A. क्योंकि \(q^2\) सम है और सम वर्ग का आधार सम होता है/Because \(q^2\) is even and the base of an even square is even
Step 1
Concept
From \(q^2=2k^2\), \(q^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
If the square of an integer is even, the integer is also even.
Step 3
Exam Tip
Thus both (p) and (q) are found even. चरण 1: \(q^2=2k^2\) से \(q^2\) सम है। चरण 2: यदि किसी पूर्णांक का वर्ग सम है, तो वह पूर्णांक भी सम होता है। चरण 3: इस तरह (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं।
A. (a=5k) रखने पर \(b^2=5k^2\), इसलिए \(5\mid b\)/Putting (a=5k) gives \(b^2=5k^2\), so \(5\mid b\)
Step 1
Concept
Substituting (a=5k) in \(a^2=5b^2\) gives \(25k^2=5b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Simplifying gives \(b^2=5k^2\), so \(5\mid b^2\) and \(5\mid b\).
Step 3
Exam Tip
This shows the final common factor. चरण 1: (a=5k) को \(a^2=5b^2\) में रखने से \(25k^2=5b^2\) मिलता है। चरण 2: सरल करने पर \(b^2=5k^2\), इसलिए \(5\mid b^2\) और \(5\mid b\)। चरण 3: यह अंतिम साझा गुणनखंड दिखाता है।
Divisibility is written in multiple form, so (a=5t).
Step 3
Exam Tip
This form helps prove divisibility of (b) next. चरण 1: \(5\mid a\) का अर्थ है कि (a) (5) से विभाज्य है। चरण 2: विभाज्यता को गुणज के रूप में लिखते हैं, इसलिए (a=5t)। चरण 3: यह रूप आगे (b) की विभाज्यता सिद्ध करने में मदद करता है।
A. क्योंकि \(p^2\) सम है, इसलिए (p) सम है/Because \(p^2\) is even, so (p) is even
Step 1
Concept
From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
If the square of an integer is even, the integer itself is even, so (p=2k) can be written.
Step 3
Exam Tip
In exams, give the reason for evenness before writing (p=2k). चरण 1: \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम मिलता है। चरण 2: किसी पूर्णांक का वर्ग सम हो तो वह पूर्णांक भी सम होता है, इसलिए (p=2k) लिखा जा सकता है। चरण 3: परीक्षा में (p=2k) लिखने से पहले सम होने का कारण जरूर दें।
A. क्योंकि \(q^2\) सम है, इसलिए (q) सम होगा/Because \(q^2\) is even, so (q) will be even
Step 1
Concept
From \(q^2=2r^2\), \(q^2\) is a multiple of (2).
Step 2
Why this answer is correct
So \(q^2\) is even and the integer (q) is also even.
Step 3
Exam Tip
This is the second evenness conclusion in the proof. चरण 1: \(q^2=2r^2\) से \(q^2\) (2) का गुणज है। चरण 2: इसलिए \(q^2\) सम है और पूर्णांक (q) भी सम होगा। चरण 3: यह प्रमाण का दूसरा समपन निष्कर्ष है।
Here divisibility by (3), not evenness, is the main point. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। चरण 2: (3) अभाज्य है, इसलिए \(3\mid p\) होगा। चरण 3: यहाँ समपन नहीं, बल्कि (3) से विभाज्यता मुख्य है।
\(x^2=5y^2\) shows that \(x^2\) has (5) as a factor.
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime, (x) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
Conclude about (x) first, then move to (y). चरण 1: \(x^2=5y^2\) बताता है कि \(x^2\) में (5) गुणनखंड है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (x) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: पहले (x) पर निष्कर्ष निकालें, फिर (y) पर जाएँ।
Simplify algebra carefully, or the proof will break. चरण 1: (p=5k) रखने पर \(p^2=25k^2\) होगा। चरण 2: \(25k^2=5q^2\), इसलिए \(q^2=5k^2\)। चरण 3: बीजगणितीय सरलीकरण ध्यान से करें, वरना प्रमाण टूट जाता है।
Write the form according to the prime divisor involved. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। चरण 2: इसलिए \(3\mid p\), और (p=3k) लिखा जा सकता है। चरण 3: किस अभाज्य से भाग जा रहा है, उसी के अनुसार रूप लिखें।
Multiplying both sides by \(q^2\) gives \(p^2=2q^2\).
Step 3
Exam Tip
After squaring, remove the denominator carefully. चरण 1: \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) को वर्ग करने पर \(2=\frac{p^2}{q^2}\) मिलता है। चरण 2: दोनों पक्षों को \(q^2\) से गुणा करने पर \(p^2=2q^2\) बनता है। चरण 3: वर्ग करने के बाद हर को ठीक से हटाएँ।
From \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), we get \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Substituting (p=3r) gives \(9r^2=3q^2\), so \(q^2=3r^2\).
Step 3
Exam Tip
This shows the path to proving (q) is divisible by (3). चरण 1: \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) से \(p^2=3q^2\) मिलता है। चरण 2: (p=3r) रखने पर \(9r^2=3q^2\), इसलिए \(q^2=3r^2\)। चरण 3: इस रूप से (q) के (3) से विभाज्य होने का रास्ता खुलता है।
After divisibility, write (p=5k), where (k) is an integer. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (p) (5) से विभाज्य है। चरण 3: विभाज्यता मिलने पर (p=5k) लिखें, जहां (k) पूर्णांक है।
