\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में (a) और (b) दोनों सम सिद्ध होने पर कौन सा निष्कर्ष सबसे उचित है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), when both (a) and (b) are proved even, which conclusion is most appropriate?
#sqrt2 proof
#lowest form
#contradiction
#class 10
A \(\frac{a}{b}\) सरलतम रूप में नहीं हो सकती / \(\frac{a}{b}\) cannot be in lowest form
B \(\sqrt{2}=2\) सिद्ध हो गया / \(\sqrt{2}=2\) is proved
C (b=0) सिद्ध हो गया / (b=0) is proved
D (a) और (b) अपरिमेय हैं / (a) and (b) are irrational
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{a}{b}\) सरलतम रूप में नहीं हो सकती / \(\frac{a}{b}\) cannot be in lowest form
Step 1
Concept
दोनों सम होने पर (a) और (b) में (2) साझा गुणनखंड है। / If both are even, (a) and (b) have common factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम भिन्न में अंश और हर का साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं होना चाहिए। / In a lowest-form fraction, numerator and denominator should not have a common factor other than (1).
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह परिमेय मान्यता के विरुद्ध जाता है और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय सिद्ध होती है। / So this contradicts the rational assumption and proves \(\sqrt{2}\) irrational.
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यदि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) के प्रमाण में (p) और (q) दोनों में (2) साझा गुणनखंड मिल जाता है, तो कौन सी आरंभिक बात गलत होती है?
If in the proof of \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), both (p) and (q) get common factor (2), which initial statement becomes false?
#sqrt2 proof
#lowest form
#contradiction
#class 10
A \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में है / \(\frac{p}{q}\) is in lowest form
B \(q\neq 0\)
C (p) और (q) पूर्णांक हैं / (p) and (q) are integers
D \(\sqrt{2}\) धनात्मक है / \(\sqrt{2}\) is positive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में है / \(\frac{p}{q}\) is in lowest form
Step 1
Concept
सरलतम रूप में अंश और हर में साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। / In lowest form, numerator and denominator should not have a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों में (2) मिलना बताता है कि भिन्न और घट सकती है। / Finding (2) in both shows the fraction can be reduced.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सरलतम रूप की आरंभिक बात गलत सिद्ध होती है। / Therefore the initial lowest-form statement becomes false.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(q^2=2k^2\) मिलने का महत्व क्या है?
What is the importance of getting \(q^2=2k^2\) in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 proof
#q even
#contradiction
#class 10
A इससे (q) भी सम सिद्ध होता है / It proves (q) is also even
B इससे (q=0) सिद्ध होता है / It proves (q=0)
C इससे (p=q) सिद्ध होता है / It proves (p=q)
D इससे \(\sqrt{2}=2\) सिद्ध होता है / It proves \(\sqrt{2}=2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. इससे (q) भी सम सिद्ध होता है / It proves (q) is also even
Step 1
Concept
\(q^2=2k^2\) से \(q^2\) सम है। / From \(q^2=2k^2\), \(q^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग सम हो तो मूल पूर्णांक सम होता है। / If a square is even, the original integer is even.
Step 3
Exam Tip
(p) पहले सम था और (q) भी सम मिला, यही विरोधाभास बनाता है। / (p) was already even and (q) is also even, creating contradiction.
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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलें, तो यह किससे विरोध करता है?
In the proof of \(\sqrt{3}\), if both (p) and (q) are found divisible by (3), what does this contradict?
#sqrt3 proof
#contradiction
#coprime
#class 10
A उनके सहअभाज्य होने से / Their being coprime
B उनके पूर्णांक होने से / Their being integers
C \(q\neq 0\) होने से / \(q\neq 0\)
D (3) के अभाज्य होने से / (3) being prime
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. उनके सहअभाज्य होने से / Their being coprime
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होता। / Coprime numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों (3) से विभाज्य हों तो साझा गुणनखंड (3) है। / If both are divisible by (3), common factor (3) exists.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह सहअभाज्य होने की शर्त से विरोधाभास बनाता है। / Therefore it contradicts the coprime condition.
