आतंक के शासन को फ्रांसीसी क्रांति की रक्षा और विकृति दोनों क्यों माना जाता है?
Why is the Reign of Terror seen as both defense and distortion of the French Revolution?
#world history
#revolutions
#reign of terror
#contradiction
A क्योंकि उसने कोई दमन नहीं किया / Because it used no repression
B क्योंकि उसने राजतंत्र को वापस बुलाया / Because it recalled monarchy
C क्योंकि उसने अमेरिकी संविधान लिखा / Because it wrote the American Constitution
D क्योंकि गणतंत्र की रक्षा के नाम पर व्यापक दमन हुआ / Because broad repression occurred in the name of defending the republic
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Correct Answer
D. क्योंकि गणतंत्र की रक्षा के नाम पर व्यापक दमन हुआ / Because broad repression occurred in the name of defending the republic
Explanation
Simple Explanation
आतंक के शासन ने सुरक्षा के नाम पर स्वतंत्रता को सीमित किया। परीक्षा में आदर्श और पद्धति का विरोधाभास लिखें। / The Reign of Terror limited liberty in the name of security. For exams write the contradiction between ideals and methods.
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यदि \(\sqrt{5}\) को \(\frac{p}{q}\) मानकर (p) और (q) सहअभाज्य हैं, तो विरोधाभास किस बात से बनेगा?
If \(\sqrt{5}\) is assumed to be \(\frac{p}{q}\) where (p) and (q) are coprime, what creates the contradiction?
#irrationality-proof
#contradiction
#prime-factor
A (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य होंगे / Both (p) and (q) will be divisible by (5)
B (p) और (q) दोनों (2) से विभाज्य होंगे / Both (p) and (q) will be divisible by (2)
C (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य होंगे / Both (p) and (q) will be divisible by (3)
D (p) और (q) दोनों ऋणात्मक होंगे / Both (p) and (q) will be negative
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Correct Answer
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य होंगे / Both (p) and (q) will be divisible by (5)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) से \(p^2=5q^2\) मिलता है इसलिए (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य होते हैं। यह सहअभाज्य शर्त के विरुद्ध है। / From \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) we get \(p^2=5q^2\) so both (p) and (q) are divisible by (5). This contradicts the coprime condition.
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यदि (p) और (q) शून्येतर परिमेय संख्याएं हैं और \(p+q\sqrt{3}=0\), तो कौन सा निष्कर्ष सही है?
If (p) and (q) are non-zero rational numbers and \(p+q\sqrt{3}=0\), which conclusion is correct?
#irrational-proof
#contradiction
#real-numbers
A \(\sqrt{3}=-\frac{p}{q}\) होगा जो असंभव है / \(\sqrt{3}=-\frac{p}{q}\) would be true which is impossible
B (p=q) होना चाहिए / (p=q) must be true
C (q=3p) होना चाहिए / (q=3p) must be true
D \(\sqrt{3}\) परिमेय है / \(\sqrt{3}\) is rational
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Correct Answer
A. \(\sqrt{3}=-\frac{p}{q}\) होगा जो असंभव है / \(\sqrt{3}=-\frac{p}{q}\) would be true which is impossible
Explanation
Simple Explanation
\(-\frac{p}{q}\) परिमेय है इसलिए इससे \(\sqrt{3}\) परिमेय हो जाएगा जो गलत है। परीक्षा में विरोधाभास विधि पहचानें। / \(-\frac{p}{q}\) is rational so it would make \(\sqrt{3}\) rational which is false. In exams recognize the contradiction method.
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यदि \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) लिखा जाता है, जहां (p) और (q) सहअभाज्य हैं, तो विरोधाभास किससे मिलता है?
If \(\sqrt{3}\) is assumed rational and written as \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where (p) and (q) are coprime, where does the contradiction arise?
#proof
#irrationality
#contradiction
A (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हो जाते हैं / Both (p) and (q) become divisible by (3)
B (p) और (q) दोनों (2) से विभाज्य हो जाते हैं / Both (p) and (q) become divisible by (2)
C (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हो जाते हैं / Both (p) and (q) become divisible by (5)
D (p) और (q) दोनों विषम हो जाते हैं / Both (p) and (q) become odd
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Correct Answer
A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हो जाते हैं / Both (p) and (q) become divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) से \(p^2=3q^2\) मिलता है, इसलिए (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हो जाते हैं। परीक्षा में सहअभाज्य शर्त को अंत में उपयोग करें। / From \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), we get \(p^2=3q^2\), so both (p) and (q) become divisible by (3). In exams use the coprime condition at the end.
