाता है। / Then an even square gives an even base.
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यदि \(x^2\) सम है, तो (x) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
If \(x^2\) is even, what is the correct conclusion about (x)?
#real-numbers
#parity
#even-square
#root2
#hard
A (x) सम है / (x) is even
B (x) विषम है / (x) is odd
C (x) अभाज्य है / (x) is prime
D (x=1) है / (x=1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (x) सम है / (x) is even
Step 1
Concept
यदि (x) विषम होता, तो \(x^2\) विषम होता। / If (x) were odd, then \(x^2\) would be odd.
Step 2
Why this answer is correct
दिया है कि \(x^2\) सम है, इसलिए (x) सम होना चाहिए। / Since \(x^2\) is given even, (x) must be even.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में यह नियम तुरंत काम आता है। / This rule is used immediately in the proof of \(\sqrt{2}\).
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2\) सम होने से (p) सम क्यों माना जाता है?
Why is (p) considered even when \(p^2\) is even in the proof for \(\sqrt{2}\)?
#real-numbers
#root2
#parity
#even-square
#hard
A क्योंकि विषम संख्या का वर्ग विषम होता है / Because the square of an odd number is odd
B क्योंकि हर संख्या का वर्ग सम होता है / Because the square of every number is even
C क्योंकि सम संख्या का वर्ग विषम होता है / Because the square of an even number is odd
D क्योंकि \(p^2\) हमेशा (p) से छोटा होता है / Because \(p^2\) is always smaller than (p)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि विषम संख्या का वर्ग विषम होता है / Because the square of an odd number is odd
Step 1
Concept
यदि (p) विषम होता, तो \(p^2\) भी विषम होता। / If (p) were odd, then \(p^2\) would also be odd.
Step 2
Why this answer is correct
पर \(p^2\) सम मिला है, इसलिए (p) विषम नहीं हो सकता और (p) सम होगा। / Since \(p^2\) is even, (p) cannot be odd, so (p) is even.
Step 3
Exam Tip
यह छोटी सी सम-विषम बात प्रमाण में बहुत महत्त्वपूर्ण है। / This parity fact is very important in the proof.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में यदि \(a^2\) सम है, तो (a) सम क्यों होना चाहिए?
In the proof of \(\sqrt{2}\), if \(a^2\) is even, why must (a) be even?
#sqrt2 proof
#even square
#logic
#hard
A क्योंकि यदि (a) विषम होता तो \(a^2\) भी विषम होता / Because if (a) were odd, then \(a^2\) would also be odd
B क्योंकि हर संख्या सम होती है / Because every number is even
C क्योंकि (a=b) होता है / Because (a=b)
D क्योंकि (b=0) होता है / Because (b=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि यदि (a) विषम होता तो \(a^2\) भी विषम होता / Because if (a) were odd, then \(a^2\) would also be odd
Step 1
Concept
विषम संख्या का वर्ग विषम होता है। / The square of an odd number is odd.
Step 2
Why this answer is correct
यहां \(a^2\) सम मिला है, इसलिए (a) विषम नहीं हो सकता। / Here \(a^2\) is even, so (a) cannot be odd.
Step 3
Exam Tip
अतः (a) सम होना निश्चित है। / Hence (a) must be even.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) सरलतम रूप में मानने के बाद \(a^2=2b^2\) मिला। कौन सा निष्कर्ष प्रमाण के क्रम के अनुसार पहले आएगा?
In the proof of \(\sqrt{2}\), after assuming \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) in lowest form, \(a^2=2b^2\) is obtained. Which conclusion comes first according to proof order?
#sqrt2 proof
#even square
#hard
#class 10
A \(a^2\) सम है / \(a^2\) is even
B (b) सम है / (b) is even
C (a=b)
D (b=0)
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Correct Answer
A. \(a^2\) सम है / \(a^2\) is even
Step 1
Concept
\(a^2=2b^2\) में दाईं ओर (2) का गुणनखंड है। / In \(a^2=2b^2\), the right side has factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए पहले \(a^2\) को सम कहा जाएगा और फिर (a) सम सिद्ध होगा। / So first \(a^2\) is called even, and then (a) is proved even.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में निष्कर्षों का क्रम न बदलें। / Do not change the order of conclusions in exams.
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\(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय यदि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में माना गया है, तो \(p^2=2q^2\) से कौन सा तर्क सबसे सटीक है?
While proving the irrationality of \(\sqrt{2}\), if \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) is assumed in lowest form, which reasoning from \(p^2=2q^2\) is most accurate?