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कौन सा विकल्प बताता है कि \(\sqrt{3}\) की परिमेय मान्यता क्यों टूटती है?
Which option explains why the rational assumption for \(\sqrt{3}\) breaks?
#sqrt3 rational assumption
#contradiction
#class 10
A क्योंकि सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं / Because both numerator and denominator of the lowest-form fraction are found divisible by (3)
B क्योंकि (3) ऋणात्मक है / Because (3) is negative
C क्योंकि \(\sqrt{3}=3\) / Because \(\sqrt{3}=3\)
D क्योंकि (q=0) / Because (q=0)
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Correct Answer
A. क्योंकि सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं / Because both numerator and denominator of the lowest-form fraction are found divisible by (3)
Step 1
Concept
परिमेय मानकर \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में लिखा जाता है। / Assuming rationality, \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) is written in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं। / The proof shows both (p) and (q) divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
सरलतम भिन्न में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं हो सकता। / Such a common factor cannot occur in a lowest-form fraction.
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यदि \(\sqrt{3}\) की परिमेय मान्यता गलत सिद्ध हो जाती है, तो सही अंतिम निष्कर्ष क्या है?
If the rational assumption for \(\sqrt{3}\) is proved false, what is the correct final conclusion?
#sqrt3 conclusion
#contradiction
#class 10
A \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{3}\) is irrational
B \(\sqrt{3}\) परिमेय है / \(\sqrt{3}\) is rational
C \(\sqrt{3}=3\)
D (3) पूर्ण वर्ग है / (3) is a perfect square
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Correct Answer
A. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{3}\) is irrational
Step 1
Concept
विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता ली जाती है। / In contradiction, the opposite assumption is taken.
Step 2
Why this answer is correct
यदि परिमेय मान्यता गलत सिद्ध हो जाए, तो अपरिमेयता सही सिद्ध होती है। / If the rational assumption is proved false, irrationality is proved true.
Step 3
Exam Tip
इसलिए अंतिम निष्कर्ष \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / Therefore the final conclusion is that \(\sqrt{3}\) is irrational.
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\(\sqrt{2}\) को परिमेय मानने पर \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) लिखा। यदि अंत में (p) और (q) दोनों सम हैं, तो सही निष्कर्ष कौन सा है?
After assuming \(\sqrt{2}\) rational, \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) is written. If finally both (p) and (q) are even, what is the correct conclusion?
#sqrt2 conclusion
#contradiction
#class 10
A \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{2}\) is irrational
B \(\sqrt{2}\) परिमेय है / \(\sqrt{2}\) is rational
C \(\sqrt{2}=2\)
D (q=0)
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Correct Answer
A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
(p) और (q) को शुरू में सहअभाज्य माना गया था। / (p) and (q) were assumed coprime at the start.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों सम होना साझा गुणनखंड (2) दिखाता है। / Both even shows common factor (2).
Step 3
Exam Tip
यह विरोधाभास है, इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / This is a contradiction, so \(\sqrt{2}\) is irrational.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) तीनों के प्रमाणों में समान है?
Which option is common in the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#common method
#contradiction
#class 10
A तीनों में पहले संख्या को परिमेय मानते हैं / In all three, the number is first assumed rational
B तीनों में (q=0) मानते हैं / In all three, (q=0) is assumed
C तीनों में वर्गमूल को अंदर की संख्या के बराबर लिखते हैं / In all three, the square root is written equal to the number inside
D तीनों में दशमलव से प्रमाण पूरा करते हैं / In all three, the proof is completed by decimals
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Correct Answer
A. तीनों में पहले संख्या को परिमेय मानते हैं / In all three, the number is first assumed rational
Step 1
Concept
तीनों प्रमाण विरोधाभास विधि पर आधारित हैं। / All three proofs are based on contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए शुरुआत में संख्या को परिमेय मानते हैं। / So the number is first assumed rational.