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यदि (p) और (q) शून्येतर परिमेय संख्याएं हैं और \(p+q\sqrt{2}=0\), तो कौन सा निष्कर्ष सही है?
If (p) and (q) are non-zero rational numbers and \(p+q\sqrt{2}=0\), which conclusion is correct?
#irrational-proof
#contradiction
#real-numbers
A \(\sqrt{2}=-\frac{p}{q}\), इसलिए \(\sqrt{2}\) परिमेय होगा जो असंभव है / \(\sqrt{2}=-\frac{p}{q}\), so \(\sqrt{2}\) would be rational which is impossible
B (p=q) होना चाहिए / (p=q) must be true
C \(p+q\sqrt{2}\) हमेशा धनात्मक होता है / \(p+q\sqrt{2}\) is always positive
D \(\sqrt{2}\) पूर्णांक है / \(\sqrt{2}\) is an integer
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Correct Answer
A. \(\sqrt{2}=-\frac{p}{q}\), इसलिए \(\sqrt{2}\) परिमेय होगा जो असंभव है / \(\sqrt{2}=-\frac{p}{q}\), so \(\sqrt{2}\) would be rational which is impossible
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(-\frac{p}{q}\) परिमेय है, इससे \(\sqrt{2}\) परिमेय मानना पड़ेगा जो गलत है। परीक्षा में विरोधाभास विधि को पहचानें। / Since \(-\frac{p}{q}\) is rational, this would make \(\sqrt{2}\) rational which is false. In exams recognize the contradiction method.
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यदि \(\sqrt{2}\) परिमेय मानी जाए और अंत में (p,q) दोनों सम निकलें, तो कौन-सा निष्कर्ष तार्किक है?
If \(\sqrt{2}\) is assumed rational and finally both (p,q) turn out even, which conclusion is logical?
#real-numbers
#root2
#logical-conclusion
#contradiction
A मान्यता सही है / The assumption is correct
B मान्यता गलत है / The assumption is false
C (q=0) है / (q=0)
D \(\sqrt{2}=2\) है / \(\sqrt{2}=2\)
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Correct Answer
B. मान्यता गलत है / The assumption is false
Step 1
Concept
(p,q) को सरलतम रूप में सहअभाज्य माना गया था। / (p,q) were assumed coprime in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों सम होने पर (2) साझा गुणनखंड बनता है। / Both being even makes (2) a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए परिमेय मान्यता गलत सिद्ध होती है। / Therefore the rational assumption is proved false.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (a) और (b) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। यह किस प्रकार का परिणाम है?
In the proof for \(\sqrt{5}\), both (a) and (b) are found divisible by (5). What type of result is this?
#real-numbers
#root5
#contradiction
#result-type
A विरोधाभासी परिणाम / Contradictory result
B सामान्य परिभाषा / Ordinary definition
C दशमलव विस्तार / Decimal expansion
D पूर्ण वर्ग परिणाम / Perfect-square result
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Correct Answer
A. विरोधाभासी परिणाम / Contradictory result
Step 1
Concept
शुरुआत में (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे। / At the beginning, (a) and (b) were assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों का (5) से विभाज्य होना साझा गुणनखंड देता है। / Both being divisible by (5) gives a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह विरोधाभासी परिणाम है और परिमेय मान्यता गलत होती है। / Therefore this is a contradictory result, and the rational assumption is false.
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यदि \(\sqrt{3}\) परिमेय होती, तो प्रमाण में अंत में कौन-सी असंभव स्थिति बनती?
If \(\sqrt{3}\) were rational, what impossible situation would appear at the end of the proof?
#real-numbers
#root3
#impossible-result
#contradiction
A सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य होते / The numerator and denominator of a lowest-form fraction would both be divisible by (3)
B हर शून्य हो जाता / The denominator would become zero
C \(\sqrt{3}\) का वर्ग (9) हो जाता / The square of \(\sqrt{3}\) would become (9)
D (3) सम संख्या बन जाती / (3) would become even
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Correct Answer
A. सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य होते / The numerator and denominator of a lowest-form fraction would both be divisible by (3)
Step 1
Concept
परिमेय मान्यता में \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में लिया जाता है। / In the rational assumption, \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) is taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण से \(3\mid p\) और \(3\mid q\) दोनों मिलते हैं। / The proof gives both \(3\mid p\) and \(3\mid q\).
