\(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) लिखा गया है। यदि (p) और (q) सहअभाज्य हैं, तो \(p^2=2q^2\) से सही अगला निष्कर्ष कौन सा है?
\(\sqrt{2}\) is assumed rational and written as \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\). If (p) and (q) are coprime, what is the correct next conclusion from \(p^2=2q^2\)?
#sqrt2 proof
#irrationality
#even square
#class 10
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? Hint Small clue
A \(p^2\) सम है / \(p^2\) is even
B \(q^2\) सम है / \(q^2\) is even
C (p=q)
D (q=2p)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(p^2\) सम है / \(p^2\) is even
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) में दाईं ओर (2) का गुणनखंड है। / In \(p^2=2q^2\), the right side has factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(p^2\) सम है और फिर (p) भी सम होगा। / So \(p^2\) is even and then (p) is also even.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में पहले वर्ग की विभाज्यता लिखें, फिर मूल संख्या की। / In proofs, first write divisibility of the square, then of the number.
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\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय \(p^2=3q^2\) मिला। यहां (p) के लिए सही कारण सहित निष्कर्ष कौन सा है?
While proving the irrationality of \(\sqrt{3}\), \(p^2=3q^2\) is obtained. Which conclusion about (p) with reason is correct?
#sqrt3 proof
#prime divisibility
#real numbers
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (p) (2) से विभाज्य है क्योंकि \(p^2\) वर्ग है / (p) is divisible by (2) because \(p^2\) is a square
B (p) (3) से विभाज्य है क्योंकि \(p^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है / (p) is divisible by (3) because \(p^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
C (p=q) क्योंकि दोनों वर्ग हैं / (p=q) because both are squares
D (p) (5) से विभाज्य है क्योंकि (3) अभाज्य है / (p) is divisible by (5) because (3) is prime
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Correct Answer
B. (p) (3) से विभाज्य है क्योंकि \(p^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है / (p) is divisible by (3) because \(p^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) (3) से विभाज्य है। / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(3) अभाज्य है, इसलिए (p) भी (3) से विभाज्य होगा। / Since (3) is prime, (p) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
अभाज्य गुणनखंड वाले नियम को सही संख्या पर लगाएं। / Apply the prime factor rule to the correct number.
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यदि \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में माना जाए और \(p^2=5q^2\) मिले, तो (p) को किस रूप में लिखना उचित है?
If \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) is assumed in lowest form and \(p^2=5q^2\) is obtained, in which form should (p) be written?
#sqrt5 proof
#divisibility
#proof step
#class 10
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? Hint Small clue
A (p=2k)
B (p=3k)
C (p=5k)
D (p=qk)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। / From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(5) अभाज्य है, इसलिए (p) (5) से विभाज्य है। / Since (5) is prime, (p) is divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता मिलने पर (p=5k) लिखें, जहां (k) पूर्णांक है। / After divisibility, write (p=5k), where (k) is an integer.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (p=2k) रखने के बाद \(p^2=2q^2\) से कौन सा समीकरण मिलेगा?
In the proof of \(\sqrt{2}\), after putting (p=2k), which equation follows from \(p^2=2q^2\)?
#sqrt2 proof
#substitution
#algebra
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(2k^2=2q^2\)
B \(4k^2=2q^2\)
C \(k^2=2q^2\)
D \(p^2=4q^2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. \(4k^2=2q^2\)
Step 1
Concept
(p=2k) होने पर (p-2 =(2k)2 =4k-2 )। / If (p=2k), then (p-2 =(2k)2 =4k-2 ).
Step 2
Why this answer is correct
इसे \(p^2=2q^2\) में रखने पर \(4k^2=2q^2\) मिलता है। / Substituting in \(p^2=2q^2\) gives \(4k^2=2q^2\).
Step 3
Exam Tip
((2k)2 ) को \(2k^2\) लिखना सामान्य गलती है। / Writing ((2k)2 ) as \(2k^2\) is a common mistake.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (p=3k) रखने के बाद \(9k^2=3q^2\) मिला। इससे \(q^2\) का सही रूप कौन सा है?
In the proof of \(\sqrt{3}\), after putting (p=3k), \(9k^2=3q^2\) is obtained. What is the correct form of \(q^2\)?
#sqrt3 proof
#simplification
#divisibility
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(q^2=3k^2\)
B \(q^2=9k^2\)
C \(q^2=k^2\)
D \(q^2=6k^2\)
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Correct Answer
A. \(q^2=3k^2\)
Step 1
Concept
\(9k^2=3q^2\) के दोनों पक्षों को (3) से भाग दें। / Divide both sides of \(9k^2=3q^2\) by (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(3k^2=q^2\), अर्थात \(q^2=3k^2\) मिलेगा। / We get \(3k^2=q^2\), that is \(q^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
इसी से (q) के (3) से विभाज्य होने का रास्ता बनता है। / This leads to (q) being divisible by (3).
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (p=5k) रखने के बाद \(25k^2=5q^2\) मिलता है। इससे कौन सा निष्कर्ष सही है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), after putting (p=5k), \(25k^2=5q^2\) is obtained. Which conclusion is correct?
#sqrt5 proof
#substitution
#medium
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
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A \(q^2=25k^2\)
B \(q^2=5k^2\)
C \(q=5k^2\)
D (q=k)
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Correct Answer
B. \(q^2=5k^2\)
Step 1
Concept
\(25k^2=5q^2\) के दोनों पक्षों को (5) से भाग दें। / Divide both sides of \(25k^2=5q^2\) by (5).
Step 2
Why this answer is correct
\(5k^2=q^2\), अर्थात \(q^2=5k^2\) मिलेगा। / We get \(5k^2=q^2\), that is \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
इससे (q) भी (5) से विभाज्य सिद्ध किया जाता है। / This is used to prove (q) is also divisible by (5).
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में गलत निष्कर्ष है?
Which option is a wrong conclusion in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 proof
#error spotting
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है / From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even
B \(p^2\) सम है इसलिए (p) सम है / Since \(p^2\) is even, (p) is even
C (p=2k) इसलिए \(p^2=4k^2\) / (p=2k), so \(p^2=4k^2\)
D \(p^2=2q^2\) इसलिए (p=2q) / \(p^2=2q^2\), so (p=2q)
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Correct Answer
D. \(p^2=2q^2\) इसलिए (p=2q) / \(p^2=2q^2\), so (p=2q)
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) से केवल \(p^2\) के सम होने का निष्कर्ष आता है। / From \(p^2=2q^2\), we only conclude that \(p^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
फिर (p) सम है और (p=2k) लिखा जाता है। / Then (p) is even and (p=2k) is written.
