Class 10 Mathematics - Real Numbers - Proof of irrationality of √2, √3, √5 Hard Quiz

B. (p) (3) से विभाज्य है/(p) is divisible by (3)

B. (n) भी (5) से विभाज्य है दिखाना/To show (n) is also divisible by (5)

C. \(b^2=2r^2\)

A. \(9k^2=3q^2\)

C. (p=5k) से \(p^2=5k^2\)/From (p=5k), \(p^2=5k^2\)

B. (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य हैं/Both (a) and (b) are divisible by (3)

A. क्योंकि (b) सम सिद्ध करने के लिए (a=2k) को समीकरण में रखना होगा/Because to prove (b) even, (a=2k) must be substituted in the equation

A. (\gcd(p,q)) कम से कम (3) है/(\gcd(p,q)) is at least (3)

D. (q) (5) से विभाज्य है/(q) is divisible by (5)

A. सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलना/Finding a common factor in numerator and denominator of a lowest-form fraction

A. \(q^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है/\(q^2\) is divisible by (3) and (3) is prime

A. \(\frac{p}{q}=\frac{5k}{5r}=\frac{k}{r}\)

A. (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों सम निकले/(a) and (b) were assumed coprime, but both turned out even

A. दोनों ओर वर्ग करने पर \(3=\frac{p^2}{q^2}\) मिलेगा/Squaring both sides gives \(3=\frac{p^2}{q^2}\)

A. (5) अभाज्य है/(5) is prime

A. (\gcd(a,b)) कम से कम (2) है/(\gcd(a,b)) is at least (2)

A. \(r\mid x\) निष्कर्ष निकालने में/To conclude \(r\mid x\)

A. केवल \(p^2=5q^2\) लिखकर रुक जाना/Stopping after only writing \(p^2=5q^2\)

A. (a) सम है/(a) is even

B. \(p^2=3q^2\) से सीधे (q) (3) से विभाज्य लिखना/Directly writing (q) is divisible by (3) from \(p^2=3q^2\)

A. (p) और (q) सहअभाज्य हैं/(p) and (q) are coprime

A. \(\frac{a}{b}\) को \(\frac{m}{n}\) तक घटाया जा सकता है/\(\frac{a}{b}\) can be reduced to \(\frac{m}{n}\)

C. (p=3k) से \(p^2=3k^2\)/From (p=3k), \(p^2=3k^2\)

A. परिमेय मानने पर सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं/Assuming rational makes both numerator and denominator of the lowest-form fraction divisible by (5)

A. वर्गमूल हटाकर विभाज्यता वाला समीकरण बनाना/To remove the square root and create a divisibility equation

A. यह सरलतम रूप में नहीं रह सकती/It cannot remain in lowest form

A. क्योंकि यदि (a) विषम होता तो \(a^2\) भी विषम होता/Because if (a) were odd, then \(a^2\) would also be odd

A. \(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2), \(\sqrt{5}\) में साझा गुणनखंड (5) मिलता है/\(\sqrt{2}\) gives common factor (2), while \(\sqrt{5}\) gives common factor (5)

A. अभाज्य गुणनखंड वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करता है/If a prime factor divides a square, it also divides the original number

A. पहले (a) सम सिद्ध कर (a=2k) रखना जरूरी है/First (a) must be proved even and (a=2k) must be substituted

A. \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं थी/\(\frac{p}{q}\) was not in lowest form

A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं, जो सहअभाज्य होने से विरोधाभास है/Both (p) and (q) are divisible by (3), which contradicts being coprime

A. परिमेय मान्यता गलत है/The rational assumption is false

A. वर्ग करने के बाद \(p^2=3q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (3) मिलता है/After squaring, \(p^2=3q^2\) is formed and common factor (3) is found

A. (k) पूर्णांक है/(k) is an integer

B. (p) (5) से विभाज्य है क्योंकि \(\sqrt{5}\) धनात्मक है/(p) is divisible by (5) because \(\sqrt{5}\) is positive

A. (q) को भी (3) से विभाज्य दिखाना/To show (q) is also divisible by (3)

A. वर्गमूल को उसके अंदर की संख्या के बराबर मान लेना/Treating the square root as equal to the number inside it

A. \(p^2=5q^2\), (p=5k), \(25k^2=5q^2\), \(q^2=5k^2\)

A. (\gcd(a,b)=1)

A. (p) (3) से विभाज्य है/(p) is divisible by (3)

A. (5) परिमेय है, पर उसका वर्गमूल परिमेय होना जरूरी नहीं/(5) is rational, but its square root need not be rational

A. वर्ग समीकरण से गलत मूल समीकरण निकालना/Incorrectly deriving a root-level equation from a squared equation

A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हैं/Both (p) and (q) are divisible by (5)

A. यह हमारी परिमेय मान्यता के विरुद्ध है, अतः दी गई संख्या अपरिमेय है/This contradicts our rational assumption, hence the given number is irrational

A. परिमेय मानना, सरलतम भिन्न लिखना, वर्ग करना, साझा गुणनखंड से विरोधाभास लेना/Assume rational, write a lowest-form fraction, square, get contradiction from a common factor

A. (b) को भी समीकरण में रखकर सम सिद्ध करना/Prove (b) even by substituting in the equation

A. वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए, पर दाईं ओर एक अतिरिक्त (3) आता है/In a square, the exponent of (3) should be even, but the right side adds one extra (3)

A. यह सरलतम रूप नहीं हो सकता, क्योंकि इसे (5) से घटाया जा सकता है/It cannot be in lowest form because it can be reduced by (5)