\(\sqrt{5}\) की सिद्धि में यदि अंत में (p=5m) और (q=5n) मिलते हैं, तो \(\frac{p}{q}\) के सरलतम रूप पर सबसे सटीक टिप्पणी क्या होगी?
In the proof of \(\sqrt{5}\), if finally (p=5m) and (q=5n) are obtained, what is the most accurate comment on the lowest form of \(\frac{p}{q}\)?
#sqrt5 proof
#lowest form
#hard
#class 10
A यह सरलतम रूप नहीं हो सकता, क्योंकि इसे (5) से घटाया जा सकता है / It cannot be in lowest form because it can be reduced by (5)
B यह सरलतम रूप ही है, क्योंकि (5) अभाज्य है / It is still in lowest form because (5) is prime
C यह परिभाषित नहीं है, क्योंकि (q=0) है / It is undefined because (q=0)
D यह (5) के बराबर हो जाता है / It becomes equal to (5)
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Correct Answer
A. यह सरलतम रूप नहीं हो सकता, क्योंकि इसे (5) से घटाया जा सकता है / It cannot be in lowest form because it can be reduced by (5)
Step 1
Concept
(p=5m) और (q=5n) होने पर अंश और हर दोनों में (5) साझा गुणनखंड है। / If (p=5m) and (q=5n), both numerator and denominator have common factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(\frac{p}{q}=\frac{5m}{5n}=\frac{m}{n}\) लिखा जा सकता है, यानी भिन्न घट सकती है। / So \(\frac{p}{q}=\frac{5m}{5n}=\frac{m}{n}\), meaning the fraction can be reduced.
Step 3
Exam Tip
यह सरलतम रूप की मान्यता के विरुद्ध है, इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय सिद्ध होती है। / This contradicts the lowest-form assumption, so \(\sqrt{5}\) is proved irrational.
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\(\sqrt{5}\) की सिद्धि में अंतिम विरोधाभास से ठीक पहले कौन सा कथन होना चाहिए?
In the proof of \(\sqrt{5}\), which statement should come just before the final contradiction?
#sqrt5 proof
#pre contradiction
#hard
#class 10
A (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हैं / Both (p) and (q) are divisible by (5)
B (q=0)
C \(\sqrt{5}=5\)
D (p=q)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हैं / Both (p) and (q) are divisible by (5)
Step 1
Concept
प्रमाण में पहले (p) (5) से विभाज्य सिद्ध होता है। / First (p) is proved divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिस्थापन के बाद (q) भी (5) से विभाज्य सिद्ध होता है। / After substitution, (q) is also proved divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
इसके बाद दोनों में साझा गुणनखंड (5) से विरोधाभास लिखा जाता है। / After this, contradiction is written using common factor (5).
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में (q) के (5) से विभाज्य होने तक सही रास्ता दिखाता है?
Which option shows the correct route to prove (q) divisible by (5) in the proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#step chain
#hard
#class 10
A \(p^2=5q^2\), (p=5k), \(25k^2=5q^2\), \(q^2=5k^2\)
B \(p^2=5q^2\), (q=5k), (p=5q)
C \(p^2=5q^2\), (p=q), (q=5)
D \(p^2=5q^2\), (q=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(p^2=5q^2\), (p=5k), \(25k^2=5q^2\), \(q^2=5k^2\)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) से (p=5k) मिलता है। / From \(p^2=5q^2\), (p=5k) is obtained.
Step 2
Why this answer is correct
रखने पर \(25k^2=5q^2\) और फिर \(q^2=5k^2\) मिलता है। / Substitution gives \(25k^2=5q^2\), then \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
तब (q) (5) से विभाज्य सिद्ध होता है। / Then (q) is proved divisible by (5).
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में गलत कारण के साथ सही कथन देता है?
Which option gives a true statement with a wrong reason in the proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#wrong reason
#hard
#class 10
A (p) (5) से विभाज्य है क्योंकि \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है / (p) is divisible by (5) because \(p^2=5q^2\) makes \(p^2\) divisible by (5)
B (p) (5) से विभाज्य है क्योंकि \(\sqrt{5}\) धनात्मक है / (p) is divisible by (5) because \(\sqrt{5}\) is positive
C (q) (5) से विभाज्य है क्योंकि \(q^2=5k^2\) / (q) is divisible by (5) because \(q^2=5k^2\)
D (p) और (q) सहअभाज्य माने गए हैं / (p) and (q) are assumed coprime
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. (p) (5) से विभाज्य है क्योंकि \(\sqrt{5}\) धनात्मक है / (p) is divisible by (5) because \(\sqrt{5}\) is positive
Step 1
Concept
(p) का (5) से विभाज्य होना सही निष्कर्ष हो सकता है। / (p) being divisible by (5) can be a true conclusion.