Step 3
Exam Tip
सीधे (p=2q) लिखना बीजगणितीय गलती है। / Writing (p=2q) directly is an algebraic mistake.
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यदि \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानने से (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं, तो कौन सी बात गलत सिद्ध होती है?
If assuming \(\sqrt{3}\) rational makes both (p) and (q) divisible by (3), which fact is proved false?
#sqrt3 proof
#coprime
#contradiction
#class 10
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A (p) और (q) पूर्णांक हैं / (p) and (q) are integers
B \(q\neq 0\)
C (p) और (q) सहअभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime
D \(\sqrt{3}\) धनात्मक है / \(\sqrt{3}\) is positive
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Correct Answer
C. (p) और (q) सहअभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होता। / Coprime numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों (3) से विभाज्य होने पर साझा गुणनखंड (3) मिलता है। / If both are divisible by (3), they have common factor (3).
Step 3
Exam Tip
इसलिए सहअभाज्य होने की मान्यता टूटती है। / Thus the assumption of being coprime breaks.
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\(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में (5) के अभाज्य होने का उपयोग कहां होता है?
Where is the fact that (5) is prime used in the proof of irrationality of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#prime number
#divisibility
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
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A \(p^2\) (5) से विभाज्य होने पर (p) (5) से विभाज्य कहने में / In saying (p) is divisible by (5) when \(p^2\) is divisible by (5)
B (q=0) मानने में / In assuming (q=0)
C \(\sqrt{5}=5\) लिखने में / In writing \(\sqrt{5}=5\)
D (p=q) सिद्ध करने में / In proving (p=q)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(p^2\) (5) से विभाज्य होने पर (p) (5) से विभाज्य कहने में / In saying (p) is divisible by (5) when \(p^2\) is divisible by (5)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। / From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(5) अभाज्य है, इसलिए (p) भी (5) से विभाज्य होगा। / Since (5) is prime, (p) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
अभाज्य संख्या वाला नियम प्रमाण की रीढ़ है। / The prime-number rule is the backbone of the proof.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(q^2=2k^2\) मिलने के बाद कौन सा तर्क सही है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), after getting \(q^2=2k^2\), which reasoning is correct?
#sqrt2 proof
#q even
#contradiction
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
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A \(q^2\) सम है, इसलिए (q) सम है / \(q^2\) is even, so (q) is even
B \(q^2\) सम है, इसलिए (q) विषम है / \(q^2\) is even, so (q) is odd
C \(q^2=2k^2\) से \(q=2k^2\) / From \(q^2=2k^2\), \(q=2k^2\)
D (q=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(q^2\) सम है, इसलिए (q) सम है / \(q^2\) is even, so (q) is even
Step 1
Concept
\(q^2=2k^2\) से \(q^2\) सम है। / From \(q^2=2k^2\), \(q^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग सम हो तो मूल पूर्णांक भी सम होता है। / If a square is even, the original integer is also even.
Step 3
Exam Tip
इससे (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं और विरोधाभास बनता है। / Then both (p) and (q) are even and contradiction occurs.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{3}\) की सिद्धि का सही क्रम देता है?
Which option gives the correct order of the proof of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#sequence
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A परिमेय मानें, \(p^2=3q^2\) पाएं, (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य दिखाएं / Assume rational, get \(p^2=3q^2\), show both (p) and (q) divisible by (3)
B पहले (p=q) मानें, फिर (3=0) लिखें / First assume (p=q), then write (3=0)
C दशमलव मान लिखें और प्रमाण पूरा करें / Write decimal value and finish the proof
D \(\sqrt{3}=3\) मानें और वर्ग करें / Assume \(\sqrt{3}=3\) and square
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Correct Answer
A. परिमेय मानें, \(p^2=3q^2\) पाएं, (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य दिखाएं / Assume rational, get \(p^2=3q^2\), show both (p) and (q) divisible by (3)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर सरलतम भिन्न लिखते हैं। / Assume \(\sqrt{3}\) rational and write it in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने से \(p^2=3q^2\) मिलता है। / Squaring gives \(p^2=3q^2\).
Step 3
Exam Tip
अंत में दोनों में (3) साझा गुणनखंड दिखाकर विरोधाभास लिखा जाता है। / Finally, show common factor (3) in both and write the contradiction.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यदि (p=5k) और (q=5r) मिल जाएं, तो कौन सा निष्कर्ष सही है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), if (p=5k) and (q=5r) are obtained, which conclusion is correct?
#sqrt5 proof
#common factor
#contradiction
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (p) और (q) का साझा गुणनखंड (5) है / (p) and (q) have common factor (5)
B \(\sqrt{5}=5\)
C (p) और (q) सहअभाज्य ही हैं / (p) and (q) are still coprime
D (q=0)
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Correct Answer
A. (p) और (q) का साझा गुणनखंड (5) है / (p) and (q) have common factor (5)
Step 1
Concept
(p=5k) का अर्थ है (p) (5) से विभाज्य है। / (p=5k) means (p) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(q=5r) का अर्थ है (q) भी (5) से विभाज्य है। / (q=5r) means (q) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
दोनों में साझा गुणनखंड (5) होना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास है। / Common factor (5) contradicts the coprime condition.
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यदि कोई विद्यार्थी \(\sqrt{2}\) को अपरिमेय सिद्ध करते समय केवल \(p^2=2q^2\) तक लिखकर रुक जाता है, तो प्रमाण क्यों अधूरा है?
If a student stops at only \(p^2=2q^2\) while proving \(\sqrt{2}\) irrational, why is the proof incomplete?
#incomplete proof
#sqrt2
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
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A क्योंकि अभी (p) और (q) दोनों सम दिखाकर विरोधाभास लिखना बाकी है / Because it still remains to show both (p) and (q) even and write contradiction
B क्योंकि \(p^2=2q^2\) गलत है / Because \(p^2=2q^2\) is wrong
C क्योंकि (q=0) लिखना बाकी है / Because (q=0) remains to be written
D क्योंकि \(\sqrt{2}=2\) लिखना बाकी है / Because \(\sqrt{2}=2\) remains to be written
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Correct Answer
A. क्योंकि अभी (p) और (q) दोनों सम दिखाकर विरोधाभास लिखना बाकी है / Because it still remains to show both (p) and (q) even and write contradiction
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) केवल मध्य चरण है। / \(p^2=2q^2\) is only a middle step.
Step 2
Why this answer is correct
इससे (p) और (q) दोनों सम दिखाने होते हैं। / From it, both (p) and (q) must be shown even.
Step 3
Exam Tip
सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास लिखे बिना प्रमाण पूरा नहीं होता। / The proof is not complete without writing the coprime contradiction.
