\(\sqrt{2}\) को अपरिमेय सिद्ध करने के लिए सबसे पहले कौन सी मान्यता ली जाती है?
Which assumption is taken first to prove that \(\sqrt{2}\) is irrational?
#irrationality proof
#square root
#class 10
#real numbers
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? Hint Small clue
A \(\sqrt{2}\) परिमेय है और \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहां (p) और (q) सहअभाज्य हैं / \(\sqrt{2}\) is rational and \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where (p) and (q) are coprime
B \(\sqrt{2}\) पूर्णांक है / \(\sqrt{2}\) is an integer
C \(\sqrt{2}=2\) है / \(\sqrt{2}=2\)
D \(\sqrt{2}=0\) है / \(\sqrt{2}=0\)
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Correct Answer
A. \(\sqrt{2}\) परिमेय है और \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहां (p) और (q) सहअभाज्य हैं / \(\sqrt{2}\) is rational and \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where (p) and (q) are coprime
Step 1
Concept
विरोधाभास विधि में हम कथन के उलटे को सही मानकर शुरू करते हैं। / In the contradiction method, we begin by assuming the opposite statement.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखते हैं, जहां (p) और (q) सहअभाज्य हों। / So we assume \(\sqrt{2}\) is rational and write it as \(\frac{p}{q}\), where (p) and (q) are coprime.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में शुरुआत साफ लिखना बहुत जरूरी है। / In exams, write the starting assumption clearly.
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यदि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) हो, तो दोनों ओर वर्ग करने पर क्या मिलेगा?
If \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), what is obtained after squaring both sides?
#sqrt2 proof
#squaring
#easy
#class 10
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? Hint Small clue
A \(p^2=2q^2\)
B \(q^2=2p^2\)
C (p=2q)
D (p+q=2)
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Correct Answer
A. \(p^2=2q^2\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) के दोनों ओर वर्ग करें। / Square both sides of \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
बाईं ओर (2) और दाईं ओर \(\frac{p^2}{q^2}\) मिलेगा, इसलिए \(p^2=2q^2\)। / The left side becomes (2) and the right side becomes \(\frac{p^2}{q^2}\), so \(p^2=2q^2\).
Step 3
Exam Tip
वर्ग करने के बाद हर हटाने के लिए दोनों ओर \(q^2\) से गुणा करें। / After squaring, multiply by \(q^2\) to clear the denominator.
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समीकरण \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) के बारे में क्या पता चलता है?
From the equation \(p^2=2q^2\), what do we learn about \(p^2\)?
#even square
#sqrt2 proof
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(p^2\) सम है / \(p^2\) is even
B \(p^2\) विषम है / \(p^2\) is odd
C \(p^2\) शून्य है / \(p^2\) is zero
D \(p^2\) ऋणात्मक है / \(p^2\) is negative
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Correct Answer
A. \(p^2\) सम है / \(p^2\) is even
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) में दाईं ओर (2) का गुणन है। / In \(p^2=2q^2\), the right side has a factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(p^2\) (2) से विभाज्य है और सम है। / Therefore \(p^2\) is divisible by (2) and is even.
Step 3
Exam Tip
जब किसी संख्या में (2) गुणनखंड हो, तो उसे सम माना जाता है। / A number with factor (2) is even.
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यदि \(p^2\) सम है, तो (p) के बारे में कौन सा निष्कर्ष सही है?
If \(p^2\) is even, which conclusion about (p) is correct?
#even integer
#irrationality proof
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (p) सम है / (p) is even
B (p) विषम है / (p) is odd
C (p) ऋणात्मक ही है / (p) is necessarily negative
D (p=1) है / (p=1)
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Correct Answer
A. (p) सम है / (p) is even
Step 1
Concept
किसी पूर्णांक का वर्ग सम हो तो वह पूर्णांक भी सम होता है। / If the square of an integer is even, then the integer itself is even.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(p^2\) सम होने पर (p) भी सम होगा। / So if \(p^2\) is even, (p) is also even.
Step 3
Exam Tip
यह छोटी बात \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में बहुत महत्वपूर्ण है। / This small fact is very important in the proof of \(\sqrt{2}\).
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यदि (p) सम है, तो (p) को किस रूप में लिखा जा सकता है?
If (p) is even, in which form can (p) be written?
#even form
#sqrt2 proof
#class 10
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A (p=2k), जहां (k) पूर्णांक है / (p=2k), where (k) is an integer
B (p=2+k)
C \(p=k^2\)
D \(p=\frac{1}{k}\)
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Correct Answer
A. (p=2k), जहां (k) पूर्णांक है / (p=2k), where (k) is an integer
Step 1
Concept
सम संख्या (2) से पूरी तरह विभाजित होती है। / An even number is completely divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (p) सम होने पर (p=2k) लिखा जा सकता है। / Therefore if (p) is even, we can write (p=2k).
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में सम संख्या को (2k) लिखना आसान रास्ता देता है। / Writing an even number as (2k) makes the proof easier.
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(p=2k) को \(p^2=2q^2\) में रखने पर कौन सा निष्कर्ष मिलता है?
What conclusion is obtained by putting (p=2k) in \(p^2=2q^2\)?
#substitution
#sqrt2 proof
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(q^2=2k^2\), इसलिए \(q^2\) सम है / \(q^2=2k^2\), so \(q^2\) is even
B \(q^2=k\), इसलिए (q) शून्य है / \(q^2=k\), so (q) is zero
C (q=p)
D \(q^2=4k^2\) ही अंतिम निष्कर्ष है / \(q^2=4k^2\) is the final conclusion
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Correct Answer
A. \(q^2=2k^2\), इसलिए \(q^2\) सम है / \(q^2=2k^2\), so \(q^2\) is even
Step 1
Concept
(p=2k) रखने पर \(p^2=4k^2\) होगा। / If (p=2k), then \(p^2=4k^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(4k^2=2q^2\) से \(q^2=2k^2\), इसलिए \(q^2\) सम है। / From \(4k^2=2q^2\), we get \(q^2=2k^2\), so \(q^2\) is even.