Step 3
Exam Tip
फिर इसी मान्यता से असंभव साझा गुणनखंड मिलता है। / Then this assumption leads to an impossible common factor.
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यदि \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानने से (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य सिद्ध होते हैं, तो यह किस बात से टकराता है?
If assuming \(\sqrt{5}\) rational proves both (p) and (q) divisible by (5), what does this contradict?
#sqrt5 proof
#lowest form
#contradiction
#class 10
A \(\frac{p}{q}\) के सरलतम रूप में होने से / \(\frac{p}{q}\) being in lowest form
B (5) के अभाज्य होने से / (5) being prime
C \(\sqrt{5}\) के धनात्मक होने से / \(\sqrt{5}\) being positive
D \(q\neq 0\) होने से / \(q\neq 0\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{p}{q}\) के सरलतम रूप में होने से / \(\frac{p}{q}\) being in lowest form
Step 1
Concept
सरलतम रूप में अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। / In lowest form, numerator and denominator are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों (5) से विभाज्य हों तो साझा गुणनखंड (5) मिल जाता है। / If both are divisible by (5), common factor (5) exists.
Step 3
Exam Tip
यह सरलतम रूप से विरोधाभास बनाता है। / This contradicts lowest form.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यदि (p=5k) और (q=5r) मिल जाएं, तो कौन सा निष्कर्ष सही है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), if (p=5k) and (q=5r) are obtained, which conclusion is correct?
#sqrt5 proof
#common factor
#contradiction
#class 10
A (p) और (q) का साझा गुणनखंड (5) है / (p) and (q) have common factor (5)
B \(\sqrt{5}=5\)
C (p) और (q) सहअभाज्य ही हैं / (p) and (q) are still coprime
D (q=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p) और (q) का साझा गुणनखंड (5) है / (p) and (q) have common factor (5)
Step 1
Concept
(p=5k) का अर्थ है (p) (5) से विभाज्य है। / (p=5k) means (p) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(q=5r) का अर्थ है (q) भी (5) से विभाज्य है। / (q=5r) means (q) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
दोनों में साझा गुणनखंड (5) होना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास है। / Common factor (5) contradicts the coprime condition.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(q^2=2k^2\) मिलने के बाद कौन सा तर्क सही है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), after getting \(q^2=2k^2\), which reasoning is correct?
#sqrt2 proof
#q even
#contradiction
#class 10
A \(q^2\) सम है, इसलिए (q) सम है / \(q^2\) is even, so (q) is even
B \(q^2\) सम है, इसलिए (q) विषम है / \(q^2\) is even, so (q) is odd
C \(q^2=2k^2\) से \(q=2k^2\) / From \(q^2=2k^2\), \(q=2k^2\)
D (q=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(q^2\) सम है, इसलिए (q) सम है / \(q^2\) is even, so (q) is even
Step 1
Concept
\(q^2=2k^2\) से \(q^2\) सम है। / From \(q^2=2k^2\), \(q^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग सम हो तो मूल पूर्णांक भी सम होता है। / If a square is even, the original integer is also even.
Step 3
Exam Tip
इससे (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं और विरोधाभास बनता है। / Then both (p) and (q) are even and contradiction occurs.
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यदि \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानने से (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं, तो कौन सी बात गलत सिद्ध होती है?
If assuming \(\sqrt{3}\) rational makes both (p) and (q) divisible by (3), which fact is proved false?
#sqrt3 proof
#coprime
#contradiction
#class 10
A (p) और (q) पूर्णांक हैं / (p) and (q) are integers
B \(q\neq 0\)
C (p) और (q) सहअभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime
D \(\sqrt{3}\) धनात्मक है / \(\sqrt{3}\) is positive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. (p) और (q) सहअभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होता। / Coprime numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों (3) से विभाज्य होने पर साझा गुणनखंड (3) मिलता है। / If both are divisible by (3), they have common factor (3).
Step 3
Exam Tip
इसलिए सहअभाज्य होने की मान्यता टूटती है। / Thus the assumption of being coprime breaks.