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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में \(p^2=3q^2\) से सीधे (q) (3) से विभाज्य क्यों नहीं कह सकते?
In the proof of \(\sqrt{3}\), why can we not directly say (q) is divisible by (3) from \(p^2=3q^2\)?
#sqrt3 proof
#proof order
#class 10
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A क्योंकि पहले (p) के (3) से विभाज्य होने को सिद्ध कर (p=3k) रखना पड़ता है / Because first (p) must be proved divisible by (3) and (p=3k) must be substituted
B क्योंकि (q) कभी (3) से विभाज्य नहीं हो सकता / Because (q) can never be divisible by (3)
C क्योंकि (q=0) है / Because (q=0)
D क्योंकि (3) अभाज्य नहीं है / Because (3) is not prime
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Correct Answer
A. क्योंकि पहले (p) के (3) से विभाज्य होने को सिद्ध कर (p=3k) रखना पड़ता है / Because first (p) must be proved divisible by (3) and (p=3k) must be substituted
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से पहले \(p^2\) और फिर (p) (3) से विभाज्य मिलता है। / From \(p^2=3q^2\), first \(p^2\) and then (p) are found divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(p=3k) रखने के बाद ही \(q^2=3k^2\) मिलता है। / Only after substituting (p=3k) do we get \(q^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
निष्कर्षों का क्रम सही रखना प्रमाण को मजबूत बनाता है। / Keeping the order correct makes the proof strong.
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कौन सा कथन \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में गलत है?
Which statement is wrong in the proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#error spotting
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
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A \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है / From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is divisible by (5)
B \(p^2\) (5) से विभाज्य है इसलिए (p) (5) से विभाज्य है / Since \(p^2\) is divisible by (5), (p) is divisible by (5)
C (p=5k) रखने पर \(p^2=25k^2\) / If (p=5k), then \(p^2=25k^2\)
D \(p^2=5q^2\) से सीधे (p=5q) / From \(p^2=5q^2\), directly (p=5q)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
D. \(p^2=5q^2\) से सीधे (p=5q) / From \(p^2=5q^2\), directly (p=5q)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। / From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (p) (5) से विभाज्य है, लेकिन सीधे (p=5q) नहीं मिलता। / This gives (p) divisible by (5), but not directly (p=5q).
Step 3
Exam Tip
सही रूप (p=5k) है। / The correct form is (p=5k).
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तीनों प्रमाणों में (p) और (q) को सहअभाज्य क्यों लिया जाता है?
Why are (p) and (q) taken as coprime in all three proofs?
#coprime
#lowest form
#irrationality proof
#class 10
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? Hint Small clue
A क्योंकि परिमेय संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जाता है / Because a rational number is written as a fraction in lowest form
B क्योंकि (p) और (q) हमेशा बराबर होते हैं / Because (p) and (q) are always equal
C क्योंकि (q=0) होना चाहिए / Because (q) should be (0)
D क्योंकि (p) और (q) अपरिमेय होते हैं / Because (p) and (q) are irrational
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि परिमेय संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जाता है / Because a rational number is written as a fraction in lowest form
Step 1
Concept
परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखी जाती है। / A rational number is written as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में इसे सरलतम रूप में लेते हैं, इसलिए (p) और (q) सहअभाज्य होते हैं। / In the proof, it is taken in lowest form, so (p) and (q) are coprime.
Step 3
Exam Tip
बाद में साझा गुणनखंड मिलने से यही शर्त टूटती है। / Later, a common factor breaks this condition.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में सही अंतर बताता है?
Which option correctly states a difference between the proofs of \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{3}\)?
#proof comparison
#sqrt2 sqrt3
#class 10
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A \(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2) मिलता है, जबकि \(\sqrt{3}\) में साझा गुणनखंड (3) मिलता है / In \(\sqrt{2}\), common factor (2) is found, while in \(\sqrt{3}\), common factor (3) is found
B दोनों में साझा गुणनखंड (5) मिलता है / Common factor (5) is found in both
C दोनों में कोई विरोधाभास नहीं आता / No contradiction occurs in either
D \(\sqrt{2}\) में (3), \(\sqrt{3}\) में (2) मिलता है / In \(\sqrt{2}\), (3) is found; in \(\sqrt{3}\), (2) is found
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Correct Answer
A. \(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2) मिलता है, जबकि \(\sqrt{3}\) में साझा गुणनखंड (3) मिलता है / In \(\sqrt{2}\), common factor (2) is found, while in \(\sqrt{3}\), common factor (3) is found
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2=2q^2\) आता है, इसलिए (2) मुख्य है। / In the proof of \(\sqrt{2}\), \(p^2=2q^2\) appears, so (2) is key.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(p^2=3q^2\) आता है, इसलिए (3) मुख्य है। / In the proof of \(\sqrt{3}\), \(p^2=3q^2\) appears, so (3) is key.
Step 3
Exam Tip
मूल के अंदर की संख्या प्रमाण का गुणनखंड बनती है। / The number under the root becomes the proof factor.
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यदि \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानने से (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य सिद्ध होते हैं, तो यह किस बात से टकराता है?
If assuming \(\sqrt{5}\) rational proves both (p) and (q) divisible by (5), what does this contradict?
#sqrt5 proof
#lowest form
#contradiction
#class 10
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A \(\frac{p}{q}\) के सरलतम रूप में होने से / \(\frac{p}{q}\) being in lowest form
B (5) के अभाज्य होने से / (5) being prime
C \(\sqrt{5}\) के धनात्मक होने से / \(\sqrt{5}\) being positive
D \(q\neq 0\) होने से / \(q\neq 0\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{p}{q}\) के सरलतम रूप में होने से / \(\frac{p}{q}\) being in lowest form
Step 1
Concept
सरलतम रूप में अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। / In lowest form, numerator and denominator are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों (5) से विभाज्य हों तो साझा गुणनखंड (5) मिल जाता है। / If both are divisible by (5), common factor (5) exists.
Step 3
Exam Tip
यह सरलतम रूप से विरोधाभास बनाता है। / This contradicts lowest form.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं। इसे विरोधाभास क्यों कहा जाता है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), both (p) and (q) are found even. Why is this called a contradiction?
#sqrt2 contradiction
#even numbers
#class 10
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? Hint Small clue
A क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड है, जबकि वे सहअभाज्य माने गए थे / Because both have common factor (2), while they were assumed coprime
B क्योंकि दोनों पूर्णांक हैं / Because both are integers
C क्योंकि दोनों धनात्मक हैं / Because both are positive
D क्योंकि दोनों भिन्न में हैं / Because both are in a fraction
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Correct Answer
A. क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड है, जबकि वे सहअभाज्य माने गए थे / Because both have common factor (2), while they were assumed coprime
Step 1
Concept
सम संख्या (2) से विभाज्य होती है। / An even number is divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों सम होने पर (2) साझा गुणनखंड है। / If both are even, (2) is a common factor.