Step 2
Why this answer is correct
पर इसका कारण \(\sqrt{5}\) का धनात्मक होना नहीं है। / But its reason is not the positivity of \(\sqrt{5}\).
Step 3
Exam Tip
सही कारण \(p^2=5q^2\) और (5) का अभाज्य होना है। / The correct reason is \(p^2=5q^2\) and (5) being prime.
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\(\sqrt{5}\) की सिद्धि में (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। यह किस बात को उजागर करता है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), both (p) and (q) are found divisible by (5). What does this reveal?
#sqrt5 proof
#lowest form
#hard
#class 10
A \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं थी / \(\frac{p}{q}\) was not in lowest form
B \(\sqrt{5}=5\) था / \(\sqrt{5}=5\)
C \(\frac{p}{q}\) शून्य थी / \(\frac{p}{q}\) was zero
D (q=0) था / (q=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं थी / \(\frac{p}{q}\) was not in lowest form
Step 1
Concept
दोनों (5) से विभाज्य होने पर भिन्न में (5) साझा गुणनखंड है। / If both are divisible by (5), the fraction has common factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसी भिन्न को घटाया जा सकता है। / Such a fraction can be reduced.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह सरलतम रूप में नहीं हो सकती, जो विरोधाभास है। / Therefore it cannot be in lowest form, which is the contradiction.
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\(\sqrt{5}\) को अपरिमेय सिद्ध करने में कौन सा अंतिम कारण सबसे सटीक है?
Which final reason is most accurate in proving \(\sqrt{5}\) irrational?
#sqrt5 proof
#final reason
#hard
#class 10
A परिमेय मानने पर सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं / Assuming rational makes both numerator and denominator of the lowest-form fraction divisible by (5)
B क्योंकि (5) धनात्मक है / Because (5) is positive
C क्योंकि \(\sqrt{5}=5\) / Because \(\sqrt{5}=5\)
D क्योंकि हर शून्य हो जाता है / Because the denominator becomes zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. परिमेय मानने पर सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं / Assuming rational makes both numerator and denominator of the lowest-form fraction divisible by (5)
Step 1
Concept
\(\sqrt{5}\) को परिमेय मानकर सरलतम भिन्न में लिखते हैं। / Assume \(\sqrt{5}\) rational and write it in lowest-form fraction.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण से अंश और हर दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। / The proof shows both numerator and denominator divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
यह सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास है, इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। / This contradicts the coprime condition, so \(\sqrt{5}\) is irrational.
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\(\sqrt{5}\) की सिद्धि में (p=5k) और (q=5r) मिलने पर कौन सी आरंभिक शर्त टूटती है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), if (p=5k) and (q=5r) are obtained, which initial condition breaks?
#sqrt5 proof
#coprime condition
#hard
#class 10
A (p) और (q) सहअभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime
B \(q\neq 0\)
C (p) और (q) पूर्णांक हैं / (p) and (q) are integers
D \(\sqrt{5}\) धनात्मक है / \(\sqrt{5}\) is positive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p) और (q) सहअभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime
Step 1
Concept
(p=5k) और (q=5r) से (p) और (q) दोनों में (5) गुणनखंड है। / (p=5k) and (q=5r) show factor (5) in both (p) and (q).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए वे सहअभाज्य नहीं हो सकते। / So they cannot be coprime.
Step 3
Exam Tip
यह आरंभिक सरलतम रूप की शर्त को तोड़ता है। / This breaks the initial lowest-form condition.
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कौन सा कथन \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में प्रमाण को अधूरा छोड़ देता है?
Which statement leaves the proof of \(\sqrt{5}\) incomplete?
#sqrt5 proof
#incomplete proof
#hard
#class 10
A केवल \(p^2=5q^2\) लिखकर रुक जाना / Stopping after only writing \(p^2=5q^2\)
B (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाना / Showing both (p) and (q) divisible by (5)
C सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास लिखना / Writing contradiction with coprime condition
D अंत में \(\sqrt{5}\) अपरिमेय लिखना / Finally writing \(\sqrt{5}\) is irrational
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Correct Answer
A. केवल \(p^2=5q^2\) लिखकर रुक जाना / Stopping after only writing \(p^2=5q^2\)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) केवल मध्य चरण है। / \(p^2=5q^2\) is only a middle step.