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यदि \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानने पर अंत में विरोधाभास मिलता है, तो सही निष्कर्ष कौन सा है?
If assuming \(\sqrt{5}\) rational finally gives a contradiction, which conclusion is correct?
#sqrt5 conclusion
#contradiction
#class 10
A \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{5}\) is irrational
B \(\sqrt{5}\) परिमेय है / \(\sqrt{5}\) is rational
C \(\sqrt{5}=5\)
D (5) पूर्ण वर्ग है / (5) is a perfect square
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{5}\) is irrational
Step 1
Concept
विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता ली जाती है। / In contradiction, the opposite assumption is taken.
Step 2
Why this answer is correct
यदि परिमेय मान्यता असंभव निकले, तो वह गलत है। / If the rational assumption becomes impossible, it is false.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय सिद्ध होता है। / Therefore \(\sqrt{5}\) is proved irrational.
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\(\sqrt{3}\) को परिमेय मानने पर \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) लिखा गया। यदि (p) और (q) में साझा गुणनखंड (3) मिल जाए, तो कौन सी मान्यता गलत सिद्ध होती है?
After assuming \(\sqrt{3}\) rational, \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) is written. If common factor (3) is found in (p) and (q), which assumption is proved false?
#sqrt3 proof
#assumption
#contradiction
#class 10
A \(\sqrt{3}\) परिमेय है / \(\sqrt{3}\) is rational
B \(q\neq 0\)
C (3) अभाज्य है / (3) is prime
D (p) और (q) पूर्णांक हैं / (p) and (q) are integers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\sqrt{3}\) परिमेय है / \(\sqrt{3}\) is rational
Step 1
Concept
परिमेय मानकर (p) और (q) को सहअभाज्य माना गया था। / After assuming rationality, (p) and (q) were taken coprime.
Step 2
Why this answer is correct
साझा गुणनखंड (3) मिलना इस मान्यता को असंभव बनाता है। / Finding common factor (3) makes this assumption impossible.
Step 3
Exam Tip
इसलिए मूल परिमेय मान्यता गलत और \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / So the rational assumption is false and \(\sqrt{3}\) is irrational.
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यदि \(\sqrt{2}\) परिमेय होता, तो \(\frac{p}{q}\) के सरलतम रूप में (p) और (q) दोनों सम मिलने से क्या निष्कर्ष निकलेगा?
If \(\sqrt{2}\) were rational, what conclusion follows if both (p) and (q) are found even in lowest form \(\frac{p}{q}\)?
#lowest form
#sqrt2
#contradiction
#class 10
A सरलतम रूप की मान्यता टूटती है / The lowest form assumption breaks
B भिन्न और सरल नहीं हो सकती / The fraction cannot be reduced further
C \(\sqrt{2}=2\) सिद्ध होता है / \(\sqrt{2}=2\) is proved
D (p) और (q) सहअभाज्य ही रहेंगे / (p) and (q) remain coprime
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. सरलतम रूप की मान्यता टूटती है / The lowest form assumption breaks
Step 1
Concept
सरलतम रूप में अंश और हर में साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। / In lowest form, numerator and denominator should not have a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों सम मिलने पर (2) साझा गुणनखंड है। / If both are even, (2) is a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सरलतम रूप की मान्यता टूटती है और विरोधाभास मिलता है। / Therefore the lowest-form assumption breaks and gives a contradiction.
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\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों में सहअभाज्य मानने की भूमिका क्या है?
What is the role of assuming coprime numbers in the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#coprime
#contradiction
#irrationality proof
#class 10
A साझा गुणनखंड मिलने पर विरोधाभास दिखाना / To show contradiction when a common factor is found
B वर्गमूल का दशमलव निकालना / To find the decimal of the square root
C हर को शून्य बनाना / To make the denominator zero
D संख्या को पूर्ण वर्ग बनाना / To make the number a perfect square
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. साझा गुणनखंड मिलने पर विरोधाभास दिखाना / To show contradiction when a common factor is found
Step 1
Concept
परिमेय संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जाता है। / A rational number is written as a fraction in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम भिन्न में अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। / In lowest form, numerator and denominator are coprime.