Step 3
Exam Tip
सरलतम भिन्न में यह असंभव है, इसलिए मान्यता गलत है। / This is impossible in lowest form, so the assumption is false.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में यदि \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में है, फिर भी (p=3m) और (q=3n) मिलते हैं, तो कौन-सा निष्कर्ष सबसे सटीक है?
In the proof for \(\sqrt{3}\), if \(\frac{p}{q}\) is in lowest form but (p=3m) and (q=3n) are obtained, which conclusion is most precise?
#real-numbers
#root3
#contradiction
#lowest-form
A \(\frac{p}{q}\) सचमुच सरलतम है / \(\frac{p}{q}\) is truly in lowest form
B (p) और (q) दोनों (1) हैं / (p) and (q) are both (1)
C परिमेय मान्यता विरोधाभास देती है / The rational assumption gives a contradiction
D (q=0) सिद्ध हो गया / (q=0) is proved
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Correct Answer
C. परिमेय मान्यता विरोधाभास देती है / The rational assumption gives a contradiction
Step 1
Concept
(p=3m) और (q=3n) से (3) दोनों का साझा गुणनखंड है। / (p=3m) and (q=3n) show that (3) is a common factor of both.
Step 2
Why this answer is correct
यह सरलतम रूप की शर्त के विपरीत है। / This contradicts the lowest-form condition.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानना गलत सिद्ध होता है। / Therefore assuming \(\sqrt{3}\) rational is proved false.
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यदि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में मानने के बाद \(p^2=2q^2\) मिलता है, तो विरोधाभास तक पहुँचने के लिए कौन-सा क्रम सबसे तार्किक है?
If \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) is assumed in lowest form and \(p^2=2q^2\) is obtained, which sequence is most logical to reach the contradiction?
#real-numbers
#root2
#proof-order
#contradiction
A \(p^2\) सम, फिर (p) सम, फिर (p=2k), फिर (q) सम / \(p^2\) even, then (p) even, then (p=2k), then (q) even
B (q) सम, फिर (p) विषम, फिर (p=q) / (q) even, then (p) odd, then (p=q)
C (p=q), फिर (q=0), फिर विरोधाभास / (p=q), then (q=0), then contradiction
D (p) अभाज्य, फिर (q) अभाज्य, फिर \(\sqrt{2}=2\) / (p) prime, then (q) prime, then \(\sqrt{2}=2\)
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Correct Answer
A. \(p^2\) सम, फिर (p) सम, फिर (p=2k), फिर (q) सम / \(p^2\) even, then (p) even, then (p=2k), then (q) even
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम और इसलिए (p) सम मिलता है। / From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even, so (p) is even.
Step 2
Why this answer is correct
(p=2k) रखने पर \(q^2=2k^2\) और फिर (q) सम मिलता है। / Putting (p=2k) gives \(q^2=2k^2\), so (q) is even.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम होना सरलतम भिन्न की सहअभाज्यता से टकराता है। / Both being even contradicts coprimality of the lowest-form fraction.
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यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है, तो प्रमाण में (p) और (q) दोनों पर (3) की विभाज्यता दिखाने का मुख्य उद्देश्य क्या है?
If assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) gives \(p^2=3q^2\), what is the main purpose of showing divisibility by (3) for both (p) and (q) in the proof?
#real-numbers
#root3
#coprime
#contradiction
#expert
A सरलतम भिन्न की सहअभाज्यता से विरोधाभास दिखाना / To show a contradiction with coprimality of the lowest-form fraction
B यह सिद्ध करना कि (p=q) है / To prove that (p=q)
C यह सिद्ध करना कि \(\sqrt{3}\) पूर्णांक है / To prove that \(\sqrt{3}\) is an integer
D यह दिखाना कि (q=0) है / To show that (q=0)
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Correct Answer
A. सरलतम भिन्न की सहअभाज्यता से विरोधाभास दिखाना / To show a contradiction with coprimality of the lowest-form fraction
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में लिया जाता है। / Assuming \(\sqrt{3}\) rational, \(\frac{p}{q}\) is taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण से \(3\mid p\) और \(3\mid q\) मिलता है, यानी दोनों में (3) साझा गुणनखंड है। / The proof gives \(3\mid p\) and \(3\mid q\), so (3) is a common factor of both.
Step 3
Exam Tip
सरलतम भिन्न में साझा गुणनखंड नहीं हो सकता, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय सिद्ध होती है। / A lowest-form fraction cannot have a common factor, so \(\sqrt{3}\) is proved irrational.