Step 2
Why this answer is correct
इसके बाद (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाने होते हैं। / After this, both (p) and (q) must be shown divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास और अंतिम निष्कर्ष के बिना प्रमाण पूरा नहीं होता। / Without contradiction and final conclusion, the proof is incomplete.
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\(\sqrt{5}\) की सिद्धि में \(p^2=5q^2\) से (p=5k) लिखना किस शर्त पर निर्भर करता है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), writing (p=5k) from \(p^2=5q^2\) depends on which condition?
#sqrt5 proof
#prime condition
#hard
#class 10
A (5) अभाज्य है / (5) is prime
B (5) सम है / (5) is even
C (q=0) है / (q=0)
D \(\sqrt{5}=5\) है / \(\sqrt{5}=5\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (5) अभाज्य है / (5) is prime
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। / From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(5) अभाज्य होने के कारण (p) भी (5) से विभाज्य होगा। / Since (5) is prime, (p) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (p=5k) लिखना वैध है। / Therefore (p=5k) is valid.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यदि (p=5k) और (q=5r) मिलें, तो \(\frac{p}{q}\) को कैसे घटाया जा सकता है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), if (p=5k) and (q=5r), how can \(\frac{p}{q}\) be reduced?
#sqrt5 proof
#fraction reduction
#hard
#class 10
A \(\frac{p}{q}=\frac{5k}{5r}=\frac{k}{r}\)
B \(\frac{p}{q}=\frac{k}{5r}\)
C \(\frac{p}{q}=5kr\)
D \(\frac{p}{q}=\frac{25k}{r}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{p}{q}=\frac{5k}{5r}=\frac{k}{r}\)
Step 1
Concept
(p=5k) और (q=5r) होने पर अंश और हर दोनों में (5) साझा है। / If (p=5k) and (q=5r), both numerator and denominator share (5).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{5k}{5r}\) को घटाकर \(\frac{k}{r}\) लिखा जा सकता है। / \(\frac{5k}{5r}\) can be reduced to \(\frac{k}{r}\).
Step 3
Exam Tip
इससे साफ होता है कि भिन्न सरलतम रूप में नहीं थी। / This shows the fraction was not in lowest form.
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\(\sqrt{5}\) की सिद्धि में \(p^2=5q^2\) से कौन सा निष्कर्ष तुरंत नहीं निकाला जा सकता?
In the proof of \(\sqrt{5}\), which conclusion cannot be drawn immediately from \(p^2=5q^2\)?
#sqrt5 proof
#immediate conclusion
#hard
#class 10
A \(p^2\) (5) से विभाज्य है / \(p^2\) is divisible by (5)
B (p) (5) से विभाज्य है / (p) is divisible by (5)
C (p=5k) किसी पूर्णांक (k) के लिए / (p=5k) for some integer (k)
D (q) (5) से विभाज्य है / (q) is divisible by (5)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
D. (q) (5) से विभाज्य है / (q) is divisible by (5)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) से पहले \(p^2\) और फिर (p) (5) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। / From \(p^2=5q^2\), first \(p^2\), then (p), is proved divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(p=5k) रखने के बाद ही \(q^2=5k^2\) मिलेगा। / Only after putting (p=5k) do we get \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (q) की विभाज्यता तुरंत नहीं आती। / So divisibility of (q) is not immediate.
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\(\sqrt{5}\) की सिद्धि में कौन सा कथन बीजगणितीय रूप से गलत है?
Which statement is algebraically wrong in the proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#algebra error
#hard
#class 10
A (p=5k) से \(p^2=25k^2\) / From (p=5k), \(p^2=25k^2\)
B \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है / From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is divisible by (5)
C (p=5k) से \(p^2=5k^2\) / From (p=5k), \(p^2=5k^2\)
D \(q^2=5k^2\) से (q) (5) से विभाज्य है / From \(q^2=5k^2\), (q) is divisible by (5)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. (p=5k) से \(p^2=5k^2\) / From (p=5k), \(p^2=5k^2\)
Step 1
Concept
(p=5k) का वर्ग ((5k)2 ) होगा। / The square of (p=5k) is ((5k)2 ).