Step 3
Exam Tip
बाद में साझा गुणनखंड मिलना इसी शर्त से विरोधाभास बनाता है। / Later, a common factor contradicts this condition.
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\(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\) लिखा गया है। यदि (a) और (b) सहअभाज्य हैं, तो प्रमाण में विरोधाभास कब बनेगा?
Assume \(\sqrt{3}\) is rational and \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\). If (a) and (b) are coprime, when will a contradiction occur in the proof?
#sqrt3 proof
#coprime
#contradiction
#class 10
A जब (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य मिलें / When both (a) and (b) are found divisible by (3)
B जब (a) और (b) दोनों पूर्णांक हों / When both (a) and (b) are integers
C जब \(b\neq 0\) हो / When \(b\neq 0\)
D जब \(\sqrt{3}\) धनात्मक हो / When \(\sqrt{3}\) is positive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. जब (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य मिलें / When both (a) and (b) are found divisible by (3)
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होता। / Coprime numbers have no common factor other than (1).
Step 2
Why this answer is correct
यदि दोनों (3) से विभाज्य मिलें, तो साझा गुणनखंड (3) होगा। / If both are divisible by (3), the common factor is (3).
Step 3
Exam Tip
यही विरोधाभास \(\sqrt{3}\) को अपरिमेय सिद्ध करता है। / This contradiction proves \(\sqrt{3}\) irrational.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यदि \(q^2=5k^2\) मिल जाए, तो अगला सही निष्कर्ष कौन सा है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), if \(q^2=5k^2\) is obtained, what is the next correct conclusion?
#sqrt5 proof
#divisibility
#contradiction
#class 10
A (q) (5) से विभाज्य है / (q) is divisible by (5)
B (q) (2) से विभाज्य है / (q) is divisible by (2)
C (q=k) है / (q=k)
D (q) परिमेय नहीं है / (q) is not rational
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Correct Answer
A. (q) (5) से विभाज्य है / (q) is divisible by (5)
Step 1
Concept
\(q^2=5k^2\) से \(q^2\) (5) से विभाज्य है। / From \(q^2=5k^2\), \(q^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(5) अभाज्य है, इसलिए (q) भी (5) से विभाज्य होगा। / Since (5) is prime, (q) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
दोनों (p) और (q) में (5) आना सहअभाज्य शर्त से टकराता है। / Having (5) in both (p) and (q) contradicts the coprime condition.
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\(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता सिद्ध करने में उलटी मान्यता क्या ली जाती है?
What opposite assumption is taken while proving the irrationality of \(\sqrt{2}\)?
#irrationality proof
#contradiction
#sqrt2
#class 10
A \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{2}\) is irrational
B \(\sqrt{2}\) परिमेय है / \(\sqrt{2}\) is rational
C \(\sqrt{2}=0\) है / \(\sqrt{2}=0\)
D \(\sqrt{2}\) ऋणात्मक है / \(\sqrt{2}\) is negative
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Correct Answer
B. \(\sqrt{2}\) परिमेय है / \(\sqrt{2}\) is rational
Step 1
Concept
विरोधाभास विधि में जिस बात को सिद्ध करना हो, उसकी उलटी बात मानी जाती है। / In contradiction, we assume the opposite of what we want to prove.
Step 2
Why this answer is correct
यहां सिद्ध करना है कि \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है, इसलिए शुरुआत में उसे परिमेय मानते हैं। / Here we want to prove \(\sqrt{2}\) irrational, so we first assume it rational.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में उलटी मान्यता साफ लिखें। / In exams, write the opposite assumption clearly.
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\(\sqrt{5}\) की सिद्धि में (a=5k) और (b=5l) जैसे परिणाम क्यों विरोधाभास हैं?
