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Subjects
Class 10 Mathematics Real Numbers Proof of irrationality of √2, √3, √5 Expert Level 17

यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है, तो प्रमाण में (p) और (q) दोनों पर (3) की विभाज्यता दिखाने का मुख्य उद्देश्य क्या है?

If assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) gives \(p^2=3q^2\), what is the main purpose of showing divisibility by (3) for both (p) and (q) in the proof?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. सरलतम भिन्न की सहअभाज्यता से विरोधाभास दिखानाTo show a contradiction with coprimality of the lowest-form fraction

Step 1

Concept

\(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में लिया जाता है। / Assuming \(\sqrt{3}\) rational, \(\frac{p}{q}\) is taken in lowest form.

Step 2

Why this answer is correct

प्रमाण से \(3\mid p\) और \(3\mid q\) मिलता है, यानी दोनों में (3) साझा गुणनखंड है। / The proof gives \(3\mid p\) and \(3\mid q\), so (3) is a common factor of both.

Step 3

Exam Tip

सरलतम भिन्न में साझा गुणनखंड नहीं हो सकता, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय सिद्ध होती है। / A lowest-form fraction cannot have a common factor, so \(\sqrt{3}\) is proved irrational.

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यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है, तो प्रमाण में (p) और (q) दोनों पर (3) की विभाज्यता दिखाने का मुख्य उद्देश्य क्या है? / If assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) gives \(p^2=3q^2\), what is the main purpose of showing divisibility by (3) for both (p) and (q) in the proof?

Correct Answer: A. सरलतम भिन्न की सहअभाज्यता से विरोधाभास दिखाना / To show a contradiction with coprimality of the lowest-form fraction. Explanation: चरण 1: \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में लिया जाता है। चरण 2: प्रमाण से \(3\mid p\) और \(3\mid q\) मिलता है, यानी दोनों में (3) साझा गुणनखंड है। चरण 3: सरलतम भिन्न में साझा गुणनखंड नहीं हो सकता, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय सिद्ध होती है। / Step 1: Assuming \(\sqrt{3}\) rational, \(\frac{p}{q}\) is taken in lowest form. Step 2: The proof gives \(3\mid p\) and \(3\mid q\), so (3) is a common factor of both. Step 3: A lowest-form fraction cannot have a common factor, so \(\sqrt{3}\) is proved irrational.

Why is option A correct in this Mathematics MCQ?

प्रमाण से \(3\mid p\) और \(3\mid q\) मिलता है, यानी दोनों में (3) साझा गुणनखंड है। / The proof gives \(3\mid p\) and \(3\mid q\), so (3) is a common factor of both.

What should I remember for this Mathematics concept?

सरलतम भिन्न में साझा गुणनखंड नहीं हो सकता, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय सिद्ध होती है। / A lowest-form fraction cannot have a common factor, so \(\sqrt{3}\) is proved irrational.