Step 2
Why this answer is correct
((5k)2 =25k-2 ), इसलिए \(5k^2\) लिखना गलत है। / ((5k)2 =25k-2 ), so writing \(5k^2\) is wrong.
Step 3
Exam Tip
गुणांक का वर्ग करना कभी न भूलें। / Never forget to square the coefficient.
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यदि \(\sqrt{5}=\frac{m}{n}\) सरलतम रूप में है और \(m^2=5n^2\), तो (m=5k) लिखने के बाद अगला लक्ष्य क्या होगा?
If \(\sqrt{5}=\frac{m}{n}\) is in lowest form and \(m^2=5n^2\), what is the next aim after writing (m=5k)?
#sqrt5 proof
#substitution
#hard
#class 10
A (m=n) दिखाना / To show (m=n)
B (n) भी (5) से विभाज्य है दिखाना / To show (n) is also divisible by (5)
C \(\sqrt{5}=5\) दिखाना / To show \(\sqrt{5}=5\)
D (n=0) दिखाना / To show (n=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. (n) भी (5) से विभाज्य है दिखाना / To show (n) is also divisible by (5)
Step 1
Concept
(m=5k) से (m) में (5) का गुणनखंड मिल चुका है। / (m=5k) shows factor (5) in (m).
Step 2
Why this answer is correct
इसे \(m^2=5n^2\) में रखने पर \(n^2=5k^2\) मिलेगा। / Substituting it in \(m^2=5n^2\) gives \(n^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
तब (n) भी (5) से विभाज्य सिद्ध होकर विरोधाभास बनेगा। / Then (n) is also proved divisible by (5), giving contradiction.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यदि \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में है, तो (p=5k) और (q=5r) मिलने पर कौन सा कथन सही है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), if \(\frac{p}{q}\) is in lowest form, which statement is correct when (p=5k) and (q=5r) are obtained?
#sqrt5 proof
#lowest form contradiction
#hard
A यह परिणाम असंभव है क्योंकि भिन्न घट सकती है / This result is impossible because the fraction can be reduced
B यह परिणाम सिद्ध करता है कि \(\sqrt{5}=5\) / This result proves \(\sqrt{5}=5\)
C यह परिणाम (q=0) बताता है / This result shows (q=0)
D यह परिणाम बताता है कि (5) पूर्ण वर्ग है / This result shows (5) is a perfect square
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह परिणाम असंभव है क्योंकि भिन्न घट सकती है / This result is impossible because the fraction can be reduced
Step 1
Concept
(p=5k) और (q=5r) का अर्थ है कि दोनों में (5) साझा है। / (p=5k) and (q=5r) mean both have common factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसी भिन्न को (5) से घटाया जा सकता है। / Such a fraction can be reduced by (5).
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह सरलतम रूप की मान्यता के लिए असंभव परिणाम है। / Hence this is an impossible result for the lowest-form assumption.
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यदि \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में कोई \(p^2=5q^2\) से (p=5q) लिखता है, तो गलती किस प्रकार की है?
If someone writes (p=5q) from \(p^2=5q^2\) in the proof of \(\sqrt{5}\), what type of error is it?
#sqrt5 proof
#algebra error
#hard
#class 10
A वर्ग समीकरण से मूल समीकरण गलत तरीके से निकालना / Incorrectly taking a root-level equation from a squared equation
B सहअभाज्य शर्त सही लिखना / Correctly writing the coprime condition
C अभाज्य गुणनखंड का सही उपयोग / Correct use of prime factor
D सरलतम रूप की सही पहचान / Correct identification of lowest form
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. वर्ग समीकरण से मूल समीकरण गलत तरीके से निकालना / Incorrectly taking a root-level equation from a squared equation
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) से सीधे (p=5q) नहीं मिलता। / (p=5q) does not directly follow from \(p^2=5q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
सही निष्कर्ष है कि \(p^2\) (5) से विभाज्य है और फिर (p) (5) से विभाज्य है। / The correct conclusion is that \(p^2\) is divisible by (5), then (p) is divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
वर्ग समीकरण से जल्दबाजी में मूल समीकरण न निकालें। / Do not hastily derive a root-level equation from a squared equation.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में प्रमाण की सही पहचान कराता है?