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यदि (a) और (b) सहअभाज्य हैं, पर प्रमाण से (a=3m) और (b=3n) मिलता है, तो क्या निष्कर्ष होगा?
If (a) and (b) are coprime but the proof gives (a=3m) and (b=3n), what conclusion follows?
#real-numbers
#coprime
#root3
#contradiction
A मान्यता में विरोधाभास है / There is a contradiction in the assumption
B (a) और (b) सचमुच सहअभाज्य हैं / (a) and (b) are truly coprime
C \(\sqrt{3}\) परिमेय है / \(\sqrt{3}\) is rational
D (m=n=0) है / (m=n=0)
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Correct Answer
A. मान्यता में विरोधाभास है / There is a contradiction in the assumption
Step 1
Concept
(a=3m) और (b=3n) से दोनों (3) से विभाज्य हैं। / (a=3m) and (b=3n) show that both are divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (3) साझा गुणनखंड बनता है। / Thus (3) becomes a common factor.
Step 3
Exam Tip
यह सहअभाज्य होने की शुरुआत वाली शर्त से टकराता है। / This conflicts with the starting condition of coprimality.
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यदि (p) और (q) सहअभाज्य हैं, तो \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(5\mid p\) और \(5\mid q\) मिलना किस बात का संकेत है?
If (p) and (q) are coprime, what does obtaining \(5\mid p\) and \(5\mid q\) in the proof for \(\sqrt{5}\) indicate?
#real-numbers
#root5
#coprime
#contradiction
A प्रारंभिक परिमेय मान्यता गलत है / The initial rational assumption is false
B भिन्न सरलतम रूप में है / The fraction is in lowest form
C \(\sqrt{5}\) पूर्णांक है / \(\sqrt{5}\) is an integer
D (p) और (q) बराबर हैं / (p) and (q) are equal
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Correct Answer
A. प्रारंभिक परिमेय मान्यता गलत है / The initial rational assumption is false
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होता। / Coprime numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
\(5\mid p\) और \(5\mid q\) से (5) साझा गुणनखंड बनता है। / \(5\mid p\) and \(5\mid q\) make (5) a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए परिमेय मान्यता गलत सिद्ध होती है। / Therefore the rational assumption is proved false.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(q^2=2k^2\) मिलने के बाद कौन-सा निष्कर्ष प्रमाण को पूरा करने में मदद करता है?
In the proof for \(\sqrt{2}\), after getting \(q^2=2k^2\), which conclusion helps complete the proof?
#real-numbers
#root2
#even-square
#contradiction
A (q) सम है / (q) is even
B (q) विषम है / (q) is odd
C (q=1) है / (q=1)
D (q) अपरिमेय है / (q) is irrational
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Correct Answer
A. (q) सम है / (q) is even
Step 1
Concept
\(q^2=2k^2\) बताता है कि \(q^2\) सम है। / \(q^2=2k^2\) shows that \(q^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग सम होने पर मूल पूर्णांक भी सम होता है, इसलिए (q) सम है। / If a square is even, the integer itself is even, so (q) is even.
Step 3
Exam Tip
अब (p) और (q) दोनों सम होने से विरोधाभास पूरा होता है। / Now both (p) and (q) are even, completing the contradiction.
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यदि (p) और (q) सहअभाज्य हैं और फिर \(2\mid p\), \(2\mid q\) सिद्ध होता है, तो यह किस प्रकार का परिणाम है?
If (p) and (q) are coprime and then \(2\mid p\), \(2\mid q\) are proved, what type of result is this?
#real-numbers
#root2
#contradiction
#coprime
A विरोधाभासी परिणाम / Contradictory result
B सामान्य परिणाम / Ordinary result
C परिभाषा मात्र / Definition only
D दशमलव विस्तार / Decimal expansion
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Correct Answer
A. विरोधाभासी परिणाम / Contradictory result
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं में साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। / Coprime numbers should not have a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
\(2\mid p\) और \(2\mid q\) बताता है कि दोनों में (2) साझा है। / \(2\mid p\) and \(2\mid q\) show that (2) is common.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह विरोधाभासी परिणाम है। / Therefore this is a contradictory result.
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कौन-सा कथन \(\sqrt{5}\) के प्रमाण के अंत में सही विरोधाभास बताता है?
