Therefore the rational assumption is proved false. चरण 1: (p,q) को सरलतम रूप में सहअभाज्य माना गया था। चरण 2: दोनों सम होने पर (2) साझा गुणनखंड बनता है। चरण 3: इसलिए परिमेय मान्यता गलत सिद्ध होती है।
A. क्योंकि तब (2) दोनों का साझा गुणनखंड होगा/Because then (2) will be a common factor of both
Step 1
Concept
(p=2m) means \(2\mid p\).
Step 2
Why this answer is correct
(q=2n) means \(2\mid q\).
Step 3
Exam Tip
Together, they give a common factor against coprimality. चरण 1: (p=2m) का अर्थ \(2\mid p\) है। चरण 2: (q=2n) का अर्थ \(2\mid q\) है। चरण 3: दोनों बातें मिलकर सहअभाज्यता के विरुद्ध साझा गुणनखंड देती हैं।
A. विषम संख्या का वर्ग विषम होना चाहिए/The square of an odd number should be odd
Step 1
Concept
The square of an odd integer is always odd.
Step 2
Why this answer is correct
Here \(p^2\) is even, so (p) cannot be odd.
Step 3
Exam Tip
Thus (p) is proved even. चरण 1: विषम पूर्णांक का वर्ग हमेशा विषम होता है। चरण 2: यहाँ \(p^2\) सम है, इसलिए (p) विषम नहीं हो सकता। चरण 3: इस प्रकार (p) सम सिद्ध होता है।
A. \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता/Irrationality of \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
In the proof for \(\sqrt{2}\), \(p^2\) is found even.
Step 2
Why this answer is correct
If (p) were odd, \(p^2\) would be odd; so (p) is even.
Step 3
Exam Tip
The same parity idea is then used for (q). चरण 1: \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2\) सम मिलता है। चरण 2: यदि (p) विषम होता, तो \(p^2\) विषम होता; इसलिए (p) सम है। चरण 3: यही सम-विषम विचार फिर (q) के लिए भी उपयोग होता है।
A. (p=2k) रखने से \(q^2=2k^2\) मिलता है/Putting (p=2k) gives \(q^2=2k^2\)
Step 1
Concept
First (p) is proved even, so (p=2k).
Step 2
Why this answer is correct
Substituting in \(p^2=2q^2\) gives \(q^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
Thus \(q^2\) is even and hence (q) is even. चरण 1: पहले (p) सम सिद्ध होता है, इसलिए (p=2k)। चरण 2: इसे \(p^2=2q^2\) में रखने से \(q^2=2k^2\) मिलता है। चरण 3: इससे \(q^2\) सम और इसलिए (q) सम होता है।
D. अतः \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/Therefore \(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
The proof obtains a contradiction from the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
The contradiction shows that the starting assumption was false.
Step 3
Exam Tip
Therefore the final sentence should clearly state that \(\sqrt{2}\) is irrational. चरण 1: प्रमाण में परिमेय मान्यता से विरोधाभास प्राप्त होता है। चरण 2: विरोधाभास बताता है कि आरंभिक मान्यता गलत थी। चरण 3: इसलिए अंतिम वाक्य स्पष्ट होना चाहिए कि \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
A. यह समझ के लिए ठीक संकेत है, पर पूर्ण प्रमाण में परिमेय मानकर विरोधाभास दिखाना चाहिए/It is a useful hint for understanding, but a full proof should assume rationality and show contradiction
Step 1
Concept
Since (2) is not a perfect square, \(\sqrt{2}\) is not an integer.
Step 2
Why this answer is correct
But irrationality needs proving it is not any rational fraction.
Step 3
Exam Tip
Therefore write the contradiction proof using a coprime fraction. चरण 1: (2) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{2}\) पूर्णांक नहीं है। चरण 2: पर अपरिमेयता के लिए यह भी सिद्ध करना होता है कि वह कोई परिमेय भिन्न नहीं है। चरण 3: इसलिए सहअभाज्य भिन्न वाला विरोधाभास प्रमाण लिखें।
A. क्योंकि \(q^2\) सम है और सम वर्ग का आधार सम होता है/Because \(q^2\) is even and the base of an even square is even
Step 1
Concept
From \(q^2=2k^2\), \(q^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
If the square of an integer is even, the integer is also even.