Which option correctly identifies the proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#proof identification
#hard
#class 10
A वर्ग करने के बाद \(p^2=5q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (5) मिलता है / After squaring, \(p^2=5q^2\) is formed and common factor (5) is found
B वर्ग करने के बाद \(p^2=2q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (2) मिलता है / After squaring, \(p^2=2q^2\) is formed and common factor (2) is found
C वर्ग करने के बाद \(p^2=3q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (3) मिलता है / After squaring, \(p^2=3q^2\) is formed and common factor (3) is found
D \(\sqrt{5}=25\) लिखकर प्रमाण पूरा होता है / The proof is completed by writing \(\sqrt{5}=25\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. वर्ग करने के बाद \(p^2=5q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (5) मिलता है / After squaring, \(p^2=5q^2\) is formed and common factor (5) is found
Step 1
Concept
\(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) मानकर वर्ग करने पर \(p^2=5q^2\) मिलता है। / Assuming \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) and squaring gives \(p^2=5q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इसी (5) से (p) और (q) दोनों में साझा गुणनखंड मिलता है। / This (5) becomes a common factor in both (p) and (q).
Step 3
Exam Tip
यही \(\sqrt{5}\) के प्रमाण की पहचान है। / This identifies the proof of \(\sqrt{5}\).
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (\gcd(p,q)=1) के विरुद्ध परिणाम देता है?
Which option gives a result against (\gcd(p,q)=1) in the proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#gcd
#common factor
#hard
A (p=5m) और (q=5n) / (p=5m) and (q=5n)
B \(q\neq 0\)
C (p) और (q) पूर्णांक हैं / (p) and (q) are integers
D \(\sqrt{5}\) धनात्मक है / \(\sqrt{5}\) is positive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p=5m) और (q=5n) / (p=5m) and (q=5n)
Step 1
Concept
(\gcd(p,q)=1) का अर्थ है कि (p) और (q) सहअभाज्य हैं। / (\gcd(p,q)=1) means (p) and (q) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(p=5m) और (q=5n) होने पर (5) उनका साझा गुणनखंड है। / If (p=5m) and (q=5n), (5) is their common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह (\gcd(p,q)=1) के विरुद्ध है। / Therefore this goes against (\gcd(p,q)=1).
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(p^2=5q^2\) मिलने के बाद कौन सा निष्कर्ष तुरंत नहीं निकाला जा सकता?
In the proof of \(\sqrt{5}\), after getting \(p^2=5q^2\), which conclusion cannot be drawn immediately?
#sqrt5 proof
#immediate conclusion
#hard
#class 10
A (q) (5) से विभाज्य है / (q) is divisible by (5)
B \(p^2\) (5) से विभाज्य है / \(p^2\) is divisible by (5)
C (p) (5) से विभाज्य है / (p) is divisible by (5)
D (p=5k) किसी पूर्णांक (k) के लिए / (p=5k) for some integer (k)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (q) (5) से विभाज्य है / (q) is divisible by (5)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) से तुरंत \(p^2\) (5) से विभाज्य है। / From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is immediately divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
फिर (p) (5) से विभाज्य और (p=5k) लिखा जा सकता है। / Then (p) is divisible by (5) and (p=5k) can be written.
Step 3
Exam Tip
(q) की विभाज्यता (p=5k) रखने के बाद आती है, तुरंत नहीं। / Divisibility of (q) comes after substituting (p=5k), not immediately.
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\(\sqrt{5}\) की सिद्धि में \(q^2=5k^2\) से (q) (5) से विभाज्य है। इस निष्कर्ष के लिए कौन सी शर्त जरूरी है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), (q) is divisible by (5) from \(q^2=5k^2\). Which condition is necessary for this conclusion?
#sqrt5 proof
#prime condition
#hard
#class 10
A (5) अभाज्य हो / (5) is prime
B (5) सम हो / (5) is even
C (q=0) हो / (q=0)
D \(\sqrt{5}=5\) हो / \(\sqrt{5}=5\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (5) अभाज्य हो / (5) is prime
Step 1
Concept
\(q^2=5k^2\) से \(q^2\) (5) से विभाज्य है। / From \(q^2=5k^2\), \(q^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग से मूल संख्या की विभाज्यता निकालने के लिए (5) का अभाज्य होना जरूरी है। / To conclude divisibility of the original number from the square, (5) must be prime.
Step 3
Exam Tip
इसी कारण (q) (5) से विभाज्य कहा जाता है। / Therefore (q) is said to be divisible by (5).
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में सही और पूर्ण तर्क देता है?
