If the square of an integer is even, the integer is also even.
Step 3
Exam Tip
Therefore (q) is even and the contradiction is completed. चरण 1: \(2\mid q^2\) का अर्थ है कि \(q^2\) सम है। चरण 2: यदि किसी पूर्णांक का वर्ग सम है, तो वह पूर्णांक भी सम होता है। चरण 3: इसलिए (q) सम है और विरोधाभास पूरा होता है।
A. यह दिखाता है कि \(p^2\) सम है/It shows that \(p^2\) is even
Step 1
Concept
\(2q^2\) is clearly even.
Step 2
Why this answer is correct
Since \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is also even.
Step 3
Exam Tip
Then an even square gives an even base. चरण 1: \(2q^2\) स्पष्ट रूप से सम संख्या है। चरण 2: \(p^2=2q^2\) होने से \(p^2\) भी सम होगा। चरण 3: फिर सम वर्ग से सम आधार का निष्कर्ष लिया जाता है।
This rule is used immediately in the proof of \(\sqrt{2}\). चरण 1: यदि (x) विषम होता, तो \(x^2\) विषम होता। चरण 2: दिया है कि \(x^2\) सम है, इसलिए (x) सम होना चाहिए। चरण 3: \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में यह नियम तुरंत काम आता है।
A. क्योंकि विषम संख्या का वर्ग विषम होता है/Because the square of an odd number is odd
Step 1
Concept
If (p) were odd, then \(p^2\) would also be odd.
Step 2
Why this answer is correct
Since \(p^2\) is even, (p) cannot be odd, so (p) is even.
Step 3
Exam Tip
This parity fact is very important in the proof. चरण 1: यदि (p) विषम होता, तो \(p^2\) भी विषम होता। चरण 2: पर \(p^2\) सम मिला है, इसलिए (p) विषम नहीं हो सकता और (p) सम होगा। चरण 3: यह छोटी सी सम-विषम बात प्रमाण में बहुत महत्त्वपूर्ण है।
A. क्योंकि यदि (a) विषम होता तो \(a^2\) भी विषम होता/Because if (a) were odd, then \(a^2\) would also be odd
Step 1
Concept
The square of an odd number is odd.
Step 2
Why this answer is correct
Here \(a^2\) is even, so (a) cannot be odd.
Step 3
Exam Tip
Hence (a) must be even. चरण 1: विषम संख्या का वर्ग विषम होता है। चरण 2: यहां \(a^2\) सम मिला है, इसलिए (a) विषम नहीं हो सकता। चरण 3: अतः (a) सम होना निश्चित है।
So first \(a^2\) is called even, and then (a) is proved even.
Step 3
Exam Tip
Do not change the order of conclusions in exams. चरण 1: \(a^2=2b^2\) में दाईं ओर (2) का गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए पहले \(a^2\) को सम कहा जाएगा और फिर (a) सम सिद्ध होगा। चरण 3: परीक्षा में निष्कर्षों का क्रम न बदलें।
A. \(p^2\) सम है, इसलिए (p) सम है/\(p^2\) is even, so (p) is even
Step 1
Concept
In \(p^2=2q^2\), the right side has factor (2), so \(p^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
If the square of an integer is even, the integer is also even, so (p) is even.
Step 3
Exam Tip
Do not directly write (p=2q); first use divisibility. चरण 1: \(p^2=2q^2\) में दाईं ओर (2) का गुणनखंड है, इसलिए \(p^2\) सम है। चरण 2: यदि किसी पूर्णांक का वर्ग सम हो, तो वह पूर्णांक भी सम होता है, इसलिए (p) सम है। चरण 3: सीधे (p=2q) लिखना गलत है, पहले विभाज्यता का तर्क दें।
A. यदि (a) विषम होता, तो \(a^2\) भी विषम होता/If (a) were odd, then \(a^2\) would also be odd
Step 1
Concept
The square of an odd number is always odd.
Step 2
Why this answer is correct
Here \(a^2\) is even, so (a) cannot be odd.