Which statement gives the correct contradiction at the end of the proof for \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root5
#contradiction
#coprime
A (p) और (q) सहअभाज्य हैं, फिर भी दोनों (5) से विभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime, yet both are divisible by (5)
B (p) और (q) दोनों विषम हैं / (p) and (q) are both odd
C (p) और (q) दोनों धनात्मक हैं / (p) and (q) are both positive
D (p) और (q) दोनों पूर्णांक हैं / (p) and (q) are both integers
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Correct Answer
A. (p) और (q) सहअभाज्य हैं, फिर भी दोनों (5) से विभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime, yet both are divisible by (5)
Step 1
Concept
सहअभाज्य होने का अर्थ है कि साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। / Coprime means there should be no common factor.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों का (5) से विभाज्य होना साझा गुणनखंड दिखाता है। / Both being divisible by (5) shows a common factor.
Step 3
Exam Tip
यही विरोधाभास \(\sqrt{5}\) को अपरिमेय सिद्ध करता है। / This contradiction proves \(\sqrt{5}\) irrational.
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किस कारण से \(\sqrt{2}\) का प्रमाण केवल यह लिखकर पूरा नहीं होता कि \(p^2\) सम है?
Why is the proof for \(\sqrt{2}\) not complete by only writing that \(p^2\) is even?
#real-numbers
#root2
#incomplete-proof
#contradiction
A क्योंकि (q) के सम होने और विरोधाभास तक पहुँचना भी जरूरी है / Because proving (q) even and reaching contradiction is also necessary
B क्योंकि \(p^2\) सम होना गलत है / Because \(p^2\) being even is wrong
C क्योंकि (q) को शून्य बनाना जरूरी है / Because (q) must be made zero
D क्योंकि \(\sqrt{2}\) को दशमलव में लिखना जरूरी है / Because \(\sqrt{2}\) must be written as a decimal
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (q) के सम होने और विरोधाभास तक पहुँचना भी जरूरी है / Because proving (q) even and reaching contradiction is also necessary
Step 1
Concept
\(p^2\) सम होने से केवल (p) सम मिलता है। / From \(p^2\) even, we only get that (p) is even.
Step 2
Why this answer is correct
पूर्ण विरोधाभास के लिए (q) का भी सम होना दिखाना पड़ता है। / For the full contradiction, (q) must also be shown even.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण को बीच में न छोड़ें, अंतिम टकराव तक लिखें। / Do not stop the proof midway; write until the final conflict.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लेने के बाद (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं। यह किस बात को गलत ठहराता है?
In the proof for \(\sqrt{2}\), after taking \(\frac{p}{q}\) in lowest form, both (p) and (q) turn out even. What does this disprove?
#real-numbers
#root2
#lowest-form
#contradiction
A \(\frac{p}{q}\) का सरलतम रूप होना / The fraction \(\frac{p}{q}\) being in lowest form
B \(\sqrt{2}\) का धनात्मक होना / \(\sqrt{2}\) being positive
C (2) का अभाज्य होना / (2) being prime
D \(q\neq0\) होना / \(q\neq0\)
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Correct Answer
A. \(\frac{p}{q}\) का सरलतम रूप होना / The fraction \(\frac{p}{q}\) being in lowest form
Step 1
Concept
सरलतम रूप में अंश और हर में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होता। / In lowest form, numerator and denominator have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों सम होने पर (2) साझा गुणनखंड बन जाता है। / If both are even, (2) becomes a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सरलतम रूप की शर्त टूटती है। / So the lowest-form condition fails.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में यदि (p) और (q) दोनों सम सिद्ध हो जाएँ, तो कौन-सा अंतिम निष्कर्ष उचित है?
In the proof for \(\sqrt{2}\), if both (p) and (q) are proved even, which final conclusion is appropriate?
#real-numbers
#root2
#final-conclusion
#contradiction
A आरंभिक परिमेय मान्यता गलत है / The initial rational assumption is false
B \(\sqrt{2}\) पूर्णांक है / \(\sqrt{2}\) is an integer
C (p) और (q) सहअभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime
D \(\frac{p}{q}\) शून्य है / \(\frac{p}{q}\) is zero
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Correct Answer
A. आरंभिक परिमेय मान्यता गलत है / The initial rational assumption is false
Step 1
Concept
दोनों सम होने का अर्थ है कि दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। / Both being even means both have (2) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन (p) और (q) को सहअभाज्य लिया गया था। / But (p) and (q) were taken coprime.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानना गलत है। / Therefore the assumption that \(\sqrt{2}\) is rational is false.
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किस कथन से \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में वास्तविक विरोधाभास बनता है?