Step 3
Exam Tip
सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं हो सकता। / Coprime numbers cannot have such a common factor.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता का सही संक्षिप्त प्रमाण विचार है?
Which option is the correct short proof idea for the irrationality of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#short proof
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A परिमेय मानने पर अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं / Assuming rational makes both numerator and denominator divisible by (3)
B क्योंकि (3) पूर्ण वर्ग है / Because (3) is a perfect square
C क्योंकि \(\sqrt{3}=3\) / Because \(\sqrt{3}=3\)
D क्योंकि हर वर्गमूल परिमेय होता है / Because every square root is rational
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Correct Answer
A. परिमेय मानने पर अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं / Assuming rational makes both numerator and denominator divisible by (3)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर सरलतम भिन्न में लिखते हैं। / Assume \(\sqrt{3}\) rational and write it in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण से अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं। / The proof shows both numerator and denominator divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
यह सरलतम भिन्न की शर्त से विरोधाभास है। / This contradicts the condition of a lowest-form fraction.
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\(\sqrt{5}\) की सिद्धि में \(p^2=5q^2\) मिलने के बाद (q) (5) से विभाज्य कब सिद्ध होता है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), after \(p^2=5q^2\), when is (q) proved divisible by (5)?
#sqrt5 proof
#proof order
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (p=5k) रखकर \(q^2=5k^2\) मिलने के बाद / After substituting (p=5k) and getting \(q^2=5k^2\)
B सीधे \(p^2=5q^2\) देखकर / Directly by looking at \(p^2=5q^2\)
C (q=0) मानने के बाद / After assuming (q=0)
D \(\sqrt{5}=5\) लिखने के बाद / After writing \(\sqrt{5}=5\)
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Correct Answer
A. (p=5k) रखकर \(q^2=5k^2\) मिलने के बाद / After substituting (p=5k) and getting \(q^2=5k^2\)
Step 1
Concept
पहले \(p^2=5q^2\) से (p) (5) से विभाज्य मिलता है। / First, from \(p^2=5q^2\), (p) is found divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
फिर (p=5k) रखने पर \(q^2=5k^2\) मिलता है। / Then substituting (p=5k) gives \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
तब (q) के (5) से विभाज्य होने का निष्कर्ष आता है। / Then (q) is concluded divisible by (5).
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यदि \(a^2=2b^2\) और (a=2k), तो \(b^2\) के बारे में क्या सही है?
If \(a^2=2b^2\) and (a=2k), what is true about \(b^2\)?
#sqrt2 proof
#b square
#medium
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(b^2=2k^2\)
B \(b^2=4k^2\)
C \(b^2=k^2\)
D \(b^2=8k^2\)
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Correct Answer
A. \(b^2=2k^2\)
Step 1
Concept
(a=2k) रखने पर \(a^2=4k^2\) होगा। / If (a=2k), then \(a^2=4k^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(4k^2=2b^2\) से \(b^2=2k^2\) मिलता है। / From \(4k^2=2b^2\), we get \(b^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
इससे \(b^2\) सम और (b) सम सिद्ध होता है। / This proves \(b^2\) and then (b) are even.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) तीनों के प्रमाणों में समान है?
Which option is common in the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#common method
#contradiction
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A तीनों में पहले संख्या को परिमेय मानते हैं / In all three, the number is first assumed rational
B तीनों में (q=0) मानते हैं / In all three, (q=0) is assumed
C तीनों में वर्गमूल को अंदर की संख्या के बराबर लिखते हैं / In all three, the square root is written equal to the number inside
D तीनों में दशमलव से प्रमाण पूरा करते हैं / In all three, the proof is completed by decimals
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Correct Answer
A. तीनों में पहले संख्या को परिमेय मानते हैं / In all three, the number is first assumed rational
Step 1
Concept
तीनों प्रमाण विरोधाभास विधि पर आधारित हैं। / All three proofs are based on contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए शुरुआत में संख्या को परिमेय मानते हैं। / So the number is first assumed rational.
Step 3
Exam Tip
फिर इसी मान्यता से असंभव साझा गुणनखंड मिलता है। / Then this assumption leads to an impossible common factor.
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एक विद्यार्थी ने लिखा \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), इसलिए \(3=\frac{p}{q}\)। गलती क्या है?
A student writes \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), so \(3=\frac{p}{q}\). What is the mistake?
#sqrt3 proof
#common error
#squaring
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A दोनों ओर वर्ग नहीं किया गया / Both sides were not squared
B हर को शून्य माना गया / The denominator was assumed zero
C (p) और (q) को पूर्णांक माना गया / (p) and (q) were assumed integers
D \(\sqrt{3}\) को ऋणात्मक माना गया / \(\sqrt{3}\) was assumed negative
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Correct Answer
A. दोनों ओर वर्ग नहीं किया गया / Both sides were not squared
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) से (3) पाने के लिए दोनों ओर वर्ग करना होता है। / To get (3) from \(\sqrt{3}\), both sides must be squared.
Step 2
Why this answer is correct
सही रूप \(3=\frac{p^2}{q^2}\) होगा, \(3=\frac{p}{q}\) नहीं। / The correct form is \(3=\frac{p^2}{q^2}\), not \(3=\frac{p}{q}\).
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल हटाते समय दोनों ओर वर्ग अवश्य करें। / Always square both sides to remove a square root.
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\(\sqrt{5}\) की सिद्धि में \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लेने का अर्थ क्या है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), what does taking \(\frac{p}{q}\) in lowest form mean?
#lowest form
#gcd
#sqrt5 proof
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (p) और (q) का महत्तम समापवर्तक (1) है / The greatest common divisor of (p) and (q) is (1)
B (p=q) है / (p=q)
C (q=0) है / (q=0)
D (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हैं / Both (p) and (q) are divisible by (5)
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Correct Answer
A. (p) और (q) का महत्तम समापवर्तक (1) है / The greatest common divisor of (p) and (q) is (1)
Step 1
Concept
सरलतम रूप में भिन्न को और घटाया नहीं जा सकता। / In lowest form, a fraction cannot be reduced further.
Step 2
Why this answer is correct
इसका अर्थ है कि (p) और (q) का महत्तम समापवर्तक (1) है। / This means the greatest common divisor of (p) and (q) is (1).
Step 3
Exam Tip
बाद में दोनों में (5) मिलना इसी बात से विरोधाभास बनाता है। / Later finding (5) in both contradicts this.