Step 3
Exam Tip
धीरे-धीरे सरलीकरण करें ताकि गलती न हो। / Simplify step by step to avoid mistakes.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में अंतिम विरोधाभास क्या होता है?
What is the final contradiction in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#contradiction
#sqrt2 proof
#class 10
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A (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं / Both (p) and (q) are found even
B (p) और (q) दोनों विषम मिलते हैं / Both (p) and (q) are found odd
C (p) ऋणात्मक मिलता है / (p) is found negative
D (q=1) मिलता है / (q=1) is found
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Correct Answer
A. (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं / Both (p) and (q) are found even
Step 1
Concept
शुरुआत में (p) और (q) को सहअभाज्य माना गया था। / At the start, (p) and (q) were assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं, यानी दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। / The proof shows both (p) and (q) are even, so they have common factor (2).
Step 3
Exam Tip
यही विरोधाभास दिखाता है कि \(\sqrt{2}\) परिमेय नहीं है। / This contradiction shows that \(\sqrt{2}\) is not rational.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण का सही अंतिम निष्कर्ष कौन सा है?
What is the correct final conclusion of the proof of \(\sqrt{2}\)?
#final conclusion
#sqrt2
#irrationality
#class 10
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A \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{2}\) is irrational
B \(\sqrt{2}\) परिमेय है / \(\sqrt{2}\) is rational
C \(\sqrt{2}\) पूर्णांक है / \(\sqrt{2}\) is an integer
D \(\sqrt{2}=1\)
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Correct Answer
A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
परिमेय मानने से (p) और (q) में साझा गुणनखंड मिला। / Assuming rationality gives a common factor in (p) and (q).
Step 2
Why this answer is correct
यह सहअभाज्य होने की शर्त से टकराता है। / This contradicts the condition that they are coprime.
Step 3
Exam Tip
इसलिए आरंभिक मान्यता गलत और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / Therefore the original assumption is false and \(\sqrt{2}\) is irrational.
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\(\sqrt{3}\) को परिमेय मानने पर उसे किस रूप में लिखा जाता है?
If \(\sqrt{3}\) is assumed rational, in which form is it written?
#sqrt3 proof
#rational form
#class 10
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A \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहां (p) और (q) सहअभाज्य हैं / \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where (p) and (q) are coprime
B \(\sqrt{3}=p+q\)
C \(\sqrt{3}=3p\)
D \(\sqrt{3}=0\)
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Correct Answer
A. \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहां (p) और (q) सहअभाज्य हैं / \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where (p) and (q) are coprime
Step 1
Concept
परिमेय संख्या को दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखा जा सकता है। / A rational number can be written as a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
सबसे सरल रूप में (p) और (q) सहअभाज्य होते हैं। / In the simplest form, (p) and (q) are coprime.
Step 3
Exam Tip
इसी रूप से बाद में विरोधाभास बनाया जाता है। / This form is used later to create a contradiction.
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यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), तो वर्ग करने पर कौन सा समीकरण मिलेगा?
If \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), which equation is obtained after squaring?
#squaring
#sqrt3 proof
#class 10
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A \(p^2=3q^2\)
B \(p^2=2q^2\)
C \(3p^2=q^2\)
D \(p^2+q^2=3\)
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Correct Answer
A. \(p^2=3q^2\)
Step 1
Concept
दोनों ओर वर्ग करने से \(3=\frac{p^2}{q^2}\) मिलता है। / Squaring both sides gives \(3=\frac{p^2}{q^2}\).
Step 2
Why this answer is correct
हर हटाने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है। / Clearing the denominator gives \(p^2=3q^2\).
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (3) का गुणनखंड मुख्य भूमिका निभाता है। / In the proof of \(\sqrt{3}\), the factor (3) plays the main role.
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समीकरण \(p^2=3q^2\) से \(p^2\) के बारे में क्या पता चलता है?
From the equation \(p^2=3q^2\), what do we know about \(p^2\)?
#divisibility by 3
#sqrt3 proof
#class 10
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A \(p^2\) (3) से विभाज्य है / \(p^2\) is divisible by (3)
B \(p^2\) (2) से विभाज्य है / \(p^2\) is divisible by (2)
C \(p^2\) (5) से विभाज्य है / \(p^2\) is divisible by (5)
D \(p^2\) (7) से विभाज्य है / \(p^2\) is divisible by (7)
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Correct Answer
A. \(p^2\) (3) से विभाज्य है / \(p^2\) is divisible by (3)
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) में दाईं ओर (3) गुणनखंड है। / In \(p^2=3q^2\), the right side has factor (3).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(p^2\) (3) से विभाज्य है। / So \(p^2\) is divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
जिस अभाज्य संख्या से वर्ग विभाज्य हो, मूल संख्या भी उससे विभाज्य होती है। / If a square is divisible by a prime, the original number is also divisible by that prime.
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यदि \(p^2\) (3) से विभाज्य है, तो (p) के बारे में क्या सही है?
If \(p^2\) is divisible by (3), what is true about (p)?
#prime divisibility
#sqrt3
#class 10
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A (p) भी (3) से विभाज्य है / (p) is also divisible by (3)
B (p) (2) से विभाज्य है / (p) is divisible by (2)
C (p) (5) से विभाज्य है / (p) is divisible by (5)
D (p) (3) से विभाज्य नहीं है / (p) is not divisible by (3)
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Correct Answer
A. (p) भी (3) से विभाज्य है / (p) is also divisible by (3)
Step 1
Concept
(3) अभाज्य संख्या है। / (3) is a prime number.
Step 2
Why this answer is correct
यदि किसी पूर्णांक का वर्ग (3) से विभाज्य है, तो वह पूर्णांक भी (3) से विभाज्य होगा। / If the square of an integer is divisible by (3), then the integer is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
यह नियम \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में मुख्य कदम है। / This rule is the main step in the proof of \(\sqrt{3}\).
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यदि (p) (3) से विभाज्य है, तो (p) को किस रूप में लिखा जा सकता है?
If (p) is divisible by (3), in which form can (p) be written?