Which option gives a correct and complete reasoning in the proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#complete reasoning
#hard
#class 10
A \(p^2=5q^2\) से (p=5k), फिर (q=5r), इसलिए सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास / From \(p^2=5q^2\), (p=5k), then (q=5r), so contradiction with coprime condition
B \(p^2=5q^2\) से (p=5q), इसलिए प्रमाण पूरा / From \(p^2=5q^2\), (p=5q), so proof complete
C \(\sqrt{5}=5\), इसलिए अपरिमेय / \(\sqrt{5}=5\), so irrational
D (q=0), इसलिए विरोधाभास / (q=0), so contradiction
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Correct Answer
A. \(p^2=5q^2\) से (p=5k), फिर (q=5r), इसलिए सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास / From \(p^2=5q^2\), (p=5k), then (q=5r), so contradiction with coprime condition
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) से (p) (5) से विभाज्य है और (p=5k)। / From \(p^2=5q^2\), (p) is divisible by (5), so (p=5k).
Step 2
Why this answer is correct
रखने पर (q) भी (5) से विभाज्य मिलता है, यानी (q=5r)। / Substitution gives (q) also divisible by (5), so (q=5r).
Step 3
Exam Tip
दोनों में (5) साझा होना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास है। / Common factor (5) contradicts the coprime condition.
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\(\sqrt{5}\) को अपरिमेय सिद्ध करने में (p) और (q) को सहअभाज्य मानना क्यों आवश्यक है?
Why is it necessary to assume (p) and (q) coprime while proving \(\sqrt{5}\) irrational?
#sqrt5 proof
#coprime necessity
#hard
#class 10
A ताकि दोनों में (5) साझा गुणनखंड मिलने पर स्पष्ट विरोधाभास बने / So that finding common factor (5) in both gives a clear contradiction
B ताकि (q=0) बनाया जा सके / So that (q=0) can be made
C ताकि \(\sqrt{5}=5\) सिद्ध हो / So that \(\sqrt{5}=5\) is proved
D ताकि (p) और (q) बराबर हो जाएं / So that (p) and (q) become equal
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Correct Answer
A. ताकि दोनों में (5) साझा गुणनखंड मिलने पर स्पष्ट विरोधाभास बने / So that finding common factor (5) in both gives a clear contradiction
Step 1
Concept
परिमेय संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जाता है, इसलिए (p) और (q) सहअभाज्य होते हैं। / A rational number is written as a lowest-form fraction, so (p) and (q) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। / The proof shows both divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
यही सहअभाज्य शर्त से स्पष्ट विरोधाभास देता है। / This gives a clear contradiction to the coprime condition.
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यदि \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में \(p^2=5q^2\), (p=5k), \(q^2=5k^2\) क्रम मिलता है, तो अगला सही कथन क्या है?
If the sequence \(p^2=5q^2\), (p=5k), \(q^2=5k^2\) appears in the proof of \(\sqrt{5}\), what is the next correct statement?
#sqrt5 proof
#next step
#hard
#class 10
A (q) (5) से विभाज्य है / (q) is divisible by (5)
B \(q=5k^2\)
C (q=0)
D (p=q)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (q) (5) से विभाज्य है / (q) is divisible by (5)
Step 1
Concept
\(q^2=5k^2\) से \(q^2\) (5) से विभाज्य है। / From \(q^2=5k^2\), \(q^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(5) अभाज्य है, इसलिए (q) भी (5) से विभाज्य होगा। / Since (5) is prime, (q) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
अब (p) और (q) दोनों में (5) साझा गुणनखंड मिल जाता है। / Now both (p) and (q) have common factor (5).
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\(\sqrt{5}\) की सिद्धि में यदि (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य सिद्ध हो जाएं, तो कौन सा निष्कर्ष सबसे अधिक तार्किक है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), if both (p) and (q) are proved divisible by (5), which conclusion is the most logical?
#sqrt5 proof
#logical conclusion
#hard
#class 10
A \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं था, इसलिए परिमेय मान्यता असंभव है / \(\frac{p}{q}\) was not in lowest form, so the rational assumption is impossible
B \(\sqrt{5}=5\) सिद्ध हो गया / \(\sqrt{5}=5\) is proved
C (q=0) सिद्ध हो गया / (q=0) is proved
D (5) पूर्ण वर्ग सिद्ध हो गया / (5) is proved a perfect square
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Correct Answer
A. \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं था, इसलिए परिमेय मान्यता असंभव है / \(\frac{p}{q}\) was not in lowest form, so the rational assumption is impossible
Step 1
Concept
दोनों (5) से विभाज्य हैं, इसलिए अंश और हर में (5) साझा गुणनखंड है। / If both are divisible by (5), numerator and denominator have common factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम रूप में ऐसी स्थिति नहीं हो सकती। / Such a situation cannot occur in lowest form.