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कौन सा कथन \(\sqrt{2}\) की सिद्धि में (2) के गुणनखंड की भूमिका सही बताता है?
Which statement correctly tells the role of factor (2) in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 proof
#factor 2
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
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A यह (p) और (q) दोनों में साझा गुणनखंड बनकर विरोधाभास देता है / It becomes a common factor of both (p) and (q) and gives contradiction
B यह (q=0) बना देता है / It makes (q=0)
C यह \(\sqrt{2}=2\) सिद्ध करता है / It proves \(\sqrt{2}=2\)
D यह (p=q) सिद्ध करता है / It proves (p=q)
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Correct Answer
A. यह (p) और (q) दोनों में साझा गुणनखंड बनकर विरोधाभास देता है / It becomes a common factor of both (p) and (q) and gives contradiction
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) से पहले (p) में (2) का गुणनखंड आता है। / From \(p^2=2q^2\), factor (2) first appears in (p).
Step 2
Why this answer is correct
बाद में (q) में भी (2) का गुणनखंड मिलता है। / Later factor (2) also appears in (q).
Step 3
Exam Tip
दोनों में (2) साझा होना सहअभाज्य शर्त से टकराता है। / Common factor (2) contradicts the coprime condition.
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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में यदि (p=3k) है, तो \(p^2\) का सही मान कौन सा है?
In the proof of \(\sqrt{3}\), if (p=3k), what is the correct value of \(p^2\)?
#sqrt3 proof
#algebra
#squaring
#class 10
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A \(3k^2\)
B \(6k^2\)
C \(9k^2\)
D \(k^2+3\)
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Correct Answer
C. \(9k^2\)
Step 1
Concept
(p=3k) दिया है। / We have (p=3k).
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने पर (p-2 =(3k)2 =9k-2 )। / Squaring gives (p-2 =(3k)2 =9k-2 ).
Step 3
Exam Tip
गुणांक (3) का भी वर्ग (9) करना जरूरी है। / The coefficient (3) must also be squared to (9).
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में सही अंतिम कारण देता है?
Which option gives the correct final reason in the proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#final reason
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हैं, इसलिए वे सहअभाज्य नहीं हो सकते / Both (p) and (q) are divisible by (5), so they cannot be coprime
B (5) धनात्मक है, इसलिए \(\sqrt{5}\) परिमेय है / (5) is positive, so \(\sqrt{5}\) is rational
C \(q\neq 0\), इसलिए विरोधाभास है / \(q\neq 0\), so it is a contradiction
D (p) और (q) पूर्णांक हैं, इसलिए विरोधाभास है / (p) and (q) are integers, so it is a contradiction
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Correct Answer
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हैं, इसलिए वे सहअभाज्य नहीं हो सकते / Both (p) and (q) are divisible by (5), so they cannot be coprime
Step 1
Concept
प्रमाण में (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। / In the proof, both (p) and (q) are found divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
इसका अर्थ है कि उनका साझा गुणनखंड (5) है। / This means their common factor is (5).
Step 3
Exam Tip
यह सहअभाज्य होने की शर्त को तोड़ता है। / This breaks the condition of being coprime.
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यदि (p) और (q) सहअभाज्य हैं, तो कौन सी बात असंभव है?
If (p) and (q) are coprime, which situation is impossible?
#coprime definition
#proof logic
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
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A दोनों में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड होना / Having a common factor other than (1)
B दोनों का पूर्णांक होना / Both being integers
C \(q\neq 0\) होना / Having \(q\neq 0\)
D दोनों का भिन्न में आना / Both appearing in a fraction
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Correct Answer
A. दोनों में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड होना / Having a common factor other than (1)
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं की परिभाषा है कि उनका साझा गुणनखंड केवल (1) हो। / Coprime numbers are defined as having only (1) as common factor.
Step 2
Why this answer is correct
(1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड मिलना असंभव है। / Finding any common factor other than (1) is impossible.
Step 3
Exam Tip
अपरिमेयता की सिद्धि इसी असंभव स्थिति को दिखाती है। / Irrationality proofs show exactly this impossible situation.
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\(\sqrt{2}\) को परिमेय मानने पर \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) लिखा। यदि अंत में (p) और (q) दोनों सम हैं, तो सही निष्कर्ष कौन सा है?
After assuming \(\sqrt{2}\) rational, \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) is written. If finally both (p) and (q) are even, what is the correct conclusion?
#sqrt2 conclusion
#contradiction
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
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A \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{2}\) is irrational
B \(\sqrt{2}\) परिमेय है / \(\sqrt{2}\) is rational
C \(\sqrt{2}=2\)
D (q=0)
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Correct Answer
A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
(p) और (q) को शुरू में सहअभाज्य माना गया था। / (p) and (q) were assumed coprime at the start.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों सम होना साझा गुणनखंड (2) दिखाता है। / Both even shows common factor (2).
Step 3
Exam Tip
यह विरोधाभास है, इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / This is a contradiction, so \(\sqrt{2}\) is irrational.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{3}\) की सिद्धि में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य होने का सही प्रभाव बताता है?
Which option correctly states the effect of both (p) and (q) being divisible by (3) in the proof of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#lowest form
#coprime
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं रह सकता / \(\frac{p}{q}\) cannot remain in lowest form
B \(\sqrt{3}=3\) हो जाता है / \(\sqrt{3}=3\)
C \(\frac{p}{q}\) शून्य हो जाता है / \(\frac{p}{q}\) becomes zero
D (p) और (q) अपरिमेय बन जाते हैं / (p) and (q) become irrational
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Correct Answer
A. \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं रह सकता / \(\frac{p}{q}\) cannot remain in lowest form
Step 1
Concept
दोनों (3) से विभाज्य होने पर भिन्न में साझा गुणनखंड (3) है। / If both are divisible by (3), the fraction has common factor (3).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसी भिन्न को और सरल किया जा सकता है। / Such a fraction can be reduced further.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह सरलतम रूप की मान्यता से टकराता है। / So it contradicts the lowest-form assumption.
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कौन सा कथन \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में सही मध्य चरण है?
Which statement is a correct middle step in the proof of irrationality of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#middle step
#class 10
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A \(p^2=5q^2\) से (p) (5) से विभाज्य है / From \(p^2=5q^2\), (p) is divisible by (5)
B \(p^2=5q^2\) से (q=0) / From \(p^2=5q^2\), (q=0)
C \(p^2=5q^2\) से \(\sqrt{5}=5\) / From \(p^2=5q^2\), \(\sqrt{5}=5\)
D \(p^2=5q^2\) से (p=q) / From \(p^2=5q^2\), (p=q)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(p^2=5q^2\) से (p) (5) से विभाज्य है / From \(p^2=5q^2\), (p) is divisible by (5)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। / From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(5) अभाज्य है, इसलिए (p) भी (5) से विभाज्य है। / Since (5) is prime, (p) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
यही आगे (p=5k) लिखने का आधार है। / This is the basis for writing (p=5k).