#divisibility form
#sqrt3 proof
#class 10
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A (p=3k), जहां (k) पूर्णांक है / (p=3k), where (k) is an integer
B (p=2k)
C (p=k+3)
D \(p=\frac{3}{k}\)
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Correct Answer
A. (p=3k), जहां (k) पूर्णांक है / (p=3k), where (k) is an integer
Step 1
Concept
(3) से विभाज्य संख्या में (3) गुणनखंड होता है। / A number divisible by (3) has (3) as a factor.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (p=3k) लिखा जा सकता है। / So it can be written as (p=3k).
Step 3
Exam Tip
ऐसे रूप में लिखने से अगले चरण में (q) के लिए भी वही बात मिलती है। / This form helps prove the same thing for (q) in the next step.
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(p=3k) को \(p^2=3q^2\) में रखने पर कौन सा सही निष्कर्ष मिलता है?
What correct conclusion is obtained by putting (p=3k) in \(p^2=3q^2\)?
#substitution
#sqrt3 proof
#class 10
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A \(q^2=3k^2\), इसलिए (q) (3) से विभाज्य है / \(q^2=3k^2\), so (q) is divisible by (3)
B \(q^2=2k^2\), इसलिए (q) सम है / \(q^2=2k^2\), so (q) is even
C (q=k), इसलिए कोई विरोधाभास नहीं / (q=k), so there is no contradiction
D (q=0)
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Correct Answer
A. \(q^2=3k^2\), इसलिए (q) (3) से विभाज्य है / \(q^2=3k^2\), so (q) is divisible by (3)
Step 1
Concept
(p=3k) रखने पर \(p^2=9k^2\) मिलता है। / Putting (p=3k) gives \(p^2=9k^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(9k^2=3q^2\) से \(q^2=3k^2\), इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य है। / From \(9k^2=3q^2\), we get \(q^2=3k^2\), so (q) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
साझा गुणनखंड मिलने पर सहअभाज्य शर्त टूटती है। / A common factor breaks the coprime condition.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में विरोधाभास क्या है?
What is the contradiction in the proof of \(\sqrt{3}\)?
#contradiction
#sqrt3 proof
#class 10
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A (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं / Both (p) and (q) are found divisible by (3)
B (p) और (q) दोनों (2) से विभाज्य मिलते हैं / Both (p) and (q) are found divisible by (2)
C (p) और (q) बराबर मिलते हैं / (p) and (q) are found equal
D (p) और (q) दोनों शून्य मिलते हैं / Both (p) and (q) are found zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं / Both (p) and (q) are found divisible by (3)
Step 1
Concept
शुरुआत में (p) और (q) सहअभाज्य माने जाते हैं। / At the start, (p) and (q) are taken as coprime.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं, यानी साझा गुणनखंड (3) है। / The proof shows both are divisible by (3), so they have common factor (3).
Step 3
Exam Tip
यही विरोधाभास \(\sqrt{3}\) को अपरिमेय सिद्ध करता है। / This contradiction proves \(\sqrt{3}\) is irrational.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण से सही निष्कर्ष कौन सा है?
Which conclusion is correct from the proof of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 conclusion
#irrationality
#class 10
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A \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{3}\) is irrational
B \(\sqrt{3}\) परिमेय है / \(\sqrt{3}\) is rational
C \(\sqrt{3}=3\)
D \(\sqrt{3}\) प्राकृतिक संख्या है / \(\sqrt{3}\) is a natural number
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{3}\) is irrational
Step 1
Concept
परिमेय मानने पर (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं। / Assuming rationality makes both (p) and (q) divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
यह उनके सहअभाज्य होने के विरुद्ध है। / This goes against their being coprime.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं, बल्कि अपरिमेय है। / Therefore \(\sqrt{3}\) is not rational, but irrational.
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\(\sqrt{5}\) को अपरिमेय सिद्ध करने की शुरुआत में क्या माना जाता है?
What is assumed at the beginning to prove that \(\sqrt{5}\) is irrational?
#sqrt5 proof
#assumption
#class 10
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A \(\sqrt{5}\) परिमेय है और \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\), जहां (p) और (q) सहअभाज्य हैं / \(\sqrt{5}\) is rational and \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\), where (p) and (q) are coprime
B \(\sqrt{5}=5\) है / \(\sqrt{5}=5\)
C \(\sqrt{5}=0\) है / \(\sqrt{5}=0\)
D \(\sqrt{5}\) ऋणात्मक है / \(\sqrt{5}\) is negative
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\sqrt{5}\) परिमेय है और \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\), जहां (p) और (q) सहअभाज्य हैं / \(\sqrt{5}\) is rational and \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\), where (p) and (q) are coprime
Step 1
Concept
विरोधाभास विधि में उलटी बात मानते हैं। / In the contradiction method, we assume the opposite.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जाता है। / So \(\sqrt{5}\) is assumed rational and written as \(\frac{p}{q}\).
Step 3
Exam Tip
(p) और (q) को सहअभाज्य लिखना न भूलें। / Do not forget to mention that (p) and (q) are coprime.
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यदि \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\), तो वर्ग करने पर क्या प्राप्त होगा?
If \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\), what is obtained after squaring?
#sqrt5 proof
#squaring
#class 10
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A \(p^2=5q^2\)
B \(p^2=3q^2\)
C \(p^2=2q^2\)
D \(5p^2=q^2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(p^2=5q^2\)
Step 1
Concept
दोनों ओर वर्ग करें तो \(5=\frac{p^2}{q^2}\) मिलता है। / Squaring both sides gives \(5=\frac{p^2}{q^2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(q^2\) से गुणा करने पर \(p^2=5q^2\) मिलता है। / Multiplying by \(q^2\) gives \(p^2=5q^2\).
Step 3
Exam Tip
हर को हटाने का चरण साफ लिखें। / Write the denominator-clearing step clearly.
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समीकरण \(p^2=5q^2\) से कौन सा निष्कर्ष निकलता है?
What conclusion follows from the equation \(p^2=5q^2\)?