Why are results like (a=5k) and (b=5l) a contradiction in the proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#contradiction
#class 10
A क्योंकि (a) और (b) सरलतम रूप में सहअभाज्य माने गए थे / Because (a) and (b) were assumed coprime in lowest form
B क्योंकि (5) सम संख्या है / Because (5) is an even number
C क्योंकि (k) हमेशा शून्य है / Because (k) is always zero
D क्योंकि (l) अपरिमेय है / Because (l) is irrational
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Correct Answer
A. क्योंकि (a) और (b) सरलतम रूप में सहअभाज्य माने गए थे / Because (a) and (b) were assumed coprime in lowest form
Step 1
Concept
(a=5k) और (b=5l) का मतलब दोनों (5) से विभाज्य हैं। / (a=5k) and (b=5l) mean both are divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन शुरुआत में (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे। / But (a) and (b) were assumed coprime at the beginning.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह परिणाम विरोधाभास देता है। / Hence this result gives a contradiction.
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यदि \(\sqrt{3}\) परिमेय मानने से (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं, तो सही निष्कर्ष क्या है?
If assuming \(\sqrt{3}\) rational makes both (a) and (b) divisible by (3), what is the correct conclusion?
#sqrt3 conclusion
#contradiction
#class 10
A आरंभिक मान्यता गलत है / The initial assumption is false
B \(\sqrt{3}\) परिमेय है / \(\sqrt{3}\) is rational
C (a) और (b) सहअभाज्य हैं / (a) and (b) are coprime
D (3) पूर्ण वर्ग है / (3) is a perfect square
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Correct Answer
A. आरंभिक मान्यता गलत है / The initial assumption is false
Step 1
Concept
शुरुआत में (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे। / At the beginning, (a) and (b) were assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों (3) से विभाज्य मिलना इस बात के विपरीत है। / Finding both divisible by (3) contradicts this.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानना गलत है। / Therefore assuming \(\sqrt{3}\) rational is false.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (a) और (b) दोनों (5) से विभाज्य मिलना क्या दिखाता है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), what does finding both (a) and (b) divisible by (5) show?
#sqrt5 proof
#contradiction
#coprime
#class 10
A वे सहअभाज्य नहीं हो सकते / They cannot be coprime
B वे दोनों परिमेय नहीं हैं / They both are not rational
C वे दोनों वर्गमूल हैं / They both are square roots
D वे दोनों (5) के बराबर हैं / They both equal (5)
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Correct Answer
A. वे सहअभाज्य नहीं हो सकते / They cannot be coprime
Step 1
Concept
दोनों (5) से विभाज्य हैं तो दोनों में (5) साझा गुणनखंड है। / If both are divisible by (5), both have (5) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा नहीं हो सकता। / This cannot happen for coprime numbers.
Step 3
Exam Tip
इसी से आरंभिक परिमेय मान्यता गलत सिद्ध होती है। / Thus the initial rational assumption becomes false.
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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में यदि (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य मिलें, तो कौन सी बात टूटती है?
In the proof of \(\sqrt{3}\), if both (a) and (b) are found divisible by (3), which condition is broken?
#sqrt3 proof
#coprime
#contradiction
#class 10
A सहअभाज्य होने की शर्त / The condition of being coprime
B धनात्मक होने की शर्त / The condition of being positive
C पूर्ण वर्ग होने की शर्त / The condition of being a perfect square
D बराबर होने की शर्त / The condition of being equal
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Correct Answer
A. सहअभाज्य होने की शर्त / The condition of being coprime
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होता। / Coprime numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
(a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य हों तो साझा गुणनखंड (3) है। / If both (a) and (b) are divisible by (3), they have common factor (3).
Step 3
Exam Tip
यही प्रमाण का विरोधाभास है। / This is the contradiction in the proof.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में कौन सा विरोधाभास आता है?
Which contradiction appears in the proof of \(\sqrt{5}\)?