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यदि \(\sqrt{3}\) की सिद्धि में \(q^2=3k^2\) मिल जाए, तो (q) के लिए सही निष्कर्ष कौन सा है?
If \(q^2=3k^2\) is obtained in the proof of \(\sqrt{3}\), what is the correct conclusion for (q)?
#sqrt3 proof
#q divisibility
#class 10
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A (q) (3) से विभाज्य है / (q) is divisible by (3)
B (q) (2) से विभाज्य है / (q) is divisible by (2)
C (q=3)
D \(q=k^2\)
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Correct Answer
A. (q) (3) से विभाज्य है / (q) is divisible by (3)
Step 1
Concept
\(q^2=3k^2\) से \(q^2\) (3) से विभाज्य है। / From \(q^2=3k^2\), \(q^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(3) अभाज्य है, इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य होगा। / Since (3) is prime, (q) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
यही (p) और (q) में साझा गुणनखंड दिखाता है। / This shows a common factor in (p) and (q).
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में कौन सा कथन सही है लेकिन अधूरा निष्कर्ष है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), which statement is correct but an incomplete conclusion?
#sqrt2 proof
#incomplete conclusion
#class 10
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A \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है / From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even
B \(\sqrt{2}=2\)
C (q=0)
D (p=q)
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Correct Answer
A. \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है / From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम होना सही है। / From \(p^2=2q^2\), saying \(p^2\) is even is correct.
Step 2
Why this answer is correct
पर यह अंतिम निष्कर्ष नहीं है, इसके बाद (p) और (q) दोनों सम दिखाने होंगे। / But it is not the final conclusion; both (p) and (q) must then be shown even.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण को विरोधाभास तक पूरा करें। / Complete the proof up to contradiction.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (p=5k) रखने के बाद \(q^2=5k^2\) मिलना क्यों महत्वपूर्ण है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), why is getting \(q^2=5k^2\) after putting (p=5k) important?
#sqrt5 proof
#q divisible
#class 10
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A क्योंकि इससे (q) भी (5) से विभाज्य सिद्ध होता है / Because it proves (q) is also divisible by (5)
B क्योंकि इससे (q=0) सिद्ध होता है / Because it proves (q=0)
C क्योंकि इससे (p=q) सिद्ध होता है / Because it proves (p=q)
D क्योंकि इससे \(\sqrt{5}=25\) सिद्ध होता है / Because it proves \(\sqrt{5}=25\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि इससे (q) भी (5) से विभाज्य सिद्ध होता है / Because it proves (q) is also divisible by (5)
Step 1
Concept
\(q^2=5k^2\) से \(q^2\) (5) से विभाज्य है। / From \(q^2=5k^2\), \(q^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
अभाज्य नियम से (q) भी (5) से विभाज्य होगा। / By the prime rule, (q) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
तब (p) और (q) दोनों में (5) साझा गुणनखंड मिलता है। / Then (p) and (q) both have common factor (5).
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कौन सा विकल्प तीनों प्रमाणों में गलत सोच को दिखाता है?
Which option shows a wrong idea in all three proofs?
#common misconception
#square root
#proof
#class 10
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A वर्गमूल को उसके अंदर की संख्या के बराबर मान लेना / Treating the square root as equal to the number inside it
B संख्या को परिमेय मानकर शुरू करना / Starting by assuming the number rational
C दोनों ओर वर्ग करना / Squaring both sides
D साझा गुणनखंड से विरोधाभास लेना / Taking contradiction from a common factor
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Correct Answer
A. वर्गमूल को उसके अंदर की संख्या के बराबर मान लेना / Treating the square root as equal to the number inside it
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}=2\), \(\sqrt{3}=3\), या \(\sqrt{5}=5\) लिखना गलत है। / Writing \(\sqrt{2}=2\), \(\sqrt{3}=3\), or \(\sqrt{5}=5\) is wrong.
Step 2
Why this answer is correct
सही विधि में परिमेय मानकर भिन्न रूप लिया जाता है और वर्ग किया जाता है। / The correct method assumes rationality, writes a fraction, and squares.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल को अंदर की संख्या के बराबर न मानें। / Do not treat a square root as equal to the number inside.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में यदि (p) और (q) दोनों सम हैं, तो \(\frac{p}{q}\) के बारे में कौन सा कथन सही है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), if both (p) and (q) are even, which statement about \(\frac{p}{q}\) is correct?
#sqrt2 proof
#fraction
#lowest form
#class 10
50 50-50 2 wrong hide
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? Hint Small clue
A यह सरलतम रूप में नहीं है / It is not in lowest form
B यह अवश्य (2) है / It is necessarily (2)
C यह शून्य है / It is zero
D यह अपरिमेय भिन्न है / It is an irrational fraction
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Correct Answer
A. यह सरलतम रूप में नहीं है / It is not in lowest form
Step 1
Concept
दोनों सम होने पर अंश और हर में (2) साझा गुणनखंड है। / If both are even, numerator and denominator have common factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए भिन्न को (2) से और घटाया जा सकता है। / So the fraction can be reduced further by (2).
Step 3
Exam Tip
यह सरलतम रूप की मान्यता के विरुद्ध है। / This contradicts the lowest-form assumption.
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यदि \(\sqrt{3}\) की परिमेय मान्यता गलत सिद्ध हो जाती है, तो सही अंतिम निष्कर्ष क्या है?
If the rational assumption for \(\sqrt{3}\) is proved false, what is the correct final conclusion?
#sqrt3 conclusion
#contradiction
#class 10
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? Hint Small clue
A \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{3}\) is irrational
B \(\sqrt{3}\) परिमेय है / \(\sqrt{3}\) is rational
C \(\sqrt{3}=3\)
D (3) पूर्ण वर्ग है / (3) is a perfect square
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Correct Answer
A. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{3}\) is irrational
Step 1
Concept
विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता ली जाती है। / In contradiction, the opposite assumption is taken.
Step 2
Why this answer is correct
यदि परिमेय मान्यता गलत सिद्ध हो जाए, तो अपरिमेयता सही सिद्ध होती है। / If the rational assumption is proved false, irrationality is proved true.
Step 3
Exam Tip
इसलिए अंतिम निष्कर्ष \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / Therefore the final conclusion is that \(\sqrt{3}\) is irrational.