#divisibility by 5
#sqrt5 proof
#class 10
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? Hint Small clue
A \(p^2\) (5) से विभाज्य है / \(p^2\) is divisible by (5)
B \(p^2\) (3) से विभाज्य है / \(p^2\) is divisible by (3)
C \(p^2\) (2) से विभाज्य है / \(p^2\) is divisible by (2)
D \(p^2\) विषम नहीं है / \(p^2\) is not odd
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Correct Answer
A. \(p^2\) (5) से विभाज्य है / \(p^2\) is divisible by (5)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) में दाईं ओर (5) गुणनखंड है। / In \(p^2=5q^2\), the right side has factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(p^2\) (5) से विभाज्य है। / Therefore \(p^2\) is divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में इसी से (p) के बारे में अगला निष्कर्ष लिया जाता है। / This gives the next conclusion about (p) in the proof.
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यदि \(p^2\) (5) से विभाज्य है, तो (p) के बारे में क्या सही है?
If \(p^2\) is divisible by (5), what is true about (p)?
#prime divisibility
#sqrt5
#class 10
50 50-50 2 wrong hide
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? Hint Small clue
A (p) भी (5) से विभाज्य है / (p) is also divisible by (5)
B (p) (2) से विभाज्य है / (p) is divisible by (2)
C (p) (3) से विभाज्य है / (p) is divisible by (3)
D (p) (5) से विभाज्य नहीं है / (p) is not divisible by (5)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p) भी (5) से विभाज्य है / (p) is also divisible by (5)
Step 1
Concept
(5) अभाज्य संख्या है। / (5) is a prime number.
Step 2
Why this answer is correct
किसी पूर्णांक का वर्ग (5) से विभाज्य हो तो पूर्णांक भी (5) से विभाज्य होता है। / If the square of an integer is divisible by (5), then the integer is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
इसी नियम से प्रमाण आगे बढ़ता है। / This rule moves the proof forward.
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यदि (p) (5) से विभाज्य है, तो (p) का सही रूप कौन सा है?
If (p) is divisible by (5), which is the correct form of (p)?
#sqrt5 proof
#divisible by 5
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (p=5k), जहां (k) पूर्णांक है / (p=5k), where (k) is an integer
B (p=2k)
C (p=k+5)
D \(p=\frac{k}{5}\)
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Correct Answer
A. (p=5k), जहां (k) पूर्णांक है / (p=5k), where (k) is an integer
Step 1
Concept
(5) से विभाज्य संख्या में (5) गुणनखंड होता है। / A number divisible by (5) has (5) as a factor.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (p=5k) लिखा जा सकता है। / So (p) can be written as (p=5k).
Step 3
Exam Tip
इस रूप को मूल समीकरण में रखने से (q) के लिए भी समान निष्कर्ष मिलता है। / Substituting this form in the original equation gives the same conclusion for (q).
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(p=5k) को \(p^2=5q^2\) में रखने पर क्या मिलेगा?
What is obtained by putting (p=5k) in \(p^2=5q^2\)?
#substitution
#sqrt5 proof
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(q^2=5k^2\), इसलिए (q) (5) से विभाज्य है / \(q^2=5k^2\), so (q) is divisible by (5)
B \(q^2=2k^2\), इसलिए (q) सम है / \(q^2=2k^2\), so (q) is even
C \(q^2=k^2\), इसलिए (q=k) / \(q^2=k^2\), so (q=k)
D (q=0)
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Correct Answer
A. \(q^2=5k^2\), इसलिए (q) (5) से विभाज्य है / \(q^2=5k^2\), so (q) is divisible by (5)
Step 1
Concept
(p=5k) रखने पर \(p^2=25k^2\) होता है। / If (p=5k), then \(p^2=25k^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(25k^2=5q^2\) से \(q^2=5k^2\), इसलिए (q) भी (5) से विभाज्य है। / From \(25k^2=5q^2\), we get \(q^2=5k^2\), so (q) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
साझा गुणनखंड मिलने से विरोधाभास बनता है। / Getting a common factor creates the contradiction.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में कौन सा विरोधाभास आता है?
Which contradiction appears in the proof of \(\sqrt{5}\)?
#contradiction
#sqrt5 proof
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं / Both (p) and (q) are found divisible by (5)
B (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं / Both (p) and (q) are found divisible by (3)
C (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं / Both (p) and (q) are found even
D (p) और (q) बराबर नहीं मिलते / (p) and (q) are not found equal
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Correct Answer
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं / Both (p) and (q) are found divisible by (5)
Step 1
Concept
(p) और (q) को सहअभाज्य मानकर चले थे। / We started by taking (p) and (q) as coprime.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। / The proof shows both are divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
दो सहअभाज्य संख्याओं में (5) साझा गुणनखंड नहीं हो सकता, इसलिए विरोधाभास है। / Two coprime numbers cannot have (5) as a common factor, so this is a contradiction.
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\(\sqrt{5}\) के लिए सही अंतिम निष्कर्ष कौन सा है?
What is the correct final conclusion for \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 conclusion
#irrationality
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
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A \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{5}\) is irrational
B \(\sqrt{5}\) परिमेय है / \(\sqrt{5}\) is rational
C \(\sqrt{5}=5\)
D \(\sqrt{5}\) पूर्ण वर्ग है / \(\sqrt{5}\) is a perfect square
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Correct Answer
A. \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{5}\) is irrational
Step 1
Concept
परिमेय मानने पर (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। / Assuming rationality makes both (p) and (q) divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
यह सहअभाज्य होने की शर्त के विरुद्ध है। / This contradicts the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। / Hence \(\sqrt{5}\) is irrational.
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\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों में कौन सी विधि सामान्य है?
Which method is common in the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#method of contradiction
#irrationality
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
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A विरोधाभास विधि / Method of contradiction
B प्रत्यक्ष गणना विधि / Direct calculation method
C मापन विधि / Measurement method
D आकृति बनाने की विधि / Drawing method
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Correct Answer
A. विरोधाभास विधि / Method of contradiction
Step 1
Concept
तीनों प्रमाणों में पहले संख्या को परिमेय मानते हैं। / In all three proofs, the number is first assumed rational.