#contradiction
#sqrt5 proof
#class 10
A (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं / Both (p) and (q) are found divisible by (5)
B (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं / Both (p) and (q) are found divisible by (3)
C (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं / Both (p) and (q) are found even
D (p) और (q) बराबर नहीं मिलते / (p) and (q) are not found equal
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Correct Answer
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं / Both (p) and (q) are found divisible by (5)
Step 1
Concept
(p) और (q) को सहअभाज्य मानकर चले थे। / We started by taking (p) and (q) as coprime.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। / The proof shows both are divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
दो सहअभाज्य संख्याओं में (5) साझा गुणनखंड नहीं हो सकता, इसलिए विरोधाभास है। / Two coprime numbers cannot have (5) as a common factor, so this is a contradiction.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में विरोधाभास क्या है?
What is the contradiction in the proof of \(\sqrt{3}\)?
#contradiction
#sqrt3 proof
#class 10
A (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं / Both (p) and (q) are found divisible by (3)
B (p) और (q) दोनों (2) से विभाज्य मिलते हैं / Both (p) and (q) are found divisible by (2)
C (p) और (q) बराबर मिलते हैं / (p) and (q) are found equal
D (p) और (q) दोनों शून्य मिलते हैं / Both (p) and (q) are found zero
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Correct Answer
A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं / Both (p) and (q) are found divisible by (3)
Step 1
Concept
शुरुआत में (p) और (q) सहअभाज्य माने जाते हैं। / At the start, (p) and (q) are taken as coprime.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं, यानी साझा गुणनखंड (3) है। / The proof shows both are divisible by (3), so they have common factor (3).
Step 3
Exam Tip
यही विरोधाभास \(\sqrt{3}\) को अपरिमेय सिद्ध करता है। / This contradiction proves \(\sqrt{3}\) is irrational.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में अंतिम विरोधाभास क्या होता है?
What is the final contradiction in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#contradiction
#sqrt2 proof
#class 10
A (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं / Both (p) and (q) are found even
B (p) और (q) दोनों विषम मिलते हैं / Both (p) and (q) are found odd
C (p) ऋणात्मक मिलता है / (p) is found negative
D (q=1) मिलता है / (q=1) is found
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Correct Answer
A. (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं / Both (p) and (q) are found even
Step 1
Concept
शुरुआत में (p) और (q) को सहअभाज्य माना गया था। / At the start, (p) and (q) were assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं, यानी दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। / The proof shows both (p) and (q) are even, so they have common factor (2).
Step 3
Exam Tip
यही विरोधाभास दिखाता है कि \(\sqrt{2}\) परिमेय नहीं है। / This contradiction shows that \(\sqrt{2}\) is not rational.
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यदि \(5-\sqrt{6}\) को परिमेय माना जाए तो कौन सा गलत निष्कर्ष निकलेगा?
If \(5-\sqrt{6}\) is assumed rational then which false conclusion follows?
#contradiction
#irrational numbers
#class 10
A (5) अपरिमेय है / (5) is irrational
B \(\sqrt{6}\) परिमेय है / \(\sqrt{6}\) is rational
C (6) पूर्ण वर्ग है / (6) is a perfect square
D (5=0) है / (5=0)
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Correct Answer
B. \(\sqrt{6}\) परिमेय है / \(\sqrt{6}\) is rational
Step 1
Concept
मान लें \(5-\sqrt{6}\) परिमेय है। / Suppose \(5-\sqrt{6}\) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
तब \(\sqrt{6}=5-\) वह परिमेय संख्या होगा इसलिए \(\sqrt{6}\) परिमेय मिल जाएगा। / Then \(\sqrt{6}=5-\) that rational number so \(\sqrt{6}\) would be rational.
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास विधि में उस निष्कर्ष को पकड़ें जो ज्ञात तथ्य से टकराता है। / In contradiction proofs identify the result that clashes with a known fact.
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नेपोलियन के सुधारों और फ्रांसीसी क्रांति के आदर्शों के बीच मुख्य विरोधाभास क्या था?
What was the main contradiction between Napoleon's reforms and the ideals of the French Revolution?