Step 3
Exam Tip
Therefore (a) must be even. चरण 1: विषम संख्या का वर्ग हमेशा विषम होता है। चरण 2: यहां \(a^2\) सम मिला है, इसलिए (a) विषम नहीं हो सकता। चरण 3: अतः (a) सम होना चाहिए।
In proofs, first write divisibility of the square, then of the number. चरण 1: \(p^2=2q^2\) में दाईं ओर (2) का गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए \(p^2\) सम है और फिर (p) भी सम होगा। चरण 3: प्रमाण में पहले वर्ग की विभाज्यता लिखें, फिर मूल संख्या की।
A. क्योंकि विषम संख्या का वर्ग विषम होता है/Because the square of an odd number is odd
Step 1
Concept
If (p) were odd, then \(p^2\) would also be odd.
Step 2
Why this answer is correct
But \(p^2\) is even, so (p) cannot be odd.
Step 3
Exam Tip
Thus (p) must be even. चरण 1: यदि (p) विषम होता, तो \(p^2\) भी विषम होता। चरण 2: लेकिन \(p^2\) सम मिला है, इसलिए (p) विषम नहीं हो सकता। चरण 3: इस तरह (p) सम होना तय है।
If the square of an integer is even, the integer is also even.
Step 3
Exam Tip
So (q) is even, which helps form the contradiction. चरण 1: \(q^2=2k^2\) से \(q^2\) (2) से विभाज्य है। चरण 2: यदि किसी पूर्णांक का वर्ग सम है, तो वह पूर्णांक भी सम होता है। चरण 3: इसलिए (q) सम मिलेगा और यही विरोधाभास बनाने में मदद करता है।
A. यदि \(p^2\) सम है, तो (p) सम है/If \(p^2\) is even, then (p) is even
Step 1
Concept
The square of an even number is even and the square of an odd number is odd.
Step 2
Why this answer is correct
So if \(p^2\) is even, (p) is also even.
Step 3
Exam Tip
This rule is used in the proof of \(\sqrt{2}\). चरण 1: सम संख्या का वर्ग सम होता है और विषम संख्या का वर्ग विषम होता है। चरण 2: इसलिए \(p^2\) सम होने पर (p) भी सम होगा। चरण 3: यही नियम \(\sqrt{2}\) की सिद्धि में उपयोग होता है।
If the square of an integer is even, the integer itself is even.
Step 2
Why this answer is correct
So if \(p^2\) is divisible by (2), then (p) is also divisible by (2).
Step 3
Exam Tip
This is the key rule in the proof of \(\sqrt{2}\). चरण 1: यदि किसी पूर्णांक का वर्ग सम है, तो वह पूर्णांक भी सम होता है। चरण 2: इसलिए \(p^2\) (2) से विभाज्य होने पर (p) भी (2) से विभाज्य होगा। चरण 3: \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में यही मुख्य नियम है।
A. यदि किसी संख्या का वर्ग सम है, तो संख्या सम है/If the square of a number is even, the number is even
Step 1
Concept
From \(a^2=2b^2\), \(a^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
By the rule, (a) is even, and later (b) is also even.
Step 3
Exam Tip
Understanding this rule clearly is important. चरण 1: \(a^2=2b^2\) से \(a^2\) सम मिलता है। चरण 2: नियम से (a) सम मिलता है और आगे (b) भी सम मिलता है। चरण 3: इस नियम को स्पष्ट रूप से समझना जरूरी है।
A. यदि \(p^2\) सम है, तो (p) सम है/If \(p^2\) is even, then (p) is even
Step 1
Concept
In the proof of \(\sqrt{2}\), \(p^2\) is found even.
Step 2
Why this answer is correct
By the correct rule, (p) is also even.
Step 3
Exam Tip
Then writing (p=2k) gives the same result for (q). चरण 1: \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2\) सम मिलता है। चरण 2: सही नियम से (p) भी सम होगा। चरण 3: फिर (p=2k) लिखकर (q) के लिए भी यही परिणाम मिलता है।
Therefore \(p^2\) is divisible by (2) and is even.
Step 3
Exam Tip
A number with factor (2) is even. चरण 1: \(p^2=2q^2\) में दाईं ओर (2) का गुणन है। चरण 2: इसलिए \(p^2\) (2) से विभाज्य है और सम है। चरण 3: जब किसी संख्या में (2) गुणनखंड हो, तो उसे सम माना जाता है।