Step 2
Why this answer is correct
फिर साझा गुणनखंड मिलने से विरोधाभास आता है। / Then a contradiction appears through a common factor.
Step 3
Exam Tip
इस प्रकार की सिद्धि को विरोधाभास विधि कहते हैं। / This type of proof is called the method of contradiction.
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प्रमाण में (p) और (q) को सहअभाज्य क्यों माना जाता है?
Why are (p) and (q) assumed to be coprime in the proof?
#coprime
#rational form
#irrationality proof
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि परिमेय संख्या को सबसे सरल रूप में लिखा जाता है / Because a rational number is written in its simplest form
B क्योंकि दोनों हमेशा बराबर होते हैं / Because both are always equal
C क्योंकि दोनों शून्य होते हैं / Because both are zero
D क्योंकि दोनों अपरिमेय होते हैं / Because both are irrational
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Correct Answer
A. क्योंकि परिमेय संख्या को सबसे सरल रूप में लिखा जाता है / Because a rational number is written in its simplest form
Step 1
Concept
परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) के रूप में सबसे सरल रूप में लिखी जाती है। / A rational number is written as \(\frac{p}{q}\) in its simplest form.
Step 2
Why this answer is correct
सबसे सरल रूप में (p) और (q) का साझा गुणनखंड (1) ही होता है। / In simplest form, (p) and (q) have only (1) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
बाद में साझा गुणनखंड मिलना इसी शर्त से टकराता है। / Getting another common factor later contradicts this condition.
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विरोधाभास विधि में यदि मान्यता गलत सिद्ध हो जाए, तो मूल कथन के बारे में क्या कहा जाता है?
In the method of contradiction, if the assumption is proved false, what is said about the original statement?
#contradiction method
#logic
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
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A मूल कथन सही है / The original statement is true
B मूल कथन भी गलत है / The original statement is also false
C कोई निष्कर्ष नहीं निकलता / No conclusion is obtained
D सभी विकल्प सही हैं / All options are correct
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Correct Answer
A. मूल कथन सही है / The original statement is true
Step 1
Concept
विरोधाभास विधि में उलटी बात मानकर चलते हैं। / In contradiction, we assume the opposite statement.
Step 2
Why this answer is correct
यदि उलटी बात असंभव निकलती है, तो मूल कथन सही माना जाता है। / If the opposite becomes impossible, the original statement is true.
Step 3
Exam Tip
यही कारण है कि परिमेय मान्यता टूटने पर अपरिमेयता सिद्ध होती है। / That is why breaking the rational assumption proves irrationality.
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कौन सा कथन \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों में उपयोगी है?
Which statement is useful in the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\)?
#prime factor
#irrationality proof
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
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A यदि \(a^2\) किसी अभाज्य संख्या (r) से विभाज्य है, तो (a) भी (r) से विभाज्य है / If \(a^2\) is divisible by a prime (r), then (a) is also divisible by (r)
B यदि \(a^2\) (r) से विभाज्य है, तो (a=0) / If \(a^2\) is divisible by (r), then (a=0)
C हर वर्ग अपरिमेय होता है / Every square is irrational
D हर अभाज्य संख्या पूर्ण वर्ग होती है / Every prime number is a perfect square
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Correct Answer
A. यदि \(a^2\) किसी अभाज्य संख्या (r) से विभाज्य है, तो (a) भी (r) से विभाज्य है / If \(a^2\) is divisible by a prime (r), then (a) is also divisible by (r)
Step 1
Concept
(3) और (5) अभाज्य संख्याएं हैं। / (3) and (5) are prime numbers.
Step 2
Why this answer is correct
किसी वर्ग में अभाज्य गुणनखंड हो तो मूल संख्या में भी वह गुणनखंड होता है। / If a prime factor divides a square, it also divides the original number.
Step 3
Exam Tip
इसी से (p) और (q) में साझा गुणनखंड सिद्ध होता है। / This helps prove a common factor in (p) and (q).
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(q\neq 0\) क्यों जरूरी है?
Why is \(q\neq 0\) necessary in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#rational form
#denominator
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
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A क्योंकि \(\frac{p}{q}\) में हर शून्य नहीं हो सकता / Because the denominator in \(\frac{p}{q}\) cannot be zero
B क्योंकि (q) हमेशा (2) होता है / Because (q) is always (2)
C क्योंकि (q) अपरिमेय होता है / Because (q) is irrational
D क्योंकि (q) ऋणात्मक ही होता है / Because (q) is necessarily negative
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Correct Answer
A. क्योंकि \(\frac{p}{q}\) में हर शून्य नहीं हो सकता / Because the denominator in \(\frac{p}{q}\) cannot be zero
Step 1
Concept
परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखी जाती है। / A rational number is written in the form \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भिन्न का हर शून्य नहीं हो सकता। / The denominator of a fraction cannot be zero.
Step 3
Exam Tip
इसलिए प्रमाण में \(q\neq 0\) लिखना आवश्यक है। / Therefore \(q\neq 0\) must be written in the proof.
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यदि (p) और (q) दोनों सम हों, तो वे सहअभाज्य क्यों नहीं हो सकते?
If (p) and (q) are both even, why can they not be coprime?
#coprime
#even numbers
#sqrt2 proof
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
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A क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा / Because both will have (2) as a common factor
B क्योंकि दोनों में (3) साझा गुणनखंड होगा / Because both will have (3) as a common factor
C क्योंकि दोनों शून्य होंगे / Because both will be zero
D क्योंकि दोनों ऋणात्मक होंगे / Because both will be negative
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Correct Answer
A. क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा / Because both will have (2) as a common factor
Step 1
Concept
सम संख्या (2) से विभाज्य होती है। / An even number is divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (p) और (q) दोनों सम हैं, तो दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। / If both (p) and (q) are even, both have (2) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
सहअभाज्य संख्याओं में साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं होता। / Coprime numbers do not have a common factor other than (1).
