A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य होंगे/Both (p) and (q) will be divisible by (5)
Step 1
Concept
From \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) we get \(p^2=5q^2\) so both (p) and (q) are divisible by (5). This contradicts the coprime condition.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य होंगे / Both (p) and (q) will be divisible by (5). From \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) we get \(p^2=5q^2\) so both (p) and (q) are divisible by (5). This contradicts the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) से \(p^2=5q^2\) मिलता है इसलिए (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य होते हैं। यह सहअभाज्य शर्त के विरुद्ध है।
If (17) remains in the reduced denominator, the decimal will not terminate.
Step 3
Exam Tip
Such a non-terminating decimal of a rational number is recurring. चरण 1: (17) एक ऐसा अभाज्य है जो (2) या (5) नहीं है। चरण 2: सरलतम हर में (17) होने पर दशमलव समाप्त नहीं होगा। चरण 3: परिमेय संख्या का ऐसा असमाप्त दशमलव आवर्ती होता है।
In the reduced denominator, (3) is a prime other than (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
So the decimal will not terminate but will repeat.
Step 3
Exam Tip
A non-terminating decimal of a rational number is recurring. चरण 1: सरलतम हर में (3) एक ऐसा अभाज्य है जो (2) या (5) नहीं है। चरण 2: इसलिए दशमलव समाप्त नहीं होगा, पर दोहराव आएगा। चरण 3: परिमेय संख्या का असमाप्त दशमलव हमेशा आवर्ती होता है।
\(\frac{26}{143}\) simplifies by (13) to \(\frac{2}{11}\).
Step 2
Why this answer is correct
The denominator (11) does not contain only (2) and (5), so the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: After simplification, use the remaining denominator as the final basis. चरण 1: \(\frac{26}{143}\) सबसे सरल रूप में है क्योंकि \(143=11\times13\) और \(26=2\times13\) में (13) समान है, इसलिए पहले \(\frac{2}{11}\) मिलता है। चरण 2: हर (11) में (2) या (5) नहीं है, इसलिए दशमलव असमाप्त आवर्ती होगा। चरण 3: परीक्षा सुझाव: सरल करने के बाद बचे हर को ही अंतिम आधार मानें।
Check the denominator of the fraction in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
\(14=2\times7\), and factor (7) prevents termination.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: If (2) is joined by another prime like (7), the decimal will recur. चरण 1: सरल भिन्न में हर को जाँचते हैं। चरण 2: \(14=2\times7\), और (7) के कारण दशमलव समाप्त नहीं होगा। चरण 3: परीक्षा सुझाव: (2) के साथ कोई दूसरा अभाज्य जैसे (7) हो तो उत्तर आवर्ती होगा।
A. अभाज्य गुणनखंड का सिद्धांत/Principle of prime factor
Step 1
Concept
(3) is a prime number.
Step 2
Why this answer is correct
If a prime number divides a square, it also divides the original number.
Step 3
Exam Tip
This principle plays the main role in the proof for \(\sqrt{3}\). चरण 1: (3) एक अभाज्य संख्या है। चरण 2: यदि कोई अभाज्य संख्या किसी वर्ग को भाग देती है, तो वह मूल संख्या को भी भाग देती है। चरण 3: यही सिद्धांत \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में मुख्य भूमिका निभाता है।
A. क्योंकि (5) अभाज्य संख्या है/Because (5) is a prime number
Step 1
Concept
If a prime factor appears in a square, it appears in the original number too.
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime, \(5\mid x^2\) implies \(5\mid x\).
Step 3
Exam Tip
This rule is the main base of the proof for \(\sqrt{5}\). चरण 1: किसी वर्ग में अभाज्य गुणनखंड आए तो वह मूल संख्या में भी होता है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए \(5\mid x^2\) से \(5\mid x\) मिलता है। चरण 3: यह नियम \(\sqrt{5}\) के प्रमाण का मुख्य आधार है।
A. क्योंकि (5) अभाज्य है और \(5\mid a^2\)/Because (5) is prime and \(5\mid a^2\)
Step 1
Concept
From \(a^2=5b^2\), \(a^2\) clearly has (5) as a factor.
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime, (a) must also have (5) as a factor.
Step 3
Exam Tip
Apply the prime-factor rule carefully. चरण 1: \(a^2=5b^2\) से साफ है कि \(a^2\) में (5) गुणनखंड है। चरण 2: (5) अभाज्य होने के कारण (a) में भी (5) गुणनखंड होना चाहिए। चरण 3: अभाज्य गुणनखंड नियम को ठीक से लागू करें।
If \(5\mid a^2\), then \(5\mid a\), because a prime factor in a square must occur in the base.
Step 3
Exam Tip
This rule is the backbone of the proof for \(\sqrt{5}\). चरण 1: (5) अभाज्य संख्या है। चरण 2: यदि \(5\mid a^2\), तो \(5\mid a\) होगा, क्योंकि वर्ग में आने वाला अभाज्य गुणनखंड आधार में भी होता है। चरण 3: यही नियम \(\sqrt{5}\) के प्रमाण की रीढ़ है।
A. अभाज्य गुणनखंड वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करता है/If a prime factor divides a square, it also divides the original number
Step 1
Concept
Both (3) and (5) are prime.