#napoleon
#liberty
#equality
#empire
#contradiction
A स्वतंत्रता और समानता के साथ राजनीतिक नियंत्रण और विस्तारवाद भी आया / Liberty and equality came with political control and expansionism
B क्रांति ने कभी समानता की बात नहीं की / The Revolution never spoke of equality
C नेपोलियन ने कोई प्रशासनिक सुधार नहीं किया / Napoleon made no administrative reforms
D क्रांति ने राष्ट्र की धारणा को अस्वीकार किया / The Revolution rejected the idea of the nation
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Correct Answer
A. स्वतंत्रता और समानता के साथ राजनीतिक नियंत्रण और विस्तारवाद भी आया / Liberty and equality came with political control and expansionism
Step 1
Concept
क्रांति ने स्वतंत्रता और समानता का संदेश दिया। / The Revolution gave the message of liberty and equality.
Step 2
Why this answer is correct
नेपोलियन ने सुधारों के साथ विजय कर और नियंत्रण भी बढ़ाए। / Napoleon combined reforms with conquest taxes and control.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में इस विरोधाभास को संतुलित ढंग से लिखें। / In exams, explain this contradiction in a balanced way.
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नेपोलियन संहिता को फ्रांसीसी क्रांति की विरासत और विरोधाभास दोनों क्यों कहा जा सकता है?
Why can the Napoleonic Code be called both a legacy and a contradiction of the French Revolution?
#napoleonic code
#legacy
#contradiction
#legal equality
A क्योंकि उसने समान कानून फैलाए लेकिन फ्रांसीसी प्रभुत्व भी बढ़ाया / Because it spread uniform laws but also increased French domination
B क्योंकि उसने कोई प्रशासनिक सुधार नहीं किया / Because it made no administrative reform
C क्योंकि उसने केवल सामंती अधिकारों को वापस लाया / Because it only restored feudal rights
D क्योंकि उसका यूरोप से कोई संबंध नहीं था / Because it had no relation with Europe
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Correct Answer
A. क्योंकि उसने समान कानून फैलाए लेकिन फ्रांसीसी प्रभुत्व भी बढ़ाया / Because it spread uniform laws but also increased French domination
Step 1
Concept
संहिता ने कानून की समानता और प्रशासनिक सुधारों को फैलाया। / The Code spread legal equality and administrative reforms.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन यह कई क्षेत्रों में फ्रांसीसी नियंत्रण के साथ आई। / But it came with French control in many regions.
Step 3
Exam Tip
उत्तर में सुधार और प्रभुत्व दोनों पक्ष दिखाने चाहिए। / A good answer should show both reform and domination.
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फ्रांसीसी क्रांति के विचारों ने जीते गए क्षेत्रों में विरोधाभास क्यों पैदा किया?
Why did French revolutionary ideas create a contradiction in conquered territories?
#conquered territories
#contradiction
#liberty
A स्वतंत्रता के नाम पर कभी बाहरी नियंत्रण भी लगाया गया / External control was sometimes imposed in the name of liberty
B क्योंकि सभी क्षेत्रों को पूर्ण स्वतंत्रता मिली / Because all regions got complete freedom
C क्योंकि राजाओं ने जनता को सत्ता दे दी / Because kings gave power to people
D क्योंकि सामंती व्यवस्था खत्म नहीं हुई / Because feudal order did not end anywhere
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Correct Answer
A. स्वतंत्रता के नाम पर कभी बाहरी नियंत्रण भी लगाया गया / External control was sometimes imposed in the name of liberty
Step 1
Concept
फ्रांसीसी विचार स्वतंत्रता की बात करते थे। / French ideas spoke of liberty.
Step 2
Why this answer is correct
पर कई क्षेत्रों में फ्रांसीसी शासन बाहरी नियंत्रण जैसा लगा। / But in many territories French rule appeared as external control.
Step 3
Exam Tip
इसलिए राष्ट्रवाद में मुक्ति और प्रभुत्व का विरोधाभास समझना जरूरी है। / So it is important to understand the contradiction between liberation and domination.
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