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यदि (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हों, तो सहअभाज्य शर्त से क्या टकराव होता है?
If (p) and (q) are both divisible by (3), what conflict occurs with the coprime condition?
#coprime
#divisible by 3
#sqrt3 proof
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A दोनों में (3) साझा गुणनखंड होगा / Both will have (3) as a common factor
B दोनों में कोई साझा गुणनखंड नहीं होगा / Both will have no common factor
C दोनों परिमेय नहीं रहेंगे / Both will no longer be rational
D दोनों बराबर हो जाएंगे / Both will become equal
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Correct Answer
A. दोनों में (3) साझा गुणनखंड होगा / Both will have (3) as a common factor
Step 1
Concept
(3) से विभाज्य होने का अर्थ है कि दोनों में (3) गुणनखंड है। / Being divisible by (3) means both have (3) as a factor.
Step 2
Why this answer is correct
सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। / Coprime numbers should not have a common factor other than (1).
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में विरोधाभास देता है। / Therefore it gives a contradiction in the proof of \(\sqrt{3}\).
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यदि (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हों, तो क्या निष्कर्ष निकलेगा?
If (p) and (q) are both divisible by (5), what conclusion follows?
#coprime
#divisible by 5
#sqrt5 proof
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A वे सहअभाज्य नहीं हैं / They are not coprime
B वे हमेशा बराबर हैं / They are always equal
C वे दोनों (1) हैं / Both are (1)
D वे दोनों अपरिमेय हैं / Both are irrational
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Correct Answer
A. वे सहअभाज्य नहीं हैं / They are not coprime
Step 1
Concept
दोनों (5) से विभाज्य हैं तो (5) साझा गुणनखंड है। / If both are divisible by (5), then (5) is a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं हो सकता। / Coprime numbers cannot have such a common factor.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यही विरोधाभास बनता है। / This creates the contradiction in the proof of \(\sqrt{5}\).
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निम्न में से कौन सी संख्या पूर्ण वर्ग नहीं है और उसका वर्गमूल अपरिमेय सिद्ध किया जाता है?
Which of the following is not a perfect square and its square root is proved irrational?
#perfect square
#sqrt2
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (2)
B (4)
C (9)
D (25)
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Step 1
Concept
(4), (9) और (25) पूर्ण वर्ग हैं। / (4), (9), and (25) are perfect squares.
Step 2
Why this answer is correct
(2) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय सिद्ध किया जाता है। / (2) is not a perfect square, so \(\sqrt{2}\) is proved irrational.
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग और अपूर्ण वर्ग की पहचान पहले करें। / First identify perfect and non-perfect squares.
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कौन सा वर्गमूल परिमेय है, इसलिए \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) जैसी सिद्धि की जरूरत नहीं है?
Which square root is rational, so it does not need a proof like \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), or \(\sqrt{5}\)?
#rational square root
#perfect square
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\sqrt{4}\)
B \(\sqrt{2}\)
C \(\sqrt{3}\)
D \(\sqrt{5}\)
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Correct Answer
A. \(\sqrt{4}\)
Step 1
Concept
(4) पूर्ण वर्ग है। / (4) is a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{4}=2\), जो परिमेय संख्या है। / \(\sqrt{4}=2\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग के वर्गमूल को अपरिमेय सिद्ध नहीं करते। / The square root of a perfect square is not proved irrational.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2=2q^2\) से सीधे क्या नहीं कहना चाहिए?
In the proof of \(\sqrt{2}\), what should not be said directly from \(p^2=2q^2\)?
#common mistakes
#sqrt2 proof
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (p=q)
B \(p^2\) सम है / \(p^2\) is even
C (p) सम है / (p) is even
D (p=2k)
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Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम मिलता है। / From \(p^2=2q^2\), we get that \(p^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
फिर (p) सम और (p=2k) लिखा जा सकता है। / Then (p) is even and can be written as (p=2k).
Step 3
Exam Tip
इस समीकरण से (p=q) कहना गलत कदम है। / Saying (p=q) from this equation is a wrong step.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (p=3k) रखने के बाद \(p^2\) किसके बराबर होगा?
In the proof of \(\sqrt{3}\), after putting (p=3k), what is \(p^2\) equal to?
#squaring algebra
#sqrt3 proof
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(9k^2\)
B \(3k^2\)
C (6k)
D \(k^2+3\)
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Correct Answer
A. \(9k^2\)
Step 1
Concept
(p=3k) है। / (p=3k).
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने पर (p-2 =(3k)2 =9k-2 )। / Squaring gives (p-2 =(3k)2 =9k-2 ).
Step 3
Exam Tip
गुणांक का भी वर्ग करना न भूलें। / Do not forget to square the coefficient also.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (p=5k) रखने के बाद \(p^2\) किसके बराबर होगा?
In the proof of \(\sqrt{5}\), after putting (p=5k), what is \(p^2\) equal to?
#squaring algebra
#sqrt5 proof
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(25k^2\)
B \(10k^2\)
C \(5k^2\)
D \(k^2+5\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(25k^2\)
Step 1
Concept
(p=5k) दिया है। / We have (p=5k).
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने पर (p-2 =(5k)2 =25k-2 )। / Squaring gives (p-2 =(5k)2 =25k-2 ).
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यह सरलीकरण ध्यान से करें। / Do this simplification carefully in the proof of \(\sqrt{5}\).
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (p=2k) रखने के बाद \(p^2\) किसके बराबर होगा?
In the proof of \(\sqrt{2}\), after putting (p=2k), what is \(p^2\) equal to?
#squaring algebra
#sqrt2 proof
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(4k^2\)
B \(2k^2\)
C \(k^2+2\)
D (2k)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(4k^2\)
Step 1
Concept
(p=2k) है। / (p=2k).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों ओर वर्ग करने पर (p-2 =(2k)2 =4k-2 )। / Squaring gives (p-2 =(2k)2 =4k-2 ).
Step 3
Exam Tip
((2k)2 ) को \(2k^2\) लिखना आम गलती है। / Writing ((2k)2 ) as \(2k^2\) is a common mistake.