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कौन सा कथन \(\sqrt{5}\) को परिमेय बताने वाले गलत तर्क को सुधारता है?
Which statement corrects the wrong argument that \(\sqrt{5}\) is rational?
#sqrt5 misconception
#rational square root
#class 10
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? Hint Small clue
A (5) परिमेय है, पर उसका वर्गमूल परिमेय होना जरूरी नहीं / (5) is rational, but its square root need not be rational
B हर परिमेय संख्या का वर्गमूल पूर्णांक होता है / The square root of every rational number is an integer
C \(\sqrt{5}=5\) होता है / \(\sqrt{5}=5\)
D (5) पूर्ण वर्ग है / (5) is a perfect square
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Correct Answer
A. (5) परिमेय है, पर उसका वर्गमूल परिमेय होना जरूरी नहीं / (5) is rational, but its square root need not be rational
Step 1
Concept
(5) परिमेय संख्या है लेकिन पूर्ण वर्ग नहीं है। / (5) is rational but not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
पूर्ण वर्ग न होने के कारण \(\sqrt{5}\) परिमेय नहीं होता। / Since it is not a perfect square, \(\sqrt{5}\) is not rational.
Step 3
Exam Tip
संख्या और उसके वर्गमूल के प्रकार को अलग-अलग जांचें। / Check a number and its square root separately.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) की सिद्धि का सही अंतिम वाक्य है?
Which option is the correct final sentence of the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 final statement
#exam writing
#class 10
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A यह हमारी मान्यता के विपरीत है, अतः \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / This contradicts our assumption, hence \(\sqrt{2}\) is irrational
B अतः \(\sqrt{2}=2\) / Hence \(\sqrt{2}=2\)
C अतः (q=0) / Hence (q=0)
D अतः (p=q) / Hence (p=q)
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Correct Answer
A. यह हमारी मान्यता के विपरीत है, अतः \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / This contradicts our assumption, hence \(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
परिमेय मान्यता से (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं। / The rational assumption makes both (p) and (q) even.
Step 2
Why this answer is correct
यह सहअभाज्य होने के विरुद्ध है। / This contradicts their being coprime.
Step 3
Exam Tip
इसलिए अंतिम वाक्य में विरोधाभास और अपरिमेयता दोनों लिखें। / So the final sentence should state both contradiction and irrationality.
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एक प्रमाण में \(p^2=5q^2\), फिर (p=5k), फिर \(q^2=5k^2\) मिला। यह किस संख्या की अपरिमेयता से जुड़ा है?
In a proof, \(p^2=5q^2\), then (p=5k), then \(q^2=5k^2\) are obtained. This is related to the irrationality of which number?
#identify proof
#sqrt5
#class 10
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A \(\sqrt{2}\)
B \(\sqrt{3}\)
C \(\sqrt{5}\)
D \(\sqrt{25}\)
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Correct Answer
C. \(\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
समीकरण में मुख्य गुणनखंड (5) है। / The main factor in the equation is (5).
Step 2
Why this answer is correct
\(p^2=5q^2\) सामान्य रूप से \(\sqrt{5}\) के प्रमाण से आता है। / \(p^2=5q^2\) usually comes from the proof of \(\sqrt{5}\).
Step 3
Exam Tip
प्रमाण पहचानने के लिए समीकरण में गुणनखंड देखें। / To identify the proof, look at the factor in the equation.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (q) तक पहुंचने की सही श्रृंखला है?
Which option is the correct chain to reach (q) in the proof of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#step chain
#class 10
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A \(p^2=3q^2\), (p=3k), \(9k^2=3q^2\), \(q^2=3k^2\)
B \(p^2=3q^2\), (p=3q), (q=3)
C \(p^2=3q^2\), (q=0)
D \(p^2=3q^2\), (p=q)
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Correct Answer
A. \(p^2=3q^2\), (p=3k), \(9k^2=3q^2\), \(q^2=3k^2\)
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से (p=3k) लिखा जाता है। / From \(p^2=3q^2\), we write (p=3k).
Step 2
Why this answer is correct
रखने पर \(9k^2=3q^2\) और फिर \(q^2=3k^2\) मिलता है। / Substitution gives \(9k^2=3q^2\), then \(q^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
यही सही श्रृंखला (q) के (3) से विभाज्य होने तक जाती है। / This correct chain leads to (q) being divisible by (3).
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों में प्रयुक्त मुख्य विरोधाभास को सही बताता है?
Which option correctly states the main contradiction used in the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#common contradiction
#irrationality proof
#class 10
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A सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलना / Finding a common factor in numerator and denominator of a lowest-form fraction
B वर्गमूल का धनात्मक होना / The square root being positive
C हर का शून्य न होना / Denominator not being zero
D अंश और हर का पूर्णांक होना / Numerator and denominator being integers
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Correct Answer
A. सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलना / Finding a common factor in numerator and denominator of a lowest-form fraction
Step 1
Concept
परिमेय मानकर संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जाता है। / After assuming rationality, the number is written as a lowest-form fraction.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में अंश और हर में साझा गुणनखंड मिल जाता है। / The proof finds a common factor in numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
सरलतम भिन्न में ऐसा होना असंभव है। / This is impossible for a lowest-form fraction.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में यदि (p) और (q) सहअभाज्य हैं, तो (p=2k) और (q=2r) मिलना क्यों असंभव है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), if (p) and (q) are coprime, why is getting (p=2k) and (q=2r) impossible?
#sqrt2 proof
#coprime impossibility
#class 10
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A क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा / Because both will have common factor (2)
B क्योंकि दोनों में (3) साझा गुणनखंड होगा / Because both will have common factor (3)
C क्योंकि (q=0) हो जाएगा / Because (q) will become (0)
D क्योंकि (p=q) हो जाएगा / Because (p=q) will happen
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Correct Answer
A. क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा / Because both will have common factor (2)
Step 1
Concept
(p=2k) का अर्थ है (p) सम है। / (p=2k) means (p) is even.
Step 2
Why this answer is correct
(q=2r) का अर्थ है (q) भी सम है। / (q=2r) means (q) is also even.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा, इसलिए वे सहअभाज्य नहीं रहेंगे। / Both have common factor (2), so they cannot be coprime.
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\(\sqrt{5}\) को अपरिमेय सिद्ध करने में कौन सा कथन सही है?
Which statement is correct in proving \(\sqrt{5}\) irrational?