Step 3
Exam Tip
Thus both (p) and (q) are found even. चरण 1: \(q^2=2k^2\) से \(q^2\) सम है। चरण 2: यदि किसी पूर्णांक का वर्ग सम है, तो वह पूर्णांक भी सम होता है। चरण 3: इस तरह (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं।
C. साझा गुणनखंड मिलना निर्णायक विरोधाभास नहीं बनेगा/Finding a common factor will not become a decisive contradiction
Step 1
Concept
The contradiction depends on (p) and (q) being coprime.
Step 2
Why this answer is correct
Without stating lowest form, both being even is not a decisive contradiction.
Step 3
Exam Tip
Therefore mention lowest form at the start. चरण 1: विरोधाभास इस बात पर निर्भर करता है कि (p) और (q) सहअभाज्य हैं। चरण 2: सरलतम रूप न लिखने पर दोनों सम मिलना जरूरी विरोधाभास नहीं कहलाएगा। चरण 3: इसलिए शुरू में सरलतम रूप अवश्य लिखें।
A. यदि \(p^2\) सम है, तो (p) भी सम है/If \(p^2\) is even, then (p) is also even
Step 1
Concept
The square of an odd integer is odd.
Step 2
Why this answer is correct
So if \(p^2\) is even, (p) cannot be odd and must be even.
Step 3
Exam Tip
This parity rule is a key step in the proof. चरण 1: किसी विषम पूर्णांक का वर्ग विषम होता है। चरण 2: इसलिए यदि \(p^2\) सम है, तो (p) विषम नहीं हो सकता और (p) सम होगा। चरण 3: यह सम-विषम नियम प्रमाण में मुख्य कदम है।
If both numerator and denominator are divisible by (2), the fraction can be reduced by (2).
Step 3
Exam Tip
This contradicts the lowest-form assumption. चरण 1: सम होने का अर्थ (2) से विभाज्य होना है। चरण 2: यदि अंश और हर दोनों (2) से विभाज्य हैं, तो भिन्न (2) से घट सकती है। चरण 3: यह सरलतम रूप की मान्यता के विरुद्ध है।
A. संबंधित अभाज्य गुणनखंड (2,3,5) बदलता है/The related prime factor (2,3,5) changes
Step 1
Concept
In all three proofs, the rational assumption is made first.
Step 2
Why this answer is correct
Then the related prime number becomes common to numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
The structure is the same; only the prime factor changes. चरण 1: तीनों में पहले परिमेय मान्यता ली जाती है। चरण 2: फिर संबंधित अभाज्य संख्या अंश और हर दोनों में साझा बनती है। चरण 3: ढाँचा समान है, केवल अभाज्य गुणनखंड बदलता है।
A. \(p^2=2q^2\) से (p) सम है और यहीं रुक जाना/From \(p^2=2q^2\), (p) is even, and stopping there
Step 1
Concept
Proving (p) even is only half of the proof.
Step 2
Why this answer is correct
We must next put (p=2k) and show (q) is also even.
Step 3
Exam Tip
Without reaching the final contradiction, the answer is incomplete. चरण 1: (p) सम होना केवल आधा प्रमाण है। चरण 2: आगे (p=2k) रखकर (q) का भी सम होना दिखाना पड़ता है। चरण 3: अंतिम विरोधाभास तक पहुँचे बिना उत्तर पूरा नहीं माना जाएगा।
B. \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), और परिमेय (2) को अपरिमेय \(\sqrt{2}\) से गुणा करने पर अपरिमेय संख्या मिलती है/\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), and multiplying irrational \(\sqrt{2}\) by nonzero rational (2) gives an irrational number
Step 1
Concept
\(\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{2}\) is irrational and (2) is a nonzero rational number, so \(2\sqrt{2}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
Separate perfect-square factors while simplifying roots. चरण 1: \(\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt{2}\)। चरण 2: \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है और (2) शून्येतर परिमेय है, इसलिए \(2\sqrt{2}\) अपरिमेय रहेगा। चरण 3: सरलीकरण में पूर्ण वर्ग गुणनखंड अलग करें।
C. \(2\mid p\) और \(2\mid q\)/\(2\mid p\) and \(2\mid q\)
Step 1
Concept
Coprime numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
\(2\mid p\) and \(2\mid q\) make (2) a common factor.