Which statement creates the actual contradiction in the proof for \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#contradiction
#coprime
A (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों (3) से विभाज्य निकले / (a) and (b) were assumed coprime, but both turned out divisible by (3)
B (a) और (b) दोनों धनात्मक हैं / (a) and (b) are both positive
C \(\sqrt{3}\) का वर्ग (3) है / The square of \(\sqrt{3}\) is (3)
D (3) एक विषम संख्या है / (3) is an odd number
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Correct Answer
A. (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों (3) से विभाज्य निकले / (a) and (b) were assumed coprime, but both turned out divisible by (3)
Step 1
Concept
सरलतम रूप में अंश और हर सहअभाज्य होने चाहिए। / In lowest form, numerator and denominator must be coprime.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में दोनों में (3) साझा गुणनखंड आ जाता है। / The proof forces both to have (3) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
सहअभाज्य और साझा गुणनखंड साथ-साथ नहीं हो सकते। / Coprimality and a common factor cannot occur together.
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यदि \(\sqrt{2}\) परिमेय होती, तो किस कारण से उसका रूप \(\frac{p}{q}\) अंत में अस्वीकार हो जाता?
If \(\sqrt{2}\) were rational, why would its form \(\frac{p}{q}\) finally be rejected?
#real-numbers
#root2
#fraction-form
#contradiction
#hard
A क्योंकि (p) और (q) दोनों में (2) साझा गुणनखंड आ जाता है / Because (p) and (q) get (2) as a common factor
B क्योंकि (p) और (q) दोनों (1) बन जाते हैं / Because (p) and (q) both become (1)
C क्योंकि (p) और (q) दोनों शून्य बन जाते हैं / Because (p) and (q) both become zero
D क्योंकि (p) और (q) दोनों अपरिमेय बन जाते हैं / Because (p) and (q) both become irrational
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Correct Answer
A. क्योंकि (p) और (q) दोनों में (2) साझा गुणनखंड आ जाता है / Because (p) and (q) get (2) as a common factor
Step 1
Concept
\(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लिया गया था। / \(\frac{p}{q}\) was taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में (p) और (q) दोनों (2) से विभाज्य निकलते हैं। / The proof shows that both (p) and (q) are divisible by (2).
Step 3
Exam Tip
इसलिए वह रूप सरलतम नहीं रहता और मान्यता टूट जाती है। / So the form is no longer lowest, and the assumption fails.
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किस विकल्प से स्पष्ट होता है कि \(\sqrt{5}\) परिमेय मानना गलत है?
Which option clearly shows that assuming \(\sqrt{5}\) rational is wrong?
#real-numbers
#root5
#rational-assumption
#contradiction
#hard
A सरलतम रूप के अंश और हर दोनों (5) से विभाज्य निकलते हैं / Numerator and denominator in lowest form both turn out divisible by (5)
B (5) एक धनात्मक संख्या है / (5) is a positive number
C \(\sqrt{5}\) का दशमलव रूप लंबा है / The decimal form of \(\sqrt{5}\) is long
D (5) विषम संख्या है / (5) is an odd number
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Correct Answer
A. सरलतम रूप के अंश और हर दोनों (5) से विभाज्य निकलते हैं / Numerator and denominator in lowest form both turn out divisible by (5)
Step 1
Concept
परिमेय मानने पर \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\) सबसे सरल रूप में लिया जाता है। / Assuming rationality, \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\) is taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में (a) और (b) दोनों (5) से विभाज्य निकलते हैं। / The proof shows that both (a) and (b) are divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप में ऐसा नहीं हो सकता, इसलिए मान्यता गलत है। / This cannot happen in lowest form, so the assumption is false.
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किस विकल्प में \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानने के बाद सही विरोधाभासी परिणाम है?
Which option gives the correct contradictory result after assuming \(\sqrt{2}\) rational?
#real-numbers
#root2
#common-factor
#contradiction
#hard
A (2) अंश और हर दोनों का साझा गुणनखंड बन जाता है / (2) becomes a common factor of both numerator and denominator
B अंश और हर दोनों (1) हो जाते हैं / Numerator and denominator both become (1)
C अंश और हर दोनों अपरिमेय हो जाते हैं / Numerator and denominator both become irrational
D अंश और हर दोनों ऋणात्मक हो जाते हैं / Numerator and denominator both become negative
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Correct Answer
A. (2) अंश और हर दोनों का साझा गुणनखंड बन जाता है / (2) becomes a common factor of both numerator and denominator
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) को \(\frac{p}{q}\) मानते हैं, जहाँ (p,q) सहअभाज्य हैं। / We assume \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where (p,q) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण से (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं। / The proof shows both (p) and (q) are even.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (2) साझा गुणनखंड बनता है, जो सहअभाज्यता के विरुद्ध है। / Thus (2) becomes a common factor, contradicting coprimality.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (a) और (b) दोनों (5) से विभाज्य निकलने पर कौन-सा निष्कर्ष सही है?