Step 3
Exam Tip
इसलिए परिमेय मान्यता असंभव है और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। / Therefore the rational assumption is impossible and \(\sqrt{5}\) is irrational.
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\(\sqrt{5}\) की सिद्धि में \(p^2=5q^2\) से (p) (5) से विभाज्य सिद्ध होता है। यह किस पर निर्भर करता है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), (p) is proved divisible by (5) from \(p^2=5q^2\). What does this depend on?
#sqrt5 proof
#prime basis
#hard
#class 10
A (5) के अभाज्य होने पर / On (5) being prime
B (5) के पूर्ण वर्ग होने पर / On (5) being a perfect square
C (q) के शून्य होने पर / On (q) being zero
D (p=q) होने पर / On (p=q)
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Correct Answer
A. (5) के अभाज्य होने पर / On (5) being prime
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। / From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
किसी अभाज्य संख्या से वर्ग विभाज्य हो, तो मूल संख्या भी उससे विभाज्य होती है। / If a square is divisible by a prime, the original number is also divisible by that prime.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (5) का अभाज्य होना यहां मुख्य आधार है। / So (5) being prime is the main basis here.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में बीजगणितीय गलती दिखाता है?
Which option shows an algebraic mistake in the proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#algebra mistake
#hard
#class 10
A (p=5k) से \(p^2=5k^2\) लिखना / Writing \(p^2=5k^2\) from (p=5k)
B \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है लिखना / Writing that \(p^2\) is divisible by (5) from \(p^2=5q^2\)
C (p=5k) से \(p^2=25k^2\) लिखना / Writing \(p^2=25k^2\) from (p=5k)
D \(q^2=5k^2\) से (q) (5) से विभाज्य है लिखना / Writing that (q) is divisible by (5) from \(q^2=5k^2\)
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Correct Answer
A. (p=5k) से \(p^2=5k^2\) लिखना / Writing \(p^2=5k^2\) from (p=5k)
Step 1
Concept
(p=5k) का वर्ग करने पर ((5k)2 ) मिलता है। / Squaring (p=5k) gives ((5k)2 ).
Step 2
Why this answer is correct
सही मान \(25k^2\) है, \(5k^2\) नहीं। / The correct value is \(25k^2\), not \(5k^2\).
Step 3
Exam Tip
गुणांक का वर्ग भूलना प्रमाण में बड़ी गलती बन सकता है। / Forgetting to square the coefficient can be a major proof error.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में कौन सा चरण क्रम की दृष्टि से गलत है?
Which step is wrong in order in the proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#proof order
#error spotting
#hard
A \(p^2=5q^2\) से सीधे (q) (5) से विभाज्य है कहना / Saying directly from \(p^2=5q^2\) that (q) is divisible by (5)
B \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है कहना / Saying from \(p^2=5q^2\) that \(p^2\) is divisible by (5)
C (p) (5) से विभाज्य है इसलिए (p=5k) लिखना / Writing (p=5k) because (p) is divisible by (5)
D \(q^2=5k^2\) से (q) (5) से विभाज्य है कहना / Saying from \(q^2=5k^2\) that (q) is divisible by (5)
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Correct Answer
A. \(p^2=5q^2\) से सीधे (q) (5) से विभाज्य है कहना / Saying directly from \(p^2=5q^2\) that (q) is divisible by (5)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) से पहले \(p^2\) और फिर (p) (5) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। / From \(p^2=5q^2\), first \(p^2\) and then (p) are proved divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(p=5k) रखने के बाद ही \(q^2=5k^2\) मिलता है। / Only after substituting (p=5k) do we get \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए सीधे (q) के बारे में निष्कर्ष लेना क्रम की गलती है। / So directly concluding about (q) is an order mistake.
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यदि \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में माना जाए और प्रमाण में (p=5k) मिल जाए, तो अगला महत्वपूर्ण उद्देश्य क्या है?
If \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) is assumed in lowest form and (p=5k) is obtained in the proof, what is the next important aim?