Step 3
Exam Tip
This is the final contradiction. चरण 1: सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होता। चरण 2: \(2\mid p\) और \(2\mid q\) से (2) साझा गुणनखंड बनता है। चरण 3: यही अंतिम विरोधाभास है।
D. \(q^2=2k^2\) होना चाहिए/It should be \(q^2=2k^2\)
Step 1
Concept
Substituting (p=2k) in \(p^2=2q^2\) gives \(4k^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Dividing both sides by (2) gives \(q^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
Reduce factors carefully during algebraic simplification. चरण 1: \(p^2=2q^2\) में (p=2k) रखने पर \(4k^2=2q^2\) बनता है। चरण 2: दोनों पक्षों को (2) से भाग देने पर \(q^2=2k^2\) मिलता है। चरण 3: बीजगणितीय सरलीकरण में गुणक ठीक से घटाएँ।
A. \(p^2\) सम, फिर (p) सम, फिर (p=2k), फिर (q) सम/\(p^2\) even, then (p) even, then (p=2k), then (q) even
Step 1
Concept
From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even, so (p) is even.
Step 2
Why this answer is correct
Putting (p=2k) gives \(q^2=2k^2\), so (q) is even.
Step 3
Exam Tip
Both being even contradicts coprimality of the lowest-form fraction. चरण 1: \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम और इसलिए (p) सम मिलता है। चरण 2: (p=2k) रखने पर \(q^2=2k^2\) और फिर (q) सम मिलता है। चरण 3: दोनों सम होना सरलतम भिन्न की सहअभाज्यता से टकराता है।
A. दोनों में (2) साझा गुणनखंड है/Both have (2) as a common factor
Step 1
Concept
(p=2m) shows \(2\mid p\).
Step 2
Why this answer is correct
(q=2n) shows \(2\mid q\).
Step 3
Exam Tip
Together, they make (2) a common factor. चरण 1: (p=2m) बताता है कि \(2\mid p\)। चरण 2: (q=2n) बताता है कि \(2\mid q\)। चरण 3: दोनों मिलकर (2) को साझा गुणनखंड बनाते हैं।
A. जब (p) और (q) दोनों सम सिद्ध हो जाते हैं/When both (p) and (q) are proved even
Step 1
Concept
Coprimality means there is no common factor.
Step 2
Why this answer is correct
When both (p) and (q) are proved even, (2) becomes a common factor.
Step 3
Exam Tip
At this point, coprimality gives the decisive contradiction. चरण 1: सहअभाज्यता का अर्थ है साझा गुणनखंड न होना। चरण 2: (p) और (q) दोनों सम सिद्ध होने पर (2) साझा गुणनखंड मिल जाता है। चरण 3: इसी समय सहअभाज्यता निर्णायक विरोधाभास देती है।
A. यदि संख्या विषम होती, तो उसका वर्ग विषम होता; पर वर्ग सम है, इसलिए संख्या सम है/If the number were odd, its square would be odd; but the square is even, so the number is even
Step 1
Concept
The square of an odd number is always odd.
Step 2
Why this answer is correct
When the square is even, the original number cannot be odd.
Step 3
Exam Tip
This idea proves both (p) and (q) even. चरण 1: विषम संख्या का वर्ग हमेशा विषम होता है। चरण 2: जब वर्ग सम मिला, तो मूल संख्या विषम नहीं हो सकती। चरण 3: इस विचार से (p) और (q) दोनों के सम होने का प्रमाण बनता है।
A. सम होना अकेले कारण नहीं है; प्रमाण में सरलतम भिन्न का विरोधाभास चाहिए/Being even alone is not the reason; the proof needs contradiction of a lowest-form fraction
Step 1
Concept
The fact that (2) is even is not enough by itself.
Step 2
Why this answer is correct
The real proof assumes \(\sqrt{2}\) rational and shows numerator and denominator both even.
Step 3
Exam Tip
Write the full reason, not a short guess. चरण 1: केवल (2) का सम होना पर्याप्त कारण नहीं है। चरण 2: असली प्रमाण में \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर अंश और हर दोनों सम निकलते हैं। चरण 3: कारण को पूरा लिखें, छोटा अनुमान नहीं।
A. \(\sqrt{2}\) परिमेय है/\(\sqrt{2}\) is rational
Step 1
Concept
We initially assumed that \(\sqrt{2}\) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
That assumption led to a common factor in a lowest-form fraction.
Step 3
Exam Tip
Therefore the initial rational assumption is proved false. चरण 1: हमने शुरुआत में \(\sqrt{2}\) को परिमेय माना था। चरण 2: उसी मान्यता से सरलतम भिन्न में साझा गुणनखंड आ गया। चरण 3: इसलिए प्रारंभिक परिमेय मान्यता झूठी सिद्ध होती है।
If both (p) and (q) are even, \(\frac{p}{q}\) can be reduced by (2).