#sqrt2 proof
#even square
#irrationality
#hard
#class 10
A \(p^2\) सम है, इसलिए (p) सम है / \(p^2\) is even, so (p) is even
B \(q^2\) सम है, इसलिए (q) सम है / \(q^2\) is even, so (q) is even
C (p=2q), इसलिए (p) सम है / (p=2q), so (p) is even
D (p=q), इसलिए विरोधाभास है / (p=q), so there is a contradiction
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(p^2\) सम है, इसलिए (p) सम है / \(p^2\) is even, so (p) is even
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) में दाईं ओर (2) का गुणनखंड है, इसलिए \(p^2\) सम है। / In \(p^2=2q^2\), the right side has factor (2), so \(p^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
यदि किसी पूर्णांक का वर्ग सम हो, तो वह पूर्णांक भी सम होता है, इसलिए (p) सम है। / If the square of an integer is even, the integer is also even, so (p) is even.
Step 3
Exam Tip
सीधे (p=2q) लिखना गलत है, पहले विभाज्यता का तर्क दें। / Do not directly write (p=2q); first use divisibility.
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कौन सा कथन \(\sqrt{2}\) की सिद्धि में \(a^2\) सम होने से (a) सम होने को सही ठहराता है?
Which statement justifies that (a) is even when \(a^2\) is even in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#even square
#logical reasoning
#sqrt2
#class 10
A यदि (a) विषम होता, तो \(a^2\) भी विषम होता / If (a) were odd, then \(a^2\) would also be odd
B हर वर्ग शून्य होता है / Every square is zero
C हर पूर्णांक सम होता है / Every integer is even
D यदि \(a^2\) सम है, तो (a=1) / If \(a^2\) is even, then (a=1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यदि (a) विषम होता, तो \(a^2\) भी विषम होता / If (a) were odd, then \(a^2\) would also be odd
Step 1
Concept
विषम संख्या का वर्ग हमेशा विषम होता है। / The square of an odd number is always odd.
Step 2
Why this answer is correct
यहां \(a^2\) सम मिला है, इसलिए (a) विषम नहीं हो सकता। / Here \(a^2\) is even, so (a) cannot be odd.
Step 3
Exam Tip
अतः (a) सम होना चाहिए। / Therefore (a) must be even.
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\(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) लिखा गया है। यदि (p) और (q) सहअभाज्य हैं, तो \(p^2=2q^2\) से सही अगला निष्कर्ष कौन सा है?
\(\sqrt{2}\) is assumed rational and written as \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\). If (p) and (q) are coprime, what is the correct next conclusion from \(p^2=2q^2\)?
#sqrt2 proof
#irrationality
#even square
#class 10
A \(p^2\) सम है / \(p^2\) is even
B \(q^2\) सम है / \(q^2\) is even
C (p=q)
D (q=2p)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(p^2\) सम है / \(p^2\) is even
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) में दाईं ओर (2) का गुणनखंड है। / In \(p^2=2q^2\), the right side has factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(p^2\) सम है और फिर (p) भी सम होगा। / So \(p^2\) is even and then (p) is also even.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में पहले वर्ग की विभाज्यता लिखें, फिर मूल संख्या की। / In proofs, first write divisibility of the square, then of the number.
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एक छात्र \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में लिखता है कि \(p^2\) सम है इसलिए (p) सम है। यह कदम क्यों सही है?
A student writes in the proof of \(\sqrt{2}\) that \(p^2\) is even so (p) is even. Why is this step correct?
#even square
#logical reasoning
#sqrt2
#class 10
A क्योंकि विषम संख्या का वर्ग विषम होता है / Because the square of an odd number is odd
B क्योंकि हर संख्या सम होती है / Because every number is even
C क्योंकि (p=q) है / Because (p=q)
D क्योंकि (q=0) है / Because (q=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि विषम संख्या का वर्ग विषम होता है / Because the square of an odd number is odd
Step 1
Concept
यदि (p) विषम होता, तो \(p^2\) भी विषम होता। / If (p) were odd, then \(p^2\) would also be odd.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन \(p^2\) सम मिला है, इसलिए (p) विषम नहीं हो सकता। / But \(p^2\) is even, so (p) cannot be odd.
Step 3
Exam Tip
इस तरह (p) सम होना तय है। / Thus (p) must be even.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में यदि \(q^2=2k^2\) मिल जाए, तो (q) के बारे में क्या निष्कर्ष होगा?
In the proof of \(\sqrt{2}\), if \(q^2=2k^2\) is obtained, what conclusion follows about (q)?
#sqrt2 proof
#even square
#irrationality
#class 10
A (q) सम है / (q) is even
B (q) विषम है / (q) is odd
C (q=1) है / (q=1)
D (q) अपरिमेय है / (q) is irrational
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (q) सम है / (q) is even
Step 1
Concept
\(q^2=2k^2\) से \(q^2\) (2) से विभाज्य है। / From \(q^2=2k^2\), \(q^2\) is divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
यदि किसी पूर्णांक का वर्ग सम है, तो वह पूर्णांक भी सम होता है। / If the square of an integer is even, the integer is also even.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (q) सम मिलेगा और यही विरोधाभास बनाने में मदद करता है। / So (q) is even, which helps form the contradiction.
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कौन सा कथन \(\sqrt{2}\) के प्रमाण के लिए सही है?
Which statement is correct for the proof of \(\sqrt{2}\)?