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किस प्रमाण में (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं?
In which proof are both (p) and (q) found even?
#sqrt2 proof
#even numbers
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में / In the proof of \(\sqrt{2}\)
B \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में / In the proof of \(\sqrt{3}\)
C \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में / In the proof of \(\sqrt{5}\)
D \(\sqrt{4}\) के प्रमाण में / In the proof of \(\sqrt{4}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में / In the proof of \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में समीकरण \(p^2=2q^2\) मिलता है। / In the proof of \(\sqrt{2}\), we get \(p^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं। / This makes both (p) and (q) even.
Step 3
Exam Tip
(2) वाला साझा गुणनखंड ही विरोधाभास बनाता है। / The common factor (2) creates the contradiction.
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किस प्रमाण में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं?
In which proof are both (p) and (q) found divisible by (3)?
#sqrt3 proof
#divisibility
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
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A \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में / In the proof of \(\sqrt{3}\)
B \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में / In the proof of \(\sqrt{2}\)
C \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में / In the proof of \(\sqrt{5}\)
D \(\sqrt{9}\) के प्रमाण में / In the proof of \(\sqrt{9}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में / In the proof of \(\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(p^2=3q^2\) मिलता है। / In the proof of \(\sqrt{3}\), we get \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। / This proves both (p) and (q) are divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
संख्या के नीचे जो अभाज्य है, वही साझा गुणनखंड बनता है। / The prime under the root becomes the common factor.
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किस प्रमाण में (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं?
In which proof are both (p) and (q) found divisible by (5)?
#sqrt5 proof
#divisibility
#class 10
50 50-50 2 wrong hide
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A \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में / In the proof of \(\sqrt{5}\)
B \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में / In the proof of \(\sqrt{2}\)
C \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में / In the proof of \(\sqrt{3}\)
D \(\sqrt{25}\) के प्रमाण में / In the proof of \(\sqrt{25}\)
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Correct Answer
A. \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में / In the proof of \(\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(p^2=5q^2\) मिलता है। / In the proof of \(\sqrt{5}\), we get \(p^2=5q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। / This proves both (p) and (q) are divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
साझा गुणनखंड (5) सहअभाज्य शर्त को तोड़ता है। / The common factor (5) breaks the coprime condition.
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निम्न में से कौन सा कथन \(\sqrt{2}\) के प्रमाण के क्रम में पहले आता है?
Which statement comes first in the proof sequence of \(\sqrt{2}\)?
#proof sequence
#sqrt2
#class 10
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A \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) मानते हैं / Assume \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\)
B (q) सम है / (q) is even
C (p) सम है / (p) is even
D (p) और (q) दोनों सम हैं / Both (p) and (q) are even
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Correct Answer
A. \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) मानते हैं / Assume \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\)
Step 1
Concept
प्रमाण की शुरुआत परिमेय मानकर होती है। / The proof begins by assuming rationality.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए पहले \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) लिखा जाता है। / So first we write \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\).
Step 3
Exam Tip
बाद के चरणों में (p) और (q) के सम होने का निष्कर्ष आता है। / Conclusions about (p) and (q) being even come later.
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निम्न में से कौन सा कथन \(\sqrt{3}\) के प्रमाण के क्रम में अंतिम के पास आता है?
Which statement comes near the end of the proof sequence of \(\sqrt{3}\)?
#proof order
#sqrt3
#class 10
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? Hint Small clue
A (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं / Both (p) and (q) are divisible by (3)
B \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानते हैं / Assume \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\)
C दोनों ओर वर्ग करते हैं / Square both sides
D \(p^2=3q^2\) मिलता है / We get \(p^2=3q^2\)
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Correct Answer
A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं / Both (p) and (q) are divisible by (3)
Step 1
Concept
पहले परिमेय मान्यता और वर्ग करने के चरण आते हैं। / The rational assumption and squaring steps come first.
Step 2
Why this answer is correct
अंत के पास (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं। / Near the end, both (p) and (q) are found divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
इसी से सहअभाज्य शर्त के विरुद्ध विरोधाभास बनता है। / This creates a contradiction against the coprime condition.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में कौन सा चरण गलत है?
Which step is wrong in the proof of \(\sqrt{5}\)?
#common mistake
#sqrt5 proof
#class 10
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A \(p^2=5q^2\) से (p=5q) लिखना / Writing (p=5q) from \(p^2=5q^2\)
B \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) मानना / Assuming \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\)
C दोनों ओर वर्ग करना / Squaring both sides
D \(p^2\) (5) से विभाज्य है कहना / Saying \(p^2\) is divisible by (5)
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Correct Answer
A. \(p^2=5q^2\) से (p=5q) लिखना / Writing (p=5q) from \(p^2=5q^2\)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) से यह मिलता है कि \(p^2\) (5) से विभाज्य है। / From \(p^2=5q^2\), we get that \(p^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
इससे सीधे (p=5q) नहीं लिख सकते। / We cannot directly write (p=5q).
Step 3
Exam Tip
सही कदम है कि (p) (5) से विभाज्य है, फिर (p=5k) लिखें। / The correct step is to say (p) is divisible by (5), then write (p=5k).
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\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (p) और (q) किस प्रकार की संख्याएं मानी जाती हैं?
In the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\), what type of numbers are (p) and (q) taken to be?
#coprime integers
#rational form
#class 10
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A पूर्णांक और सहअभाज्य / Integers and coprime
B अपरिमेय और बराबर / Irrational and equal
C दशमलव और ऋणात्मक / Decimals and negative
D केवल प्राकृतिक और बराबर / Only natural and equal
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Correct Answer
A. पूर्णांक और सहअभाज्य / Integers and coprime
Step 1
Concept
परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखी जाती है। / A rational number is written as the ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम रूप में वे सहअभाज्य होते हैं। / In lowest form, those integers are coprime.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (p) और (q) पूर्णांक और सहअभाज्य लिखे जाते हैं। / Therefore (p) and (q) are taken as integers and coprime.