Step 3
Exam Tip
This contradicts lowest form. चरण 1: सम होने का अर्थ (2) से विभाज्य होना है। चरण 2: यदि (p) और (q) दोनों सम हैं, तो \(\frac{p}{q}\) को (2) से घटाया जा सकता है। चरण 3: यही सरलतम रूप के विरुद्ध है।
A. \(4k^2=2q^2\) को (2) से सही तरह भाग नहीं दिया गया/\(4k^2=2q^2\) was not divided correctly by (2)
Step 1
Concept
Putting (p=2k) gives \(4k^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Dividing both sides by (2) gives \(2k^2=q^2\), that is \(q^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
A simplification error can spoil the proof. चरण 1: (p=2k) रखने पर \(4k^2=2q^2\) मिलता है। चरण 2: दोनों पक्षों को (2) से भाग देने पर \(2k^2=q^2\), यानी \(q^2=2k^2\) मिलेगा। चरण 3: सरलीकरण की गलती प्रमाण को गलत बना देती है।
A. \(2\mid p\) और \(2\mid q\)/\(2\mid p\) and \(2\mid q\)
Step 1
Concept
\(2\mid p\) and \(2\mid q\) mean both have (2) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
This cannot happen for coprime numbers.
Step 3
Exam Tip
This conflict is the decisive point of the proof. चरण 1: \(2\mid p\) और \(2\mid q\) का अर्थ है दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 2: सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा नहीं हो सकता। चरण 3: यही टकराव प्रमाण का निर्णायक बिंदु है।
A. मान लें \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहाँ (p,q) सहअभाज्य पूर्णांक हैं और \(q\neq0\)/Assume \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where (p,q) are coprime integers and \(q\neq0\)
Step 1
Concept
A rational number is written as a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
The denominator cannot be zero, and the ratio should be in lowest form.
Step 3
Exam Tip
This complete opening sentence sets the proof correctly. चरण 1: परिमेय संख्या को दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखा जाता है। चरण 2: हर शून्य नहीं हो सकता और अनुपात सरलतम रूप में लेना चाहिए। चरण 3: यह पूरा प्रारंभिक वाक्य प्रमाण को सही दिशा देता है।
Therefore this fact is used twice in an important way. चरण 1: पहले \(p^2\) सम होने से (p) सम सिद्ध होता है। चरण 2: फिर \(q^2\) सम होने से (q) सम सिद्ध होता है। चरण 3: इसलिए यह नियम प्रमाण में दो बार महत्वपूर्ण रूप से आता है।
A. प्रमाण परिमेय मान्यता और सहअभाज्यता के विरोधाभास पर आधारित है/The proof is based on rational assumption and contradiction of coprimality
Step 1
Concept
A decimal approximation of \(\sqrt{2}\) does not prove irrationality.
Step 2
Why this answer is correct
The real proof assumes \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) and derives a contradiction.
Step 3
Exam Tip
In exams, give priority to logical proof. चरण 1: \(\sqrt{2}\) का दशमलव अनुमान प्रमाण नहीं देता। चरण 2: असली प्रमाण में \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) मानकर विरोधाभास निकाला जाता है। चरण 3: परीक्षा में तार्किक प्रमाण को प्राथमिकता दें।
A. यह सरलतम रूप में नहीं हो सकता/It cannot be in lowest form
Step 1
Concept
Both being even means both have (2) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
A fraction in lowest form cannot have such a common factor.
Step 3
Exam Tip
This breaks the rational assumption. चरण 1: दोनों सम होने का अर्थ है कि दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 2: सरलतम भिन्न में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं हो सकता। चरण 3: इसी से परिमेय मान्यता टूटती है।
A. \(p^2\) सम है इसलिए (p) विषम है/\(p^2\) is even, so (p) is odd
Step 1
Concept
If \(p^2\) is even, then (p) must be even.
Step 2
Why this answer is correct
Calling (p) odd violates the parity rule.
Step 3
Exam Tip
In proofs, a small logical error can change the whole argument. चरण 1: \(p^2\) सम होने पर (p) सम होना चाहिए। चरण 2: (p) को विषम कहना सम-विषम नियम के विरुद्ध है। चरण 3: प्रमाण में छोटी तार्किक गलती पूरी दलील बदल सकती है।