In the proof for \(\sqrt{5}\), if both (a) and (b) turn out divisible by (5), what conclusion is correct?
#real-numbers
#root5
#lowest-form
#contradiction
#hard
A \(\frac{a}{b}\) सरलतम रूप में नहीं था / \(\frac{a}{b}\) was not in lowest form
B \(\sqrt{5}\) पूर्णांक है / \(\sqrt{5}\) is an integer
C (a=b) है / (a=b)
D (b=0) है / (b=0)
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Correct Answer
A. \(\frac{a}{b}\) सरलतम रूप में नहीं था / \(\frac{a}{b}\) was not in lowest form
Step 1
Concept
सरलतम रूप में अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। / In lowest form, numerator and denominator are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
यदि दोनों (5) से विभाज्य हैं, तो उनमें साझा गुणनखंड है। / If both are divisible by (5), they have a common factor.
Step 3
Exam Tip
इससे प्रारंभिक परिमेय मान्यता गलत सिद्ध होती है। / This proves the original rational assumption false.
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किस विकल्प में \(\sqrt{3}\) के प्रमाण का विरोधाभास सही लिखा है?
Which option correctly states the contradiction in the proof of \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#contradiction
#coprime
#hard
A (p) और (q) सहअभाज्य हैं, फिर भी दोनों (3) से विभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime, yet both are divisible by (3)
B (p) और (q) बराबर हैं, इसलिए वे सहअभाज्य हैं / (p) and (q) are equal, so they are coprime
C (p) विषम है और (q) सम है / (p) is odd and (q) is even
D (p) धनात्मक है और (q) ऋणात्मक है / (p) is positive and (q) is negative
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Correct Answer
A. (p) और (q) सहअभाज्य हैं, फिर भी दोनों (3) से विभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime, yet both are divisible by (3)
Step 1
Concept
सरलतम रूप में (p) और (q) सहअभाज्य होने चाहिए। / In lowest form, (p) and (q) should be coprime.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं। / The proof shows that both are divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
सहअभाज्य होने और साझा गुणनखंड होने का टकराव ही विरोधाभास है। / The contradiction is the clash between coprimality and a common factor.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यदि (a=5k) रखा जाए, तो (b) के बारे में क्या सिद्ध होता है?
In the proof for \(\sqrt{5}\), if (a=5k), what is proved about (b)?
#real-numbers
#root5
#substitution
#contradiction
#hard
A (b) (5) से विभाज्य है / (b) is divisible by (5)
B (b) (2) से विभाज्य है / (b) is divisible by (2)
C (b) (25) से अवश्य विभाज्य है / (b) must be divisible by (25)
D (b) शून्य है / (b) is zero
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Correct Answer
A. (b) (5) से विभाज्य है / (b) is divisible by (5)
Step 1
Concept
\(a^2=5b^2\) में (a=5k) रखने पर \(25k^2=5b^2\) मिलता है। / In \(a^2=5b^2\), putting (a=5k) gives \(25k^2=5b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
सरल करने पर \(b^2=5k^2\), इसलिए \(5\mid b^2\) और \(5\mid b\)। / Simplifying gives \(b^2=5k^2\), so \(5\mid b^2\) and \(5\mid b\).
Step 3
Exam Tip
यही सहअभाज्यता के विरुद्ध अंतिम कदम है। / This is the final step against coprimality.
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किस कारण से \(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\) मानना अंत में गलत सिद्ध होता है, जब (m,n) सहअभाज्य लिए गए हों?
Why is the assumption \(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\) finally proved wrong when (m,n) are taken coprime?
#real-numbers
#root3
#coprime
#contradiction
#hard
A (m) और (n) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं / (m) and (n) both turn out divisible by (3)
B (m) और (n) दोनों (2) से विभाज्य निकलते हैं / (m) and (n) both turn out divisible by (2)
C (m) और (n) दोनों अपरिमेय निकलते हैं / (m) and (n) both turn out irrational
D (m) और (n) दोनों शून्य निकलते हैं / (m) and (n) both turn out zero
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Correct Answer
A. (m) और (n) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं / (m) and (n) both turn out divisible by (3)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\) से \(m^2=3n^2\) मिलता है। / From \(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\), we get \(m^2=3n^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(3\mid m\) और फिर \(3\mid n\) निकलता है। / This leads to \(3\mid m\) and then \(3\mid n\).