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यदि \(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\) मानकर वर्ग करने पर \(p^2=nq^2\) मिलता है, तो (n=5) होने पर कौन सा प्रमाण शुरू होगा?
If assuming \(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\) and squaring gives \(p^2=nq^2\), which proof begins when (n=5)?
#general pattern
#sqrt5 proof
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
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A \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता का प्रमाण / Proof of irrationality of \(\sqrt{5}\)
B \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता का प्रमाण / Proof of irrationality of \(\sqrt{2}\)
C \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता का प्रमाण / Proof of irrationality of \(\sqrt{3}\)
D \(\sqrt{25}\) की अपरिमेयता का प्रमाण / Proof of irrationality of \(\sqrt{25}\)
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Correct Answer
A. \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता का प्रमाण / Proof of irrationality of \(\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
(n=5) रखने पर संख्या \(\sqrt{5}\) बनती है। / Putting (n=5) gives the number \(\sqrt{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने पर \(p^2=5q^2\) मिलेगा। / Squaring gives \(p^2=5q^2\).
Step 3
Exam Tip
इसी से \(\sqrt{5}\) का अपरिमेयता प्रमाण आगे बढ़ता है। / This starts the irrationality proof of \(\sqrt{5}\).
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\(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय कौन सा तथ्य सही तरह से प्रयोग होता है?
Which fact is used correctly while proving the irrationality of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 fact
#even square
#class 10
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A यदि \(p^2\) सम है, तो (p) सम है / If \(p^2\) is even, then (p) is even
B यदि (p) सम है, तो (p) विषम है / If (p) is even, then (p) is odd
C यदि \(p^2\) सम है, तो (q) शून्य है / If \(p^2\) is even, then (q) is zero
D यदि (p) सम है, तो (p=1) / If (p) is even, then (p=1)
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Correct Answer
A. यदि \(p^2\) सम है, तो (p) सम है / If \(p^2\) is even, then (p) is even
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2\) सम मिलता है। / In the proof of \(\sqrt{2}\), \(p^2\) is found even.
Step 2
Why this answer is correct
सही नियम से (p) भी सम होगा। / By the correct rule, (p) is also even.
Step 3
Exam Tip
फिर (p=2k) लिखकर (q) के लिए भी यही परिणाम मिलता है। / Then writing (p=2k) gives the same result for (q).
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\(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (3) और (5) का कौन सा गुण काम आता है?
Which property of (3) and (5) is useful in the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\)?
#prime numbers
#sqrt3 sqrt5 proof
#class 10
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A दोनों अभाज्य संख्याएं हैं / Both are prime numbers
B दोनों पूर्ण वर्ग हैं / Both are perfect squares
C दोनों सम संख्याएं हैं / Both are even numbers
D दोनों शून्य हैं / Both are zero
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Correct Answer
A. दोनों अभाज्य संख्याएं हैं / Both are prime numbers
Step 1
Concept
(3) और (5) अभाज्य संख्याएं हैं। / (3) and (5) are prime numbers.
Step 2
Why this answer is correct
अभाज्य गुणनखंड अगर किसी वर्ग को विभाजित करे, तो मूल संख्या को भी विभाजित करता है। / If a prime factor divides a square, it also divides the original number.
Step 3
Exam Tip
इसी गुण से साझा गुणनखंड वाला विरोधाभास बनता है। / This property creates the common-factor contradiction.
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परीक्षा में \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\) या \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता लिखते समय सबसे सुरक्षित अंतिम वाक्य कौन सा है?
In an exam, what is the safest final sentence while writing the irrationality proof of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), or \(\sqrt{5}\)?
#exam writing
#irrationality proof
#class 10
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A यह हमारी मान्यता के विपरीत है, अतः दी गई संख्या अपरिमेय है / This contradicts our assumption, hence the given number is irrational
B यह संख्या हमेशा पूर्णांक है / This number is always an integer
C यह संख्या शून्य के बराबर है / This number is equal to zero
D यह प्रमाण पूरा नहीं हुआ / This proof is not complete
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Correct Answer
A. यह हमारी मान्यता के विपरीत है, अतः दी गई संख्या अपरिमेय है / This contradicts our assumption, hence the given number is irrational
Step 1
Concept
प्रमाण में परिमेय मान्यता से विरोधाभास आता है। / The rational assumption leads to a contradiction in the proof.
Step 2
Why this answer is correct
जब मान्यता गलत निकलती है, तो दी गई संख्या अपरिमेय सिद्ध होती है। / When the assumption is false, the given number is proved irrational.
Step 3
Exam Tip
अंतिम वाक्य में विरोधाभास और निष्कर्ष दोनों साफ लिखें। / In the final sentence, clearly write both the contradiction and the conclusion.
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\(\sqrt{2}\) को परिमेय मानने पर (p) और (q) को सहअभाज्य लिखने का मुख्य कारण क्या है?
When assuming \(\sqrt{2}\) to be rational, what is the main reason for writing (p) and (q) as coprime?
#sqrt2 proof
#coprime
#irrationality
#class 10
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A ताकि भिन्न \(\frac{p}{q}\) सबसे सरल रूप में रहे / So that the fraction \(\frac{p}{q}\) is in lowest form
B ताकि (p) और (q) दोनों शून्य हो जाएं / So that both (p) and (q) become zero
C ताकि \(\sqrt{2}=2\) सिद्ध हो जाए / So that \(\sqrt{2}=2\) is proved
D ताकि (p) और (q) अपरिमेय बन जाएं / So that (p) and (q) become irrational
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Correct Answer
A. ताकि भिन्न \(\frac{p}{q}\) सबसे सरल रूप में रहे / So that the fraction \(\frac{p}{q}\) is in lowest form
Step 1
Concept
परिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के सबसे सरल रूप में लिखा जाता है। / A rational number is written as \(\frac{p}{q}\) in its lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
सबसे सरल रूप में (p) और (q) का कोई साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं होता। / In lowest form, (p) and (q) have no common factor except (1).
Step 3
Exam Tip
बाद में दोनों सम मिलना इसी बात से विरोधाभास बनाता है। / Later, finding both even creates the contradiction.
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