Step 2
Why this answer is correct
When these factors appear in \(p^2\), they also appear in (p).
Step 3
Exam Tip
This idea finally gives a common factor in numerator and denominator. चरण 1: (3) और (5) दोनों अभाज्य हैं। चरण 2: \(p^2\) में ये गुणनखंड आने पर (p) में भी आते हैं। चरण 3: इसी विचार से अंत में अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलता है।
A. अभाज्य गुणनखंड वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करता है/If a prime factor divides a square, it also divides the original number
Step 1
Concept
In \(\sqrt{3}\), the prime factor is (3), and in \(\sqrt{5}\), the prime factor is (5).
Step 2
Why this answer is correct
When \(p^2\) is divisible by that prime, (p) is also divisible by the same prime.
Step 3
Exam Tip
This idea later shows a common factor in (p) and (q), creating contradiction. चरण 1: \(\sqrt{3}\) में (3) और \(\sqrt{5}\) में (5) अभाज्य गुणनखंड हैं। चरण 2: जब \(p^2\) इनसे विभाज्य होता है, तो (p) भी उसी अभाज्य संख्या से विभाज्य होता है। चरण 3: यही विचार आगे (p) और (q) में साझा गुणनखंड दिखाकर विरोधाभास बनाता है।
The number under the square root becomes the key factor. चरण 1: \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है। चरण 2: यहां (3) का गुणनखंड ही (p) और (q) में साझा रूप से आता है। चरण 3: जिस संख्या का वर्गमूल हो, वही मुख्य गुणनखंड बनती है।
It leads to common factor (5) in both numbers. चरण 1: \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानने पर \(a^2=5b^2\) मिलता है। चरण 2: यहां (5) अभाज्य गुणनखंड मुख्य है। चरण 3: इसी से दोनों संख्याओं में (5) साझा गुणनखंड मिलता है।
It shows both (a) and (b) divisible by (3). चरण 1: \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानने पर \(a^2=3b^2\) मिलता है। चरण 2: इसलिए (3) का गुणनखंड प्रमाण का मुख्य आधार बनता है। चरण 3: इसी से (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं।
A. \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में/In the proof of irrationality of \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
In the proof of \(\sqrt{2}\), we get \(a^2=2b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
So the factor (2) plays the main role.
Step 3
Exam Tip
The number under the square root appears as the key factor in the proof. चरण 1: \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(a^2=2b^2\) मिलता है। चरण 2: इसलिए (2) का गुणनखंड मुख्य भूमिका निभाता है। चरण 3: जिस संख्या का वर्गमूल हो, वही गुणनखंड प्रमाण में आता है।
A. यदि \(a^2\) किसी अभाज्य संख्या (r) से विभाज्य है, तो (a) भी (r) से विभाज्य है/If \(a^2\) is divisible by a prime (r), then (a) is also divisible by (r)
Step 1
Concept
(3) and (5) are prime numbers.
Step 2
Why this answer is correct
If a prime factor divides a square, it also divides the original number.
Step 3
Exam Tip
This helps prove a common factor in (p) and (q). चरण 1: (3) और (5) अभाज्य संख्याएं हैं। चरण 2: किसी वर्ग में अभाज्य गुणनखंड हो तो मूल संख्या में भी वह गुणनखंड होता है। चरण 3: इसी से (p) और (q) में साझा गुणनखंड सिद्ध होता है।
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य निकलते हैं/Both (p) and (q) turn out divisible by (5)
Step 1
Concept
Assuming \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) and squaring gives \(p^2=5q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
This makes both (p) and (q) divisible by (5), contradicting that they are coprime.
Step 3
Exam Tip
Finding a common factor is the key contradiction in the proof. चरण 1: \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) मानकर वर्ग करने से \(p^2=5q^2\) मिलता है। चरण 2: इससे (p) और फिर (q) दोनों (5) से विभाज्य निकलते हैं, जो सहअभाज्य होने के विरुद्ध है। चरण 3: प्रमाण में साझा गुणनखंड मिलना ही मुख्य विरोध है।
A. यदि \(p\mid a^2\), तो \(p\mid a\)/If \(p\mid a^2\), then \(p\mid a\)
Step 1
Concept
In the proof, assume \(\sqrt{p}=\frac{a}{b}\) and square both sides.
Step 2
Why this answer is correct
From \(a^2=pb^2\), we get \(p\mid a^2\), so the idea \(p\mid a\) is used.
Step 3
Exam Tip
The prime factor argument leads to a contradiction. चरण 1: प्रमाण में \(\sqrt{p}=\frac{a}{b}\) मानकर वर्ग किया जाता है। चरण 2: \(a^2=pb^2\) से \(p\mid a^2\) मिलता है, इसलिए \(p\mid a\) का विचार प्रयोग होता है। चरण 3: अभाज्य गुणनखंड वाला तर्क विरोध तक पहुँचाता है।