#sqrt5 proof
#prime rule
#class 10
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A यदि \(p^2\) (5) से विभाज्य है, तो (p) (5) से विभाज्य है / If \(p^2\) is divisible by (5), then (p) is divisible by (5)
B यदि \(p^2\) (5) से विभाज्य है, तो (p=1) / If \(p^2\) is divisible by (5), then (p=1)
C यदि \(p^2\) (5) से विभाज्य है, तो (q=0) / If \(p^2\) is divisible by (5), then (q=0)
D यदि \(p^2\) (5) से विभाज्य है, तो (5) पूर्ण वर्ग है / If \(p^2\) is divisible by (5), then (5) is a perfect square
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Correct Answer
A. यदि \(p^2\) (5) से विभाज्य है, तो (p) (5) से विभाज्य है / If \(p^2\) is divisible by (5), then (p) is divisible by (5)
Step 1
Concept
(5) अभाज्य संख्या है। / (5) is a prime number.
Step 2
Why this answer is correct
अभाज्य संख्या यदि किसी वर्ग को विभाजित करे, तो मूल संख्या को भी विभाजित करती है। / If a prime divides a square, it also divides the original number.
Step 3
Exam Tip
यह नियम \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (p) पर लगाया जाता है। / This rule is applied to (p) in the proof of \(\sqrt{5}\).
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एक विद्यार्थी ने \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(q^2=2k^2\) से (q=2k) लिख दिया। सही टिप्पणी क्या है?
A student writes (q=2k) from \(q^2=2k^2\) in the proof of \(\sqrt{2}\). What is the correct comment?
#sqrt2 proof
#student error
#class 10
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A सीधे (q=2k) नहीं लिखना चाहिए, पहले \(q^2\) सम और फिर (q) सम कहना चाहिए / We should not directly write (q=2k); first say \(q^2\) is even and then (q) is even
B यह पूरी तरह सही है / It is completely correct
C इससे (q=0) सिद्ध होता है / This proves (q=0)
D इससे \(\sqrt{2}=2\) सिद्ध होता है / This proves \(\sqrt{2}=2\)
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Correct Answer
A. सीधे (q=2k) नहीं लिखना चाहिए, पहले \(q^2\) सम और फिर (q) सम कहना चाहिए / We should not directly write (q=2k); first say \(q^2\) is even and then (q) is even
Step 1
Concept
\(q^2=2k^2\) से \(q^2\) सम मिलता है। / From \(q^2=2k^2\), \(q^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
फिर नियम से (q) सम कहा जाता है और (q=2r) लिखा जा सकता है। / Then by rule (q) is even and can be written as (q=2r).
Step 3
Exam Tip
सीधे (q=2k) लिखना सावधानी के बिना किया गया कदम है। / Directly writing (q=2k) is a careless step.
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कौन सा विकल्प बताता है कि \(\sqrt{3}\) की परिमेय मान्यता क्यों टूटती है?
Which option explains why the rational assumption for \(\sqrt{3}\) breaks?
#sqrt3 rational assumption
#contradiction
#class 10
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A क्योंकि सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं / Because both numerator and denominator of the lowest-form fraction are found divisible by (3)
B क्योंकि (3) ऋणात्मक है / Because (3) is negative
C क्योंकि \(\sqrt{3}=3\) / Because \(\sqrt{3}=3\)
D क्योंकि (q=0) / Because (q=0)
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Correct Answer
A. क्योंकि सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं / Because both numerator and denominator of the lowest-form fraction are found divisible by (3)
Step 1
Concept
परिमेय मानकर \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में लिखा जाता है। / Assuming rationality, \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) is written in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं। / The proof shows both (p) and (q) divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
सरलतम भिन्न में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं हो सकता। / Such a common factor cannot occur in a lowest-form fraction.
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\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों में वर्ग करने का मुख्य उद्देश्य क्या है?
What is the main purpose of squaring in the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#squaring purpose
#irrationality proof
#class 10
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A वर्गमूल हटाकर विभाज्यता वाला समीकरण पाना / To remove the square root and get a divisibility equation
B हर को शून्य बनाना / To make the denominator zero
C संख्या को ऋणात्मक बनाना / To make the number negative
D अंश और हर को बराबर बनाना / To make numerator and denominator equal
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Correct Answer
A. वर्गमूल हटाकर विभाज्यता वाला समीकरण पाना / To remove the square root and get a divisibility equation
Step 1
Concept
\(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\) में वर्गमूल हटाने के लिए वर्ग करते हैं। / We square \(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\) to remove the square root.
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(p^2=nq^2\) जैसा समीकरण मिलता है। / This gives an equation like \(p^2=nq^2\).
Step 3
Exam Tip
इसी समीकरण से विभाज्यता और विरोधाभास की शुरुआत होती है। / This equation starts the divisibility and contradiction steps.
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यदि \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानने पर विरोधाभास आया, तो कौन सी बात सही सिद्ध होती है?
If assuming \(\sqrt{5}\) rational leads to a contradiction, what is proved true?
#sqrt5 conclusion
#contradiction method
#class 10
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A \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{5}\) is irrational
B \(\sqrt{5}\) परिमेय है / \(\sqrt{5}\) is rational
C \(\sqrt{5}=5\)
D (5) पूर्ण वर्ग है / (5) is a perfect square
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Correct Answer
A. \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{5}\) is irrational
Step 1
Concept
विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता ली जाती है। / In contradiction method, the opposite assumption is taken.
Step 2
Why this answer is correct
यदि परिमेय मान्यता गलत निकले, तो अपरिमेयता सिद्ध होती है। / If the rational assumption is false, irrationality is proved.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। / Therefore \(\sqrt{5}\) is irrational.
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परीक्षा में \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), या \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता लिखते समय कौन सी सावधानी सबसे जरूरी है?
In an exam, which precaution is most important while writing the irrationality proof of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), or \(\sqrt{5}\)?
#exam tip
#proof writing
#irrationality
#class 10
50 50-50 2 wrong hide
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? Hint Small clue
A हर चरण में साझा गुणनखंड और सहअभाज्य विरोधाभास साफ लिखना / Clearly write the common factor and coprime contradiction at each final stage
B केवल दशमलव मान लिखना / Write only the decimal value
C वर्गमूल को अंदर की संख्या के बराबर लिखना / Write the square root equal to the number inside
D हर को शून्य मानना / Assume the denominator zero
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Correct Answer
A. हर चरण में साझा गुणनखंड और सहअभाज्य विरोधाभास साफ लिखना / Clearly write the common factor and coprime contradiction at each final stage
Step 1
Concept
ऐसे प्रमाणों में परिमेय मान्यता से शुरुआत होती है। / Such proofs begin with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
अंत में अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलता है। / At the end, a common factor is found in numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास साफ लिखना सबसे जरूरी है। / In exams, clearly writing the coprime contradiction is most important.
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