Step 3
Exam Tip
सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं हो सकता। / Coprime numbers cannot have such a common factor.
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\(\sqrt{2}\) के अपरिमेय होने के प्रमाण में (p=2k) रखने के बाद कौन-सा निष्कर्ष मिलता है?
In the proof that \(\sqrt{2}\) is irrational, what conclusion is obtained after putting (p=2k)?
#real-numbers
#root2
#contradiction
#even-numbers
#hard
A \(q^2=2k^2\), इसलिए (q) सम है / \(q^2=2k^2\), so (q) is even
B \(q^2=k^2\), इसलिए (q=k) है / \(q^2=k^2\), so (q=k)
C \(p^2=q^2\), इसलिए (p=q) है / \(p^2=q^2\), so (p=q)
D (q=2p), इसलिए (q) सम है / (q=2p), so (q) is even
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Correct Answer
A. \(q^2=2k^2\), इसलिए (q) सम है / \(q^2=2k^2\), so (q) is even
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) और (p=2k) रखने पर \(4k^2=2q^2\) मिलता है। / From \(p^2=2q^2\) and (p=2k), we get \(4k^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
सरल करने पर \(q^2=2k^2\), इसलिए \(q^2\) सम और (q) सम है। / Simplifying gives \(q^2=2k^2\), so \(q^2\) and (q) are even.
Step 3
Exam Tip
यही दूसरा समपन विरोधाभास पूरा करता है। / This second evenness completes the contradiction.
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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में \(p^2=3q^2\) से (p=3k) और फिर (q=3r) मिला। इससे मूल मान्यता क्यों गलत होती है?
In the proof of \(\sqrt{3}\), \(p^2=3q^2\) gives (p=3k) and then (q=3r). Why does this make the original assumption false?
#sqrt3 proof
#rational assumption
#contradiction
#hard
A क्योंकि \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में माना गया था, पर (3) साझा गुणनखंड मिल गया / Because \(\frac{p}{q}\) was assumed in lowest form, but common factor (3) was found
B क्योंकि (q=0) हो गया / Because (q=0)
C \(\sqrt{3}=3\) सिद्ध हो गया / Because \(\sqrt{3}=3\) is proved
D क्योंकि (p) और (q) पूर्णांक नहीं हैं / Because (p) and (q) are not integers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में माना गया था, पर (3) साझा गुणनखंड मिल गया / Because \(\frac{p}{q}\) was assumed in lowest form, but common factor (3) was found
Step 1
Concept
परिमेय मान्यता में \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लिया गया था। / In the rational assumption, \(\frac{p}{q}\) was taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
(p=3k) और (q=3r) बताता है कि (p) और (q) दोनों में (3) साझा है। / (p=3k) and (q=3r) show common factor (3) in both.
Step 3
Exam Tip
यह सरलतम रूप से विरोधाभास है, इसलिए परिमेय मान्यता गलत है। / This contradicts lowest form, so the rational assumption is false.
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यदि \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में माना जाए और प्रमाण में (p=5k) मिल जाए, तो अगला महत्वपूर्ण उद्देश्य क्या है?
If \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) is assumed in lowest form and (p=5k) is obtained in the proof, what is the next important aim?
#sqrt5 proof
#common factor
#contradiction
#hard
A (q) भी (5) से विभाज्य है यह दिखाना / To show that (q) is also divisible by (5)
B (p=q) सिद्ध करना / To prove (p=q)
C \(\sqrt{5}=5\) सिद्ध करना / To prove \(\sqrt{5}=5\)
D (q=0) सिद्ध करना / To prove (q=0)
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Correct Answer
A. (q) भी (5) से विभाज्य है यह दिखाना / To show that (q) is also divisible by (5)
Step 1
Concept
(p=5k) से (p) के (5) से विभाज्य होने की बात मिलती है। / (p=5k) shows that (p) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
इसे \(p^2=5q^2\) में रखने से \(q^2=5k^2\) मिलता है, जिससे (q) भी (5) से विभाज्य होगा। / Substituting it in \(p^2=5q^2\) gives \(q^2=5k^2\), so (q) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
दोनों में (5) साझा गुणनखंड मिलना ही विरोधाभास बनाता है। / A common factor (5) in both creates the contradiction.
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