#sqrt5 proof
#common factor
#contradiction
#hard
A (q) भी (5) से विभाज्य है यह दिखाना / To show that (q) is also divisible by (5)
B (p=q) सिद्ध करना / To prove (p=q)
C \(\sqrt{5}=5\) सिद्ध करना / To prove \(\sqrt{5}=5\)
D (q=0) सिद्ध करना / To prove (q=0)
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Correct Answer
A. (q) भी (5) से विभाज्य है यह दिखाना / To show that (q) is also divisible by (5)
Step 1
Concept
(p=5k) से (p) के (5) से विभाज्य होने की बात मिलती है। / (p=5k) shows that (p) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
इसे \(p^2=5q^2\) में रखने से \(q^2=5k^2\) मिलता है, जिससे (q) भी (5) से विभाज्य होगा। / Substituting it in \(p^2=5q^2\) gives \(q^2=5k^2\), so (q) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
दोनों में (5) साझा गुणनखंड मिलना ही विरोधाभास बनाता है। / A common factor (5) in both creates the contradiction.
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\(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में कौन सा विचार समान रूप से काम करता है?
Which idea works similarly in the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\)?
#sqrt3 proof
#sqrt5 proof
#prime factor
#class 10
A अभाज्य गुणनखंड वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करता है / If a prime factor divides a square, it also divides the original number
B वर्गमूल को अंदर की संख्या के बराबर मानना / Treating the square root as equal to the number inside
C हर को शून्य मानना / Assuming the denominator as zero
D अंश और हर को बराबर मानना / Assuming numerator and denominator are equal
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Correct Answer
A. अभाज्य गुणनखंड वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करता है / If a prime factor divides a square, it also divides the original number
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) में (3) और \(\sqrt{5}\) में (5) अभाज्य गुणनखंड हैं। / In \(\sqrt{3}\), the prime factor is (3), and in \(\sqrt{5}\), the prime factor is (5).
Step 2
Why this answer is correct
जब \(p^2\) इनसे विभाज्य होता है, तो (p) भी उसी अभाज्य संख्या से विभाज्य होता है। / When \(p^2\) is divisible by that prime, (p) is also divisible by the same prime.
Step 3
Exam Tip
यही विचार आगे (p) और (q) में साझा गुणनखंड दिखाकर विरोधाभास बनाता है। / This idea later shows a common factor in (p) and (q), creating contradiction.
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कौन सा कथन \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में सही निष्कर्ष और कारण दोनों देता है?
Which statement gives both the correct conclusion and reason in the proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#conclusion reason
#class 10
A \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है क्योंकि परिमेय मानने पर (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं / \(\sqrt{5}\) is irrational because assuming rational makes both (p) and (q) divisible by (5)
B \(\sqrt{5}\) परिमेय है क्योंकि (5) पूर्णांक है / \(\sqrt{5}\) is rational because (5) is an integer
C \(\sqrt{5}=5\) क्योंकि वर्गमूल हट जाता है / \(\sqrt{5}=5\) because the radical disappears
D \(\sqrt{5}\) पूर्णांक है क्योंकि (5) अभाज्य है / \(\sqrt{5}\) is an integer because (5) is prime
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Correct Answer
A. \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है क्योंकि परिमेय मानने पर (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं / \(\sqrt{5}\) is irrational because assuming rational makes both (p) and (q) divisible by (5)
Step 1
Concept
\(\sqrt{5}\) को परिमेय मानने पर \(p^2=5q^2\) मिलता है। / Assuming \(\sqrt{5}\) rational gives \(p^2=5q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। / This proves both (p) and (q) divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
यह सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास है, इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। / This contradicts coprime condition, so \(\sqrt{5}\) is irrational.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में (p=5k) लिखने का सही उद्देश्य बताता है?
Which option correctly tells the purpose of writing (p=5k) in the proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#p substitution
#class 10
A आगे (q) को भी (5) से विभाज्य दिखाना / To later show (q) is also divisible by (5)
B (p=q) दिखाना / To show (p=q)
C (q=0) दिखाना / To show (q=0)
D \(\sqrt{5}=25\) दिखाना / To show \(\sqrt{5}=25\)
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Correct Answer
A. आगे (q) को भी (5) से विभाज्य दिखाना / To later show (q) is also divisible by (5)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) से (p) (5) से विभाज्य मिलता है। / From \(p^2=5q^2\), (p) is found divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(p=5k) रखने से \(q^2=5k^2\) मिलता है। / Substituting (p=5k) gives \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
इससे (q) के (5) से विभाज्य होने का प्रमाण बनता है। / This proves (q) is divisible by (5).
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