#even square
#proof rule
#class 10
A यदि \(p^2\) सम है, तो (p) सम है / If \(p^2\) is even, then (p) is even
B यदि \(p^2\) सम है, तो (p) विषम है / If \(p^2\) is even, then (p) is odd
C यदि \(p^2\) सम है, तो (p=1) / If \(p^2\) is even, then (p=1)
D यदि \(p^2\) सम है, तो (q=0) / If \(p^2\) is even, then (q=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यदि \(p^2\) सम है, तो (p) सम है / If \(p^2\) is even, then (p) is even
Step 1
Concept
सम संख्या का वर्ग सम होता है और विषम संख्या का वर्ग विषम होता है। / The square of an even number is even and the square of an odd number is odd.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(p^2\) सम होने पर (p) भी सम होगा। / So if \(p^2\) is even, (p) is also even.
Step 3
Exam Tip
यही नियम \(\sqrt{2}\) की सिद्धि में उपयोग होता है। / This rule is used in the proof of \(\sqrt{2}\).
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यदि \(p^2\) (2) से विभाज्य है, तो (p) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
If \(p^2\) is divisible by (2), what is the correct conclusion about (p)?
#even square
#divisibility
#sqrt2
#class 10
A (p) (2) से विभाज्य है / (p) is divisible by (2)
B (p) (3) से विभाज्य है / (p) is divisible by (3)
C (p=1)
D (p) विषम है / (p) is odd
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p) (2) से विभाज्य है / (p) is divisible by (2)
Step 1
Concept
यदि किसी पूर्णांक का वर्ग सम है, तो वह पूर्णांक भी सम होता है। / If the square of an integer is even, the integer itself is even.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(p^2\) (2) से विभाज्य होने पर (p) भी (2) से विभाज्य होगा। / So if \(p^2\) is divisible by (2), then (p) is also divisible by (2).
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में यही मुख्य नियम है। / This is the key rule in the proof of \(\sqrt{2}\).
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कौन सा नियम \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में बार-बार उपयोग होता है?
Which rule is repeatedly used in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#even square
#sqrt2 proof
#rule
#class 10
A यदि किसी संख्या का वर्ग सम है, तो संख्या सम है / If the square of a number is even, the number is even
B यदि संख्या सम है, तो वह अभाज्य है / If a number is even, it is prime
C यदि वर्ग सम है, तो संख्या शून्य है / If the square is even, the number is zero
D यदि संख्या सम है, तो वह अपरिमेय है / If a number is even, it is irrational
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यदि किसी संख्या का वर्ग सम है, तो संख्या सम है / If the square of a number is even, the number is even
Step 1
Concept
\(a^2=2b^2\) से \(a^2\) सम मिलता है। / From \(a^2=2b^2\), \(a^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
नियम से (a) सम मिलता है और आगे (b) भी सम मिलता है। / By the rule, (a) is even, and later (b) is also even.
Step 3
Exam Tip
इस नियम को स्पष्ट रूप से समझना जरूरी है। / Understanding this rule clearly is important.
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\(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय कौन सा तथ्य सही तरह से प्रयोग होता है?
Which fact is used correctly while proving the irrationality of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 fact
#even square
#class 10
A यदि \(p^2\) सम है, तो (p) सम है / If \(p^2\) is even, then (p) is even
B यदि (p) सम है, तो (p) विषम है / If (p) is even, then (p) is odd
C यदि \(p^2\) सम है, तो (q) शून्य है / If \(p^2\) is even, then (q) is zero
D यदि (p) सम है, तो (p=1) / If (p) is even, then (p=1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यदि \(p^2\) सम है, तो (p) सम है / If \(p^2\) is even, then (p) is even
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2\) सम मिलता है। / In the proof of \(\sqrt{2}\), \(p^2\) is found even.
Step 2
Why this answer is correct
सही नियम से (p) भी सम होगा। / By the correct rule, (p) is also even.
Step 3
Exam Tip
फिर (p=2k) लिखकर (q) के लिए भी यही परिणाम मिलता है। / Then writing (p=2k) gives the same result for (q).
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समीकरण \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) के बारे में क्या पता चलता है?
From the equation \(p^2=2q^2\), what do we learn about \(p^2\)?
#even square
#sqrt2 proof
#class 10
A \(p^2\) सम है / \(p^2\) is even
B \(p^2\) विषम है / \(p^2\) is odd
C \(p^2\) शून्य है / \(p^2\) is zero
D \(p^2\) ऋणात्मक है / \(p^2\) is negative
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(p^2\) सम है / \(p^2\) is even
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) में दाईं ओर (2) का गुणन है। / In \(p^2=2q^2\), the right side has a factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(p^2\) (2) से विभाज्य है और सम है। / Therefore \(p^2\) is divisible by (2) and is even.
Step 3
Exam Tip
जब किसी संख्या में (2) गुणनखंड हो, तो उसे सम माना जाता है। / A number with factor (2) is even.
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